備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第十章計數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第7講二項分布超幾何分布與正態(tài)分布

第7講二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測1.了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數(shù)字特征，并能解決簡單的實際問題.2.了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題.3.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量.通過具體實例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征.4.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.二項分布2021天津T14；2019天津T16本講常以生產(chǎn)生活實際情境為載體考查二項分布、超幾何分布及正態(tài)分布的應(yīng)用，解題時注意對相關(guān)概念的理解及相關(guān)公式的應(yīng)用.在2025年高考備考時注意對不同分布模型的理解和應(yīng)用.超幾何分布2021浙江T15正態(tài)分布及其應(yīng)用2022新高考卷ⅡT13；2021新高考卷ⅡT61.n重伯努利試驗（1）定義：把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗稱為n重伯努利試驗.（2）特征：a.同一個伯努利試驗重復(fù)做n次；b.各次試驗的結(jié)果相互獨立.2.二項分布（1）定義：一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p（0＜p＜1），用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P（X＝k）＝①Cnkpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作②X～B（n，p）.特別地，當(dāng)n＝1（2）期望與方差：若X～B（n，p），則E（X）＝③np，D（X）＝④np（1－p）.3.超幾何分布（1）定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P（X＝k）＝⑤CMkCN－Mn－kCNn，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min（2）期望：E（X）＝⑥nMN注意二項分布是有放回抽取問題，超幾何分布是不放回抽取問題.4.正態(tài)分布（1）定義：若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f（x）＝1σ2πe－（x－μ）22σ2，x∈R，其中μ∈R，σ＞0為參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為⑦X～N（μ，σ2（2）正態(tài)曲線的特點a.曲線是單峰的，它關(guān)于直線⑧x＝μ對稱.b.曲線在⑨x＝μ處達(dá)到峰值1σc.當(dāng)｜x｜無限增大時，曲線無限接近x軸.d.曲線與x軸之間的面積為⑩1.e.當(dāng)σ取定值時，曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖1所示.f.當(dāng)μ取定值時，曲線的形狀由σ確定.σ越小，曲線越“?瘦高”，表示總體的分布越?集中；σ越大，曲線越“?矮胖”，表示總體的分布越?分散，如圖2所示.說明從圖1，圖2可以發(fā)現(xiàn)參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機(jī)變量的分布相對于均值μ的離散程度.（3）正態(tài)分布三個常用數(shù)據(jù)P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545，P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.9973.說明在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N（μ，σ2）的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為3σ原則.（4）正態(tài)分布的期望與方差：若X～N（μ，σ2），則E（X）＝?μ，D（X）＝?σ2.1.下列說法錯誤的是（A）A.某射手擊中目標(biāo)的概率為0.9，從開始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)X服從二項分布B.從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布C.n重伯努利試驗中各次數(shù)試驗的結(jié)果相互獨立D.正態(tài)分布是對連續(xù)型隨機(jī)變量而言的2.[多選]若袋子中有2個白球，3個黑球（球除了顏色不同，沒有其他任何區(qū)別），現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次，每次取一個球，取到白球記1分，取到黑球記0分，記4次取球的總分?jǐn)?shù)為X，則（BCD）A.X～B（4，35） B.P（X＝3）＝C.E（X）＝85 D.D（X）＝解析由題意知，每次取到白球的概率為25，取到黑球的概率為35，由于取到白球記1分，取到黑球記0分，所以X為4次取球取到白球的個數(shù)，易知X～B（4，25P（X＝3）＝C43（25）3×35＝E（X）＝4×25＝85，故D（X）＝4×25×35＝2425，故D正確3.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（X＞2c－1）＝P（X＜c＋3），則c＝43解析∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（X＞2c－1）＝P（X＜c＋3），∴2c－1+c+32＝34.[教材改編]生產(chǎn)方提供一批產(chǎn)品50箱，其中有2箱不合格產(chǎn)品.采購方接收該批產(chǎn)品的準(zhǔn)則是：從該批產(chǎn)品中任取5箱產(chǎn)品進(jìn)行檢測，若至多有1箱不合格產(chǎn)品，便接收該批產(chǎn)品.則該批產(chǎn)品被接收的概率是243245解析用X表示“5箱中不合格產(chǎn)品的箱數(shù)”，則X服從超幾何分布，且N＝50，M＝2，n＝5.因為這批產(chǎn)品被接收的條件是5箱全部合格或只有1箱不合格，所以該批產(chǎn)品被接收的概率是P（X≤1）＝C20C485研透高考明確方向命題點1二項分布例1（1）已知隨機(jī)變量X～B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝23，則P（X≥2）＝（AA.2027 B.23 C.1627 解析由隨機(jī)變量X～B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝23，得np=2所以P（X≥2）＝1－P（X＝1）－P（X＝0）＝1－C31×（23）1×（1－23）3－1－C30×230×（1－23）3－0（2）為了解觀眾對2023年央視春晚小品節(jié)目《坑》的評價，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取10位觀眾對其打分（滿分10分），得到如下表格：觀眾序號12345678910評分7.88.98.67.48.58.59.59.98.39.1①求這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)；②將頻率視為概率，現(xiàn)從觀眾中隨機(jī)抽取3人對節(jié)目《坑》進(jìn)行評價，記抽取的3人中評分超過9.0的人數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差.解析①將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，為7.4，7.8，8.3，8.5，8.5，8.6，8.9，9.1，9.5，9.9，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為9.1.②樣本中評分超過9.0的有3個，所以評分超過9.0的頻率為0.3.把頻率視為概率，則評分超過9.0的概率為0.3.依題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，0.3），則P（X＝0）＝C30×0.73＝P（X＝1）＝C31×0.3×0.72＝P（X＝2）＝C32×0.32×0.7＝P（X＝3）＝C33×0.33＝所以X的分布列為X0123P0.3430.4410.1890.027（注意根據(jù)分布列中所有可能取值的概率之和為1檢驗所求的分布列是否正確）所以E（X）＝3×0.3＝0.9，D（X）＝3×0.3×0.7＝0.63.方法技巧二項分布問題的解題關(guān)鍵1.定型（1）在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.（2）各次試驗中的事件是相互獨立的.（3）在每一次試驗中，試驗的結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.2.定參：確定二項分布中的兩個參數(shù)n和p，即試驗發(fā)生的次數(shù)和試驗中事件發(fā)生的概率.訓(xùn)練1[天津高考]設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為23，假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立（1）用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.解析（1）因為甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中每天到校情況相互獨立，且每天7：30之前到校的概率均為23，故X～B（3，23），從而P（X＝k）＝C3k（23）k（13）3－k，k＝0所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P1248隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）＝3×23＝（2）設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中每天7：30之前到校的天數(shù)為Y，則Y～B（3，23），且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}由題意知事件{X＝3，Y＝1}與{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}與{Y＝1}，事件{X＝2}與{Y＝0}均相互獨立，從而由（1）知PM命題點2超幾何分布例2[2023北京市朝陽區(qū)質(zhì)檢]某數(shù)學(xué)教師組織學(xué)生進(jìn)行線上答題交流活動，規(guī)定從8道備選題中隨機(jī)抽取題目作答，假設(shè)在8道備選題中，學(xué)生甲答對每道題的概率都是23，且每道題答對與否互不影響，學(xué)生乙、丙都只能答對其中的6道題（1）若甲、乙兩人分別從8道備選題中隨機(jī)抽取1道作答，求至少有1人能答對的概率；（2）若學(xué)生丙從8道備選題中隨機(jī)抽取2道作答，以X表示其中丙能答對的題數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解析（1）由題意可知隨機(jī)抽取1道試題作答，乙能答對的概率為34則甲、乙兩人都不能答對的概率P＝（1－34）×（1－23）＝所以甲、乙兩人至少有1人能答對的概率為1－P＝1112（2）X的所有可能取值為0，1，2，P（X＝0）＝C22C82＝128，P（X＝1）＝C61C21C82X的分布列為X012P1315解法一所以E（X）＝0×128＋1×37＋2×1528解法二因為X服從超幾何分布H（8，6，2），所以E（X）＝6×28方法技巧1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù).2.超幾何分布的特征是：（1）考查對象分兩類；（2）已知各類對象的個數(shù)；（3）從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.3.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型.訓(xùn)練2[天津高考]已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時間的調(diào)查.（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.解析（1）由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2.由于采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人.（2）（i）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，且服從超幾何分布，則PX=k=C4k·C33－所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P112184所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.（也可直接由超幾何分布的期望計算公式E（（ii）設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A＝B∪C，且B與C互斥.由（i）知，P（B）＝P（X＝2），P（C）＝P（X＝1），故P（A）＝P（B∪C）＝P（X＝2）＋P（X＝1）＝67所以事件A發(fā)生的概率為67命題點3正態(tài)分布及其應(yīng)用例3（1）[2021新高考卷Ⅱ]某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10，σ2），則下列結(jié)論中不正確的是（D）A.σ越小，該物理量一次測量結(jié)果落在（9.9，10.1）內(nèi)的概率越大B.該物理量一次測量結(jié)果大于10的概率為0.5C.該物理量一次測量結(jié)果小于9.99的概率與大于10.01的概率相等D.該物理量一次測量結(jié)果落在（9.9，10.2）內(nèi)的概率與落在（10，10.3）內(nèi)的概率相等解析設(shè)該物理量一次測量結(jié)果為X，對于A，σ越小，說明數(shù)據(jù)越集中在10附近，所以X落在（9.9，10.1）內(nèi)的概率越大，所以選項A正確；對于B，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得，P（X＞10）＝0.5，所以選項B正確；對于C，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得，P（X＞10.01）＝P（X＜9.99），所以選項C正確；對于D，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得，P（9.9＜X＜10.2）－P（10＜X＜10.3）＝P（9.9＜X＜10）－P（10.2＜X＜10.3），又P（9.9＜X＜10）＞P（10.2＜X＜10.3），所以P9.9<X<10.2>（2）某工廠制造的某種機(jī)器零件的尺寸X（單位：mm）近似服從正態(tài)分布N（100，0.01），現(xiàn)從中隨機(jī)抽取10000個零件，尺寸在[99.8，99.9]內(nèi)的個數(shù)約為（附：若隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545）（B）A.2718 B.1359 C.430 D.215解析∵X～N（100，0.01），∴μ＝100，σ＝0.1，則P（99.8≤X≤99.9）＝P（μ－2σ≤X≤μ－σ）＝12[P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）－P（μ－σ≤X≤μ＋σ）]≈12×（0.9545－0.6827）＝10000個零件中尺寸在[99.8，99.9]內(nèi)的個數(shù)約為10000×0.1359＝1359.方法技巧解決正態(tài)分布問題的思路1.把給出的區(qū)間或范圍與參數(shù)μ，σ進(jìn)行對比計算，確定它們屬于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一個.2.利用正態(tài)曲線的對稱性轉(zhuǎn)化所求概率，常用結(jié)論如下：（1）P（X≥μ）＝P（X＜μ）＝0.5；（2）對任意的a，有P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）；（3）P（X＜x0）＝1－P（X≥x0）；（4）P（a＜X＜b）＝P（X＜b）－P（X≤a）.訓(xùn)練3（1）[2022新高考卷Ⅱ]已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，則P（X＞2.5）＝0.14.解析因為X～N（2，σ2），所以P（X＞2）