福建省漳州市高三畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢測數(shù)學試題

準考證號______姓名______（在此試卷上答題無效）漳州市2024屆高三畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢測數(shù)學試題本試題卷共4頁，22題。全卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘?？忌⒁猓?.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號、姓名?？忌J真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，用0.5mm黑色簽字筆將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，若，且，則集合可以為（）A. B. C. D.2.若，為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.3.已知向量，向量，向量，若與共線，，則（）A. B.C. D.4.公元656年，唐代李淳風注《九章》時提到祖暅的“開立圓術(shù)”.祖暅在求球的體積時，使用一個原理：“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是立體的高，意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等.更詳細點說就是，界于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等.上述原理在中國被稱為“祖暅原理”.打印技術(shù)發(fā)展至今，已經(jīng)能夠滿足少量個性化的打印需求，現(xiàn)在用打印技術(shù)打印了一個“睡美人城堡”.如圖，其在高度為的水平截面的面積可以近似用函數(shù)，擬合，則該“睡美人城堡”的體積約為（）A. B. C. D.5.甲、乙兩名大學生利用假期時間參加社會實踐活動，可以從，，，四個社區(qū)中隨機選擇一個社區(qū)，設(shè)事件為“甲和乙至少一人選擇了社區(qū)”，事件為“甲和乙選擇的社區(qū)不相同”，則（）A. B. C. D.6.若銳角滿足，則（）A. B. C. D.7.已知等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的公比與的公差均為2，且滿足，，則使得成立的的最大值為（）A.6 B.7 C.8 D.98.已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.3 B.5 C.6 D.8二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與交于，兩點，以線段為直徑的與的準線相切于點，則（）A.直線的方程為 B.點的坐標為C.的周長為 D.直線與相切10.關(guān)于函數(shù)的圖象與性質(zhì)，下列說法正確的是（）A.是函數(shù)圖象的一條對稱軸B.是函數(shù)圖象的一個對稱中心C.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象D.當時，11.已知數(shù)列的前項和為，若，且對，都有，則（）A.是等比數(shù)列 B.C. D.12.在正四棱柱中，，，分別為棱，的中點，過，，三點作該正四棱柱的截面，則下列判斷正確的是（）A.異面直線與直線所成角的正切值為B.截面為六邊形C.若，截面的周長為D.若，截面的面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知橢圓，，則的離心率為______.（寫出一個符合題目要求的即可）14.在二項式的展開式中，第三項為常數(shù)項，展開式中二項式系數(shù)和為，所有項的系數(shù)和為，則______.15.已知復數(shù)，滿足，，則的最大值為______.16.已知是定義域為的函數(shù)的導函數(shù)，曲線關(guān)于對稱，且滿足，則______；______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知數(shù)列的前項和為，滿足，且為，的等比中項.（I）求數(shù)列的通項公式；（II）設(shè)為數(shù)列的前項和，證明：.18.（12分）如圖，在四邊形中，，，且的外接圓半徑為4.（I）若，，求的面積；（II）若，求的最大值.19.（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，側(cè)棱和側(cè)棱與底面所成的角均為，，為中點，為側(cè)棱上一點，且平面.（I）請確定點的位置；（II）求平面與平面所成夾角的余弦值.20.（12分）2023年12月11日至12日中央經(jīng)濟工作會議在北京舉行，會議再次強調(diào)要提振新能源汽車消費.發(fā)展新能源汽車是我國從“汽車大國”邁向“汽車強國”的必由之路.我國某地一座新能源汽車工廠對線下的成品車要經(jīng)過多項檢測，檢測合格后方可銷售，其中關(guān)鍵的兩項測試分別為碰撞測試和續(xù)航測試，測試的結(jié)果只有三種等次：優(yōu)秀、良好、合格，優(yōu)秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，該型號新能源汽車在碰撞測試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為；在續(xù)航測試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為，兩項測試相互獨立，互不影響，該型號新能源汽車兩項測試得分之和記為.（I）求該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格的概率；（II）求離散型隨機變量的分布列與期望.21.（12分）已知函數(shù)有兩個不同的零點，.（I）求實數(shù)的取值范圍；（II）證明：.22.（12分）已知，我們稱雙曲線與橢圓互為“伴隨曲線”，點為雙曲線和橢圓的下頂點.（I）若為橢圓的上頂點，直線與交于，兩點，證明：直線，的交點在雙曲線上；（II）過橢圓的一個焦點且與長軸垂直的弦長為，雙曲線的一條漸近線方程為，若為雙曲線的上焦點，直線經(jīng)過且與雙曲線上支交于，兩點，記的面積為，（為坐標原點），的面積為.（i）求雙曲線的方程；（ii）證明：.漳州市2024屆高三畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢測數(shù)學答案詳解123456789101112BDCDBABBACABCBDAD1.B【命題意圖】本題考查指數(shù)不等式、對數(shù)不等式、分式不等式及函數(shù)的定義域與值域、集合的交集運算，考查運算求解能力，考查數(shù)學運算核心素養(yǎng).【解題思路】因為，所以，所以集合.對于A選項，，則，所以A選項不合題意；對于B選項，，則，所以B選項符合題意；對于C選項，，則，所以C選項不合題意；對于D選項，不等式等價于解得，則，所以D選項不合題意，故選B.2.D【命題意圖】本題考查存在量詞命題、命題的真假、三角函數(shù)的值域，考查運算求解能力，考查邏輯推理、數(shù)學運算核心素養(yǎng).【解題思路】若，為真命題，則.因為在上的最小值為，所以，故選D.3.C【命題意圖】本題考查向量的坐標運算、共線向量、垂直向量，考查運算求解能力，考查數(shù)學運算核心素養(yǎng).【解題思路】因為與共線，所以，解得.又，所以，解得，所以，所以，故選C.4.D【命題意圖】本題考查數(shù)學文化、空間幾何體的體積，考查空間想象能力、運算求解能力，考查直觀想象、數(shù)學運算核心素養(yǎng).【解題思路】根據(jù)祖暅原理，知該“睡美人城堡”的體積與一個底面圓半徑為9，高為9的圓錐的體積近似相等，所以該“睡美人城堡”的體積約為，故選D.5.B【命題意圖】本題考查古典概型、條件概率，考查運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查數(shù)學運算核心素養(yǎng).【解題思路】甲、乙兩名大學生從四個社區(qū)中隨機選擇一個社區(qū)的情況共有（種），事件發(fā)生的情況共有（種），事件和事件同時發(fā)生的情況共有6種，所以，故選B.6.A【命題意圖】本題考查三角恒等變換，考查推理論證能力、運算求解能力，考查邏輯推理、數(shù)學運算核心素養(yǎng).【解題思路】因為，所以，即，解得或.又為銳角，所以，則，即，解得，所以，故選A.7.B【命題意圖】本題考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式與等差數(shù)列的求和公式，考查運算求解能力，考查數(shù)學運算核心素養(yǎng).【解題思路】由題意得，.又，，所以，解得，所以，所以，，所以.若，則.又，則的最大值為7，故選B.8.B【命題意圖】本題考查分段函數(shù)、函數(shù)的零點，考查運算求解能力、推理論證能力，考查邏輯推理、數(shù)學運算核心素養(yǎng).【解題思路】依題意，函數(shù)零點的個數(shù)，即為方程解的個數(shù)，作函數(shù)的大致圖象如圖所示，令，則，當時，.令，，易知在上單調(diào)遞增.又，，所以存在，使得；當時，，解得或，又，則，當時，，根據(jù)的圖象可知，方程有兩個解；當時，，根據(jù)的圖象可知，方程有兩個解；當，時，，根據(jù)的圖象可知，方程有一個解.綜上所述，函數(shù)的零點個數(shù)為5，故選B.9.AC【命題意圖】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)及標準方程、圓的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，考查運算求解能力，考查數(shù)學運算核心素養(yǎng).【解題思路】依題意，拋物線的準線方程為，即，所以，即拋物線的方程為，則拋物線的焦點為.設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立消去整理得恒成立，則則又因為線段為的直徑，與的準線相切于點，所以，整理得，即，即，解得，所以直線的方程為，所以A選項正確；因為垂直于準線，所以點的縱坐標為，代入直線的方程，可得點，所以B選項錯誤；根據(jù)拋物線的定義可得，所以的半徑為，所以的周長為，所以C選項正確；圓心到直線的距離為，所以直線與相交，不相切，所以D選項錯誤，故選AC.10.ABC【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運算求解能力，考查數(shù)學運算核心素養(yǎng).【解題思路】，令，，則，，當時，，所以是函數(shù)圖象的一條對稱軸（另解：因為，即當時，函數(shù)取得最小值，所以是函數(shù)圖象的一條對稱軸），所以A選項正確；令，，則，，當時，，所以是函數(shù)圖象的一個對稱中心（另解：因為，所以是函數(shù)圖象的一個對稱中心），所以B選項正確；因為，所以將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象，即為函數(shù)的圖象，所以C選項正確；，當時，，所以函數(shù)的值域為，所以D選項錯誤，故選ABC.11.BD【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的定義、通項公式，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)學運算、邏輯推理核心素養(yǎng).【解題思路】因為，所以不是等比數(shù)列（提示：等比數(shù)列的每一項均不為0），所以A選項錯誤；由，得，，，以及，易得，，.又，所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以B選項正確；，當時，，則所以C選項錯誤，D選項正確，故選BD.12.AD【命題意圖】本題考查正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征及截面、異面直線所成角，考查空間想象能力、運算求解能力，考查直觀想象、數(shù)學運算核心素養(yǎng).【解題思路】不妨設(shè)，則，對于A選項，如圖1，異面直線與直線所成的角，即為直線與直線所成的角，連接，則即為直線與直線所成的角或其補角.易得，在中，，，所以，所以A選項正確；對于B選項，如圖2，延長交于點，連接交于點，延長交于點，連接交于點，連接，，則五邊形即為平面截該四棱柱得到的截面，即截面為五邊形，所以B選項錯誤；對于C選項，易知，，所以，即.又，所以，所以.又，所以，所以，，所以.在中，.又，所以，，所以，所以截面的周長為，所以C選項錯誤；因為，所以，所以為等腰三角形.又，所以，連接，如圖2所示，則，所以.易知，所以，則，同理可得，所以截面的面積為，所以D選項正確，故選AD.圖1 圖213.填，，三者中任何一個即可【命題意圖】本題考查橢圓的標準方程、離心率，考查運算求解能力，考查數(shù)學運算核心素養(yǎng).【解題思路】當橢圓的焦點在軸上時，可得，解得.又，所以，此時橢圓的方程為，則橢圓的離心率為；當橢圓的焦點在軸上時，可得，解得.又，所以或，此時橢圓的方程為或，則橢圓的離心率分別為和，故可以填，，三者中任意一個即可.14.63【命題意圖】本題考查二項式定理，考查運算求解能力，考查數(shù)學運算核心素養(yǎng).【解題思路】二項式的展開式通項，令，則可得，所以，所以二項式的展開式中二項式系數(shù)和，令，可得所有項的系數(shù)和，則.15.【命題意圖】本題考查復數(shù)的運算、復數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力、應(yīng)用意識，考查數(shù)學運算、邏輯推理核心素養(yǎng).【解題思路】令復數(shù)，，，則，所以，所以，，即.又因為，即在復平面內(nèi)，復數(shù)所對應(yīng)的點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓.又點到點的距離為，所以的最大值為.16.【命題意圖】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、周期性、導數(shù)的應(yīng)用，考查推理論證能力、運算求解能力，考查邏輯推理、數(shù)學運算核心素養(yǎng).【解題思路】因為曲線關(guān)于對稱，所以曲線關(guān)于坐標原點對稱，即函數(shù)為奇函數(shù).又因為，所以，，所以.因為，整理得，令，則函數(shù)為上的可導奇函數(shù)，，且.又，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且12為函數(shù)的一個周期，所以，則.因為，所以，所以，所以.又，所以，所以函數(shù)也是以12為周期的周期函數(shù).因為，所以，所以.因為，所以，即，所以.17.【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的性質(zhì)、裂項相消法求和，考查推理論證能力、運算求解能力，考查邏輯推理、數(shù)學運算核心素養(yǎng).解：（I）因為，所以，①當時，，②①－②得，化簡可得，，且當時，滿足上式，由題可得，故，解得，即數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，.（II）證明：令，所以.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.18.【命題意圖】本題考查正弦定理及其推廣、三角形面積公式、三角恒等變換，考查推理論證能力、運算求解能力，考查邏輯推理、數(shù)學運算核心素養(yǎng).解：（I）因為，的外接圓半徑為4，所以，解得.在中，，則，解得.又，所以.在中，，，，所以.（II）設(shè)，.又，所以.因為，所以.在中，，由正弦定理得，解得.在中，，由正弦定理得，解得，所以.又，所以，當且僅當，即時，取得最大值1，所以的最大值為.19.【命題意圖】本題線面平行的判定定理、平面與平面所成夾角的余弦值，考查推理論證能力、空間想象能力、運算求解能力，考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算核心素養(yǎng).解：（I）取的中點，連接，則，過點作，交于點，則為的中點.因為，且平面，平面，所以平面.因為，平面，平面，所以平面.又，所以平面平面.又平面，所以平面，所以點的位置為的中點.（II）因為側(cè)面底面，所以側(cè)棱和側(cè)棱與底面所成的角分別為和，則，所以為等邊三角形，連接，則底面.以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系.因為，所以，，，，，則，，，.設(shè)平面的法向量為，則即不妨令，則，所以.設(shè)平面的法向量為，則即不妨令，則，所以.設(shè)平面與平面所成夾角為，則，所以平面與平面所成夾角的余弦值為.20.【命題意圖】本題考查互斥事件與相互獨立事件的概率、離散型隨機變量的分布列與期望，考查運算求解能力，考查數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).解：（I）記事件為“該型號新能源汽車參加碰撞測試的得分為分”，則，，.記事件為“該型號新能源汽車參加續(xù)航測試的得分為分”，則，，.記事件為“該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格”，則，則該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格的概率為.（II）由題知離散型隨機變量的所有可能取值分別為2，4，6，8，1