2019-2020年上海各區(qū)數(shù)學(xué)中考一模壓軸題分類匯編-24題含詳解

m專題2020年上海各區(qū)分類匯編?24

題

專題一二次函數(shù)與角度問題

【知識(shí)梳理】

是，直接求銳角三角比

【歷年真題】

1.(2019秋?浦東新區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-/+6x+c與x

軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(-1,0),B(3,0),與y軸相交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)聯(lián)結(jié)AC、BC,求NACB的正切值；

(3)點(diǎn)尸在拋物線上，且/辦B=NAC8,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

2.(2019秋?閔行區(qū)期末)已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)稱軸為直線x=-2的拋物

線經(jīng)過點(diǎn)C(0,2),與x軸交于A(-3,0)、8兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)B的左側(cè)).

(1)求這條拋物線的表達(dá)式；

(2)聯(lián)結(jié)BC,求/BCO的余切值；

(3)如果過點(diǎn)C的直線，交x軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)P,且/CEO=NBCO,求點(diǎn)尸的

坐標(biāo).

J'A

5-

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-1012345x

-1

-2

-3

-4

-5

3.(2019秋?靜安區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系xO.v中(如圖)，已知二次函數(shù)曠=0?+以+°

(其中小氏。是常數(shù)，且aWO)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,-3)、B(1,0)、C(3,0),聯(lián)結(jié)

AB、AC.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)。是線段AC上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BZ),如果SxABO：SABCD=3：2,求tan/。8c的值;

(3)如果點(diǎn)E在該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上，當(dāng)AC平分NBAE時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

Ox

4.(2019秋?楊浦區(qū)期末)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y—nx2-2〃ix+4(相W0)

與X軸交于點(diǎn)A,8(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，且AB=6.

(1)求這條拋物線的對(duì)稱軸及表達(dá)式;

(2)在y軸上取點(diǎn)￡(0,2),點(diǎn)尸為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)8尸，EF,如果S叫邊

形OEFB=10,求點(diǎn)F的坐標(biāo);

(3)在第(2)小題的條件下，點(diǎn)尸在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，點(diǎn)P在x軸上且在點(diǎn)B左側(cè),

如果直線PF與)，軸的夾角等于/EBF,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

8-

7?

6?

5?

4-

3-

2.

1-

0123456*

,8

5、(2019秋?普陀區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中(如圖)，已知拋物線y=ar2+(a+px+c

(a，0)經(jīng)過點(diǎn)A(-3,-2),與y軸交干點(diǎn)B(0,-2),拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)C.對(duì)稱軸與x軸交干

點(diǎn)D.

(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo);

(2)點(diǎn)E是x軸正半軸上的一點(diǎn)，如果/AED=NBCD.求點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)P是位干y軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，如果4PAE是以AE為直角邊的

直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

專題二二次函數(shù)與相似三角形

【知識(shí)梳理】

第一步：找到一個(gè)固定的角相等

【歷年真題】

1.(2019秋?崇明區(qū)期末)如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A(-3,0)、點(diǎn)B(l,0),與y

軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)。是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接0。交線段AC于點(diǎn)E.

(1)求這條拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求NAC8的正切值；

(3)當(dāng)△4OE與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

2.(2019秋?徐匯區(qū)期末)如圖，將拋物線y=-幺2+4平移后，新拋物線經(jīng)過原拋物線的

3

頂點(diǎn)C,新拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)8,聯(lián)結(jié)BC,tanB=4,設(shè)新拋物線與x軸的另一交

點(diǎn)是A,新拋物線的頂點(diǎn)是D

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)E在新拋物線上，聯(lián)結(jié)AC、DC,如果CE平分NQCA,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

(3)在(2)的條件下，將拋物線y=-g/+4沿x軸左右平移，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為凡當(dāng)X

OEF和△ABC相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出平移后得到拋物線的表達(dá)式.

專題三二次函數(shù)與等腰三角形

【知識(shí)梳理】

AB=AC

二次函數(shù)與兩點(diǎn)間距離公式

AB=BC

等腰三角形分類仔論

AC=BC

【歷年真題】

1.(2019秋?松江區(qū)期末)如圖，已知拋物線y=-/+6x+c經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)8(0,3).點(diǎn)

M(m,0)在線段。4上(與點(diǎn)A,。不重合)，過點(diǎn)M作x軸的垂線與線段AB交于點(diǎn)P,

與拋物線交于點(diǎn)Q,聯(lián)結(jié)8Q.

(1)求拋物線表達(dá)式；

(2)聯(lián)結(jié)OP,當(dāng)時(shí)，求尸。的長度；

(3)當(dāng)△P8Q為等腰三角形時(shí)，求〃?的值.

專題四二次函數(shù)與線段

【知識(shí)梳理】

【歷年真題】

1.(2019秋?奉賢區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，拋物線y=7+W+c經(jīng)過點(diǎn)A

(2,-3)和點(diǎn)B(5,0),頂點(diǎn)為C.

(1)求這條拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，聯(lián)結(jié)O。、BD,求/ODB的正切值；

(3)將拋物線)，=/+法+c向上平移，(Z>0)個(gè)單位，使頂點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，點(diǎn)B落在點(diǎn)

F處，如果BE=B尸，求，的值.

2.（2019秋?虹口區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+法+c與x軸交于人（-1,

0）、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0,3）,點(diǎn)P在該拋物線的對(duì)稱軸上，且縱坐標(biāo)為2百.

（1）求拋物線的表達(dá)式以及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角a是另一個(gè)內(nèi)角p的兩倍時(shí)，我們稱a為此三角形的“特征角”.

①當(dāng)。在射線4P上，如果/D4B為的特征角，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②點(diǎn)E為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)F在x軸上，CELEF,如果NCEF為的特征

角，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

專題五二次函數(shù)與其他

【知識(shí)梳理】

【歷年真題】

1.(2019秋?黃浦區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系xO)?中，平移一條拋物線，如果平移后的新拋

物線經(jīng)過原拋物線頂點(diǎn)，且新拋物線的對(duì)稱軸是y軸，那么新拋物線稱為原拋物線的“影子

拋物線”.

(1)已知原拋物線表達(dá)式是)，=f-2r+5,求它的“影子拋物線”的表達(dá)式；

(2)已知原拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,0),且它的“影子拋物線”的表達(dá)式是y=--+5,求原拋

物線的表達(dá)式；

(3)小明研究后提出：“如果兩條不重合的拋物線交y軸于同一點(diǎn)，且它們有相同的“影子

拋物線”，那么這兩條拋物線的頂點(diǎn)一定關(guān)于y軸對(duì)稱.”你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎？請(qǐng)說明理

由.

ny

OX

2.(2019秋?長寧、金山區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=gf+加什”

經(jīng)過點(diǎn)8(6,1),C(5,0),且與y軸交于點(diǎn)4.

(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸是y軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸。，。4,交線段OA的延長線于點(diǎn)。，

如果NR4B=45°.求證：

(3)若點(diǎn)尸是線段A3(不包含端點(diǎn))上的一點(diǎn)，且點(diǎn)尸關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F恰好在上述

拋物線上，求FF'的長.

3.(2019秋?青浦區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=/+Zzr+c與x軸交

于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0).

(1)求該拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，連接PC.當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)尸的坐

標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，將拋物線沿平行于y軸的方向向下平移，平移后的拋物線的頂點(diǎn)為

點(diǎn)。，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，當(dāng)OD_LDQ時(shí)，求拋物線平移的距離.

4.(2019秋?寶山區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=n(?+x-1)

的圖象交于點(diǎn)A(1,。)和點(diǎn)8(-1,-a).

(1)求直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)要使上述反比例函數(shù)和二次函數(shù)在某一區(qū)域都是j隨著x的增大而增大，求〃應(yīng)滿足

的條件以及x的取值范圍；

(3)設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為Q,當(dāng)。在以AB為直徑的圓上時(shí)，求〃的值.

5.（2019秋?嘉定區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，將點(diǎn)P（“，b-a）定義為點(diǎn)P（小

b）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

已知：點(diǎn)A（x,y）在函數(shù)y=/的圖象上（如圖所示），點(diǎn)A的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是點(diǎn)Ai.

（1）請(qǐng)?jiān)谌鐖D的基礎(chǔ)上畫出函數(shù)y=/-2的圖象，簡要說明畫圖方法；

（2）如果點(diǎn)Ai在函數(shù)y=/-2的圖象上，求點(diǎn)4的坐標(biāo)；

（3）將點(diǎn)尸2（a,b-na＞稱為點(diǎn)P（a,b）的“待定關(guān)聯(lián)點(diǎn)''（其中，"W0）.如果點(diǎn)A（x,

y）的“待定關(guān)聯(lián)點(diǎn)”A2在函數(shù)的圖象上，試用含〃的代數(shù)式表示點(diǎn)上的坐標(biāo).

專題2020年上海各區(qū)分類匯編?24題

專題一二次函數(shù)與角度問題

【歷年真題】

1.(2019秋?浦東新區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-與x

軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(-1,0),B(3,0),與y軸相交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)聯(lián)結(jié)AC、BC,求的正切值；

(3)點(diǎn)P在拋物線上，且/以B=NACB,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

【專題】分類討論；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】(1)將點(diǎn)A,B坐標(biāo)代入拋物線y=-j^+bx+c即可；

(2)如圖1,過點(diǎn)4作于，，分別證△08C和是等腰直角三角形，可求出

CH,A”的長，可在中，直接求出/AC8的正切值；

(3)此間需分類討論，當(dāng)ZACB時(shí)，過點(diǎn)尸作PMLx軸于點(diǎn)M,設(shè)PCa,-a1+2a+3\

由同角的三角函數(shù)值相等可求出”的值，由對(duì)稱性可求出第二種情況.

【解答】解：(1)將點(diǎn)A(-1,0),B(3,0)代入拋物線y=-/+bx+c中，

,-l-b+c=0

得《，

[-9+3b+c=0

解得，b=2,c=3,

.?.拋物線的表達(dá)式為丫=-/+右+3；

(2)?.?在y=-/+2x+3中，當(dāng)x=0時(shí)，y=3,：.C(0,3),：.OC=OB=3,

...△08C為等腰直角三角形，NOBC=45°,

:.BC=4i0C=30，

如圖1,過點(diǎn)4作A”_LBC于H,則N/MB=N”BA=45°,

，/\AHB是等腰直角三角形,

'：AB=4,：.AH=BH=-AB=2y/2,

2

：.CH=BC-BH=V2,

*人AH入萬

.,.在RtZXAHC中，tan/ACH=——=今幺=2

CHV2

即NACB的正切值為2；

（3）①如圖2,當(dāng)/%B=/AC8時(shí)，過點(diǎn)P作尸軸于點(diǎn)

設(shè)尸(a,-a2+2a+3),則M(a,0),

由(1)知,tanNACB=2,

,.PM■a~+2a+3

??tanzfPAM—2,??------=2----------------=2,

AMa+1

解得，41=-1（舍去），42=1,

：.P\(1,4)；

②取點(diǎn)尸（1,4）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)。（1,-4）,延長AQ交拋物線于放，則此時(shí)

=ZFAM=ZACB,

設(shè)直線尸。的解析式為y=fcc+4將4（-1,0）,。（1,-4）代入,

-k+b=Q

得，《

k+b=7

解得，k--2,b--2,'-yAQ--2x-2,

y=-Zx—2I或，x=5

聯(lián)立，《,，解得，\

y=—JC+2x+3y=0」=T2

：.P2（5,-12）；

綜上所述，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1,4）或（5,-12）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，銳角三角函數(shù)，交點(diǎn)的坐標(biāo)等，解題關(guān)鍵是第三

問要注意分類討論思想的運(yùn)用.

2.（2019秋?閔行區(qū)期末）已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)稱軸為直線x=-2的拋物

線經(jīng)過點(diǎn)C（0,2）,與x軸交于A（-3,0）、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）.

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）聯(lián)結(jié)BC,求/BCO的余切值;

（3）如果過點(diǎn)C的直線，交x軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)P,且NCE0=N8C。，求點(diǎn)P的

坐標(biāo).

5-

4-

3

2

1

-5-4-3-2-1012345%

-1

-2

-3

-4

-5

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

【專題】分類討論；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；模型思想.

【分析】（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為），=0?+必+。，將A,B的坐標(biāo)及對(duì)稱軸方程代入即可；

（2）分別求出點(diǎn)B,C的坐標(biāo)，直接在RtZ\OBC中，根據(jù)余切定義即可求出；

（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（x,0）,求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再求出CE的解析式，即可求出其與拋物

線的交點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx+c,將點(diǎn)C（0,2）、A（-3,0）、對(duì)稱

b

-2

2a

軸直線x=-2代入，得：（9a—3〃+c=0,

c=2

mg28

解得：a-—,a--,

33

7Q

.?.這條拋物線的表達(dá)式為丁=（/+1》+2；

2Q

（2）令y=0,那么一/+—1+2=0,

-33

解得xi=-3,X2—~1.

,點(diǎn)4的坐標(biāo)是（-3,0）,.,.點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-1,0）.

VC（0,2）,OB=1,OC=2,

在RlZ\08C中，ZBOC=90°,

cotZBCO=—oc=2；

（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（x,0）,得OE=|x|.

ZCEO=ZBCO,：.cotZCEO=cotZBCO,

在RtAEOC中，cotNCEO=^=兇=2,

OC2

...m=4,...點(diǎn)E坐標(biāo)是（4,0）或（-4,0）,

■二點(diǎn)C坐標(biāo)是（0,2）,lCEy=萬x+2或y=—萬x+2,

1f1

y=—x+2y=—x+2

.'2-2

..<，或<

28、28°

y——x2H—x+2y———x24—x+2

x=---x=---

44

解得（舍去），或＜

y=2

133

...點(diǎn)P坐標(biāo)是（一二，三）或（一

48

圖2

圖1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，銳角三角函數(shù)等，解題關(guān)鍵是在求點(diǎn)E坐標(biāo)時(shí)

需注意可在x軸的正半軸，也可在負(fù)半軸.

3.(2019秋?靜安區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖)，已知二次函數(shù)丫=/+以+。

(其中a、b、c是常數(shù)，且aWO)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,-3)、3(1,0)、C(3,0),聯(lián)結(jié)

AB.AC.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)。是線段AC上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BO,如果S"BD：S&BCD=3：2,求tan/OBC的值;

(3)如果點(diǎn)E在該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上，當(dāng)AC平分/BAE時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

O*

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；圖形的相似；運(yùn)算能力.

【分析】(1)將4、B、C的坐標(biāo)直接代入y=??+bx+c即可；

(2)過點(diǎn)。作Q/7LBC于〃，在△A8C中，設(shè)AC邊上的高為〃，求出A。與QC的比，

證△CHZJS^COA,可求出CH,DH,8H的長，可根據(jù)正切定義求出結(jié)果；

(3)求出拋物線對(duì)稱軸為直線x=2,設(shè)直線x=2與x軸交于點(diǎn)G,過點(diǎn)A作4尸垂直于直

線x=2,垂足為F,證NOAC=NOCA=45°，/布C=NOCA=45°，推出/B40=/EAF,

證△048sZ\FE4,即可求出4斤的長，EF的長，EG的長，即可寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).

【解答】解：(1)將4(0,-3)、B(1,0)、C(3,0)代入)=加+瓜+。，

c=-3a=-\

得，,a+b+c=0,解得，</?=4,

9。+3/?+c=0c=-3

二.此拋物線的表達(dá)式是y=-/+4x-3；

(2)過點(diǎn)。作￡>〃_L8c于”，

q坊AD_3

在△A3C中，設(shè)AC邊上的高為小則己遜2Ao

SMCDDC2

又軸，:.△CHDsXcOA,

CHDCDH226

一,CH—DH=-X3=一,

OCACOA555

64

：.BH=BC-CH=2--

55

DH3

AtanZDBC=

BH2

(3)Vy=-?+4x-3=-(x-2)2+1,

???對(duì)稱軸為直線x=2,設(shè)直線x=2與x軸交于點(diǎn)G,過點(diǎn)A作AF垂直于直線x=2,垂足

為F,

'：0A=0C=3,ZAOC=90°,：.ZOAC=ZOCA=45°,

：AF〃x軸，欣C=/OCA=45°,

：AC平分N8AE,：.ZBAC=ZEAC,

'：ZBAO^ZOAC-ABAC,ZEAF^ZFAC-ZEAC,；.NBAO=NEAF,

。AOBEF1

VZAOB=ZAFE=90°,：./AXFEA,：.——=——=一，

OAAF3

227

；AF=2,；.EF=-,：.EG=GF-EF=AO-EF=3-一=一，

333

7

：.E(2,--).

3

圖2

v

圖1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解

題關(guān)鍵是能夠由題意作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造相似三角形.

4.（2019秋?楊浦區(qū)期末）己知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線yinx2-2mx+4（mWO）

與x軸交于點(diǎn)A,8（點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè)），且AB=6.

（1）求這條拋物線的對(duì)稱軸及表達(dá)式；

（2）在y軸上取點(diǎn)E（0,2）,點(diǎn)尸為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)8凡EF,如果51M

彩OEFB=10,求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）在第（2）小題的條件下，點(diǎn)F在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，點(diǎn)P在x軸上且在點(diǎn)5左側(cè),

如果直線PF與y軸的夾角等于NEBF,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

7

6

4

3

2

1

W-5-4-3-2-L]0i23456Ax

-2■

-3-

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

【專題】代數(shù)幾何綜合題；方程思想；幾何直觀；運(yùn)算能力.

【分析】(1)根據(jù)拋物線解析式求得對(duì)稱軸方程為x=l,結(jié)合A8=6求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo);

然后利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；

(2)如圖1,聯(lián)一結(jié)。凡設(shè)---1及0+什4),根據(jù)圖形得至ljS四邊形的E=Sz\O"+SaOF8,

2

由三角形的面積公式列出方程，利用方程求得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)，結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐

標(biāo)特征求得點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)；

(3)如圖2,設(shè)尸尸與y軸的交點(diǎn)為G.由1@口/￡3。=1@口/”/3=；得至/NEBO=/HFB.易

推知NP/方=NP3F.故尸尸=尸艮設(shè)0).由兩點(diǎn)間的距離公式求得相關(guān)線段的長度

并列出方程，通過解方程求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

【解答】解：(1)由-2如計(jì)4=機(jī)(x-1)2+4-機(jī)得到：拋物線對(duì)稱軸為直線x=1.

VAB=6,...A(-2,0),B(4,0).

將點(diǎn)4的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得到：4機(jī)+4m+4=0,解得%=-'.

2

故該拋物線解析式是：y=-；/+x+4；

(2)如圖1,聯(lián)結(jié)OF,

設(shè)F(r,-—?+f+4),則

2

1112

S四邊形OEFB=SAOEF+SZXOFB=-X2/+—X4(-----r+/+4)=10...zi=1,ti=2.

222

，點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(1,旦)或(2,4)；

2

(3)由題意得，F(xiàn)(2,4),

如圖2,設(shè)P尸與y軸的交點(diǎn)為G.,

AtanZEBO=tanZHFB.：.NEBO=ZHFB.

又,；NPFH=NEGF=NFBE,:.NPFB=/PBF.:.PF=PB.

設(shè)P(a,0).則PF=PB,

22

(a-4)2=(a-2)+4,解得a=-1.

：.P(-1,0)

【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會(huì)利

用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而

求出線段之間的關(guān)系.

Q

5、(2019秋?普陀區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖)，已知拋物線J=ar2+(fl+-)x+c

(arO)經(jīng)過點(diǎn)A(-3,-2),與y軸交干點(diǎn)8(0,-2),拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)C.對(duì)稱軸與x軸交干

點(diǎn)D.

(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)E是x軸正半軸上的一點(diǎn)，如果NAED=NBCD.求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)P是位干y軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，如果4PAE是以AE為直角邊的

直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

【專題】代數(shù)幾何綜合題；方程思想；幾何直觀；運(yùn)算能力.

【分析】(1)將點(diǎn)4、8代入拋物線y=ax2+(a+])x+c,即可求出拋物線解析式，再化

為頂點(diǎn)式即可.

3

(2)如圖1,連接AB,交對(duì)稱軸于點(diǎn)N,則N(----2),利用相等角的正切值相等即

2

可求出EH的長，OE的長，可寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)

(3)分/EAP=90。和/AEP=90。兩種情況討論，通過相似的性質(zhì)，用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)

P的坐標(biāo)，可分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)

Q

【解答】解：(1)將點(diǎn)A(-3,-2)、8(0,-2)代入拋物線y=+(。++c

g

/日一2=9a—3(QH—)x+c4

得J3解得，。二一§c=-2

-2=c

424c4,3、2廣

.y=—x2+4x-2=—(x+—)~-5

43

，拋物線的解析式是：y=]f+4x—2,頂點(diǎn)c的坐標(biāo)為(一5，-5)

3

(2)如圖1,連接AB,交對(duì)稱軸于點(diǎn)N,則N(一一,-2)

2

3

BNo1

在RtaBCN中，tanZBCN=——=工=一

EH32

tanZAED=—

2

過點(diǎn)A作AH_LDE于點(diǎn)H,貝ijtanNAED=-----=------=—

EHEH2

；.EH=4,OE=1,；.E(1,0)

(3)①如圖2,當(dāng)3EAP=90。時(shí),

VZHEA+ZHAE=90°,ZMAP+ZHAE=90°AZHEA=ZMAP

rPMAH

又?/ZAHE=ZPMA=90°，△AHEsAPMA,——=——

AMHE

設(shè)PM=t,則AM=2t,

4,

將P(t-3,-2-2t)代入y=]r+4x—2

3

得ti=0(舍去)，t2=-

2

3、

?**Pi(，-5)

2

②如圖3,當(dāng)NAEP=90。時(shí)，

???ZPEN+ZEPN=90°,ZAEG+ZPEN=90°:.ZEPN=ZAEG

PNEG1

又：ZN=ZG=90°JAAEG^AEPN—=——二-

ENAG2

設(shè)PN=t,則EN=2t,

4

將P(1-t,2t)代入丁=1%29+4%—2

得：「心叵1=3叵⑴

44

./9+V12913+V129A

42

33

，綜上所述：Pi(----,-5),?2(-----9-5)

22

專題二二次函數(shù)與相似三角形

【歷年真題】

1.(2019秋?崇明區(qū)期末)如圖，拋物線與》軸相交于點(diǎn)A(-3,0)、點(diǎn)8(1,0),與y

軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)。是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接。￡)交線段AC于點(diǎn)E.

求這條拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求N4CB的正切值；

(3)當(dāng)△AOK與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【專題】壓軸題；分類討論；函數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算能力：推理能力；模型思想.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式求得該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)如圖，過點(diǎn)B作84_LAC于點(diǎn)H,構(gòu)造等腰直角△A8”和直角△BCH,利用勾股定理

和兩點(diǎn)間的距離公式求得相關(guān)線段的長度，從而利用銳角三角函數(shù)的定義求得答案；

(3)如圖2,過點(diǎn)。作DKLx軸于點(diǎn)K,構(gòu)造直角△OOK,設(shè)。(x,2x+3),則K

(x,0).并由題意知點(diǎn)。位于第二象限.由于NBAC是公共角，所以當(dāng)△AOE與AABC

相似時(shí)，有2種情況：

①NAOQ=NA8C.貝ijtanNAO￡>=tanNABC=3.由銳角三角函數(shù)定義列出比例式，從而

求得點(diǎn)。的坐標(biāo).

?ZAOD=ZACB.則tanNAOQ=tan/ACB=2.由銳角三角函數(shù)定義列出比例式，從而

求得點(diǎn)。的坐標(biāo).

【解答】解：(1)設(shè)拋物線解析式為：y=ax1+bx+c,將點(diǎn)4(-3,0),B(1,0),C(0,

9。一3〃+c=0

3)分別代入得：卜+。+。=0,

c=3

a=-1

解得：<b=-2,

c=3

故拋物線解析式為：y=-7-2x+3.

由于y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

所以該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,4)；

(2)如圖1,過點(diǎn)B作B/7LAC于點(diǎn)從

：.ZOAC=ZOCA=45°,AC=3>/2.

VZB//A=90°,.,.NHA8+NHB4=90°.

...//MB=NHBA=45°.

?.,在直角中，AH2+BH2=AB2,AB=4.

:.AH=BH=2近.

.?.C"=3&-272=6?

Df-JOB

VZBWC=90°,：.tanZACB=——=—^=2；

CHy/2

(3)如圖2,過點(diǎn)。作OKLx軸于點(diǎn)K,

圖2

設(shè)O(x,-f-2x+3),則KG,0).并由題意知點(diǎn)。位于第二象限.

DK=-/-2x+3,OK=-x.

是公共角，

...當(dāng)△AOE與AABC相似時(shí)，有2種情況：

①NAOO=NABC時(shí)，XAOEsXNBC,

tanNAO￡)=tanZABC=3.

.-f-2x+3缶徂1-V131+V13（仝土、

..-----------=3,解得xi=-------,xi=-------（舍去）

-x22

z1-V133后-3、

：.D（-------，---------）.

22

②NA0￡）=NAC8時(shí)，/\AOE^/\ACBf

tanZAOD=tanNACB=2.

———2,+3=2,解得xi=-JJ,x2=>/3（舍去）

一x

：.D（一百，2百）.

綜上所述，當(dāng)AAOE與aABC相似時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)是（匕姮，士晝口）或（-G,

22

2百）.

【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會(huì)利

用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而

求出線段之間的關(guān)系.

2.（2019秋?徐匯區(qū)期末）如圖，將拋物線y=-公+4平移后，新拋物線經(jīng)過原拋物線的

3

頂點(diǎn)C,新拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)B,聯(lián)結(jié)8C,tanB=4,設(shè)新拋物線與x軸的另一交

點(diǎn)是A,新拋物線的頂點(diǎn)是D

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)E在新拋物線上，聯(lián)結(jié)AC、DC,如果CE平分NCCA,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

4

（3）在（2）的條件下，將拋物線y=-不/+4沿x軸左右平移，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為凡當(dāng)X

OEF和AABC相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出平移后得到拋物線的表達(dá)式.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；二次函數(shù)的應(yīng)用；圖形的相似；應(yīng)用意識(shí).

4

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)（a,b）,可得新拋物線解析式為：y=--（x-a）2+b,先求出

點(diǎn)C,點(diǎn)B坐標(biāo)，代入解析式可求解；

（2）通過證明△40CsZ\CH￡>,可得/ACO=/OCH,可證EC〃40,可得點(diǎn)E縱坐標(biāo)為

4,即可求點(diǎn)E坐標(biāo)；

（3）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求點(diǎn)F坐標(biāo)，即可求平移后得到拋物線的表

達(dá)式.

4

【解答】解：（1）?.?拋物線y=-§/+4的頂點(diǎn)為C,.?.點(diǎn)C（0,4）：,OC=4,

OC1

VtanB=4=——，AOB=\,...點(diǎn)8(1,0)

OB

設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)(a,b)

4

???新拋物線解析式為：--(x-a)?+b,且過點(diǎn)C(0,4),點(diǎn)B(1,0)

4

0——9+8

l解得:-1-3-=-E--F-

125

4=—a2+b

3

點(diǎn)D坐標(biāo)（-1,—）

3

416

...新拋物線解析式為：y=--(x+1)2+—,

33

416

當(dāng)丁=0時(shí)＞0=-y(X+1)三，，X1=-3,X2=l,

AO3

...點(diǎn)A(-3,0),；.AO=3,

CO4

16、16

；點(diǎn)。坐標(biāo)(-1,—)：.DH=\HO=—

3f3

4DH3

，CH=OH-OC=-,

3CH4

AODH

"co-ol,且NAOC=/ZWC=90°,

...AAOCsACHD,：.AACO=ZDCH,

,:CE平分ZACD,：.NACE=ZDCE,

：.ZACO+ZACE=ZDCH+ZDCE,ii.ZACO+ZACE+ZDCH+ZDCE=\S0o

；.NECO=NECH=90°=NAOB,：.EC//AO,

4

???點(diǎn)￡1縱坐標(biāo)為4,.14=——(x+1)~+—,

33

Axl=-2,%2=0,???點(diǎn)￡(-2,4),

(3)如圖如

點(diǎn)A(-3,0),點(diǎn)8(1,0),點(diǎn)O坐標(biāo)(-1,—)

3

.5

??DE=DC=-,AC=7AO2+CO2-V16+9-5,AB=3+1=4,:./DEC=NDCE,

3

'：EC//AB,：.ZECA=ZCAB,:.NDEC=NCAB,

??AmAg/一DEEF-DEEF

.△DEF和tXABC相彳以??...-或=

ACABABAC

55

3EF-3EF4T25

—=——或上二——??EF=一或—

5445312

21

工點(diǎn)F(-4)或(一，4)

312

4

設(shè)平移后解析式為：)，=-J(X+1-C)2+4,

4241

?*.4—_—(--1-1-c).4或4="-(---1-1-c)2+4,

33312

4741

，平移后解析式為：y=--(x+—)2+4或、=---(X--)2+4,

33312

【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的

判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式等知識(shí)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵.

專題三二次函數(shù)與等腰三角形

【歷年真題】

1.(2019秋?松江區(qū)期末)如圖，已知拋物線y=-/+〃x+c經(jīng)過點(diǎn)4(3,0),點(diǎn)3(0,3).點(diǎn)

M(m,0)在線段。4上(與點(diǎn)A,。不重合)，過點(diǎn)M作x軸的垂線與線段AB交于點(diǎn)P,

與拋物線交于點(diǎn)。，聯(lián)結(jié)

(1)求拋物線表達(dá)式；

(2)聯(lián)結(jié)OP,當(dāng)時(shí)，求尸。的長度；

(3)當(dāng)△PB。為等腰三角形時(shí)，求機(jī)的值.

備用圖

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

【專題】代數(shù)幾何綜合題；分類討論；方程思想；函數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式即可；

(2)根據(jù)點(diǎn)4、B的坐標(biāo)得到直線AB解析式：y=-x+3.設(shè)P(根，+3),QCm,-

m2+2m+3).根據(jù)相似三角形△POBS^QBP的性質(zhì)列出比例式，通過比例式求得”的值，

然后由兩點(diǎn)間的距離公式求得PQ的長度；

(3)利用兩點(diǎn)間的距離公式求得BP?、。e、8。的值.

需要分三種情況解答：①②BP=PQ；③PQ=B。，代入相關(guān)數(shù)值，列出方程，通

過解方程求得m的值.

【解答】解：(1)將4(3,0),B(0,3)分別代入拋物線解析式，得

-9+3b+c=Q,b=2

.解得1

c=3c=3

故該拋物線解析式是：＞-=-?+2x+3；

(2)設(shè)直線AB的解析式是：y=kx+t(^0),

3攵+/=0

把4(3,0),B(0,3)分別代入，得?

t=3

解得&=7,r=3.則該直線方程為：y=-x+3.

故設(shè)P（〃?，-m+3）,Q（〃z,-w2+2m+3）.

則BP=V2m,PQ=-川+3”.

VOB=OA=3,???NBAO=45°.

VQMA.OA,：.ZPMA=90°./.ZAMP=45°.

AZBPQ=ZAPM=ZBAO=45°.

又???ZBOP=/QBP,??.△POBSAQBP.

干138PnnV2m_3

PQBP-m~+3m\]2m

9

解得m1=一，7772=0（舍去）.

5

PQ=~%?2+3形="§^_；

25

（3）由兩點(diǎn)間的距離公式知，BP2=2m2,Pd=（-序+3〃?）2,（-m2+2m）2

①若8P=8。，2ni2=m2+（-2,解得陽=1,62=3（舍去）.

即加=1符合題意.

②若BP=PQ,2*=（-加2+3加）2,

解得加=3-,初2=3+血（舍去）.

即機(jī)=3-&符合題意.

③若PQ=BQ,(-/w2+3/n)2=AW2+(-W2+2/H)2

解得m=2.

綜上所述，機(jī)的值為1或3-0或2.

【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會(huì)利

用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而

求出線段之間的關(guān)系.

專題四二次函數(shù)與線段

【歷年真題】

1.(2019秋?奉賢區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系x