自動(dòng)控制原理（李國(guó)勇第4版）課件 第6、7章 線性控制系統(tǒng)的校正方法、非線性控制系統(tǒng)分析

第6章

線性控制系統(tǒng)的校正方法

目錄6-1

系統(tǒng)校正的基礎(chǔ)知識(shí)

6-2

串聯(lián)校正

6-3

反饋校正

6-4

復(fù)合校正

6-5

基于MATLAB的控制系統(tǒng)校正

1

前幾章介紹了線性控制系統(tǒng)的分析方法，并利用這些方法分析了控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。在實(shí)際工程控制問(wèn)題中，當(dāng)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)不能滿足要求時(shí)，就必須在系統(tǒng)原有結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上引入新的附加環(huán)節(jié)，以作為同時(shí)改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能的手段。這種添加新的環(huán)節(jié)去改善系統(tǒng)性能的過(guò)程稱為對(duì)控制系統(tǒng)的校正，或者稱為控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，把附加的環(huán)節(jié)稱為校正裝置。工業(yè)過(guò)程控制中所用的PID控制器就屬于校正裝置。2

6-l系統(tǒng)校正的基礎(chǔ)知識(shí)6.1.1性能指標(biāo)

性能指標(biāo)是衡量控制系統(tǒng)性能優(yōu)劣的尺度，也是系統(tǒng)設(shè)計(jì)的技術(shù)依據(jù)。校正裝置的設(shè)計(jì)通常是針對(duì)某些具體性能指標(biāo)來(lái)進(jìn)行的。系統(tǒng)常用的性能指標(biāo)有以下兩類。1．穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)有：靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp、靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv、靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka和穩(wěn)態(tài)誤差ess，它們能反映出系統(tǒng)的控制精度。32．動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)

(l)時(shí)域性能指標(biāo)有：上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tp、調(diào)整時(shí)間ts、最大超調(diào)量(或最大百分比超調(diào)量)M

p；

(2)頻域性能指標(biāo)包括開環(huán)頻域指標(biāo)和閉環(huán)頻域指標(biāo)。4

正確選擇各項(xiàng)性能指標(biāo)，是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的一項(xiàng)最為重要的工作。不同系統(tǒng)對(duì)指標(biāo)的要求應(yīng)有所側(cè)重，如調(diào)速系統(tǒng)對(duì)平穩(wěn)性和穩(wěn)態(tài)精度要求嚴(yán)格，而隨動(dòng)系統(tǒng)則對(duì)快速性能要求很高。另外，性能指標(biāo)的提出應(yīng)切合實(shí)際，滿足生產(chǎn)要求，切忌盲目追求高指標(biāo)而忽視經(jīng)濟(jì)性，甚至脫離實(shí)際。總之，系統(tǒng)性能指標(biāo)既要滿足設(shè)計(jì)的需要，又不過(guò)于苛刻，以便容易實(shí)現(xiàn)。56.1.2校正方式

校正裝置的設(shè)計(jì)是自動(dòng)控制系統(tǒng)全局設(shè)計(jì)中的重要組成部分。設(shè)計(jì)者的任務(wù)是在不改變系統(tǒng)被控對(duì)象的情況下，選擇合適的校正裝置，并計(jì)算和確定其參數(shù)，以使系統(tǒng)滿足所要求的各項(xiàng)性能指標(biāo)。按照校正裝置在系統(tǒng)中的聯(lián)接方式，控制系統(tǒng)的校正方式可以分為串聯(lián)校正、反饋（并聯(lián)）校正和復(fù)合校正三種方式。61．串聯(lián)校正如果校正裝置Gc(s)串聯(lián)在系統(tǒng)的前向通道中，則稱其為串聯(lián)校正，如圖6-1所示。2．反饋校正如果校正裝置Gc(s)設(shè)置在系統(tǒng)的局部反饋回路的反饋通道上，則稱其為反饋校正，如圖6-2所示。

圖6-1串聯(lián)校正圖6-2反饋校正73．復(fù)合校正復(fù)合校正是校正裝置Gc(s)設(shè)置在系統(tǒng)反饋回路之外采用的校正方法，如圖6-3所示。其中圖6-3(a)為按輸入補(bǔ)償?shù)膹?fù)合校正形式，圖6-3(b)為按擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)膹?fù)合校正形式。

(a)按輸入補(bǔ)償?shù)膹?fù)合校正

(b)按擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)膹?fù)合校正圖6-3復(fù)合校正8

實(shí)際中究竟選擇何種校正裝置和校正方式，主要取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)、采用的元件、信號(hào)的性質(zhì)、性能指標(biāo)等要求。一般來(lái)說(shuō)，串聯(lián)校正比反饋校正簡(jiǎn)單、且易實(shí)現(xiàn)。串聯(lián)校正裝置通常設(shè)于前向通道中能量較低的部位上，且采用有源校正網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)現(xiàn)。反饋校正的信號(hào)是從高功率點(diǎn)傳向低功率點(diǎn)，故通常不采用有源元件，另外反饋校正還可以消除系統(tǒng)中原有部分參數(shù)或非線性因素對(duì)系統(tǒng)性能的不良影響。前饋校正或干擾補(bǔ)償常作為反饋控制系統(tǒng)的附加校正而組成復(fù)合校正系統(tǒng)，對(duì)既要求穩(wěn)態(tài)誤差小，同時(shí)又要求動(dòng)態(tài)特性好的系統(tǒng)尤為適用。96-2串聯(lián)校正

串聯(lián)校正是最常用的校正方式。按校正裝置的特點(diǎn)來(lái)分，串聯(lián)校正分為串聯(lián)超前（微分）校正、串聯(lián)滯后（積分）校正和串聯(lián)滯后-超前（積分-微分）校正。按校正方法來(lái)分，串聯(lián)校正又分為頻率法串聯(lián)校正和根軌跡法串聯(lián)校正。106.2.1串聯(lián)校正裝置及其特性1.PID控制器

PID控制器是比例積分微分控制器的簡(jiǎn)稱，它的控制規(guī)律是比例、積分和微分三種控制作用的疊加，又稱為比例微分積分校正。在工業(yè)生產(chǎn)自動(dòng)控制的發(fā)展歷程中，PID控制器是歷史最久、生命力最強(qiáng)的基本控制方式，它的基本原理卻比較簡(jiǎn)單，其基本PID控制器的傳遞函數(shù)可描述為

(6-1)式中，Kp為比例系數(shù)或增益(視情況可設(shè)置為正或負(fù))；Ti為積分時(shí)間；Td為微分時(shí)間。11

設(shè)計(jì)者的問(wèn)題是如何恰當(dāng)?shù)亟M合這些環(huán)節(jié)，確定連接方式以及它們的參數(shù)，以便使系統(tǒng)全面滿足所要求的性能指標(biāo)。當(dāng)Ti=

；Td=0時(shí)，PID控制器可實(shí)現(xiàn)比例控制（簡(jiǎn)稱P控制）作用，所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為

(6-2)

當(dāng)Ti=

時(shí)，PID控制器可實(shí)現(xiàn)比例微分控制（簡(jiǎn)稱PD控制）作用，所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為為

(6-3)

當(dāng)Td=0時(shí)，PID控制器可實(shí)現(xiàn)比例積分控制（簡(jiǎn)稱PI控制）作用，所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為

(6-4)12

其中式(6-5)中微分作用項(xiàng)多了一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，這是因?yàn)椴捎脤?shí)際元件很難實(shí)現(xiàn)理想微分環(huán)節(jié)。在系統(tǒng)校正中的作用，從濾波器的角度來(lái)看，PD控制器是一高通濾波器，屬超前校正裝置；PI控制器是一低通濾波器，屬滯后校正裝置；而PID控制器是由其參數(shù)決定的帶通濾波器，屬滯后-超前校正裝置。下面主要對(duì)用無(wú)源網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的校正裝置說(shuō)明其特性。實(shí)際工業(yè)中PID控制器的傳遞函數(shù)為

(6-5)132.超前校正裝置如果校正裝置的輸出信號(hào)在相位上超前于輸入信號(hào)，即校正裝置具有正的相位特性，則稱這種校正裝置為超前校正裝置，對(duì)系統(tǒng)的校正稱為超前校正。（1）超前校正裝置的傳遞函數(shù)根據(jù)PD控制器的傳遞函數(shù)式(6-3)可知其頻率特性為可以看出，在正弦函數(shù)作用下，PD控制器輸出信號(hào)的相位超前于輸入信號(hào)，超前角為arctg(ωTd)。當(dāng)ω→∞時(shí)，arctg(ωTd)→90°。因此PD控制器就是超前校正裝置。14

另外，在控制系統(tǒng)中，還可以采用無(wú)源或有源網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成超前校正裝置。圖6-4所示為RC網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的超前校正裝置，該裝置的傳遞函數(shù)為令則(6-6)15

同理，由電氣或機(jī)械構(gòu)成的超前校正裝置也具有以上相同的傳遞函數(shù)。它們都具有與PD控制器想類似的頻率特性，實(shí)際上是一種帶慣性的比例微分控制器。超前校正裝置的零點(diǎn)，極點(diǎn)均位于負(fù)實(shí)軸上，如上圖6-5所示。其中零點(diǎn)總位于極點(diǎn)的右邊起主要作用，零、極點(diǎn)之間的距離由

值確定。超前網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的超前相角為

(6-7)

16由式(6-7)可知，

越大，超前相角越小，其微分作用也越弱。另外從校正裝置的表達(dá)式來(lái)看，采用無(wú)源相位超前校正裝置時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)增益要下降

倍。即

越小，系統(tǒng)的開環(huán)增益要下降的也越多，故一般取

=0.2

0.05。為了補(bǔ)償超前裝置帶來(lái)的幅值衰減，通常在采用無(wú)源RC超前校正裝置的同時(shí)串入一個(gè)放大倍數(shù)Kc=1/

的放大器。超前校正裝置加放大器后，式(6-6)所示超前校正裝置的傳遞函數(shù)可表示為

(6-8)其頻率特性

(6-9)

17（2）超前校正裝置的極坐標(biāo)圖

由超前校正裝置的頻率特性表達(dá)式(6-9)知，當(dāng)時(shí)，時(shí)，在極坐標(biāo)圖上的軌跡為一半園，園心為，

半徑為，當(dāng)變化時(shí)，一直為正，且有一最大超前相位角，它與的關(guān)系可由圖6-6求得。18

根據(jù)圖6-6，由得最大超前相角

(6-10)

對(duì)應(yīng)最大超前相角的頻率，可令求得，即

(6-11)

最大超前相角

m僅與

值有關(guān)，

愈小，輸出信號(hào)相位超前愈多，另一方面

的選擇要考慮系統(tǒng)的高頻噪聲。19（3）超前校正裝置的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖超前校正裝置頻率特性在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的轉(zhuǎn)折頻率為和且當(dāng)時(shí)，

時(shí)，

時(shí)，

2021

超前校正裝置的頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖如圖6-7所示。相頻曲線具有正相角，即網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)輸出在相位上超前于輸入，故稱為超前校正網(wǎng)絡(luò)。由圖6-7可見(jiàn)超前校正裝置是一個(gè)高通濾波器（高頻通過(guò)，低頻被衰減），它主要能使系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)得到顯著改善，而穩(wěn)態(tài)精度的提高則較小。超前校正裝置是通過(guò)起相位超前效應(yīng)獲得所需效果。223.滯后校正裝置如果校正裝置的輸出信號(hào)在相位上落后于輸入信號(hào)，即校正裝置具有負(fù)的相位特性，則稱這種校正裝置稱為滯后校正裝置，對(duì)系統(tǒng)的校正稱為滯后校正。（1）滯后校正裝置的傳遞函數(shù)根據(jù)PI控制器的傳遞函數(shù)式(6-4)可知其頻率特性為23

可以看出，在正弦函數(shù)作用下，PI控制器輸出信號(hào)的相位滯后于輸入信號(hào)，滯后角。當(dāng)時(shí)，。因此PI控制器就是滯后校正裝置。另外，在控制系統(tǒng)中，還可以采用無(wú)源或有源網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成超前校正裝置。圖6-8所示為RC網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的滯后校正裝置，該裝置的傳遞函數(shù)為24令則(6-12)

同理，由電氣或機(jī)械構(gòu)成的滯后校正裝置也具有以上相同的傳遞函數(shù)。當(dāng)β足夠大時(shí)，即，則式(6-12)可寫成

即電氣或機(jī)械構(gòu)成的滯后校正裝置相當(dāng)于一個(gè)比例積分控制器。25

滯后校正裝置的零點(diǎn)，極點(diǎn)均位于負(fù)實(shí)軸上，如圖6-9所示。其中極點(diǎn)總位于零點(diǎn)的右邊起主要作用，零、極點(diǎn)之間的距離由值確定。根據(jù)式(6-12)所示滯后校正裝置的傳遞函數(shù)，可得其頻率特性為

(6-13)26（2）滯后校正裝置的極坐標(biāo)圖

由滯后校正裝置的頻率特性表達(dá)式(6-13)知，當(dāng)時(shí)

在極坐標(biāo)圖上的軌跡為一半園，園心為，半徑為，當(dāng)變化時(shí)，一直為負(fù)，且有一最大滯后相位角，它與β的關(guān)系可由圖6-10求得。

27

同理可求得最大滯后相角和對(duì)應(yīng)最大滯后相角的頻率

(6-14)

(6-15)28（3）滯后校正裝置的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖滯后校正裝置頻率特性在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的轉(zhuǎn)折頻率為和，且當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，滯后校正裝置的頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖如圖6-11所示。相頻曲線具有負(fù)相角，即網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)輸出在相位上滯后于輸入，故稱為滯后校正網(wǎng)絡(luò)。29

由圖6-11可見(jiàn)滯后校正裝置是一個(gè)低通濾波器（低頻通過(guò)，高頻被衰減），且

值愈大，抑制高頻噪聲的能力愈強(qiáng)，抗高頻干擾性能越好，但是響應(yīng)速度變慢，故滯后校正能使穩(wěn)態(tài)精度得到顯著提高，但瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間卻隨之而增加。應(yīng)用滯后校正裝置的目的，主要是利用其高頻衰減特性。304.滯后-超前校正裝置若校正裝置在某一頻率范圍內(nèi)具有負(fù)的相位特性，而在另一頻率范圍內(nèi)卻具有正的相位特性，這種校正裝置稱滯后-超前校正裝置，對(duì)系統(tǒng)的校正稱為滯后-超前校正。（1）滯后-超前校正裝置的傳遞函數(shù)由式(6-1)可知PID控制器的傳遞函數(shù)為或

(6-16)31

式(6-16)中的項(xiàng)即為PI控制器的滯后校正裝置，項(xiàng)即為PD控制器的超前校正裝置。另外，在控制系統(tǒng)中，還可以采用無(wú)源或有源網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成滯后-超前校正裝置，下面主要對(duì)用無(wú)源網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的校正裝置說(shuō)明其特性。圖6-12所示為RC網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的滯后-超前校正裝置，該裝置的傳遞函數(shù)為32

令則

(6-17)

式(6-17)等號(hào)右邊的第一項(xiàng)產(chǎn)生滯后網(wǎng)絡(luò)的作用，第二項(xiàng)產(chǎn)生超前網(wǎng)絡(luò)的作用。具有與PID控制器相類似的特性。滯后-超前校正裝置的零點(diǎn)、極點(diǎn)均位于負(fù)實(shí)軸上，如圖6-13所示。33（2）滯后-超前校正裝置的極坐標(biāo)圖 根據(jù)滯后-超前校正裝置的傳遞函數(shù)式(6-17)，可得其極坐標(biāo)圖如圖6-14所示，由圖6-14可知，當(dāng)時(shí)，相位角為負(fù)，而當(dāng)時(shí)，相位角為正。在相位角等于零時(shí)的頻率為

(6-18)34（3）滯后-超前校正裝置的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖滯后-超前校正裝置頻率特性在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的轉(zhuǎn)折頻率為、、和，且當(dāng)時(shí)，；時(shí)，

滯后-超前校正裝置的頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖如圖6-15所示。由圖可知，曲線低頻段具有負(fù)相角，即當(dāng)時(shí)，它起滯后網(wǎng)絡(luò)的作用，而高頻段具有正相角，即當(dāng)時(shí)，它起超前網(wǎng)絡(luò)的作用。它綜合了滯后裝置和超前裝置的特點(diǎn)，即可同時(shí)提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)特性，故稱滯后-超前校正裝置。356.2.2頻率法串聯(lián)校正

在設(shè)計(jì)、分析控制系統(tǒng)時(shí)，最常用的方法是頻率法。應(yīng)用頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正，其目的是改變頻率特性的形狀，使校正后的系統(tǒng)頻率特性具有合適的低頻、中頻和高頻特性以及足夠的穩(wěn)定裕量，從而滿足所要求的性能指標(biāo)。頻率特性法設(shè)計(jì)校正裝置主要是通過(guò)對(duì)數(shù)頻率特性(Bode圖)來(lái)進(jìn)行。開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的低頻段決定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，根據(jù)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)確定低頻段的斜率和高度；為保證系統(tǒng)具有足夠的穩(wěn)定裕量（45

左右），開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性在剪切頻率ωc附近的斜率應(yīng)為-20dB/dec，而且應(yīng)具有足夠的中頻寬度，以保證在系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，相位裕量變化不大；為抑制高頻干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，高頻段應(yīng)盡可能迅速衰減。361.頻率法的串聯(lián)超前校正串聯(lián)超前校正是利用超前校正裝置的正相角來(lái)增加系統(tǒng)的相角裕量，以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。超前校正裝置的主要作用是通過(guò)其相位超前特性，產(chǎn)生足夠大的相位超前角，以補(bǔ)償原來(lái)系統(tǒng)中元件造成的過(guò)大的相位滯后。因此校正時(shí)應(yīng)使校正裝置的最大超前相位角出現(xiàn)在校正后系統(tǒng)的開環(huán)剪切頻率(幅頻特性的幅值穿越頻率)ωc處。

根據(jù)上述設(shè)計(jì)思想，利用頻率法設(shè)計(jì)超前校正裝置的步驟:37(1)如果系統(tǒng)的開環(huán)增益K未給定，則根據(jù)性能指標(biāo)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求，確定開環(huán)增益K；

(2)利用確定的開環(huán)增益K，畫出未校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)的Bode圖，并求出其相位裕量

和幅值裕量Kg；

(3)確定為使相位裕量達(dá)到要求值，所需增加的超前相位角φc，即

(6-19)式中，

*為要求的相位裕量；

是因?yàn)榭紤]到校正裝置影響剪切頻率的位置而附加的相位裕量，當(dāng)未校正系統(tǒng)中頻段的斜率為-40dB/dec時(shí)，取

=50

150，當(dāng)未校正系統(tǒng)中頻段斜率為-60dB/dec時(shí)，取

=150

200；38(4)令超前校正裝置Gc(s)的最大超前相位角φｍ=φｃ，則由下式可求出校正裝置的參數(shù)α；

(6-20)(5)若將校正裝置的最大超前相位角處的頻率ωｍ作為校正后系統(tǒng)的剪切頻率ω’c

，則有即可得或(6-21)可見(jiàn)，未校正系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性幅值等于時(shí)的頻率，即為校正后系統(tǒng)的剪切頻率ω’c；39(6)根據(jù)ωｍ=ω’c，利用下式求超前校正裝置的參數(shù)T(6-22)

由此可得，超前校正裝置加放大器Kｃ=1/

后的傳遞函數(shù)為

(6-23)(7)畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，檢驗(yàn)性能指標(biāo)是否已全部達(dá)到要求，若不滿足要求，可增大ε值，從第三步起重新計(jì)算。40

特別指出，如果系統(tǒng)的開環(huán)增益K已給定，通常補(bǔ)償放大器的增益Kｃ

1/

。此時(shí)超前校正裝置加補(bǔ)償放大器Kｃ后的傳遞函數(shù)為

補(bǔ)償放大器的增益Kc可根據(jù)性能指標(biāo)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求來(lái)確定。41例6-1

設(shè)有一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv*=20(1/s)，相位裕量

*≥50°，幅值裕量Kg*≥10dB，試確定串聯(lián)校正裝置。42解(1)根據(jù)

可求出K=20，即(2)根據(jù)已確定的k值，繪制原系統(tǒng)的Bode圖，如圖6-16中所示，并求得原系統(tǒng)的幅值穿越頻率ωc=6.2rad/s；相位穿越頻率ωg=∞；幅值裕量為Kg=+∞dB；相位裕量

=18°。它們均不滿足要求。43(3)系統(tǒng)需要增加的超前相位角φc為(4)令超前校正裝置的最大超前相位角φｍ=φｃ，則由下式可求出校正裝置的參數(shù)α；

(5)由，得校正后系統(tǒng)的剪切頻率44(6)根據(jù)，可得則超前校正網(wǎng)絡(luò)加放大器后，其傳遞函數(shù)為(7)校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(8)畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，如圖6-16中所示，檢驗(yàn)性能指標(biāo)是否已全部達(dá)到要求。454647由圖6-16可知，校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率rad/s；相位穿越頻率；相位裕量幅值裕量

從例6-1看出，系統(tǒng)采用串聯(lián)超前校正后，不僅使中頻區(qū)斜率變?yōu)?20dB/dec，占據(jù)一定頻帶范圍，從而增大了系統(tǒng)的相角裕量，降低了系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量；而且也使系統(tǒng)的幅值穿越頻率增大了，從而增加了系統(tǒng)的頻帶寬度，使系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快。dB，故系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)的要求。48

如果例6-1系統(tǒng)的開環(huán)增益K=20，要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)(1/s)。則根據(jù)以上設(shè)計(jì)步驟可得校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)可得Kc=5。49

但是必須指出，在有些情況下，串聯(lián)超前校正的應(yīng)用受到限制。例如，當(dāng)未校正系統(tǒng)的相位裕量和要求的相位裕量相差很大時(shí)，超前校正網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)

值將會(huì)過(guò)小，而使系統(tǒng)的帶寬過(guò)大，不利抑制高頻噪聲。另外，未校正系統(tǒng)的相角在所需剪切頻率附近急劇向負(fù)值增大時(shí)，采用串聯(lián)超前校正往往效果不大。此時(shí)應(yīng)考慮其它類型的校正裝置，如多級(jí)串聯(lián)超前校正、串聯(lián)滯后校正或串聯(lián)滯后-超前校正等。

502.頻率法的串聯(lián)滯后校正串聯(lián)滯后校正是利用滯后校正裝置的高頻衰減特性，減小幅值穿越頻率，提高系統(tǒng)的相角裕量，以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和某些動(dòng)態(tài)性能。因而在設(shè)計(jì)滯后校正裝置時(shí)，應(yīng)力求避免讓最大的相位滯后發(fā)生在新的幅值穿越頻率附近，以保證系統(tǒng)在新的幅值穿越頻率附近的相頻特性曲線變化不大。51

由于滯后校正裝置的高頻衰減特性，減小了系統(tǒng)帶寬，降低了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。因此，當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能滿足要求，而其動(dòng)態(tài)性能不滿足要求，同時(shí)對(duì)響應(yīng)速度要求不高而抑制噪聲又要求較高時(shí)，可考慮采用串聯(lián)滯后校正。另外，當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能已經(jīng)滿足要求，僅穩(wěn)態(tài)性能不滿足要求時(shí)，為了改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而又不影響其動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)，也可采用串聯(lián)滯后校正。52

根據(jù)上述設(shè)計(jì)思想，利用頻率法設(shè)計(jì)滯后校正裝置的步驟為：

(1)如果系統(tǒng)的開環(huán)增益K未給定，則根據(jù)性能指標(biāo)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求，確定開環(huán)增益K；

(2)利用已確定的開環(huán)增益K，畫出未校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)的Bode圖，并求出其相位裕量

和幅值裕量Kg；53(3)如未校正系統(tǒng)的相位和幅值裕量不滿足要求，尋找一新的剪切頻率ω’c，在ω’c處的相位角應(yīng)滿足下式

∠GK(jω’c)=-180°+r*+ε(6-24)式中，r*為要求的相位裕量；ε是為補(bǔ)償滯后校正裝置的相位滯后而附加的相位角，一般取ε=50

120；

54(4)為使滯后校正裝置Gc(s)對(duì)系統(tǒng)的相位滯后影響較小（一般限制在50

120），其最大滯后相角處的頻率ωm應(yīng)遠(yuǎn)小于ω’c（即ωm<<ω’c）。因此，一般取滯后校正裝置的第二個(gè)穿越頻率：ω2=1/T=(1/2

1/10)ω’c，ω2取得愈小，對(duì)系統(tǒng)的相位裕量影響愈小，但太小則校正裝置的時(shí)間常數(shù)T將很大，這也是不允許的；55(5)確定使校正后系統(tǒng)的幅值曲線在新的剪切頻率ω’c處下降到0dB所需的衰減量20lg|GK(jω’c)|因ωm<<ω’c，所以滯后校正裝置在新的剪切頻率ω’c處有20lg|Gc(jω’c)|≈-20lgβ根據(jù)在新的剪切頻率ω’c處，校正后系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅值必為零，即20lg|GK(jω’c)Gc(jω’c)|=20lg|GK(jω’c)|+20lg|Gc(jω’c)|=0可得或β=|GK(jω’c)|(6-25)

由此可得，滯后校正裝置的傳遞函數(shù)為

(6-26)56(6)畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，檢驗(yàn)性能指標(biāo)是否已全部達(dá)到要求，若不滿足要求，可增大ε值，從第三步起重新計(jì)算。

特別指出，如果系統(tǒng)的開環(huán)增益K已給定，通常需要附加一個(gè)增益為Kｃ的放大器。此時(shí)校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

補(bǔ)償放大器的增益Kc可根據(jù)性能指標(biāo)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求來(lái)確定。57例6-2設(shè)有一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv*=5(1/s)，相位裕量

*≥40°，幅值裕量Kg*≥10dB，試確定串聯(lián)校正裝置。58解

(l)根據(jù)可求出K=5，即(2)根據(jù)已確定的K值，繪制原系統(tǒng)的Bode圖，如圖6-17中所示，并求得未校正系統(tǒng)的幅值穿越頻率ωc=2rad/s；相位穿越頻率ωg=2rad/s；幅值裕量Kg=0dB，相位裕量

=00，它們均不滿足要求。59(3)在Bode圖上求出未校正系統(tǒng)相位角∠GK(j)=-180°+

*+ε=-180°+40°+10°=-130°時(shí)的頻率為

=0.6rad/s，并選其為新的剪切頻率，即

=0.6rad/s(4)為保證滯后校正裝置對(duì)系統(tǒng)在處的相頻特性基本不受影響，按下式確定滯后校正網(wǎng)絡(luò)的第二個(gè)轉(zhuǎn)拆頻率為

ω2=1/T=/5=0.12rad/s即T=8.3360(5)根據(jù)式(6-25)可知由此可得，滯后校正裝置的傳遞函數(shù)為(6)校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(7)畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，如圖6-17中所示，并校驗(yàn)性能指標(biāo)。若不滿足要求，可改變裝置ε值重新設(shè)計(jì)。6162

由圖6-17可知，校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率rad/s；相角穿越頻率rad/s；相角裕量，幅值裕量dB，故校正后系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)的要求。但幅值穿越頻率從原來(lái)的上的2rad/s降低到0.6rad/s，系統(tǒng)的閉環(huán)截止頻率

b降低了，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)速度也降低了。63

由例6-2可知，采用串聯(lián)滯后校正，既能提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度，又基本不改變系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的效果是明顯的。因如果將校正后系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性向上平移17dB，則校正前后系統(tǒng)的幅值穿越頻率和相角裕量基本相同，但開環(huán)總增益卻增大7倍。64

由此可見(jiàn)，串聯(lián)滯后校正既可以用來(lái)改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，又可以用來(lái)提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。從Bode圖來(lái)看，前者是降低系統(tǒng)的幅值穿越頻率，提高其相角裕量，以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和某些動(dòng)態(tài)性能。后者是通過(guò)提高系統(tǒng)的總增益，來(lái)增大低頻段的增益以減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)又基本保證系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能不變。但是，就滯后校正裝置本身而言，其主要作用就是在高頻段造成衰減，以使系統(tǒng)獲得充分的相角裕量。65

最后指出，在有些應(yīng)用方面，采用串聯(lián)滯后校正可能會(huì)得出時(shí)間常數(shù)大到不能實(shí)現(xiàn)的結(jié)果。這是由于需要在足夠小的頻率值上安置滯后校正裝置的第二個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，以保證對(duì)系統(tǒng)的相角裕量影響愈小。在種情況下，最好采用串聯(lián)滯后-超前校正。663.頻率法的串聯(lián)滯后-超前校正如果系統(tǒng)校正前不穩(wěn)定，且要求系統(tǒng)校正后有較高的響應(yīng)速度、相角裕量和穩(wěn)態(tài)精度時(shí)，則需采用滯后-超前校正，其中滯后-超前校正裝置中的超前部分可以增大系統(tǒng)的相角裕量，同時(shí)使頻帶變寬，改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性；而滯后校正部分則主要用來(lái)提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。滯后-超前校正兼有超前校正和滯后校正的優(yōu)點(diǎn)，即已校正系統(tǒng)的響應(yīng)速度較快，超調(diào)量較小，抑制高頻噪聲的性能也較好。67

滯后-超前校正裝置的超前校正部分，因增加了相位超前角，并且在幅值穿越頻率上增大了相角裕量，提高了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性；滯后部分在幅值穿越頻率以上，將使幅值特性產(chǎn)生顯著的衰減，因此在確保系統(tǒng)有滿意的瞬態(tài)響應(yīng)特性的前提下，允許在低頻段上大大提高系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，以改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。利用頻率法設(shè)計(jì)滯后-超前校正裝置的步驟如下：

68(1)如果系統(tǒng)的開環(huán)增益K未給定，則根據(jù)性能指標(biāo)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求，確定開環(huán)增益K；

(2)畫出未校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)的Bode圖，并求出其相位裕量

和幅值裕量Kg；

(3)如果未校正系統(tǒng)的相位和幅值裕量不滿足要求，則選擇未校正系統(tǒng)相頻特性曲線上相位角等于-1800的頻率，即將原系統(tǒng)相位穿越頻率ωg作為校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率ω’c；69(4)利用ω’c確定滯后校正部分的參數(shù)T1和β。通常選取滯后校正部分的第二個(gè)穿越頻率ω1=1/T1=(1/10)ω’c，并取β=10；

(5)根據(jù)校正后系統(tǒng)在新的幅值穿越頻率ω’c處的幅值必為0dB確定超前校正部分的參數(shù)T2；

(6)畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，并檢驗(yàn)系統(tǒng)的性能指標(biāo)是否已全部滿足要求。70

特別指出，如果系統(tǒng)的開環(huán)增益K已給定，通常需要附加一個(gè)增益為Kｃ的放大器。此時(shí)校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

補(bǔ)償放大器的增益Kｃ可根據(jù)性能指標(biāo)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求來(lái)確定。71例6-3設(shè)有單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為若要求Kv*=10(1/s)，相位裕量

*=50°，幅值裕量Kg*>10dB，試設(shè)計(jì)一個(gè)串聯(lián)滯后超前-校正裝置，來(lái)滿足要求的性能指標(biāo)。72解

(l)根據(jù)可求出K=10，即(2)根據(jù)已確定的K值，繪制原系統(tǒng)GK(s)的Bode圖，

如圖6-18中所示，并求得未校正系統(tǒng)的幅值穿越頻率ωc=2.5rad/s;相位穿越頻率ωg=1.4rad/s；幅值裕量Kg=-11dB，相位裕量

=-300，它們均不滿足要求。73(3)取校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率為：rad/s/10

0.14rad/s，并取β=10；校正裝置滯后部分Gc1(s)的傳遞函數(shù)為滯后校正部分在=1.4rad/s處產(chǎn)生的幅值和相位(4)選取滯后校正部分的第二個(gè)轉(zhuǎn)折頻率ω1=1/T1=滯后角分別為74(5)根據(jù)校正后系統(tǒng)在新的幅值穿越頻率處的幅值必為0dB確定超前校正部分的參數(shù)T2；從圖6-18中可知，未校正系統(tǒng)GK(jω)在rad/s處的幅值=1.475因此，如校正裝置在=1.4rad/s處能產(chǎn)生-11dB處的幅值為0dB的增益，則可實(shí)現(xiàn)已校正系統(tǒng)在的要求，即76

為此可通過(guò)點(diǎn)(1.4rad/s，-11dB)畫一條斜率為20dB/dec的直線，該直線與0dB線及-20lg

=-20dB線交點(diǎn)處的頻率分別為0.55rad/s和5.5rad/s，它們分別為校正裝置超前部分的兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率ω2和ω2=1/T2=0.55rad/s和

校正裝置超前部分Gc2(s)的傳遞函數(shù)為,即rad/s。77(6)校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(7)畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，如圖6-18中所示，并校驗(yàn)性能指標(biāo)。滯后-超前校正裝置的傳遞函數(shù)為7879804.三種串聯(lián)校正的比較

通過(guò)以上介紹可知，超前校正、滯后校正和滯后-超前校正，在改善系統(tǒng)的某些性能方面是相同的，比如超前校正和滯后校正都可以用來(lái)改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，但它們也有以下不同之處。(1)超前校正通常用來(lái)改善系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量，而滯后校正通常用來(lái)提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。81(2)超前校正是利用超前校正裝置的相角超前特性，獲得系統(tǒng)所需要的相位裕量。串聯(lián)滯后校正是利用滯后校正裝置的高頻衰減特性，降低幅值穿越頻率，提高系統(tǒng)的相角裕量，或者在基本保證系統(tǒng)校正前后幅值穿越頻率不變的情況下，可以通過(guò)提高系統(tǒng)低頻響應(yīng)的放大系數(shù)，以減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。(3)超前校正比滯后校正提供更高的幅值穿越頻率。幅值穿越頻率越高，系統(tǒng)頻帶越寬，調(diào)整時(shí)間越小。從提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度出發(fā)，希望系統(tǒng)帶寬越大越好，但帶寬越大，系統(tǒng)越易受噪聲干擾的影響。因此，如果系統(tǒng)需要快速響應(yīng)特性，輸入端噪聲電平又較低時(shí)，應(yīng)采用超前校正；反之，如果系統(tǒng)對(duì)響應(yīng)速度要求不高，輸入端噪聲電平又較高時(shí)，一般不宜采用超前校正。82(4)為了滿足系統(tǒng)嚴(yán)格的穩(wěn)態(tài)性能要求，當(dāng)采用無(wú)源校正網(wǎng)絡(luò)時(shí)，超前校正要求一定的附加增益以抵消超前校正裝置本身的率減，而滯后校正一般不需要附加增益。這表明超前校正比滯后校正需要更大的增益。在大多數(shù)情況下，增益越大，意味著系統(tǒng)的體積和重量越大，成本也越高。而且可能會(huì)在系統(tǒng)中產(chǎn)生比較大的不希望信號(hào)，造成系統(tǒng)中的飽和現(xiàn)象。(5)滯后校正的高頻衰減特性，僅降低了系統(tǒng)在高頻區(qū)的增益，但是并沒(méi)有降低系統(tǒng)在低頻區(qū)的增益。系統(tǒng)的高頻增益降低后，總增益可以增大，從而低頻增益隨之增加，因此改善了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。83(6)滯后校正減小了系統(tǒng)的帶寬，因此系統(tǒng)具有較低的響應(yīng)速度，但系統(tǒng)中包含的任何高頻噪聲，都可以得到衰減。另外，滯后校正在原點(diǎn)附近引進(jìn)的極點(diǎn)與零點(diǎn)組合，將會(huì)在瞬態(tài)響應(yīng)中產(chǎn)生小振幅的長(zhǎng)時(shí)間拖尾現(xiàn)象。(7)如果系統(tǒng)既要獲得快速響應(yīng)特性，又需要獲得良好的穩(wěn)態(tài)精度，則可以采用滯后-超前校正。利用滯后-超前校正裝置，可提高系統(tǒng)的低頻增益以改善其穩(wěn)態(tài)精度，同時(shí)也增大了系統(tǒng)的帶寬和穩(wěn)定裕度。84

雖然利用串聯(lián)超前校正、串聯(lián)滯后校正和串聯(lián)滯后-超前校正，可以完成大量的實(shí)際校正任務(wù)，但是對(duì)于復(fù)雜的系統(tǒng)，采用由這些校正裝置組成的簡(jiǎn)單校正，可能得不到滿意的結(jié)果。因此，必須采用具有不同極點(diǎn)與零點(diǎn)組合的其它校正裝置。856.2.3根軌跡法串聯(lián)校正

當(dāng)系統(tǒng)的性能指標(biāo)是以時(shí)域指標(biāo)給出時(shí)，例如給定了要求的超調(diào)量Mp、上升時(shí)間tr、調(diào)整時(shí)間ts、阻尼比

及無(wú)阻尼自然振蕩頻率

n、穩(wěn)態(tài)誤差ess等時(shí)域性能指標(biāo)，則采用根軌跡法進(jìn)行設(shè)計(jì)和校正系統(tǒng)是很有效的。利用根軌跡法進(jìn)行校正，其實(shí)質(zhì)就是將系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)位于根平面上希望的位置上，使系統(tǒng)滿足所提出的性能指標(biāo)

和

n的要求。861.根軌跡法的串聯(lián)超前校正設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(6-27)則可得系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)（又稱靜態(tài)誤差系數(shù)）為

(6-28)87

假設(shè)一個(gè)系統(tǒng)在所要求的增益值K下是不穩(wěn)定的，或者雖屬穩(wěn)定，但系統(tǒng)具有不理想的瞬態(tài)響應(yīng)特性(超調(diào)量過(guò)大、調(diào)節(jié)時(shí)間過(guò)長(zhǎng))，在這種情況下，就有必要在虛軸和原點(diǎn)附近對(duì)根軌跡進(jìn)行修正，以便使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于根平面上希望的位置上。這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)在前向通道上串聯(lián)一個(gè)適當(dāng)?shù)某靶Ｕb置來(lái)解決。若串聯(lián)超前校正裝置的傳遞函數(shù)為

(6-29)88

為補(bǔ)償超前校正裝置的幅值衰減，在串入一個(gè)放大倍數(shù)為Kc的補(bǔ)償放大器。這時(shí)，校正后的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

(6-30)

若s1是根據(jù)性能指標(biāo)確定的希望閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)之一，則s1應(yīng)在G(s)的根軌跡上，它一定滿足幅值和相角條件，即

(6-31)和(6-32)89

最后再驗(yàn)證一下根據(jù)性能指標(biāo)確定的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)s1，2是否可作為系統(tǒng)校正后的真正主導(dǎo)極點(diǎn)，若可則說(shuō)明按二階系統(tǒng)性能指標(biāo)設(shè)計(jì)的Gc(s)可使閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到希望的性能指標(biāo)。

根據(jù)以上分析，可歸納出用根軌跡法設(shè)計(jì)超前校正裝置的步驟為：

(1)根據(jù)要求的性能指標(biāo)，確定希望主導(dǎo)極點(diǎn)s1，2的位置應(yīng)用對(duì)二階系統(tǒng)的分析，根據(jù)要求的

、

n，便可求得希望的閉環(huán)極點(diǎn)

(6-33)90(2)繪制原系統(tǒng)根軌跡，確定希望主導(dǎo)極點(diǎn)s1，2是否落在根軌跡上，若已在根軌跡上，則表明原系統(tǒng)不需增加校正裝置，只要調(diào)整增益就能滿足給定要求；如果根軌跡不能通過(guò)希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，則表明僅調(diào)整增益不能滿足給定要求，需增加校正裝置。如果原系統(tǒng)根軌跡位于期望極點(diǎn)的右側(cè)，則應(yīng)串入超前校正裝置；若串聯(lián)超前校正裝置的傳遞函數(shù)為

(6-34)

則校正后的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)（包括補(bǔ)償放大器）為

(6-35)91(3)由校正后系統(tǒng)的相位條件，計(jì)算超前校正裝置應(yīng)提供的超前相角

c根據(jù)校正后系統(tǒng)的相位條件：可得

(6-36)(4)求校正裝置零、極點(diǎn)位置以及參數(shù)

和T對(duì)于給定的

c，校正裝置的零、極點(diǎn)位置不是唯一的。在此常采用使系數(shù)

為最大可能值的方法確定零、極點(diǎn)的。根據(jù)圖6-19所示的超前校正裝置的超前相角

c與pc和zc間的幾何關(guān)系圖，由

zcos1和

pcos1可得92

（6-37）

（6-38）則（6-39）由

得93由此，便可根據(jù)式(6-37)、式(6-38)和式(6-39)確定校正裝置零、極點(diǎn)位置以及參數(shù)

和T，即，

(6-40)(5)在期望的閉環(huán)極點(diǎn)s1上，根據(jù)校正后系統(tǒng)的幅值條件為1，確定補(bǔ)償放大器的增益Kc或KcK（當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)增益K未給定時(shí)）；

(6)校驗(yàn)系統(tǒng)的性能指標(biāo)，如果系統(tǒng)不滿足要求指標(biāo)，適當(dāng)調(diào)整零、極點(diǎn)位置。如果需要大的靜態(tài)誤差系數(shù)，則應(yīng)采用其它方案。94例6-4設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為要求系統(tǒng)超調(diào)量Mp

25

，過(guò)渡過(guò)程時(shí)間ts

0.7s，靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv*

12(1/s)，試確定超前校正裝置。

95原系統(tǒng)的根軌跡及期望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)

96系統(tǒng)校正前后的單位階躍響應(yīng)

972.根軌跡法的串聯(lián)滯后校正如果系統(tǒng)已具有滿意的動(dòng)態(tài)特性，但是其穩(wěn)態(tài)性能不能滿意要求，這時(shí)的校正的目的主要是為了增大開環(huán)增益，并且不應(yīng)使瞬態(tài)特性有明顯的變化，這意味著系統(tǒng)在引入滯后校正裝置后，根軌跡在閉環(huán)極點(diǎn)附近不應(yīng)有顯著改變，同時(shí)又能較大幅度地提高系統(tǒng)的開環(huán)增益，這個(gè)問(wèn)題可通過(guò)在前向通道上串聯(lián)一個(gè)適當(dāng)?shù)臏笮Ｕb置來(lái)解決。98

1）為了避免原系統(tǒng)在閉環(huán)極點(diǎn)附近的根軌跡有顯著改變，滯后校正裝置的相位角應(yīng)當(dāng)限制在不大的角度內(nèi)（一般限制在50左右），為此應(yīng)使滯后校正裝置的零、極點(diǎn)盡量靠近在一起，并且使它們靠近s平面的坐標(biāo)原點(diǎn)，這樣已校正系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，將從它們的原來(lái)位置稍稍離開，因而系統(tǒng)的瞬態(tài)特性將基本上保持不變。

2）當(dāng)滯后校正裝置零、極點(diǎn)靠得很近時(shí)，有這表明可以把系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)大約增加到

倍，而不影響系統(tǒng)的瞬態(tài)特性。993）如果滯后校正裝置的零、極點(diǎn)距離坐標(biāo)原點(diǎn)很近，在滿足s1+1/T≈s1+1/βT

的條件下，

值可以取的較大，一般取

=10左右。

4）增大開環(huán)增益意味著增大靜態(tài)誤差系數(shù)，減少穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gk(s)，則靜態(tài)誤差系數(shù)K為：如果滯后校正裝置為

(6-41)100則校正后系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)為

(6-42)它表明校正后系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)增加Kc

倍，靜態(tài)誤差減小Kc

倍。

根據(jù)以上分析，可歸納出用根軌跡法設(shè)計(jì)滯后校正的設(shè)計(jì)步驟為：

(1)畫出原系統(tǒng)的根軌跡，根據(jù)要求的瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)，在根軌跡上確定希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)s1，2；如果系統(tǒng)要求的阻尼比為ξ，則可根據(jù)根軌跡與θ的交點(diǎn)求出系統(tǒng)希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)s1，2；101(2)根據(jù)幅值條件，確定與閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)s1，2對(duì)應(yīng)的開環(huán)增益設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則根據(jù)幅值條件，得

(6-43)102原系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)為

(6-44)(3)確定滿足性能指標(biāo)而應(yīng)增大的誤差系數(shù)值，從而確定

取值范圍的最小值若原系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)為K，要求的靜態(tài)誤差系數(shù)為K*，則應(yīng)增大的誤差系數(shù)值為K*/K，則串聯(lián)放大器的增益Kc

應(yīng)大于K*/K，即

值應(yīng)大于K*/K；103(4)確定滯后校正裝置的零、極點(diǎn)為了能使校正后系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)增加，而又不使校正前后系統(tǒng)在閉環(huán)極點(diǎn)附近的根軌跡有顯著改變，滯后校正裝置的零、極點(diǎn)應(yīng)靠近坐標(biāo)原點(diǎn)選取；

(5)繪出校正后系統(tǒng)的根軌跡，并求出它與的交點(diǎn)，將其作為新的希望的閉環(huán)極點(diǎn)s1，2；

(6)由新的希望的閉環(huán)極點(diǎn)，根據(jù)幅值條件，確定串聯(lián)放大器的增益Kc；

(7)校驗(yàn)校正后系統(tǒng)各項(xiàng)性能指標(biāo)，如不滿足要求，可適當(dāng)調(diào)整校正裝置零、極點(diǎn)。104例6-5

已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為要求系統(tǒng)滿足阻尼比

=0.45，靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv*

7(1/s)，試確定滯后校正裝置Gc(s)。

105系統(tǒng)校正前后的根軌跡

106

校正的后系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能有點(diǎn)下降，但穩(wěn)態(tài)性能明顯提高了。

系統(tǒng)校正前后的單位階躍響應(yīng)

1073.根軌跡法的串聯(lián)滯后-超前校正從上述可看到，超前校正適用于改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，而對(duì)穩(wěn)態(tài)性能只能提供有限的改進(jìn)。如果穩(wěn)態(tài)性能相當(dāng)差，超前校正就無(wú)能為力。而滯后校正常用于改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而保持原系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性不變。如果系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性均較差時(shí)，通常采用滯后-超前校正。滯后-超前校正裝置設(shè)計(jì)步驟為：

(1)根據(jù)要求的性能指標(biāo)，確定希望主導(dǎo)極點(diǎn)s1，2的位置；108(2)為使閉環(huán)極點(diǎn)位于希望的位置，計(jì)算滯后-超前校正中超前部分應(yīng)產(chǎn)生的超前相角

c；根據(jù)校正后系統(tǒng)的相位條件：可得

(6-45)(3)若滯后-超前校正裝置的傳遞函數(shù)為

(6-46)109則校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

(6-47)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)：

(6-48)根據(jù)要求的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)，確定放大系數(shù)Kc；

(4)當(dāng)滯后-超前校正中滯后部分的T1選擇足夠大時(shí)（為了便于在實(shí)際中能夠?qū)崿F(xiàn)，滯后部分的最大時(shí)間常數(shù)

T1不宜取得太大），可使得110這時(shí)根據(jù)校正后系統(tǒng)的幅值和相位條件，可得超前部分的T2和

的關(guān)系式為

(6-49)111(5)利用求得的

值，選擇滯后部分的T1，使

(6-50)(6)檢驗(yàn)性能指標(biāo) 112例6-6

已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為要求系統(tǒng)滿足阻尼比

=0.5，無(wú)阻尼自然振蕩頻率

n=5rad/s，靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv*

50(1/s)，試確定滯后-超前校正裝置Gc(s)。

113原系統(tǒng)的根軌跡及期望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)

1146-3

反饋校正

在實(shí)際控制系統(tǒng)中，為改善控制系統(tǒng)的性能，除可選用前述的串聯(lián)校正方式外，也常常采用反饋校正方式。當(dāng)校正裝置出在被校正對(duì)象的反向通道中，就稱為反饋校正。6.3.1反饋校正的原理反饋校正是采用校正裝置反饋包圍系統(tǒng)前向通道中的一部分環(huán)節(jié)或全部環(huán)節(jié)以實(shí)現(xiàn)改善系統(tǒng)的性能，其結(jié)構(gòu)框圖如圖6-23所示。115對(duì)于如圖6-23所示的反饋校正系統(tǒng)，是校正裝置，其余環(huán)節(jié)為系統(tǒng)的固有部分，被校正裝置反饋包圍部分的傳遞函數(shù)為

整個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(6-51)

116

由式(6-51)可見(jiàn)，引入局部負(fù)反饋后，原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G1(s)G2(s)G3(s)，降低了l+G2(s)Gc(s)倍。當(dāng)被包圍部分G2(s)內(nèi)部參數(shù)變化或受到作用于G2(s)上的干擾影響時(shí)，由于負(fù)反饋的作用，將其影響下降l+G2(s)Gc(s)倍，從而得到有效抑制。如果反饋校正包圍的回路穩(wěn)定（即回路中各環(huán)節(jié)均是最小相位環(huán)節(jié)），可以用對(duì)數(shù)頻率特性曲線來(lái)分析其性能。由式(6-51)可得其頻率特性為117

(6-52)若選擇結(jié)構(gòu)參數(shù)，使則式(6-52)可近似為118

在這種情況下，G2(j

)部分的特性幾乎被反饋校正環(huán)節(jié)的特性取代。這說(shuō)明通過(guò)選擇校正裝置Gc(s)，能在一定的頻率范圍內(nèi)改變系統(tǒng)的原有特性。反饋校正的這種取代作用，在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中常常用來(lái)改造不期望的某些環(huán)節(jié)，達(dá)到改善系統(tǒng)性能的目的。1196.3.2反饋校正的設(shè)計(jì)從控制的觀點(diǎn)來(lái)看，采用反饋校正不僅可以得到與串聯(lián)校正同樣的校正效果，而且還有許多串聯(lián)校正不具備的突出優(yōu)點(diǎn)。如反饋校正不僅能有效地改變被包圍環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)和參數(shù)；而且在一定條件下，反饋校正裝置的特性可以完全取代被包圍環(huán)節(jié)的特性，從而可大大消弱這部分環(huán)節(jié)由于特性參數(shù)變化及各種干擾帶給系統(tǒng)的不利影響，提高系統(tǒng)的整體性能。下面僅討論比例反饋校正和微分反饋校正的設(shè)計(jì)方法。1201.比例反饋校正如果反饋回路為一比例環(huán)節(jié)，稱為比例反饋校正。圖6-24為振蕩環(huán)節(jié)被比例負(fù)反饋包圍的結(jié)構(gòu)圖。閉環(huán)傳遞函數(shù)其中，121

可以看到，比例負(fù)反饋改變了振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T、阻尼比

和放大系數(shù)K的數(shù)值，并且均減小了。因此，比例負(fù)反饋使得系統(tǒng)頻帶加寬，瞬態(tài)響應(yīng)加快，但卻使得系統(tǒng)控制精度下降，故應(yīng)給予補(bǔ)償才可保證系統(tǒng)的精度。這與串聯(lián)校正中比例控制的作用主要是提高穩(wěn)態(tài)精度是不同的，比例反饋校正的主要作用是改善被包圍部分的動(dòng)態(tài)特性。122其中，。表明微分負(fù)反饋不改變被包圍環(huán)節(jié)的性質(zhì)，但由于阻尼比增大，使得系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)超調(diào)量減小、振蕩次數(shù)減小，改善了系統(tǒng)的平穩(wěn)性和過(guò)渡過(guò)程時(shí)間，從而削弱了阻尼振蕩環(huán)節(jié)的不利影響。2.微分反饋校正

圖6-25所示為微分負(fù)反饋校正包圍振蕩環(huán)節(jié)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)123例6-7

已知單位反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖6-25所示。其中，rad/s，。采用微分反饋來(lái)校正系統(tǒng)，若校正后系統(tǒng)具有阻尼比，試確定校正裝置參數(shù)。124解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

根據(jù)及題給條件可得：

由此可見(jiàn)，采用微分反饋后，系統(tǒng)的阻尼比由原來(lái)的0.417增大到0.707，使得系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的超調(diào)量由原來(lái)的23.7%減小到4.3%。

1256-4復(fù)合校正

采用串聯(lián)校正或反饋校正在一定程度上能夠使系統(tǒng)滿足要求的性能指標(biāo)。但是，如果對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)和靜態(tài)性能的要求都很高時(shí)，或者系統(tǒng)存在強(qiáng)干擾時(shí)，工程中往往在串聯(lián)校正或局部反饋校正的同時(shí)，再附加前饋校正和干擾補(bǔ)償而組成控制系統(tǒng)的復(fù)合校正。1266.4.1按輸入補(bǔ)償?shù)膹?fù)合校正

前饋校正加反饋控制的復(fù)合校正系統(tǒng)如圖6-26所示，由圖可知系統(tǒng)的輸出Y(s)為

(6-53)127若選擇前饋校正裝置的傳遞函數(shù)為則Y(s)=R(s)，表明輸出y(t)完全復(fù)現(xiàn)了輸入信號(hào)r(t)，前饋校正裝置完全消除了輸入信號(hào)作用時(shí)產(chǎn)生的誤差，達(dá)到了完全補(bǔ)償。

由于G2(s)一般形式比較復(fù)雜，所以實(shí)現(xiàn)完全補(bǔ)償是比較困難的，但做到滿足跟蹤精度的部分補(bǔ)償是完全可能的。這樣，不僅能滿足系統(tǒng)對(duì)穩(wěn)態(tài)精度的要求；而且前饋校正裝置在結(jié)構(gòu)上具有較簡(jiǎn)單的形式，便于實(shí)現(xiàn)。1．完全補(bǔ)償128將式(6-53)代入誤差函數(shù)表達(dá)式(6-54)中，得則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

(6-55)由式(6-55)在給定信號(hào)作用下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零可確定前饋校正裝置Gc(s)。

在給定信號(hào)r(t)作用下，圖6-26所示系統(tǒng)的誤差函數(shù)(6-54)

2．部分補(bǔ)償129例6-8

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6-26所示，其中G1(s)＝l為消除系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號(hào)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差，求前饋校正裝置Gc(s)。130

解

(1)完全補(bǔ)償若選擇前饋校正裝置的傳遞函數(shù)為則由式(6-53)可得

表明輸出y(t)完全復(fù)現(xiàn)了輸入信號(hào)r(t)。但由于G2(s)是3階微分形式，所以實(shí)現(xiàn)完全補(bǔ)償是不可能的。131

(2)部分補(bǔ)償

系統(tǒng)引入前饋校正裝置Gc(s)后的穩(wěn)態(tài)誤差，由式(6-55)可知為要使ess=0，則Gc(s)的最簡(jiǎn)單式子應(yīng)為

可見(jiàn)，引入輸入信號(hào)的一階導(dǎo)數(shù)作前饋校正后，系統(tǒng)可完全消除斜坡信號(hào)作用時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。

1326.4.2按擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)膹?fù)合校正

反饋控制與干擾補(bǔ)償校正構(gòu)成復(fù)合校正的另一種形式，如圖6-27所示?？刂葡到y(tǒng)的輸出為

(6-58)133式(6-58)等號(hào)右邊第一項(xiàng)為反饋系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出，第二項(xiàng)為干擾信號(hào)N(s)及前饋控制產(chǎn)生的輸出。適當(dāng)選擇前饋控制校正裝置的傳遞函數(shù)Gc(s)，使其滿足

則干擾信號(hào)對(duì)系統(tǒng)輸出的影響可以得到完全補(bǔ)償。干擾補(bǔ)償?shù)膶?shí)質(zhì)是利用雙通道原理，利用干擾來(lái)補(bǔ)償干擾，達(dá)到消除干擾對(duì)系統(tǒng)輸出的影響。134

應(yīng)當(dāng)注意，應(yīng)用干擾補(bǔ)償校正時(shí)，首先干擾信號(hào)必須是可測(cè)量的；其次校正裝置應(yīng)是物理上可實(shí)現(xiàn)的。另外，由于干擾補(bǔ)償是一種開環(huán)控制，所以，校正裝置還應(yīng)具有較高的參數(shù)穩(wěn)定性。135

例6-9

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6-27所示，其中為消除擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，求前饋校正裝置Gc(s)。136解由該系統(tǒng)的輸出式(6-58)知，前饋控制校正裝置的傳遞函數(shù)Gc(s)滿足時(shí)，系統(tǒng)的輸出Y(s)僅與給定信號(hào)R(s)有關(guān)，而與擾動(dòng)信號(hào)N(s)無(wú)關(guān)，即此時(shí)擾動(dòng)信號(hào)對(duì)系統(tǒng)輸出的影響可以得到完全補(bǔ)償。1376-5基于MATLAB的控制系統(tǒng)校正

MATLAB提供了多種求取并繪制系統(tǒng)頻率特性曲線的函數(shù)，使用它們可以很方便地繪制控制系統(tǒng)的頻率特性曲線，并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行頻域設(shè)計(jì)。6.5.1利用MATLAB實(shí)現(xiàn)頻率法的串聯(lián)校正1．頻率法串聯(lián)超前校正例6-10

針對(duì)例6-1所給系統(tǒng)和要求，試?yán)肕ATLAB確定串聯(lián)超前校正裝置。138解根據(jù)例6-1所求原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，利用下列語(yǔ)句>>num0=[40];den0=conv([1,0],[1,2]);>>[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(num0,den0)可得，未校正系統(tǒng)的幅值穿越頻率ωc=6.1685rad/s；相位穿越頻率ωg=∞r(nóng)ad/s；幅值裕量為Kg=+∞dB；相位裕量

=17.96420。由于相位裕量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于要求值，為達(dá)到所要求的性能指標(biāo)，根據(jù)頻率法串聯(lián)超前校正的設(shè)計(jì)步驟，編寫MATLAB程序如%ex6_10.m。139140141執(zhí)行后可得