高等數(shù)學(xué)-冪級數(shù)

第二節(jié)冪級數(shù)函數(shù)項級數(shù)的一般概念冪級數(shù)及其收斂區(qū)間冪級數(shù)的運算函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式的一些應(yīng)用1一函數(shù)項級數(shù)的一般概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù)

.對假設(shè)常數(shù)項級數(shù)斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域;假設(shè)常數(shù)項級數(shù)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)列,稱收斂,發(fā)散,所有為其收

為其發(fā)散點,發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域.2為級數(shù)的和函數(shù),并寫成假設(shè)用令余項那么在收斂域上有表示函數(shù)項級數(shù)前n項的和,即在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)稱它3例如,等比級數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔秩?級數(shù)級數(shù)發(fā)散;所以級數(shù)的收斂域僅為有和函數(shù)4二冪級數(shù)及其收斂區(qū)間形如的函數(shù)項級數(shù)稱為其中稱為冪級數(shù)的系數(shù).的冪級數(shù),稱為的冪級數(shù).5發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散定理1.(Abel定理)假設(shè)冪級數(shù)那么對滿足不等式的一切x冪級數(shù)都絕對收斂.反之,假設(shè)當(dāng)?shù)囊磺衳,該冪級數(shù)也發(fā)散.時該冪級數(shù)發(fā)散,那么對滿足不等式證:設(shè)收斂,那么必有于是存在常數(shù)M>0,使6當(dāng)時,收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂.也收斂,反之,假設(shè)當(dāng)時該冪級數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之.假設(shè)有一點滿足不等式所以假設(shè)當(dāng)滿足且使級數(shù)收斂,面的證明可知,級數(shù)在點故假設(shè)不真.的x,原冪級數(shù)也發(fā)散.

時冪級數(shù)發(fā)散,那么對一切那么由前也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾,證畢7幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域推論如果冪級數(shù)不是僅在一點存在,收斂,也不是在整個數(shù)軸上都收斂,定的正數(shù)那么必有一個完全確它具有以下性質(zhì):當(dāng)時,冪級數(shù)絕對收斂;當(dāng)時,冪級數(shù)發(fā)散;當(dāng)時,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.8正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.收斂區(qū)間為以下四種形式之一規(guī)定(1)冪級數(shù)只在處收斂,收斂區(qū)間收斂半徑(2)冪級數(shù)對一切都收斂,收斂半徑收斂區(qū)間說明冪級數(shù)如果在處條件收斂，那么一定是該冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點，即該冪級數(shù)的收斂半徑9問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?定理2.的系數(shù)滿足1)當(dāng)

≠0時,2)當(dāng)

＝0時,3)當(dāng)

＝∞時,那么假設(shè)如果冪級數(shù)如果在處收斂，而在處發(fā)散,那么一定是該冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點，即該冪級數(shù)的收斂半徑10證:1)假設(shè)≠0,那么根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)原級數(shù)收斂;當(dāng)原級數(shù)發(fā)散.即時,即時,2)假設(shè)那么根據(jù)比值審斂法可知,3)假設(shè)那么對除x=0以外的一切x原級發(fā)散,對任意x原級數(shù)因此因此級數(shù)的收斂半徑11的收斂半徑為說明:據(jù)此定理對端點x=－1,的收斂半徑及收斂區(qū)間.解:對端點x=1,級數(shù)為交錯級數(shù)收斂;級數(shù)為發(fā)散.故收斂區(qū)間為例1.求冪級數(shù)

12例2.求以下冪級數(shù)的收斂域:解:(1)所以收斂域為(2)所以級數(shù)僅在x=0處收斂.規(guī)定:0!=113例3.的收斂半徑.解:級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散故收斂半徑為故直接由14例4.的收斂區(qū)間.解:令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2時,級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)t=–2時,級數(shù)為此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂區(qū)間為故原級數(shù)的收斂區(qū)間即15例5.的收斂半徑、收斂區(qū)間.解當(dāng)時，因為所以收斂，原級數(shù)絕對收斂當(dāng)時，由于所以原級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)的收斂半徑收斂區(qū)間16三冪級數(shù)的運算定理3.

及的收斂半徑分別為令那么有:其中以上結(jié)論可用局部和的極限證明.設(shè)冪級數(shù)1.代數(shù)運算性質(zhì):172.和函數(shù)的分析運算性質(zhì):冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù),(2)冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可積,可逐項積分.(收斂半徑不變)即在端點收斂,那么在端點單側(cè)連續(xù).且對18(3)冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),并可逐項求導(dǎo)任意次.即(收斂半徑不變)19例6.的和函數(shù)解:易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,x＝±1時級數(shù)發(fā)散,20解兩邊積分得例7求級數(shù)的和函數(shù).21解收斂區(qū)間(-1,1),例8求的和.22四函數(shù)展開成冪級數(shù)1函數(shù)的冪級數(shù)展開式－泰勒級數(shù)問題:2)如果能展開，3)展開式是否唯一?1)在什么條件下才能展開成如何計算？的冪級數(shù)：4)在什么條件下收斂到23如果函數(shù)在內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),且在有24定義設(shè)在的某個領(lǐng)域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù),那么冪級數(shù)稱為在處的泰勒(Taylor)級數(shù)，而系數(shù)稱為泰勒系數(shù)。特別當(dāng)時，冪級數(shù)25稱為的麥克勞林(Maclaucin)級數(shù)。綜上所述可以展開成冪級數(shù)的必要條件是在的某個領(lǐng)域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，且此冪級數(shù)必是在處的泰勒級數(shù)，即的冪級數(shù)展開式是唯一的。2

的泰勒級數(shù)收斂于的充要條件定理4各階導(dǎo)數(shù),那么f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要條件是f(x)的泰勒公式中的余項滿足:設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)具有26證明:令274)在收斂區(qū)間上考察當(dāng)時，的泰勒公式余項是否趨向于零，假設(shè)是那么所求的冪級數(shù)在收斂區(qū)間上收斂于3函數(shù)展開成冪級數(shù)(直接展開法)步驟1)求2)求3)寫出x的冪級數(shù)并求其收斂半徑R28例9將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。解的麥克勞林級數(shù)收斂區(qū)間為所以29例10將展開成x的冪級數(shù).解:得級數(shù):其收斂半徑為對任何有限數(shù)x,其余項滿足30類似可推出:31例11將函數(shù)展開成x的冪級數(shù),其中m為任意常數(shù).解:易求出于是得級數(shù)由于級數(shù)在開區(qū)間(－1,1)內(nèi)收斂.因此對任意常數(shù)m,32推導(dǎo)那么為防止研究余項,設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為33稱為二項展開式.說明：(1)在x＝±1

處的收斂性與m有關(guān).(2)當(dāng)m為正整數(shù)時,級數(shù)為x的m次多項式,上式就是代數(shù)學(xué)中的二項式定理.由此得34對應(yīng)的二項展開式分別為354函數(shù)展開成冪級數(shù)(間接展開法)利用一些的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算性質(zhì),例12將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).解:因為把x換成,得將所給函數(shù)展開成冪級數(shù).36例13將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).解37例14將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).解:從0到x積分,得定義且連續(xù),區(qū)間為上式右端的冪級數(shù)在x＝1收斂,所以展開式對x＝1也是成立的,于是收斂38特別取x=1可得因此39例15將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).解:40例16將展成x－1的冪級數(shù).解:41五函數(shù)的冪級數(shù)展開式的一些應(yīng)用1近似計算兩類問題:1.給定項數(shù),求近似值并估計精度;2.給出精度,確定項數(shù).關(guān)健:通過估計余項,確定精度或項數(shù).常用方法:1.假設(shè)余項是交錯級數(shù),那么可用余和的首項來解決;2.假設(shè)不是交錯級數(shù),那么放大余和中的各項,使之成為等比級數(shù)或其它易求和的級數(shù),從而求出