高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 立體幾何初步練習(xí) 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第九章立體幾何初步第49課平面的性質(zhì)與空間直線的位置關(guān)系A(chǔ)應(yīng)知應(yīng)會1.給出下列三個(gè)命題:①書桌面是平面;②有一個(gè)平面的長是50m,寬是20m;③平面是絕對的平、無厚度,可以無限延展的抽象數(shù)學(xué)概念.其中正確命題的個(gè)數(shù)為.

2.空間中,可以確定一個(gè)平面的條件是.(填序號)

①兩條直線;②一點(diǎn)和一條直線;③一個(gè)三角形;④三個(gè)點(diǎn).3.已知平面α與平面β,γ都相交,那么這三個(gè)平面的交線可能有條.

4.(2016·蘇州十中)已知α,β為平面,A,B,M,N為不同的點(diǎn),a為直線,下列推理錯誤的是.(填序號)

①A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?β;②M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MN;③A∈α,A∈β?α∩β=A;④A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共線?α,β重合.5.如圖,點(diǎn)P,Q,R分別在三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱上,且PQ∩BC=X,QR∩CD=Z,PR∩BD=Y,試探究X,Y,Z三點(diǎn)的關(guān)系,并說明理由.(第5題)6.在如圖所示的正方體ABCD-A'B'C'D'中,E是棱A'D'的中點(diǎn).(1)求異面直線AE和CC'所成角的正切值;(2)找出直線AE和BA'所成的角.(第6題)B鞏固提升1.若空間中有兩條直線,則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”的(從“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中選填一個(gè))條件.

2.已知l1,l2,l3是空間中三條不同的直線,給出下列四個(gè)命題:①l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3;②l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3;③l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面;④l1,l2,l3共點(diǎn)?l1,l2,l3共面.其中正確的命題是.(填序號)

(第3題)3.在如圖所示的正方體中,M,N分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AC和MN所成的角的大小為.

4.(2016·靖江中學(xué))在空間四邊形ABCD中,各邊長均為1.若BD=1,則AC的取值范圍是.

5.如圖,點(diǎn)P,Q,R分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,BB1,DD1上,試作出過P,Q,R三點(diǎn)的截面圖(第5題)6.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,對角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O,AC,BD交于點(diǎn)M,E為AB的中點(diǎn),F為AA1(1)求證:C1,O,M三點(diǎn)共線;(2)求證:E,C,D1,F四點(diǎn)共面.(第6題)第50課線面平行與面面平行A應(yīng)知應(yīng)會1.已知直線l,m,平面α,且m?α,那么“l(fā)∥m”是“l(fā)∥α”的(從“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中選填一個(gè))條件.

2.若直線l上有相異的三個(gè)點(diǎn)A,B,C到平面α的距離相等,則直線l與平面α的位置關(guān)系是.

3.在長方體的所有面中,互相平行的面共有對.

4.給出下列四個(gè)命題:①如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行,那么這兩個(gè)平面互相平行;②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行;③平行于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行;④垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行.其中為真命題的是.(填序號)

5.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分別為線段A1A,C1B的中點(diǎn),求證:EF(第5題)6.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中點(diǎn),E,F,G分別是BC,DC和SC的中點(diǎn),求證:平面EFG∥平面BDD1B1(第6題)B鞏固提升1.(2016·東莞二模)已知平面α,β和直線m,給出以下條件:①m∥α;②m⊥α;③m?α;④α⊥β;⑤α∥β.由這五個(gè)條件中的兩個(gè)同時(shí)成立能推導(dǎo)出m∥β的是.(填序號)

2.下列命題正確的是.(填序號)

①若直線a不在平面α內(nèi),則a∥α;②若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi),則l∥α;③若直線l與平面α平行,則l與α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn);④平行于同一平面的兩條直線可以相交.3.(2016·南京三模)已知α,β是兩個(gè)不重合的平面,l,m是兩條不同的直線,l⊥α,m?β.給出下列四個(gè)命題:①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③m∥α?l⊥β;④l⊥β?m∥α.其中正確的命題是.(填序號)

4.下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出直線AB∥平面MNP的圖形是.(填序號)

(第4題)5.(2016·合肥模擬改編)如圖,在四棱錐E-ABCD中,△ABD為正三角形.若AB⊥BC,M,N分別為線段AE,AB的中點(diǎn),求證:平面DMN∥平面BEC.(第5題)6.(2015·南通期末)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,CC1=4,M是棱CC1上的一點(diǎn),N是AB的中點(diǎn),且CN∥平面AB1M,求CM(第6題)第51課直線與平面、平面與平面的垂直A應(yīng)知應(yīng)會1.在一個(gè)平面內(nèi),和這個(gè)平面的一條斜線垂直的直線有條.

2.已知四邊形ABCD為梯形,AB∥CD,l為空間的一條直線,則“l(fā)垂直于兩腰AD,BC”是“l(fā)垂直于兩底AB,DC”的(從“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中選填一個(gè))條件.

3.已知m,n表示兩條不同的直線,α表示平面,下列說法正確的是.(填序號)

①若m∥α,n∥α,則m∥n;②若m⊥α,n?α,則m⊥n;③若m⊥α,m⊥n,則n∥α;④若m∥α,m⊥n,則n⊥α.4.已知兩條不同的直線a,b與三個(gè)不重合的平面α,β,γ,那么能使α⊥β的條件是.(填序號)

①α⊥γ,β⊥γ;②α∩β=a,b⊥a,b?β;③a∥β,a∥α;④a∥α,a⊥β.5.(2015·揚(yáng)州期末改編)如圖,在三棱錐P-ABC中,D為AB的中點(diǎn).若PA=PB,且銳角三角形PCD所在平面與平面ABC垂直,求證:AB⊥PC.(第5題)6.(2016·鹽城三模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2AD,PD⊥底面ABCD,E,F分別為棱AB,PC的中點(diǎn).(1)求證:EF∥平面PAD;(2)求證:平面PDE⊥平面PEC.(第6題)B鞏固提升1.(2015·泰州期末)若α,β是兩個(gè)相交平面,則下列命題正確的是.(填序號)

①若直線m⊥α,則在平面β內(nèi),一定不存在與直線m平行的直線;②若直線m⊥α,則在平面β內(nèi),一定存在無數(shù)條直線與直線m垂直;③若直線m?α,則在平面β內(nèi),不一定存在與直線m垂直的直線;④若直線m?α,則在平面β內(nèi),一定存在與直線m垂直的直線.2.(2016·貴陽檢測)如圖,在三棱錐P-ABC中,不能證明AP⊥BC的條件是.(填序號)

①AP⊥PB,AP⊥PC;②AP⊥PB,BC⊥PB;③平面BPC⊥平面APC,BC⊥PC;④AP⊥平面PBC.(第2題)3.已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn),且PA,PB,PC兩兩垂直,給出下列四個(gè)命題:①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB; ④AB⊥BC.其中正確命題的個(gè)數(shù)是.

4.(2016·濟(jì)南名校聯(lián)考)如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD,則在三棱錐A-BCD中,下面命題正確的是.(填序號)

①平面ABD⊥平面ABC;②平面ADC⊥平面BDC;③平面ABC⊥平面BDC;④平面ADC⊥平面ABC.(第4題)5.(2016·蘇州期末)如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),A1C1與B1D1(1)求證:A1,C1,F,E四點(diǎn)共面;(2)若底面ABCD是菱形,且OD⊥A1E,求證:OD⊥平面A1C1(第5題)6.(2016·蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形,PA⊥平面ABCD,M是AD的中點(diǎn),N是PC的中點(diǎn).(1)求證:MN∥平面PAB;(2)若平面PMC⊥平面PAD,求證:CM⊥AD.(第6題)第52課空間幾何體的表面積與體積A應(yīng)知應(yīng)會1.若兩個(gè)球的表面積之比為1∶4,則這兩個(gè)球的體積之比為.

2.若圓錐的底面半徑為1,高為2,則圓錐的側(cè)面積為.

3.(2015·南通、揚(yáng)州、淮安、連云港二調(diào))如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3cm,AD=2cm,AA1=1cm,則三棱錐B1-ABD1的體積為cm3(第3題)4.(2015·泰州二模)若圓柱的側(cè)面積和體積都是12π,則該圓柱的高為.

5.已知正四棱錐的底面是邊長為4cm的正方形,高與斜高的夾角為30°,求正四棱錐的側(cè)面積和表面積.6.(2016·福州質(zhì)檢)如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為菱形,且∠DAB=60°,EF∥AC,AD=2,EA=ED=EF=.(1)求證:AD⊥BE;(2)若BE=,求三棱錐F-BCD的體積.(第6題)B鞏固提升1.(2016·蘇州期末)將半徑為5的圓分割成面積之比為1∶2∶3的三個(gè)扇形作為三個(gè)圓錐的側(cè)面,若這三個(gè)圓錐的底面半徑依次為r1,r2,r3,則r1+r2+r3=.

(第2題)2.(2016·南京、鹽城、連云港、徐州二模)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=4,AA1=6.若E,F分別是棱BB1,CC1上的點(diǎn),則三棱錐A-A1EF的體積是3.(2016·揚(yáng)州中學(xué))有一根高為3πcm,底面半徑為1cm的圓柱形鐵管,用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈,并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端,則鐵絲的最短長度為cm.

4.有一個(gè)表面積為12π的圓柱,那么當(dāng)其體積最大時(shí),該圓柱的底面半徑與高的比為.

5.(2016·武漢模擬)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,一只螞蟻沿側(cè)面CC1D1D從點(diǎn)C出發(fā),經(jīng)過棱DD1上的一點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)A1,當(dāng)螞蟻所走的路徑最短時(shí)(1)求B1M(2)求證:B1M⊥平面(第5題)6.(2016·廣州模擬)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中點(diǎn),F是C1C(1)當(dāng)CF=2時(shí),求證:B1F⊥平面ADF(2)若FD⊥B1D,求三棱錐B1-ADF的體積.(第6題)第53課立體幾何綜合A應(yīng)知應(yīng)會1.四面體的四個(gè)面中最多可以有個(gè)直角三角形.

2.經(jīng)過平面外一點(diǎn)作與此平面垂直的平面,則這樣的平面可以作個(gè).

3.已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不重合的平面,下列命題正確的是.(填序號)

①若α⊥β,m?α,n?β,則m⊥n;②若α∥β,m?α,n?β,則m∥n;③若m⊥n,m?α,n?β,則α⊥β;④若m⊥α,m∥n,n∥β,則α⊥β.4.(2016·南昌調(diào)研)已知兩個(gè)不重合的平面α,β和兩條不同的直線m,n,下列四個(gè)命題不正確的是.(填序號)

①若m∥n,m⊥α,則n⊥α;②若m⊥α,m⊥β,則α∥β;③若m⊥α,m∥n,n?β,則α⊥β;④若m∥α,α∩β=n,則m∥n.5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD=CD=AB,AB∥DC,AD⊥CD,PC⊥平面ABCD.(1)求證:BC⊥平面PAC;(2)若M為線段PA的中點(diǎn),且過C,D,M三點(diǎn)的平面與PB交于點(diǎn)N,求PN∶PB的值.(第5題)6.如圖(1),在邊長為3的正三角形ABC中,E,F,P分別為AB,AC,BC上的一點(diǎn),且滿足AE=FC=CP=1.將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使平面A1EF⊥平面EFCB,連接A1B,A1P,如圖(2)所示.(1)若Q為A1B的中點(diǎn),求證:PQ∥平面A1EF;(2)求證:A1E⊥EP.圖(1)圖(2)(第6題)B鞏固提升1.在正四面體ABCD中,E是AB的中點(diǎn),那么異面直線CE與BD所成角的余弦值為.

(第2題)2.如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,BC1⊥AC,則點(diǎn)C1在底面ABC上的射影H必在直線上3.(2016·蘇州園區(qū)調(diào)研)已知△ABC為等腰直角三角形,斜邊BC上的中線AD=2.若將△ABC沿AD折成60°的二面角,連接BC,則三棱錐C-ABD的體積為.

(第4題)4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1①直線D1C∥平面A1ABB1②直線A1D1與平面BCD1相交;③直線AD⊥平面D1DB;④平面BCD1⊥平面A1ABB1.其中正確的結(jié)論是.(填序號)

5.如圖,在三棱錐A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分別是AC,AD上的動點(diǎn),且==λ(0<λ<1).(1)求證:不論λ為何值時(shí),總有平面BEF⊥平面ABC;(2)當(dāng)λ為何值時(shí),平面BEF⊥平面ACD?(第5題)6.(2016·西安調(diào)研)如圖(1),在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到圖(2)中△A1BE的位置,得到四棱錐A1-BCDE.(1)求證:CD⊥平面A1OC;(2)當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時(shí),四棱錐A1-BCDE的體積為36,求a的值.圖(1)圖(2)(第6題)

第九章立體幾何初步第49課平面的性質(zhì)與空間直線的位置關(guān)系A(chǔ)應(yīng)知應(yīng)會1.12.③3.1,2或34.③【解析】因?yàn)锳∈α,A∈β,所以A∈α∩β.由公理知α∩β為經(jīng)過A的一條直線而不是一個(gè)點(diǎn)A,故③錯誤.5.【解答】因?yàn)镻,Q,R三點(diǎn)不共線,所以P,Q,R三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面α.因?yàn)閄∈PQ,PQ?α,所以X∈α.又X∈BC,BC?平面BCD,所以X∈平面BCD,所以X是平面α和平面BCD的公共點(diǎn).同理可證Y,Z也是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),所以點(diǎn)X,Y,Z都在平面α與平面BCD的交線上.故點(diǎn)X,Y,Z共線.6.【解答】(1)因?yàn)锳A'∥BB'∥CC',故AE和AA'所成的銳角∠A'AE就是AE和CC'所成的角.在Rt△AA'E中,tan∠A'AE==,所以AE和CC'所成角的正切值是.(2)如圖,取B'C'的中點(diǎn)F,連接EF,BF,則有EFA'B'AB,所以四邊形ABFE是平行四邊形,從而BF∥AE且BF=AE,所以BF與BA'所成的銳角∠A'BF就是AE和BA'所成的角.(第6題)B鞏固提升1.充分不必要【解析】若兩條直線無公共點(diǎn),則這兩條直線可能異面,也可能平行.若兩條直線是異面直線,則這兩條直線必?zé)o公共點(diǎn).2.②【解析】在空間中,垂直于同一條直線的兩條直線不一定平行,故①錯誤;兩條平行線中的一條垂直于第三條直線,則另一條也垂直于第三條直線,故②正確;相互平行的三條直線不一定共面,如三棱柱的三條側(cè)棱,故③錯誤;共點(diǎn)的三條直線不一定共面,如三棱錐的三條側(cè)棱,故④錯誤.3.60°【解析】構(gòu)造△ACD1,然后再借助長度關(guān)系求∠CAD1的大小.4.(0,)【解析】如圖,△ABD與△BCD均為邊長是1的正三角形,當(dāng)△ABD與△CBD重合時(shí),AC=0;將△ABD以BD為軸進(jìn)行轉(zhuǎn)動,當(dāng)A,B,C,D四點(diǎn)共面時(shí),AC=.故AC的取值范圍是(0,).(第4題)5.【解答】作法:(1)連接PQ并延長,交A1B1的延長線于點(diǎn)T;(2)連接PR并延長,交A1D1的延長線于點(diǎn)S;(第5題)(3)連接ST,分別交C1D1,B1C1于點(diǎn)M,N,則線段MN為平面PQR與平面A1B1C1D(4)連接RM,QN,則線段RM,QN分別是平面PQR與平面DCC1D1,平面BCC1B1的交線.因此,五邊形PQNMR即為所求的截面,如圖所示.6.【解答】(1)因?yàn)镃1,O,M∈平面BDC1,且C1,O,M∈平面A1ACC1,由公理2知,點(diǎn)C1,O,M在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上,所以C1,O,M三點(diǎn)共線.(2)連接A1B,CD1,EF.因?yàn)镋,F分別是AB,A1A所以EF∥A1B.因?yàn)锳1B∥CD1,所以EF∥CD1,所以E,C,D1,F四點(diǎn)共面.第50課線面平行與面面平行A應(yīng)知應(yīng)會1.既不充分也不必要【解析】由l∥m可知l∥α或l?α;若l∥α且m?α,則l∥m或l與m異面.2.l∥α或l?α【解析】由于l上有三個(gè)相異點(diǎn)到平面α的距離相等,則l∥α或l?α.3.34.④5.【解答】如圖,取BC的中點(diǎn)G,連接AG,FG.因?yàn)镕為C1B的中點(diǎn),所以FG∥C1C且FG=C1在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1AC1C,且E為所以FGEA,所以四邊形AEFG是平行四邊形,所以EF∥AG.因?yàn)镋F?平面ABC,AG?平面ABC,所以EF∥平面ABC.(第5題)6.【解答】如圖,連接SB,SD.因?yàn)镕,G分別是DC,SC的中點(diǎn),所以FG∥SD.又因?yàn)镾D?平面BDD1B1,FG?平面BDD1B1,所以FG∥平面BDD1B1.同理可證EG∥平面BDD1B1.又因?yàn)镋G?平面EFG,FG?平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面BDD1B1.(第6題)B鞏固提升1.③⑤【解析】由③m?α與⑤α∥β及面面平行的性質(zhì)定理可知m∥β.2.③④【解析】當(dāng)a∩α=A時(shí),a?α,故①錯誤;直線l與α相交時(shí),l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在α內(nèi),故②錯誤;l∥α,l與α無公共點(diǎn),所以l與α內(nèi)任意一條直線都無公共點(diǎn),故③正確;長方體中A1C1與B1D1都與平面ABCD平行,故④正確3.①④【解析】①由l⊥α,α∥β,得l⊥β.又因?yàn)閙?β,所以l⊥m.②由l⊥α,α⊥β,得l∥β或l?β.又因?yàn)閙?β,所以l與m的位置關(guān)系不確定.③由l⊥α,m∥α,得l⊥m.因?yàn)閘只垂直于β內(nèi)的一條直線m,所以不能確定l是否垂直于β.④由l⊥α,l⊥β,得α∥β.又因?yàn)閙?β,所以m∥α.4.①③【解析】對于①,該正方體經(jīng)過直線AB的側(cè)面與平面MNP平行,因此直線AB∥平面MNP;對于②,直線AB和過點(diǎn)A的一個(gè)與平面MNP平行的平面相交,因此直線AB與平面MNP相交;對于③,直線AB與MP平行,且直線AB位于平面MNP外,因此直線AB與平面MNP平行;對于④,易知AB與平面MNP相交.5.【解答】因?yàn)镹是AB的中點(diǎn),△ABD為正三角形,所以DN⊥AB.因?yàn)锽C⊥AB,所以DN∥BC.因?yàn)锽C?平面BCE,DN?平面BCE,所以DN∥平面BCE.因?yàn)镸為AE的中點(diǎn),N為AB的中點(diǎn),所以MN∥BE.因?yàn)镸N?平面BCE,BE?平面BCE,所以MN∥平面BCE.因?yàn)镸N∩DN=N,所以平面MND∥平面BCE.6.【解答】方法一:如圖(1),取AB1的中點(diǎn)P,連接NP,PM.(第6題(1))因?yàn)镹是AB的中點(diǎn),所以NP∥BB1.因?yàn)镃M∥BB1,所以NP∥CM,所以NP與CM共面.因?yàn)镃N∥平面AB1M,平面CNPM∩平面AB1M=MP,所以CN∥所以四邊形CNPM為平行四邊形,所以CM=NP=BB1=CC1=2.方法二:如圖(2),設(shè)NC與CC1確定的平面交AB1于點(diǎn)P,連接NP,PM.(第6題(2))因?yàn)镃N∥平面AB1M,CN?平面CNPM,平面AB1M∩平面所以CN∥MP.因?yàn)锽B1∥CM,BB1?平面CNPM,CM?平面CNPM,所以BB1∥平面CNPM.又BB1?平面ABB1,平面ABB1∩平面CNPM=NP,所以BB1∥NP,所以CM∥NP,所以四邊形CNPM為平行四邊形.因?yàn)镹是AB的中點(diǎn),所以CM=NP=BB1=CC1=2.第51課直線與平面、平面與平面的垂直A應(yīng)知應(yīng)會1.無數(shù)2.充分不必要3.②【解析】①中m,n可以平行、相交或異面;③中n∥α或n?α;④中直線n與平面α的位置關(guān)系不確定;只有②正確.4.④【解析】由面面垂直的定義及判定定理可得.5.【解答】因?yàn)镻A=PB,D為AB的中點(diǎn),所以AB⊥PD.如圖,在銳角三角形PCD所在平面內(nèi)過點(diǎn)P作PO⊥CD于點(diǎn)O.因?yàn)槠矫鍼CD⊥平面ABC,平面PCD∩平面ABC=CD,所以PO⊥平面ABC.因?yàn)锳B?平面ABC,所以PO⊥AB.又PO∩PD=P,PO,PD?平面PCD,所以AB⊥平面PCD.又PC?平面PCD,所以AB⊥PC.(第5題)6.【解答】(1)如圖(1),取PD的中點(diǎn)G,連接AG,FG.因?yàn)镕,G分別是PC,PD的中點(diǎn),所以GF∥DC,且GF=DC.又E是AB的中點(diǎn),所以AE∥DC,且AE=DC,所以GF∥AE,且GF=AE,所以四邊形AEFG是平行四邊形,故EF∥AG.又EF?平面PAD,AG?平面PAD,所以EF∥平面PAD.(第6題(1))(2)如圖(2),因?yàn)镻D⊥底面ABCD,EC?底面ABCD,所以CE⊥PD.取DC的中點(diǎn)H,連接EH.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,且AB=2AD,所以四邊形ADHE和四邊形BCHE都是正方形,所以∠DEH=∠CEH=45°,所以CE⊥DE.又PD,DE?平面PDE,PD∩DE=D,所以CE⊥平面PDE.因?yàn)镃E?平面PEC,所以平面PDE⊥平面PEC.(第6題(2))B鞏固提升1.②④【解析】對于①,若兩個(gè)平面互相垂直,顯然在平面β內(nèi)存在與直線m平行的直線,故①不正確;對于②,m⊥α,m一定與兩個(gè)平面的交線垂直,所以在平面β內(nèi),存在無數(shù)條直線與m垂直,故②正確;對于④,若m與兩個(gè)平面的交線平行或m為交線,顯然存在,若m與交線相交,設(shè)交點(diǎn)為A,在直線m上任取一點(diǎn)B(異于點(diǎn)A),過點(diǎn)B向平面β引垂線,垂足為C,則直線BC⊥平面β,在平面β內(nèi)作直線l垂直于AC,可以證明l⊥平面ABC,則l⊥m,故④正確,③不正確.2.②【解析】對于①,由AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P,可得AP⊥平面PBC,由線面垂直的性質(zhì)得AP⊥BC;對于③,由面面垂直的性質(zhì)定理知AP⊥BC;對于④,由線面垂直的性質(zhì)得AP⊥BC.故選②.3.3【解析】如圖,因?yàn)镻A⊥PC,PA⊥PB,PC∩PB=P,所以PA⊥平面PBC.又因?yàn)锽C?平面PBC,所以PA⊥BC.同理PB⊥AC,PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.(第3題)4.④【解析】在平面圖形中CD⊥BD,折起后仍有CD⊥BD.因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,CD?平面BCD,故CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB.又AB⊥AD,CD∩AD=D,故AB⊥平面ADC.因?yàn)锳B?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.故④正確.5.【解答】(1)連接AC.因?yàn)镋,F分別是AB,BC的中點(diǎn),所以EF∥AC.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四邊形A1ACC1是矩形,所以AC∥A1C1,所以EF∥A1C1,所以EF與A故A1,C1,F,E四點(diǎn)共面.(2)若底面ABCD是菱形,則底面A1B1C1D1也是菱形,得A1C1⊥OD在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1由D1D⊥底面A1B1C1D1,得D1D⊥A1C因?yàn)镺D1∩D1D=D1,OD1,D1D?平面ODD1,所以A1C1⊥平面ODD1因?yàn)镺D?平面ODD1,所以O(shè)D⊥A1C1又因?yàn)镺D⊥A1E,A1E∩A1C1=A1,A1E,A1C1?平面A1C所以O(shè)D⊥平面A1C16.【解答】(1)如圖(1),取PB的中點(diǎn)E,連接AE,NE.因?yàn)镋,N分別是PB,PC的中點(diǎn),所以EN∥BC且EN=BC.因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形,M是AD的中點(diǎn),所以AM∥BC且AM=BC,所以EN∥AM且EN=AM,所以四邊形AMNE是平行四邊形,所以MN∥AE.因?yàn)镸N?平面PAB,AE?平面PAB,所以MN∥平面PAB.(第6題(1))(2)如圖(2),在平面PAD內(nèi),過點(diǎn)A作AH⊥PM,垂足為H.因?yàn)槠矫鍼MC⊥平面PAD,平面PMC∩平面PAD=PM,又因?yàn)锳H?平面PAD,AH⊥PM,所以AH⊥平面PMC,從而AH⊥CM.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,CM?平面ABCD,所以PA⊥CM.因?yàn)镻A∩AH=A,PA,AH?平面PAD,所以CM⊥平面PAD,因?yàn)锳D?平面PAD,所以CM⊥AD.(第6題(2))第52課空間幾何體的表面積與體積A應(yīng)知應(yīng)會1.1∶8【解析】由S1∶S2=1∶4,得r1∶r2=1∶2,則V1∶V2=1∶8.2.π【解析】先求得圓錐的母線長為,再結(jié)合側(cè)面積公式求得側(cè)面積為π.3.1【解析】三棱錐B1-ABD1的體積==·A1D1=××3×1×2=1.4.3【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,則解得所以該圓柱的高為3.5.【解答】如圖,正四棱錐的高PO,斜高PE,底面邊心距OE組成Rt△POE,又OE=2cm,∠OPE=30°,所以PE==4cm,因此,S側(cè)=ch'=×4×4×4=32(cm2),S表面積=S側(cè)+S底=32+16=48(cm2).(第5題)6.【解答】(1)如圖,取AD的中點(diǎn)O,連接EO,BO.因?yàn)镋A=ED,所以EO⊥AD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以AB=AD.又∠DAB=60°,所以△ABD為等邊三角形,所以BA=BD,所以BO⊥AD.因?yàn)锽O∩EO=O,BO?平面BEO,EO?平面BEO,所以AD⊥平面BEO.因?yàn)锽E?平面BEO,所以AD⊥BE.(第6題)(2)方法一:在△EAD中,EA=ED=,AD=2,所以EO==.因?yàn)椤鰽BD為等邊三角形,所以AB=BD=AD=2,所以BO=.又BE=,所以EO2+OB2=BE2,所以EO⊥OB.因?yàn)锳D∩OB=O,AD?平面ABCD,BO?平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD.又S△ABD=·AD·OB=×2×=,所以S△BCD=S△ABD=.又因?yàn)镋F∥AC,所以==S△BCD·EO=××=.方法二:在△EAD中,EA=ED=,AD=2,所以EO==.因?yàn)椤鰽BD為等邊三角形,所以AB=BD=AD=2,所以BO=.又BE=,所以EO2+OB2=BE2,所以EO⊥OB,所以S△EOB=·EO·OB=××=.又S△BCD=S△ABD,EF∥AC,AD⊥平面EOB,所以===S△EOB·AD=××2=.B鞏固提升1.5【解析】半徑為5的圓的周長是10π,由題意知2πr1+2πr2+2πr3=10π,所以r1+r2+r3=5.2.8【解析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.在正三角形ABC中,AB=4,則CD=2.因?yàn)镃C1∥平面A1ABB1,則點(diǎn)F到平面A1ABB1的距離為2,所以==×2××4×6=8.3.5π【解析】如圖,把圓柱側(cè)面及纏繞在它上面的鐵絲展開,在平面上得到矩形ABCD.由題意知BC=3πcm,AB=4πcm,點(diǎn)A與點(diǎn)C分別是鐵絲的起、止位置,故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度.易知AC==5πcm,故鐵絲的最短長度為5πcm.(第3題)4.【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h.因?yàn)镾表=2πr2+2πrh=12π,所以r2+rh=6,即h=,故V=πr2h=πr2·=πr(6-r2)(0<r<).又因?yàn)閔>0,所以0<r<.令f(r)=πr(6-r2),所以f'(r)=π(6-3r2).令f'(r)=π(6-3r2)=0,解得r=.當(dāng)r∈(0,)時(shí),f'(r)>0;當(dāng)r∈(,)時(shí),f'(r)<0.所以f(r)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,)上單調(diào)遞減,故Vmax=f(r)max=f(),此時(shí)r=,h=2,故=.5.【解答】(1)將側(cè)面CC1D1D沿D1D展開,連接A1C交D1D于點(diǎn)M,此時(shí)M為D1D的中點(diǎn),且螞蟻所走的路徑最短因?yàn)锳1B1=A1D1=1,D1D=2,則B1D1==,D1M=D1D=所以B1M(2)因?yàn)镃M2=CD2+DM2=2,B1C2=BC2+B=5,AM2=AD2+DM2=2,B1A2=B+AB2=5,所以B1M2+CM2=B1C2=5,B1M2所以B1M⊥MC,B1M又AM∩CM=M,所以B1M⊥平面6.【解答】(1)因?yàn)锳B=AC,D是BC的中點(diǎn),所以AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1因?yàn)锽1B⊥底面ABC,AD?底面ABC,所以AD⊥B1B.又BC∩B1B=B,所以AD⊥平面B1BCC1.因?yàn)锽1F?平面B1BCC1所以AD⊥B1F在矩形B1BCC1中,C1F=CD=1,B1C1=CF=2,所以Rt△DCF≌Rt△FC1B所以∠CFD=∠C1B1F所以∠CFD+∠C1FB1=∠C1B1F+∠C1FB1=所以∠B1FD=90°,所以B1F⊥因?yàn)锳D∩FD=D,所以B1F⊥平面(2)因?yàn)锳D⊥平面B1DF,AD=2.因?yàn)镈是BC的中點(diǎn),所以CD=1.在Rt△B1BD中,BD=CD=1,BB1=3,所以B1D==.因?yàn)镕D⊥B1D,所以Rt△CDF∽Rt△BB1D,所以=,所以DF=×=,所以==·AD=××××2=.第53課立體幾何綜合A應(yīng)知應(yīng)會1.4【解析】如圖,SA⊥平面ABC,△ABC為直角三角形,且∠ABC=90°,則BC⊥平面SAB,從而BC⊥SB,所以△SAB,△SAC,△ABC,△SBC都是直角三角形.(第1題)2.無數(shù)【解析】經(jīng)過平面外一點(diǎn)作與此平面垂直的直線有且僅有一條,但過此直線的平面都與已知平面垂直,從而有無數(shù)個(gè).3.④4.④【解析】兩條平行線中的一條垂直于某一平面,則另一條也垂直于該平面,故①正確;垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行,故②正確;若m⊥α,m∥n,則n⊥α,又n?β,所以α⊥β,故③正確;當(dāng)m∥α,α∩β=n時(shí),m,n也可能為異面直線,故④錯誤.5.【解答】(1)設(shè)AD=1.因?yàn)锳D=CD=AB,所以CD=1,AB=2.因?yàn)椤螦DC=90°,所以AC=,∠CAB=45°.在△ABC中,由余弦定理得BC=,所以AC2+BC2=AB2,所以BC⊥AC.因?yàn)镻C⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以BC⊥PC.因?yàn)镻C?平面PAC,AC?平面PAC,PC∩AC=C,所以BC⊥平面PAC.(2)如圖,因?yàn)锳B∥DC,CD?平面CDMN,AB?平面CDMN,所以AB∥平面CDMN.(第5題)因?yàn)锳B?平面PAB,平面PAB∩平面CDMN=MN,所以AB∥MN.在△PAB中,因?yàn)镸為線段PA的中點(diǎn),所以N為線段PB的中點(diǎn),即PN∶PB的值為.6.【解答】(1)如圖(1),取A1E的中點(diǎn)M,連接QM,MF.在△A1BE中,Q,M分別為A1B,A1E的中點(diǎn),所以QM∥BE且QM=BE.因?yàn)?=,所以PF∥BE且PF=BE,所以QM∥PF且QM=PF,所以四