北京市重點(diǎn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

北京市重點(diǎn)學(xué)校2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期開(kāi)學(xué)考高三數(shù)學(xué)試卷2024.02本試卷共4頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A.1B.C.2D.3.已知，則的最小值與最小正周期分別是（）A.B.C.D.4.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.3B.6C.7D.85.已知實(shí)數(shù)，則下列不等式中成立的是（）A.B.C.D.6.已知分別為軸，軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以為直徑的圓與直線相切，則該圓面積的最小值為（）A.B.C.D.7.已知是雙曲線與橢圓的左?右公共焦點(diǎn)，是在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，若，則的離心率是（）A.B.C.D.8.設(shè)，若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C..D.9.正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在線段上，動(dòng)點(diǎn)在平面上，且平面.線段長(zhǎng)度的取值范圍是（）A.B.C.D.10.某中學(xué)舉行了科學(xué)防疫知識(shí)競(jìng)賽.經(jīng)過(guò)選拔，甲?乙?丙三位選手進(jìn)入了的最后角逐.他們還將進(jìn)行四場(chǎng)知識(shí)競(jìng)賽.規(guī)定：每場(chǎng)知識(shí)競(jìng)賽前三名的得分依次為（，且）；選手總分為各場(chǎng)得分之和.四場(chǎng)比賽后，已知甲最后得分為16分，乙和丙最后得分都為8分，且乙只有一場(chǎng)比賽獲得了第一名，則下列說(shuō)法正確的是（）A.每場(chǎng)比賽的第一名得分為4B.甲至少有一場(chǎng)比賽獲得第二名C.乙在四場(chǎng)比賽中沒(méi)有獲得過(guò)第二名D.丙至少有一場(chǎng)比賽獲得第三名第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.若的二項(xiàng)式展開(kāi)式中的系數(shù)為10，則__________.12.關(guān)于的不等式的解集中至多包含1個(gè)整數(shù)，寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)的__________.13.如圖，單位向量的夾角為，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為_(kāi)_________.14.已知函數(shù)定義域?yàn)?，設(shè)若，且對(duì)任意，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.15.畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).直線的方程為.給出下列四個(gè)結(jié)論：①的蒙日?qǐng)A的方程為②在直線上存在點(diǎn)，橢圓上存在，使得；③記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為；④若矩形的四條邊均與相切，則矩形面積的最大值為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_________.三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.（本小題滿分13分）在中，.再?gòu)臈l件①?條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（1）的值；（2）和面積的值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.17.（本小題滿分14分）如圖，在四面體中，平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求平面和平面夾角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18.（本小題滿分13分）為迎接2022年冬奧會(huì)，北京市組織中學(xué)生開(kāi)展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核.記表示學(xué)生的考核成績(jī)，并規(guī)定為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的考核成績(jī)，并作成如下莖葉圖：（1）從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核為優(yōu)秀的概率；（2）從圖中考核成績(jī)滿足的學(xué)生中任取3人，設(shè)表示這3人中成績(jī)滿足的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)時(shí)培訓(xùn)有效.請(qǐng)你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效，并說(shuō)明理由.19.（本小題滿分15分）已知橢圓的上?下頂點(diǎn)為，左?右焦點(diǎn)為，四邊形是面積為2的正方形.（1）求橢圓的方程；（2）已知圓的切線與橢圓相交于兩點(diǎn)，判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.20.（本小題滿分15分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的成立.21.（本小題滿分15分）已知無(wú)窮集合，且，記，定義：滿足時(shí)，則稱集合互為“完美加法補(bǔ)集”.（1）已知集合.判斷2019和2020是否屬于集合，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)集合.（i）求證：集合互為“完美加法補(bǔ)集”；（ii）記和分別表示集合中不大于的元素個(gè)數(shù)，寫(xiě)出滿足的元素的集合.（只需寫(xiě)出結(jié)果，不需要證明）北京市重點(diǎn)學(xué)校2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期開(kāi)學(xué)考高三數(shù)學(xué)試卷2024.02本試卷共4頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中選出符合題目要求的一項(xiàng).1.D2.A3.A4.B5.B6.A7.D8.B9.C10.C第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.12.13.14.15.①②④三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.解：因?yàn)?，所以，?又，所以，所以，或，得或.若選擇條件①：（1）因?yàn)?，所以不是最大角，得，所?（2）由正弦定理，可得.所以.因?yàn)椋?，所以，所以，所?若選擇條件②：（1）因?yàn)椋?，且，所以是最大角，得，所?（2）由正弦定理（或直接利用），及，可得，因?yàn)椋?，又，所?17.解：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，因?yàn)?，所以，所?又因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)槠矫?，所?（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫?又因?yàn)?，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)是平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面和平面夾角為，則，所以平面和平面夾角的余弦值為.（3）設(shè)點(diǎn)滿足，，則，.若直線與平面所成角的正弦值為，則，化簡(jiǎn)得，所以無(wú)解.所以在線段上不存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為.18.解：（1）設(shè)該名學(xué)生考核成績(jī)優(yōu)秀為事件，由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道，30名同學(xué)中，有7名同學(xué)考核優(yōu)秀所以所求概率約為（2）的所有可能取值為因?yàn)槌煽?jī)的學(xué)生共有8人，其中滿足的學(xué)生有5人所以隨機(jī)變量的分布列為0123（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，滿足的成績(jī)有16個(gè)所以所以可以認(rèn)為此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)有效.19.解：（1）已知得，則，則所求方程為：.（2）（i）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，因?yàn)橹本€與圓相切，故其中的一條切線方程為.代入橢圓方程可得，可得，則以為直徑的圓的方程為.（ii）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，因?yàn)橹本€與圓相切，所以其中的一條切線方程為.代入橢圓方程可得，可得，則以為直徑的圓的方程為.顯然以上兩圓都經(jīng)過(guò)點(diǎn).（iii）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為.代入橢圓方程消去，得，設(shè)，則.所以.所以①，因?yàn)橹本€和圓相切，所以圓心到直線的距離，整理，得②，將②代入①，得，顯然以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，綜上可知，以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).20.解：（1）因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，所以，而曲線在處的切線方程為化簡(jiǎn)得到（2）法一：因?yàn)?，令得?dāng)時(shí)，在區(qū)間的變化情況如下表：+0-0+極大值極小值所以在上的最小值為中較小的值，而，所以只需要證明因?yàn)椋栽O(shè)，其中所以令，得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間的變化情況如下表：-0+極小值所以在上的最小值為，而注意到，所以，問(wèn)題得證法二：因?yàn)椤皩?duì)任意的”等價(jià)于“對(duì)任意的”即“”，故只需證“”設(shè)所以設(shè)令，得當(dāng)時(shí)，在區(qū)間的變化情況如下表：1-0+極小值所以上的最小值為，而所以時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增所以而，所以，問(wèn)題得證法三：“對(duì)任意的”等價(jià)于“在上的最小值大于”因?yàn)?，令得?dāng)時(shí)，在在上的變化情況如下表：+0-0+極大值極小值所以在上的最小值為中較小的值，而，所以只需要證明因?yàn)?，所以注意到和，所以設(shè)，其中所以當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以而所以，問(wèn)題得證法四：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，設(shè)，其中所以所以的變化情況如下表：2-0+極小值所以在時(shí)