《數學分析1》理論課程教學大綱

PAGEPAGE13《數學分析1》教學大綱課程名稱數學分析1課程代碼04031102課程性質及類別性質：□通識教育課程R學科專業(yè)基礎課程□職業(yè)發(fā)展課程□教師教育課程類別：R必修□選修課程學分與學時4.5學分/72學時（課堂講授72學時，實驗實踐0學時，自主學習0學時）先修課程無適用專業(yè)金融數學開設學期第1學期一、課程教學目標與任務通過本課程的學習，學生應達到以下幾方面的目標：知識方面：掌握數學分析的基本概念，了解數學分析的發(fā)展歷史，掌握科學的數學思想和方法。理解數學分析基本理論，掌握數學分析的論證方法，具備嚴謹的數學語言表達?！井厴I(yè)要求1】能力方面：培養(yǎng)學生較熟練的演算技能和初步的應用能力、抽象思維、邏輯推理能力、空間想象能力以及計算能力，養(yǎng)成反思和獨立思考的習慣，為后繼課程學習打下堅實的基礎?！井厴I(yè)要求2】素質方面：培養(yǎng)學生運用數學分析思想方法，結合金融學、計算機科學方面的專業(yè)知識去分析和解決問題的能力，領悟和體會數學在此過程中起到的作用，提高數學思維能力，具備一定的科研能力，適應新世紀新環(huán)境下對新科技發(fā)展的需求?！井厴I(yè)要求3】二、教學內容與學時分配《數學分析1》第一章實數集與函數(4學時)第一節(jié)實數一、本節(jié)重點、難點1．實數的性質2．基本三角形不等式二、主要內容及學時分配1．實數及其性質2．絕對值與不等式（1學時）第二節(jié)數集確界定理一、本節(jié)重點、難點1．上下確界的定義2．確界原理及推廣的確界原理二、主要內容及學時分配1．區(qū)間與鄰域2．有界集與確界原理（1學時）第三節(jié)函數概念一、本節(jié)重點、難點1．函數的概念與性質2．基本初等函數的定義二、主要內容及學時分配1．函數的定義2．函數的表示法3．函數的四則運算4．復合函數5．反函數6．初等函數（1學時）第四節(jié)具有某些特征的函數一、本節(jié)重點、難點1．具有某些特征的函數二、主要內容及學時分配1．有界函數）2．單調函數3．奇函數和偶函數4．周期函數（1學時）第二章數列極限(6學時)第一節(jié)數列極限概念一、本節(jié)重點、難點1．數列收斂的定義2．數列極限的幾何意義二、主要內容及學時分配1．數列極限的概念及幾何意義（1學時）2．無窮小量、無窮大量的概念（1學時）第二節(jié)收斂數列的性質一、本節(jié)重點、難點1．收斂數列的重要性質二、主要內容及學時分配1．數列極限的唯一性、有界性、保號性（1學時）2．數列極限的單調性、迫斂性、四則運算法則（1學時）第三節(jié)數列極限存在的條件一、本節(jié)重點、難點1．柯西收斂定理二、主要內容及學時分配1．單調有界定理（1學時）2．柯西收斂定理（1學時）第三章函數的極限(8學時)第一節(jié)函數極限的概念一、本節(jié)重點、難點1．X趨于∞時函數的極限2．X趨于x0二、主要內容及學時分配1．X趨于∞時函數的極限（1學時）2．X趨于x0時函數的極限第二節(jié)函數極限的性質一、本節(jié)重點、難點1．函數極限的性質二、主要內容及學時分配1．函數極限的唯一性、有界性、局部保號性（1學時）2．函數極限的單調性、迫斂性、四則運算法則（1學時）第三節(jié)函數極限存在的條件一、本節(jié)重點、難點1．柯西準則二、主要內容及學時分配1．歸結原則（1學時）2．柯西準則（1學時）第四節(jié)兩個重要極限一、本節(jié)重點、難點1．兩個重要極限二、主要內容及學時分配1．證明及其變形（1學時）2．證明及其變形（1學時）第五節(jié)無窮小量與無窮大量一、本節(jié)重點、難點1．無窮小量階的比較2．曲線的漸近線二、主要內容及學時分配1．無窮小量2．無窮小量階的比較（1學時）3．無窮大量4．曲線的漸近線（1學時）第四章函數的連續(xù)性(6學時)第一節(jié)連續(xù)性的概念一、本節(jié)重點、難點1．函數在一點連續(xù)的定義2．間斷點的定義及其分類二、主要內容及學時分配1．函數在一點的連續(xù)性（1學時）2．間斷點及其分類3．區(qū)間上的連續(xù)函數（1學時）第二節(jié)連續(xù)函數的性質一、本節(jié)重點、難點1．最值定理、介值性定理2．一直連續(xù)性二、主要內容及學時分配1．連續(xù)的函數的連局部性質（1學時）2．閉區(qū)間上連續(xù)函數的基本性質（1學時）3．反函數的連續(xù)性4．一致連續(xù)性（1學時）第三節(jié)初等函數的連續(xù)性一、本節(jié)重點、難點1．初等函數的連續(xù)性二、主要內容及學時分配1．指數函數的連續(xù)性2．初等函數的連續(xù)性（1學時）第五章導數與微分(8學時)第一節(jié)導數的概念一、本節(jié)重點、難點1．導數的定義2．導數的幾何意義二、主要內容及學時分配1．導數的定義（1學時）2．導函數3．導數的幾何意義（1學時）第二節(jié)求導法則一、本節(jié)重點、難點1．反函數的導數2．復合函數的導數二、主要內容及學時分配1．導數的四則運算2．反函數的導數3．復合函數的導數4．基本求導法則與公式（1學時）第三節(jié)參變量函數的導數一、本節(jié)重點、難點1．參變量函數的求導公式二、主要內容及學時分配1．光滑曲線2．參變量函數的導數（1學時）第四節(jié)高階導數一、本節(jié)重點、難點1．二階導數、高階導數的定義2．含參變量函數的二階導數二、主要內容及學時分配1．二階導數、高階導數2．萊布尼茲公式（1學時）3．含參變量的二階導數（1學時）第五節(jié)微分一、本節(jié)重點、難點1．微分的概念及其幾何意義2．微分的應用二、主要內容及學時分配1．微分的概念2．微分的運算法則（1學時）3．高階微分4．微分在近似計算中的應用（1學時）第六章微分中值定理及其應用(12學時)第一節(jié)拉格朗日定理和函數的單調性一、本節(jié)重點、難點1．拉格朗日中值定理及其應用二、主要內容及學時分配1．羅爾定理2．拉格朗日中值定理（1學時）3．利用導數判定單調性4．達布定理（1學時）第二節(jié)柯西中值定理和不定式極限一、本節(jié)重點、難點1．不定式極限的運算二、主要內容及學時分配1．柯西中值定理（1學時）2．不定式極限后（2學時）第三節(jié)泰勒公式一、本節(jié)重點、難點1．泰勒公式2．麥克勞林公式二、主要內容及學時分配1．帶有佩亞諾型余項的泰勒公式（1學時）2．帶有拉格朗日型余項的泰勒公式3．在近似計算上的應用（1學時）第四節(jié)函數的極值與最大（?。┲狄?、本節(jié)重點、難點1．極值的充分條件2．最值的判斷二、主要內容及學時分配1．極值判別（1學時）2．最大值與最小值（1學時）第五節(jié)函數的凸性與拐點一、本節(jié)重點、難點1．凹函數、凸函數的定義2．拐點的判斷二、主要內容及學時分配1．凸函數和拐點的定義（1學時）2．判定凸函數和求函數的拐點的方法（1學時）第六節(jié)函數圖像的討論一、本節(jié)重點、難點1．作圖的方法二、主要內容及學時分配1．作圖的方法2．作圖的步驟（1學時）第八章不定積分(10學時)第一節(jié)不定積分概念與基本積分公式一、本節(jié)重點、難點1．不定積分的定義2．不定積分的幾何意義二、主要內容及學時分配1．原函數與不定積分2．基本積分表（2學時）第二節(jié)換元積分法與分部積分法一、本節(jié)重點、難點1．第一換元積分法、第二換元積分法2．分部積分法二、主要內容及學時分配1．第一換元積分法（1學時）2．第二換元積分法（1學時）3．分部積分法（1學時）第三節(jié)有理函數和可化為有理函數的不定積分一、本節(jié)重點、難點1．部分分式分解2．遞推公式二、主要內容及學時分配1．有理函數的不定積分（2學時）2．三角函數有理式的不定積分（1學時）3．某些無理根式的不定積分（1學時）第九章定積分(10學時)第一節(jié)定積分概念一、本節(jié)重點、難點1．定積分的幾何意義二、主要內容及學時分配1．問題提出（1學時）2．定積分的定義（1學時）第二節(jié)牛頓萊布尼茨公式一、本節(jié)重點、難點1．牛頓、萊布尼茨公式二、主要內容及學時分配1．牛頓、萊布尼茨公式2．用公式計算定積分（1學時）第三節(jié)可積條件一、本節(jié)重點、難點1．可積條件二、主要內容及學時分配1．可積的必要條件2．可積的充分條件（1學時）3．可積函數類（1學時）第四節(jié)定積分的性質一、本節(jié)重點、難點1．定積分的性質2．積分中值定理二、主要內容及學時分配1．定積分的基本性質（1學時）2．積分中值定理（1學時）第五節(jié)微積分學基本定理定積分的計算（續(xù)）一、本節(jié)重點、難點1．原函數存在定理2．換元積分法與分部積分二、主要內容及學時分配1．變限積分與原函數的存在性（1學時）2．換元積分法與分部積分（1學時）3．泰勒公式的積分型余項（1學時）第十章定積分應用（4學時）第一節(jié)平面圖形的面積一、本節(jié)重點、難點1．平行圖形的面積計算二、主要內容及學時分配1．直角坐標系下所謂圖形面積計算公式2．參數方程所圍圖形面積計算公式3．極坐標下所謂圖形面積計算公式（1學時）第二節(jié)由平行截面面積求體積一、本節(jié)重點、難點1．旋轉體體積公式二、主要內容及學時分配1．由平行截面面積求體積2．旋轉體體積公式（1學時）第三節(jié)平面曲線的弧長與曲率一、本節(jié)重點、難點1．曲率二、主要內容及學時分配1．平面圖形的弧長2．曲率（1學時）第四節(jié)旋轉曲面的面積一、本節(jié)重點、難點1．微元法二、主要內容及學時分配1．微元法2．旋轉曲面的面積（1學時）第十一章反常積分（4學時）第一節(jié)反常積分的概念一、本節(jié)重點、難點1．無窮積分、瑕積分的定義二、主要內容及學時分配1．問題提出2．兩類反常積分的定義（1學時）第二節(jié)無窮積分的性質與計算一、本節(jié)重點、難點1．無窮積分的性質2．非負無窮積分的斂散判別法二、主要內容及學時分配1．無窮積分的性質（1學時）2．非負函數無窮積分的斂散判別法3．一般無窮積分的斂散判別法（1學時）第三節(jié)瑕積分的性質與計算一、本節(jié)重點、難點1．瑕積分的性質2．非負函數瑕積分收斂的判別法二、主要內容及學時分配1．瑕積分的性質2．非負函數瑕積分收斂的比較原則及其推論（1學時）三、教學方法與手段數學分析的教學方法：根據具體的課程內容，靈活使用教師精講，學生細讀與自學相結合，教師指導下的學生討論等多種方法。教學組織形式：采取單班教學，主要以教師課堂講授為主，學生課外自學為輔，課后自主討論、鞏固練習相結合的教學組織形式。教學手段：根據課程具體內容適當利用多媒體課件，采用計算機輔助教學。四、課程考核方式1.過程考核：過程成績占課程成績的30%，包括課堂表現、出勤情況、作業(yè)成績等。作業(yè)：圍繞課程的學習目標進行作業(yè)的布置：如讓學生加深對知識的認識，考察學生對于概念的理解情況，幫助學生將定義轉化為自己的理解，占課程成績的20%。課堂表現評價：通過學生在課堂上的表現情況、發(fā)言與提問情況，來評價學生相關的能力，占課程成績的5%。出勤情況：通過學生每堂課的出勤，以及遲到、早退情況來評價，占課程成績的5%。2.期末考核：理論筆試，考試內容為當學期所學知識,基本知識占80%,有一定技巧的占20%,集中閉卷，考試時間2小時，考試成績占課程成績的70%。五、其他（一）作業(yè)及自主學習要求作業(yè)要求：作業(yè)分成必做題和選做題兩部分，必做題要求學生必須人人必須完成并且掌握，選做題作為擴展學習部分，學生可根據自己的實際情況，靈活掌握。作業(yè)每周分組交替上交。自主學習要求：由于本課程是學生進入大學的第1門專業(yè)基礎課程，必須打下堅實的基礎，所以要求學生除了學習好教材的知識以外，還要在參考書目中選讀至少兩本，做好讀書筆記，撰寫讀書心得。（二）課程資源1.建議教材《數學分析》，華東師范大學數學科學學院編，高等教育出版社，2019年5月第五版。2．主要參考書（1）《數學分析》，徐森林等編，清華大學出版社，2006年第二版。（2）《數學分析》，陳紀修等編，高等教育出版社，2004年第二版。（3）《數學分析》，A.卓里奇著，高等教育出版社，2006年第四版。（4）《AdvancedCalcul