2024屆二輪復(fù)習(xí) 基本不等式 作業(yè)

優(yōu)化集訓(xùn)2基本不等式基礎(chǔ)鞏固1.(2022浙江溫州新力量聯(lián)盟)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足1x+1y=2,則A.2 B.2 C.12 D.2.下列各式中,對任何實(shí)數(shù)x都成立的一個(gè)式子是()A.x+1≥2x B.x2+1>2xC.1x2+1≤1 D.3.已知0<x<1,則函數(shù)y=x(3-3x)取得最大值時(shí)x的值為()A.13 B.12 C.234.(2021浙江溫州模擬)已知x,y為實(shí)數(shù),則“x>0,y>0”是“x+y2≤A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.下列不等式恒成立的是()A.a2+b2≤2ab B.a2+b2≥-2abC.a+b≥2ab D.a+b≤-2ab6.(2023浙江嘉興期末)若正數(shù)a,b滿足a+b=ab,則a+4b的最小值是()A.7 B.9 C.13 D.257.(2022浙江杭州學(xué)軍中學(xué))若m+n=1(m>0,n>0),則1m+1A.4 B.6 C.9 D.128.已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)P(a,b)在一次函數(shù)y=-8x+5的圖象上,則2a+1A.25 B.5 C.4 D.59.(2023浙江紹興)已知a>0,b>0,且a+b=4,則下列取值有可能的是()A.ba+ab=2 B.C.1a2+1b2=1410.(多選)(2023浙江溫州)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=xy,則()A.xy≥8 B.x+y≥6C.1x-1+8y≥4 D.11.(多選)(2023浙江麗水)已知正數(shù)a,b滿足a+b=1,則下列結(jié)論正確的是()A.0<ab≤14 BC.a+b≤2 D.2a+12.已知x<54,則函數(shù)y=4x-2+14x-13.(2022浙江寧波中學(xué))若實(shí)數(shù)x,y滿足x>y>0且log2x+log2y=1,則x2+y214.若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值為.

15.對任意的正數(shù)x,不等式ax≤x2+4恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值為.

16.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0.求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.17.(1)當(dāng)x>0時(shí),求函數(shù)y=x2(2)當(dāng)x<1時(shí),求函數(shù)y=x2+2能力提升18.(多選)(2022浙江寧波中學(xué))下列說法正確的是()A.不等式a+b>2ab恒成立B.存在實(shí)數(shù)a,使得不等式a+1aC.若a,b為正實(shí)數(shù),則baD.若正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y=1,則2x19.已知正數(shù)x,y滿足x2+2xy-1=0,則3x2+4y2的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.420.(2023浙江鎮(zhèn)海中學(xué))已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+xy-2y2=1,則3x2-2xy的最小值是.

21.(2023浙江寧波期末)炎炎夏日,古代人們乘涼時(shí)用的紙疊扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形加工制作而成.如圖,扇形紙疊扇完全展開后,得到的扇形ABC面積為100π2cm2,則當(dāng)該紙疊扇的周長最小時(shí),AB的長度為cm.

22.已知實(shí)數(shù)a,b,c∈R,且a+b+c=1,求證:a2+b2+c2≥1323.為了加強(qiáng)“平安校園”建設(shè),保障師生安全,某校決定在學(xué)校門口利用一側(cè)原有墻體,建造一間墻高為3米,底面為24平方米,且背面靠墻的長方體形狀的校園警務(wù)室.由于此警務(wù)室的后背靠墻,無需建造費(fèi)用,甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)為:屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元,左右兩面新建墻體報(bào)價(jià)為每平方米300元,屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)14400元.設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為x米(3≤x≤6).(1)當(dāng)左右兩面墻的長度為多少時(shí),甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低?并求出最低報(bào)價(jià).(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也要參與此警務(wù)室的建造競標(biāo),其給出的整體報(bào)價(jià)為1800a(1+x)x

優(yōu)化集訓(xùn)2基本不等式基礎(chǔ)鞏固1.D解析∵x>0,y>0,∴2=1x+1y≥2xy2.C解析對于選項(xiàng)A,當(dāng)x<0時(shí)不成立;對于選項(xiàng)B,當(dāng)x=1時(shí)不成立;對于選項(xiàng)D,當(dāng)x<0時(shí)不成立;對于選項(xiàng)C,因?yàn)閤2+1≥1,所以1x2+1≤1成立3.B解析因?yàn)?<x<1,所以y=x(3-3x)=3x(1-x)≤3×x+1-x22=34,當(dāng)且僅當(dāng)x=14.A解析當(dāng)x>0,y>0時(shí),由x+y22-x2+y22=-x5.B解析由a,b∈R可知a2+b2≥2|ab|≥-2ab,所以選項(xiàng)B正確.6.B解析(方法1)由a+b=ab,得(a-1)(b-1)=1,∴a-1>0,b-1>0,∴a+4b=(a-1)+4(b-1)+5≥5+2(a-1)·4(b(方法2)由a+b=ab,得1a+1b=1,∴a+4b=(a+4b)·(1a+1b)=5+4ba+a7.A解析因?yàn)閙+n=1(m>0,n>0),則1m+1n=m+nm+m+nn=8.B解析由題意知b=-8a+5,且a>0,b>0,故8a+從而2a+1b=(2a+1b)·8a+b5=15(17+2ba9.A解析對于A,已知a>0,b>0,所以ba+ab≥2ba·ab=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí),等號(hào)成立,故A正確;對于B,已知a>0,b>0,所以a+ba=a+4-aa=a+4a-1≥24-1=3,當(dāng)且僅當(dāng)a=4a,即a=2,b=2時(shí),等號(hào)成立,所以a+ba=2不成立,故B錯(cuò)誤;對于C,已知a>0,b>0,且a+b=4,所以(a+b)2=16,16a2+16b2=(a+b)2a2+(a+b)2b2=a2+b2+2aba2+a2+b2+2abb2=10.AD解析由題知,正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=xy,所以2y+1x=1,對于A,因?yàn)?x+y≥22xy,當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí),等號(hào)成立,所以xy≥22xy,所以x2y2≥8xy,即xy≥8,故A正確;對于B,x+y=(x+y)·(2y+1x)=2xy+yx+3≥22xy·yx+3=22+3,當(dāng)且僅當(dāng)2xy=yx,且2y+1x=1,即x=2+1,y=2+2時(shí),等號(hào)成立,故B錯(cuò)誤;對于C,因?yàn)?x+y=xy,所以x=yy-2,所以1x-1=1yy-2-1=12y-2=y-22=y2-1,所以1x-1+8y=y2+8y-1≥2y2·8y-1=3,當(dāng)且僅當(dāng)y2=8y,且x=yy-2,即x=2,y=4時(shí),等號(hào)成立,故C錯(cuò)誤;對于D,由選項(xiàng)A得xy≥8,所以2x211.CD12.1解析因?yàn)閤<54,所以4x-5<0,所以y=4x-2+14x-5=-[(5-4x)+15-4x]+3≤3-2(513.4解析由log2x+log2y=1,得xy=2,x2+y2x-y=x14.5解析因?yàn)閤+3y=5xy,所以35x+15y=1.所以3x+4y=(3x+4y)·(35x+15y)=9515.4解析因?yàn)閤>0,所以不等式ax≤x2+4恒成立即為a≤x+4x恒成立.因?yàn)閤+4x≥2x·4x=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=4x,x=2時(shí)等號(hào)成立.16.解(1)因?yàn)閤>0,y>0,2x+8y-xy=0≥216xy-xy所以有xy≥8,解得xy≥64.當(dāng)且僅當(dāng)2x=8y,即x=16,y=4時(shí),等號(hào)成立.所以xy的最小值為64.(2)因?yàn)?x+8y-xy=0,所以有8x+所以x+y=(x+y)·(8x+2y)=8+2+8yx+當(dāng)且僅當(dāng)8yx=2xy所以x+y的最小值為18.17.解(1)因?yàn)閤>0,所以y=x2+3x+42x=x2+2(2)因?yàn)閤<1,所以t=1-x>0.所以y=x2+2x-1=(1-t)2+2當(dāng)且僅當(dāng)t=3t,t=1-x=3,即x=1-3時(shí),等號(hào)成立所以函數(shù)的最大值為2-23.能力提升18.BCD解析對于A選項(xiàng),當(dāng)a<0,b<0時(shí)不成立,故錯(cuò)誤;對于B選項(xiàng),當(dāng)a<0時(shí),a+1a=-[(-a)+(-1a)]≤-2,當(dāng)且僅當(dāng)a=-1時(shí),等號(hào)成立,故正確;對于C選項(xiàng),若a,b為正實(shí)數(shù),則ba>0,ab>0,所以ba+ab≥2ba·ab=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,故正確;對于D選項(xiàng),x>0,y>0,2x+1y=(2x+1y)(x+19.B解析(方法1)3x2+4y2=2x2+x2+4y2≥2x2+2x2·4y2=2x2+4xy=2(x2+2xy)=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,(方法2)根據(jù)題意可得2xy=1-x2,由x>0,所以y=1-x22x=12x-x2,由y=12x-x2>0,可得x2<1,即0<x<1,3x2+4y2=3x2+4(12x-x2)2=4x2+1x2-20.2解析(方法1)3x2-2xy=x2-2xy+2(2y2-xy+1)=x2-4xy+4y2+2=(x-2y)2+2≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y(方法2)由x2+xy-2y2=1得(x+2y)(x-y)=1,設(shè)m=x+2∴3x2-2xy=3×(m+2n3)2-2×當(dāng)且僅當(dāng)m2∴3x2-2xy的最小值是2.21.10π解析設(shè)扇形ABC的半徑為rcm,弧長為lcm,則扇形面積S=12rl由題意得12rl=100π2,所以rl=200π2,所以紙疊扇的周長C=2r+l≥22rl=2400π2=40π,當(dāng)且僅當(dāng)2r=22.證明因?yàn)閍+b+c=1,兩邊平方,展開有a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.因?yàn)楫?dāng)a,b,c∈R時(shí),有a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以有a2+b2+b2+c2+c2+a2=2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca=1-a2-b2-c2,所以3a2+3b2+3c2≥1,即a2+b2+c2≥13當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號(hào)成立.23.解(1)設(shè)甲工程隊(duì)的總報(bào)