第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

第4章正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

4.1正弦量及其描述

4.2正弦電路中的三種基本無(wú)元件

4.3電路定律的相量形式及阻抗、導(dǎo)納

4.4正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

4.6諧振電路

4.7三相電路

正弦信號(hào)激勵(lì)下，處于穩(wěn)定工作狀態(tài)的電路稱為正弦穩(wěn)態(tài)電路，這時(shí)電路的響應(yīng)稱為正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。本章討論線性時(shí)不變電路在正弦信號(hào)激勵(lì)下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的分析和計(jì)算。

正弦穩(wěn)態(tài)電路廣泛應(yīng)用于電力、通信系統(tǒng)；用于電子產(chǎn)品的能測(cè)量；是復(fù)雜信號(hào)穩(wěn)態(tài)電路的分析基礎(chǔ)。因此正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析在電工技術(shù)領(lǐng)域占用十分重要的地位，是本課程的重點(diǎn)內(nèi)容之一。

本章重點(diǎn)：正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法、正弦穩(wěn)態(tài)電路的特點(diǎn)。4.1正弦量及其描述

4.1.1正弦量的時(shí)域表示

1.正弦量的波形

2.正弦量的函數(shù)形式及其三要素函數(shù)形式：i=Imcos(ωt

+Ψi)

振幅：Im

頻率：ω=2πf

初相位：Ψi

3.正弦量的周期和頻率i(t)

t20Im-ImΨi正弦量：隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的電量，如電流和電壓等。圖4-1正弦波圖4-2一段正弦交流電路i+-uI+-U

4.正弦量的有效值

若周期電流i通過(guò)電阻R做功的平均效果與直流電流I通過(guò)同一電阻在相同時(shí)間內(nèi)所做的功相等，則該直流量值

I就為周期電流i的有效值。iu或

若

i=Imcos(ωt

+Ψi),則可得正弦電流的有效值為此時(shí)i可寫為同理5.同頻率正弦量的相位差

在同一個(gè)線性的正弦交流電路中，各部分電流和電壓的頻率都相同，只是幅值和初相位不一定相同。如圖4-2所示的一段正弦交流電路中，若已知電流為可設(shè)電壓為則電壓與電流之間的相位差為

可見(jiàn)，兩個(gè)同頻率正弦量的相位差等于他們的初相圖4-2一段正弦交流電路i+-u差，與角頻率ω、時(shí)間t無(wú)關(guān)。一般取≤π。若＞0，則u超前i一個(gè)相角，如圖4-3(a)所示；若=0，則u與i同相，如圖4-3(b)所示；若

,則u與i正交，如圖4-3(c)所示；若=π，則u與i反相，如圖4-3(d)所示；ΨiΨu

t0uiΨu=Ψi

t0ui

t0ui

t0ui(a)(b)(c)(d)圖4-3同頻率正弦量的相位差

4.1.2正弦量的頻域（相量）表示

1.復(fù)數(shù)①?gòu)?fù)數(shù)的幾種形式代數(shù)形式：A=a+jb三角形式：A=ρ(cosθ+jsinθ

)指數(shù)形式：②復(fù)數(shù)的運(yùn)算加、減運(yùn)算：設(shè)A=a1+jb1，B=a2+jb2,則

A±B=(a1±a2)+j(b1±b2)極坐標(biāo)形式：+1+j0abAθ圖4-4復(fù)數(shù)的表示乘、除運(yùn)算：復(fù)數(shù)的相等：若為代數(shù)形式，則當(dāng)兩復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部分別相等時(shí)，該兩復(fù)數(shù)相等；若為三角、極坐標(biāo)和指數(shù)形式，則當(dāng)它們的模相等，輻角相等時(shí)，該兩復(fù)數(shù)相等。因其輻角ωt隨時(shí)間t增大而增大，此復(fù)數(shù)矢量在復(fù)平面上以角速度ω逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，而模值始終為1不變，故稱為旋轉(zhuǎn)因子。是一個(gè)模為1，輻角為ωt

的復(fù)。數(shù)旋轉(zhuǎn)因子：+1+j0ωt1+1+j0A+1+j0Aωt(a)(b)(c)圖4-5旋轉(zhuǎn)因子

2.正弦量的相量表示及其運(yùn)算

①正弦量與復(fù)指數(shù)的關(guān)系歐拉公式：上式兩邊同乘以Im，并令θ=ωt+Ψi

得顯然，上式的實(shí)部恰好是正線電流i(t)，即可見(jiàn)，正弦量能夠用復(fù)指數(shù)表示。而復(fù)指數(shù)可以用復(fù)平面上的向量來(lái)表示(如圖4-6所示)。

t0ImΨi

t1+1+j

t1Ψi(t=0)(t=t1)

0圖4-6正弦量的旋轉(zhuǎn)向量表示(a)(b)②正弦量的相量表示有效值相量最大值相量正弦量i的相量表示③相量圖

用有向線段在復(fù)平面上表示相量的圖形，稱為相量圖。在相量圖上可以直觀地看出各同頻率正弦量的大小和相互間的相位關(guān)系。④同頻率正弦量的相量運(yùn)算+1+j0ΨiΨu圖4-7相量圖微、積分運(yùn)算：加減運(yùn)算:設(shè)則即的相量為類似地，的相量為⑤相量分析法

相量分析法實(shí)際上是一種數(shù)學(xué)變換的方法，即先將正弦量轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的相量，經(jīng)復(fù)數(shù)運(yùn)算得出結(jié)論后，最后再將相量轉(zhuǎn)換為正弦量。例4-1

已知求i=i1+i2。作業(yè)：P122,4.2、4.4、4.5。4.2正弦電路中的三種基本無(wú)源元件4.2.1電阻元件設(shè)一個(gè)二端元件的端電壓u和流過(guò)的電流i分別為時(shí)域

電阻元件VAR的時(shí)域形式，即歐姆定律為

電壓與電流大小關(guān)系

U=RI相位關(guān)系頻域或其中+1+j0Ψu=ΨiΨu=Ψi

t0uRiRuR(iR)(a)電阻(b)波形圖(c)相量模型(d)相量圖圖4-8、圖4-94.2.2電感元件時(shí)域電壓與電流大小關(guān)系相位關(guān)系頻域電感端電壓有效值等于XL(=ωL)與電流有效值的乘積，且在相位上電壓超前電流90°。uL(iL)

t0iLuLΨi+1+j0(a)電感(b)波形圖(c)相量模型(d)相量圖圖4-10、圖4-114.2.3電容元件時(shí)域電壓與電流大小關(guān)系相位關(guān)系頻域或即

電容電壓有效值等于XC=1／ωC與電流有效值的乘積，且在相位上電流超前電壓90°，或電壓滯后電流90°。Ψu+1+j0

t0uC(iC)iCuC(a)電容(b)波形圖(c)相量模型(d)相量圖圖4-10、圖4-114.3電路定律的相量形式及阻抗、導(dǎo)納4.3.1基爾霍夫定律的相量形式1.KCL的相量形式2.KVL的相量形式4.3.2阻抗、導(dǎo)納及其等效變換1.歐姆定律的相量形式①阻抗的定義

對(duì)于線性無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)N0，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，定義其復(fù)阻抗為(a)(b)(c)圖4-16一端口網(wǎng)絡(luò)的復(fù)阻抗②歐姆定律的相量形式③阻抗三角形圖4-17阻抗三角形其中阻抗模阻抗角電阻電抗④RLC串聯(lián)電路的阻抗(a)(b)圖4-18R、L、C串聯(lián)電路根據(jù)R、L、C三種元件伏安關(guān)系的相量形式，可知ZR=RZL=jXL=jωLR、L、C串聯(lián)成二端網(wǎng)絡(luò)，如圖4-18(a)、(b)所示，則

例4-4

已知RLC串聯(lián)電路如圖4-18(a)所示，其中R=15Ω，L=12mH，C=5μF，端電壓試求電路中的電流i和各元件上電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式，并畫出電路的相量圖。圖4-18R、L、C串聯(lián)電路

解：用向量法求解。已知電壓的相量為電感的感抗為

XL=ωL=5×10-3×12×10-3=60(Ω)電容的容抗為電路的總阻抗為

Z=R+j(XL-XC)=15+j(60-40)=(15+j20)Ω=25∠53.1°(Ω)電流相量及各元件上的電壓相量分別為+1+j023.1°各電量的瞬時(shí)表達(dá)式分別為圖4-19例4-4相量圖作業(yè)：P122~123,4.6(b)、4.7、4.9(a)。

課外：4.8、4.10。2.導(dǎo)納及其與阻抗的等效變換①導(dǎo)納的定義

對(duì)于線性無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)N0，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，定義其復(fù)導(dǎo)納為(a)(b)圖4-20復(fù)導(dǎo)納圖4-21導(dǎo)納三角形導(dǎo)納三角形導(dǎo)納模導(dǎo)納角電導(dǎo)電納②RLC并聯(lián)電路的復(fù)導(dǎo)納由定義可知，單個(gè)電阻、電感和電容元件的復(fù)導(dǎo)納分別為說(shuō)明：當(dāng)B＞0時(shí)，電流相位超前電壓相位，網(wǎng)絡(luò)呈容性；當(dāng)B＜0時(shí)，電流相位滯后電壓相位，網(wǎng)絡(luò)呈感性。圖4-22RLC并聯(lián)電路③阻抗與導(dǎo)納的等效變換同一線性無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)的電氣特性既可以用復(fù)阻抗Z表示，也可以用復(fù)導(dǎo)納Y表示。因此，兩者之間應(yīng)可相互轉(zhuǎn)換。它們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為或圖4-23Z、Y等效變換若已知某線性無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)的復(fù)阻抗為Z=R+jX(如圖4-23)，則(a)(b)圖4-23(b)即若已知Y=G+jB，則復(fù)阻抗即注意：一般情況下，R≠1/G(除非B=0)；X≠-1/B(除非B=0)。此外，同一網(wǎng)絡(luò)的阻抗三角形和導(dǎo)納三角形相似。

3.阻抗(導(dǎo)納)的串聯(lián)和并聯(lián)①阻抗串聯(lián)n個(gè)阻抗串聯(lián)，其等效阻抗為各阻抗的分壓為(k=1,2,…n)②導(dǎo)納并聯(lián)n個(gè)阻抗串聯(lián)，其等效阻抗為各導(dǎo)納的分流為(k=1,2,…n)說(shuō)明：若為兩阻抗并聯(lián)分流，則與電阻并聯(lián)分流情況類似。

例4-5

如圖4-25所示的電路中，已知三個(gè)電壓表的度數(shù)分別為U=112V、U1=80V、U2=40V，R1=25Ω，電源頻率f=50Hz。試求R與L的值。圖4-25例4-5電路圖解：其中

ω

=2πf=100πrad/s聯(lián)立求解得，R=8.875Ω，L=28.02mH。L=0.1H，R=100Ω，C=0.5μF。求支路電流i1、i2和電壓u2

。例4-6

圖4-26(a)所示的電路中，已知(a)(b)圖4-26例4-6電路圖解：畫出相量模型如圖4-26(b)所示，則RC并聯(lián)電路的等效阻抗為總阻抗為各所求相量為支路電流i1、i2和電壓u2的瞬時(shí)表達(dá)式為例4-7

電路如圖4-27所示，已知，R1=5Ω,R2=2Ω，C=0.025μF。ω=100rad/s。求支路電流和

。圖4-27例4-7電路圖解：由給定參數(shù)可求得支路1和支路2的阻抗分別為5.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析節(jié)點(diǎn)法4.4.1方程法網(wǎng)孔法支路法

例4-8

電路如圖4-28(a)所示，已知us=6cos3000tV，其它參數(shù)如圖4-28所示，試用網(wǎng)孔分析法求電流i1和i2。(a)(b)圖4-28例4-8電路圖例4-9

電路如圖4-29所示，已知R1=1Ω，R2=R3=2Ω，-jXC=-jΩ。求電流。圖4-29例4-9電路圖4.4.2等效法

一般對(duì)電路的局部問(wèn)題求解，選用等效法較簡(jiǎn)單。常見(jiàn)的電路等效有阻抗的串、并聯(lián)等效、電源互換等效、戴維寧等效及諾頓等效、等效替換等。例BC5-1試求圖示正弦穩(wěn)態(tài)電路相量模型電路中的電壓圖BC5-1例BC5-1電路圖作業(yè)：P124~125,4.11、4.12、4.13、4.18。

4.4.3相量圖法

在正弦穩(wěn)態(tài)分析時(shí)，有時(shí)借助相量圖，可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)單明了。畫相量圖分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時(shí)，習(xí)慣選一個(gè)參考相量，參考相量的輻角為0°。

例4-11

電路如圖4-31(a)所示，其中：R=2000Ω,f=400Hz,要使與相位差45°。試求電感L的數(shù)值。圖4-31例4-11的電路圖及相量圖(a)(b)45°

例4-12

用相量圖法例4-5。

（例4-5

如圖4-25所示的電路中，已知三個(gè)電壓表的度數(shù)分別為U=112V、U1=80V、U2=40V，R1=25Ω，電源頻率f=50Hz。試求R與L的值。）圖4-25例4-5電路圖112V40V80V圖4-32例4-5電路的相量圖30V

例4-13

圖4-33(a)所示的電路中，已知is(t)為正弦電流源，其頻率ω=1000rad/s，調(diào)節(jié)電容C=1μF，is(t)與其端電壓u(t)同相。此時(shí)，電壓表V1的讀數(shù)為30V，V2的讀數(shù)為40V。求R與L的值。圖4-33例4-13電路圖θ40V圖4-34例4-13電路的相量圖4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率4.5.1功率

1.任意二端網(wǎng)絡(luò)的瞬時(shí)功率p無(wú)源網(wǎng)絡(luò)+ui_第一種分解方法；第二種分解方法。

2.平均功率與功率因數(shù)

定義：瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值為平均功率（有功功率）。

=

u-

i：功率因數(shù)角。對(duì)無(wú)源網(wǎng)絡(luò)，為其等效阻抗的阻抗角。λ=cos

：功率因數(shù)。P的單位：W（瓦）

3.視在功率電氣設(shè)備的容量S=UI單位：V?A（伏安）

4.無(wú)功功率

Q單位：var(乏)。

Q=UIsin與外電路的能量交換情況

5.功率三角形圖4-36功率三角形

6.復(fù)功率單位：V?A（伏安）將有功、無(wú)功、視在功率聯(lián)系起來(lái)復(fù)功率的模等于視在功率對(duì)于一個(gè)完整電路，復(fù)功率具有守恒性。因此有即上式表明，完整電路中，有功功率和無(wú)功功率分別具有守恒性。但一般情況下，視在功率并不具有守恒性。例4-15

電路如圖4-39所示，已知，R1=2Ω，R2=3Ω

，XL=5Ω

，XC=-4Ω。試求：各支路的復(fù)功率，并驗(yàn)證復(fù)功率的守恒性。圖4-39例4-15圖

7.功率因數(shù)的提高

意義：①提高發(fā)電、配電設(shè)備的利用率；

②在有功功率相同的情況下，λ越高，電流就可以越小，減小線損。

途徑：在感性負(fù)載上并聯(lián)電容，減少負(fù)載與電源之間的能量交換，且不影響負(fù)載原有工作狀態(tài)。作業(yè)：P125,4.20、4.21、4.22、4.23。負(fù)載吸收的有功功率P=10kW，功率因數(shù)cos=0.6。若要使功率因數(shù)提高到0.9，