備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第六章平面向量復(fù)數(shù)第1講平面向量的概念及線性運算

第1講平面向量的概念及線性運算課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測1.通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義.2.理解平面向量的幾何表示和基本要素.3.借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義.4.掌握平面向量數(shù)乘運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義.理解兩個平面向量共線的含義.5.了解平面向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義.平面向量的有關(guān)概念2022新高考卷ⅠT3本講命題熱點為平面向量的線性運算、共線向量定理的應(yīng)用，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大.預(yù)計2025年高考命題穩(wěn)定，備考時注意對向量的幾何意義的理解和應(yīng)用.平面向量的線性運算2022新高考卷ⅠT3；2020全國卷ⅠT14；2020新高考卷ⅡT3共線向量定理的應(yīng)用1.平面向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有①大小又有②方向的量；向量的大小叫做向量的長度（或③模）.平面向量是自由向量.零向量長度為0的向量.零向量記作0，其方向是④任意的.單位向量長度等于1個單位長度的向量.與非零向量a共線的單位向量為⑤a｜a｜和⑥－平行向量（共線向量）方向⑦相同或相反的非零向量.0與任意向量平行（共線）.相等向量長度⑧相等且方向⑨相同的向量.相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量.相反向量長度相等且方向相反的兩個向量.若a，b互為相反向量，則a＝－b.0的相反向量為0.注意（1）0是一個向量，0是一個實數(shù)，｜0｜＝0.（2）兩個向量不能比較大小，只能判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大小.2.平面向量的線性運算向量運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算.三角形法則 平行四邊形法則（1）a＋b＝b＋a.（2）（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差.三角形法則a－b＝a＋（－b）.數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算.（1）｜λa｜＝｜λ｜｜a｜.（2）當(dāng)λ＞0時，λa與a的方向⑩相同；當(dāng)λ＜0時，λa與a的方向?相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0.（1）λ（μa）＝λμa＝μ（λa）.（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa.（3）λ（a＋b）＝λa＋λb.注意利用三角形法則時，兩向量要首尾相連；利用平行四邊形法則時，兩向量要有相同的起點.常用結(jié)論向量運算的常用結(jié)論（1）若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則OP＝12（OA＋OB）（2）對于任意兩個向量a，b，都有：①｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜；②｜a＋b｜2＋｜a－b｜2＝2（｜a｜2＋｜b｜2）.注意當(dāng)a，b不共線時：①式的幾何意義是三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對值小于第三邊；②式的幾何意義是平行四邊形中兩鄰邊的長與兩對角線的長之間的關(guān)系.3.共線向量定理向量a（a≠0）與b共線的充要條件：存在唯一一個實數(shù)λ，使?b＝λa.注意（1）只有非零向量才能表示與之共線的其他向量.（2）兩向量共線包含同向共線和反向共線兩種情況.1.下列說法正確的是（D）A.零向量是唯一沒有方向的向量B.單位向量都相等C.a與b同向，且｜a｜＞｜b｜，則a＞bD.兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件2.[新高考卷Ⅱ]若D為△ABC的邊AB的中點，則CB＝（A）A.2CD－CA B.2CA－CDC.2CD＋CA D.2CA＋CD解析解法一因為D是AB的中點，所以AB＝2AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋2AD＝CA＋2（CD－CA）＝2CD－CA，故選A.解法二因為D是AB的中點，所以CD＝12（CA＋CB），即2CD＝CA＋CB，所以CB＝2CD－CA，故選3.已知向量a，b，若｜a｜＝2，｜b｜＝4，則｜a－b｜的取值范圍是[2，6].解析由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜，得2≤｜a－b｜≤6.4.已知a與b是兩個不共線的向量，且向量a＋λb與－（b－3a）共線，則λ＝－13解析由題意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－（b－3a）]，所以λ＝－研透高考明確方向命題點1平面向量的有關(guān)概念例1（1）下列說法正確的是（B）A.若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同B.若A，B，C，D是不共線的四點，且AB＝DC，則四邊形ABCD為平行四邊形C.a＝b的充要條件是｜a｜＝｜b｜且a∥bD.已知λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線解析A錯誤，兩個向量是否相等只與模及方向有關(guān)，與位置無關(guān)；B正確，因為AB＝DC，所以｜AB｜＝｜DC｜且AB∥DC，又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形；C錯誤，當(dāng)a∥b且｜a｜＝｜b｜時還可能是a＝－b，所以“｜a｜＝｜b｜且a∥b”是“a＝b”的必要不充分條件；D錯誤，當(dāng)λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線.故選B.（2）設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，使a｜a｜＝b｜bA.a＝－b B.a∥bC.a＝2b D.a∥b且｜a｜＝｜b｜解析因為向量a｜a｜的方向與向量a的方向相同，向量b｜b｜的方向與向量b的方向相同，且a｜a｜＝b｜b｜，所以向量a與向量b的方向相同，故可排除選項A，B，D.當(dāng)a＝2b時，a｜a｜方法技巧向量有關(guān)概念的關(guān)注點（1）向量定義的關(guān)鍵是方向和長度.（2）非零向量的平行具有傳遞性.（3）平行向量即共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制.（4）向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.（5）向量a｜a｜是與向量訓(xùn)練1下列說法正確的是（B）A.相反向量就是方向相反的向量B.a，b，c為非零向量，若a∥b，b∥c，則a∥cC.若a與b共線，則a＝b或a＝－bD.若a為平面內(nèi)的某個向量，a0為單位向量，則a＝｜a｜a0解析對于A，相反向量是方向相反，長度相等的兩個向量，故A錯誤；對于C，若向量a與b共線，則a與b的方向相同或相反，但長度不一定相等，故C錯誤；對于D，a與｜a｜a0的模相等，但方向不一定相同，故D錯誤；易知B正確.故選B.命題點2平面向量的線性運算角度1向量加、減法的幾何意義例2（1）[多選]P是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足｜PB－PC｜－｜PB＋PC－2PA｜＝0，則△ABC不可能是（AD）A.鈍角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形解析設(shè)D為邊BC的中點，則PB＋PC＝2PD，由已知有｜CB｜＝｜2PD－2PA｜＝2｜AD｜，所以△ABC為直角三角形，故選AD.（2）[全國卷Ⅰ]設(shè)a，b為單位向量，且｜a＋b｜＝1，則｜a－b｜＝3.解析解法一如圖，四邊形OACB為平行四邊形，設(shè)OA＝a，OB＝b，利用平行四邊形法則得OC＝a＋b，∵｜a｜＝｜b｜＝｜a＋b｜＝1，∴△OAC為正三角形，∴｜BA｜＝｜a－b｜＝2×32×｜a｜＝3.解法二∵a，b為單位向量，且｜a＋b｜＝1，∴（a＋b）2＝1，∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－12，∴｜a－b｜2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×（－12）＝3，∴｜a－b｜＝方法技巧利用向量加、減法的幾何意義解決問題的思路（1）根據(jù)兩個向量的和與差，構(gòu)造相應(yīng)的平行四邊形或三角形，再結(jié)合其他知識求解；（2）平面幾何中，如果出現(xiàn)平行四邊形或可能構(gòu)造出平行四邊形或三角形的問題，那么可考慮利用向量知識來求解.角度2向量的線性運算例3[2022新高考卷Ⅰ]在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA.記CA＝m，CD＝n，則CB＝（B）A.3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n解析因為BD＝2DA，所以AB＝3AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3（CD－CA）＝－2CA＋3CD＝－2m＋3n.故選B.方法技巧向量的線性運算問題的求解策略（1）利用三角形法則或平行四邊形法則求解；（2）利用相等向量、相反向量、共線向量以及三角形中位線等，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量進(jìn)行求解.角度3根據(jù)向量線性運算求參數(shù)例4在△ABC中，點D在線段BC上，且BD＝2DC，點O在線段CD上（與點C，D不重合）.若AO＝xAB＋（1－x）AC，則x的取值范圍是（C）A.（0，1） B.（23，1） C.（0，13） D.（13解析設(shè)BO＝λBC，λ∈（23，1），則AO＝AB＋BO＝AB＋λBC＝（1－λ）AB＋λAC＝xAB＋（1－x）AC，則x＝1－λ∈（0，13）.方法技巧求參數(shù)問題可以通過向量的線性運算將向量表示出來，進(jìn)行比較，構(gòu)造方程（組）求解.訓(xùn)練2（1）[多選]在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC與BD相交于點O，則下列結(jié)論正確的是（ABD）A.AC－AD＝12AB B.｜OA＋2OC｜C.OA＝23CD＋13CB D.AB＋BC＋CD解析對于A，AC－AD＝DC＝12AB，故A正確.對于B，由題知COAO＝CDAB＝12，所以O(shè)A＋2OC＝0，故｜OA＋2OC｜＝0，故B正確.對于C，OA＝23CA＝23（CB－AB）＝23（CB＋2CD）＝23CB＋43CD，故C錯誤.對于D，AB＋BC＋CD＋（2）在△ABC中，AB＝2，BC＝33，∠ABC＝30°，AD為BC邊上的高.若AD＝λAB＋μAC，則λ－μ＝13解析如圖，∵AD為BC邊上的高，∴AD⊥BC.∵AB＝2，∠ABC＝30°，∴BD＝3＝13BC，∴AD＝AB＋BD＝AB＋13BC＝AB＋13（AC－AB）＝2又AD＝λAB＋μAC，∴λ＝23，μ＝13，故λ－μ＝命題點3共線向量定理的應(yīng)用例5（1）已知O為△ABC內(nèi)一點，且AO＝12（OB＋OC），AD＝tAC，若B，O，D三點共線，則t＝（BA.14 B.13 C.12 解析設(shè)E是BC邊的中點，則12（OB＋OC）＝OE，由題意得AO＝OE，所以AO＝114（AB＋AC）＝14AB＋14tAD，又因為B，O，D三點共線，所以14＋14t＝1（2）[全國卷Ⅱ]設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝12解析因為λa＋b與a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ（a＋2b），即（λ－μ）a＋（1－2μ）b＝0.因為向量a，b不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12方法技巧利用共線向量定理解題的策略（1）利用a∥b?a＝λb（b≠0）求解.（2）當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A，B，C三點共線?AB，AC共線.（3）若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.（4）OA＝λOB＋μOC（λ，μ為實數(shù)），若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.注意OA＝λOB＋μOC中的三個向量的起點相同時，才有A，B，C三點共線?λ＋μ＝1.訓(xùn)練3（1）已知e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，OA＝3e1＋2e2，OB＝4e1＋ke2，OC＝5e1－4e2，若A，B，C三點共線，則實數(shù)k的值為（A）A.－1 B.0 C.1 D.2解析解法一因為OA＝3e1＋2e2，OB＝4e1＋ke2，OC＝5e1－4e2，所以AB＝OB－OA＝（4e1＋ke2）－（3e1＋2e2）＝e1＋（k－2）e2，AC＝OC－OA＝（5e1－4e2）－（3e1＋2e2）＝2e1－6e2，又A，B，C三點共線，所以存在唯一的實數(shù)λ，使得AB＝λAC，即e1＋（k－2）e2＝λ（2e1－6e2），所以2λ=1，－6λ＝解法二根據(jù)題意，設(shè)OA＝xOB＋（1－x）OC，則3e1＋2e2＝[4x＋5（1－x）]e1＋[kx－4（1－x）]e2，因為e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，所以4x+5（1－（2）[2023