2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 8-6 直線與橢圓 學(xué)案

第六節(jié)直線與橢圓

【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】1.理解直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法2掌握直線被橢圓所截的弦長(zhǎng)公

式.

必備知識(shí)夯實(shí)雙基

知識(shí)梳理

1.直線與橢圓位置關(guān)系的判斷

y=kx+m,

聯(lián)立得(〃+22222222該一元二次方程的判別式

e+f=1ak)x+2akιm+am—ab=O,

-a2+b2-i,

為Δ.

△>0=有交點(diǎn)o相交；

△=0o有交點(diǎn)=相切；

Δ<0=有交點(diǎn)o相離.

2.直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式

設(shè)斜率為左(左≠0)的直線/與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),A(XI,?),8(X2,”)，則

2

∣AB∣=√1+k∣xι-X2I

22

=√1+k√(x1+x2)-4x1x2=Jl+如Ly2∣

=J1+?7(Yι+Y2)2

-4yιy2.

［常用結(jié)論］

已知橢圓W+?=1(α>?>0).

a4bz

(1)通徑的長(zhǎng)度為子.

(2)過(guò)左焦點(diǎn)的弦AB,A(,xl,y∣),B(x2.yi),

則焦點(diǎn)弦IABI=2α+e(x1+x2);過(guò)右焦點(diǎn)的弦CZ),C(X3,y3),Q(X4,聲)，則焦點(diǎn)弦ICQl

=2a-e(vXi+xi).(e為橢圓的離心率)

(3)Aι,A2為橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，P是橢圓上異于Ai,4的任一點(diǎn)，則kpA]?kpAz=一捺.

(4)A8是橢圓的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，。為原點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，則煬MAB=一號(hào)

az

(5)過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),P是橢圓上異于4,B的任一點(diǎn)，則跖VkPB=一，.

(6)點(diǎn)P(X°，地)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)P的切線方程為簧+黃=L

夯實(shí)雙基

1.思考辨析(正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)橢圓通徑是所有的焦點(diǎn)弦中最短的弦?()

(2)直線y=x與橢圓'+V=1一定相交.()

(3)直線y=x-?被橢圓9+>2=1截得的弦長(zhǎng)為√∑()

(4)過(guò)橢圓上兩點(diǎn)A(x”％),3(X2,")的直線的斜率左="上()

x2^xl

2.(教材改編)直線y=x+1與橢圓?+Y=I的位置關(guān)系是()

A.相交B.相切

C.相離D.無(wú)法判斷

2

3.(教材改編)已知斜率為1的直線過(guò)橢圓va+產(chǎn)=1的焦點(diǎn)，且與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，

則線段AB的長(zhǎng)是.

4.(易錯(cuò))若直線y=x+2與橢圓3+9=1有兩個(gè)交點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是()

A.(1,+∞)B.(1,3)U(3,+8)

C.(3,+∞)D.(0,3)U(3,+∞)

5.(易錯(cuò))過(guò)點(diǎn)Ml,1)作斜率為一；的直線與橢圓C1+^=l(α>b>0)相交于A,B

兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于.

關(guān)鍵能力?題型突破

題型一直線與橢圓的位置關(guān)系

例1已知直線/：y=2x+m,橢圓C：?+5=1.試問(wèn)當(dāng)，"取何值時(shí)，直線/與橢圓C：

(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；

(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

(3)沒(méi)有公共點(diǎn).

［聽(tīng)課記錄］

題后師說(shuō)

判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法

(1)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究直線方程與橢圓方程組成的方程組解

的個(gè)數(shù).

(2)對(duì)于過(guò)定點(diǎn)的直線，也可以通過(guò)定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點(diǎn).

鞏固訓(xùn)練1

直線y=ox—l(α∈R)與焦點(diǎn)在X軸上的橢圓9+?=l總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃?的取值范

圍是.

題型二弦長(zhǎng)問(wèn)題

例2已知橢圓C：W+S=l(a>6>°)的左、右焦點(diǎn)分別為B，F(xiàn)2,離心率為;，橢圓C

a4Dz2

上點(diǎn)M滿(mǎn)足IMFlI+1MF2∣=4.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)0(0,0)的直線/交橢圓C于尸，。兩點(diǎn)，求線段PQ長(zhǎng)為√∏時(shí)直線/

的方程.

［聽(tīng)課記錄］

題后師說(shuō)

弦長(zhǎng)的求解方法

⑴聯(lián)立直線與橢圓方程，解方程組求出兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.

(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、化簡(jiǎn)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系與弦長(zhǎng)公式求解.

要特別注意兩種特殊情況：直線與橢圓的對(duì)稱(chēng)軸平行或垂直；直線過(guò)楠圓的焦點(diǎn).

鞏固訓(xùn)練2

［2023?湖北武漢期末］已知橢圓C：?+V=l(a>b>0)的上頂點(diǎn)與橢圓的左，右頂點(diǎn)連線

的斜率之積為一；.

4

(1)求橢圓C的離心率；

(2)若直線y=∣(x+l)與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，H8∣=苧，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

題型三中點(diǎn)弦、弦的中點(diǎn)問(wèn)題

例3［2023?河南南陽(yáng)模擬］己知橢圓C：1+弓=1(。>6>0)的左右焦點(diǎn)分別為尸1，尸2，且

azt>∕

Fι,B與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰好為正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P(l，當(dāng))在C上.

(1)求C的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)M(—1,1)的直線/交C于A,B兩點(diǎn)，且M是AB的中點(diǎn)，求直線/的斜率.

［聽(tīng)課記滎］

題后師說(shuō)

解決中點(diǎn)弦問(wèn)題的常用方法

(1)點(diǎn)差法，設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入橢圓方程，并將兩式相減，式中含有三個(gè)未

知量，這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)坐標(biāo)和直線的斜率，借助中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得斜率.

(2)根與系數(shù)的關(guān)系，聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程得到方程組，化為一元二次方程后

由根與系數(shù)的關(guān)系求解.

要特別注意，中點(diǎn)弦問(wèn)題常用的兩種求解方法各有弊端：根與系數(shù)的關(guān)系在解題過(guò)程中

易產(chǎn)生漏解，需關(guān)注直線的斜率問(wèn)題；點(diǎn)差法在確定范圍方面略顯不足.

鞏固訓(xùn)練3

［2023?浙江桐鄉(xiāng)模擬］已知A(-2,0)、BQ,0),動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足MA與MB所在直線的斜率

之積為一：.

4

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)求上述軌跡中以尸(1,3為中點(diǎn)的弦所在的直線方程.

真題展臺(tái)

1.［2022?全國(guó)甲卷］橢圓C：?+A=im>8>0)的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P,Q均在C上，且關(guān)

于y軸對(duì)稱(chēng).若直線AP,AQ的斜率之積為%則C的離心率為()

ATB.立

22

C.-D.-

23

2"2022?新高考I卷］已知橢圓C：捺+?=im>∕>0),C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為Q,

F2,離心率為右過(guò)Q且垂直于4巳的直線與C交于O,E兩點(diǎn)，∣DE∣=6,則44f>E的周長(zhǎng)

是.

3.［2022?新高考∏卷］已知橢圓［+《=1,直線/與橢圓在第一象限交于A,B兩點(diǎn)，

O3

與X軸，y軸分別交于M,N兩點(diǎn)，且IMAl=WB|,IMNl=2K，則直線/的方程為

4.［2022?北京卷J己知橢圓E：W+左=Im?>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,1),焦距為2√5.

bz

(1)求橢圓E的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(-2,1)作斜率為A的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,C,直線4B,AC分

別與X軸交于點(diǎn)M,N,當(dāng)IMNl=2時(shí)，求A的值.

第六節(jié)直線與橢圓

必備知識(shí)?夯實(shí)雙基

知識(shí)梳理

1.兩個(gè)一個(gè)O

夯實(shí)雙基

?.(1)√(2)√(3)×(4)X

2.解析：直線y=x+l過(guò)(0,1)是橢圓9+3=1內(nèi)的點(diǎn),

所以直線y=x+l與橢圓9+9=1的位置關(guān)系是相交.

故選A.

答案：A

3.解析：根據(jù)題意可知c=Va2-b2=√4-1=√5,

不妨設(shè)直線/過(guò)右焦點(diǎn)，則/：y=χ-√3,

y=X-V3

聯(lián)立?χZ,2>

匕+y2=l

消去y整理得：5x2-8√3x+8=0,

.,8√38

..XA+XB=-,XAXB=-,

22

?AB?=yJ(XA-XB)+(yA-yB)

=J(XA—XB)2+[(XA-百)一(XB—百)]

2

=√2[(XA+XB)-4XAXB]

=J2×[(v)^4×l

答案：I

∣y=x+2,

4.解析：由χ2y2得(〃?+3)r+4沖:+m=0.由Δ>0,且m≠3及∕n>O,得m>?且

、m+3

tn≠3.

故選B.

答案：B

5.解析：設(shè)A(Xyl),5(X2,功,貝∣??+??=1①,

?+?=l(2),

是線段AB的中點(diǎn),

?xl+x2-1yi÷Y2-1

*-2'

?.?直線AB的方程是y=-^(χ-1)+1,

?β?yι-y2=-?(?i-松)，

：過(guò)點(diǎn)M(1,1)作斜率為一:的直線與橢圓C：1+號(hào)=l(α>方>0)相交于A,B兩點(diǎn),

2a"b'

M是線段AB的中點(diǎn)，

二①②兩式相減可得

?ft+2?L=。，艮哈+(-鋁=。，

?>?a'=y[^b,

.*.c=√a2—b2=b,

?_C-√2

-F

答案：y

關(guān)鍵能力?題型突破

y=2x+m,

例1解析：直線/的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組32消去y,

匕+…v，■

得9x2+8∕ΠΛ-+2w2-4=0.?

方程①的判別式△=(8μ2—4X9X(2W2-4)=-8W2+144.

(1)當(dāng)A>0時(shí)，直線/與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，

由144-8m2>0,得利2<18,

解得一3近<〃?<3衣，

所以當(dāng)加《(一3夜，3√2)時(shí)，直線/與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn).

(2)當(dāng)A=O時(shí)，直線/與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

由144-8OT2=0,得評(píng)=18,

解得，"=±3&，

所以當(dāng)mC{-3魚(yú)，3應(yīng)}時(shí)，直線/與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

(3)當(dāng)AVO時(shí)，直線/與橢圓C沒(méi)有公共點(diǎn)，

由144-8m2<0,得z√>i8,

解得mV—3^?∕Σ或m>3y∕2,

所以當(dāng)m∈(-8,3√2)U(3√2,+8)時(shí)，直線/與橢圓C沒(méi)有公共點(diǎn).

鞏固訓(xùn)練1解析：根據(jù)題意，可得y=aχ-?過(guò)點(diǎn)(0,-1),

要使直線y=or—1與橢圓?+3=1總有公共點(diǎn)，只需使點(diǎn)(O,-1)在橢圓內(nèi)部或橢

圓上，則有機(jī)》1,

又由橢圓。+亡=1的焦點(diǎn)在X軸上，則有5>加；

5m

綜合可得1≤∕∏<5.

答案：［1,5)

i

Ce=-=_

2

例2解析：(1)依題意2al4-解得;總，所以橢圓方程為9+9=i?

Ic2=a2—b2

(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為X=0,此時(shí)IPQl=2√5,不符合題意；所以

χ2y2

T+T=1,消元整理得(3+4R)X2-12=0,設(shè)

{y=kx

P(XI，”)，Q(X2,y2),則Xl+x2=0,X1X2=5^I，所以IPQl=Vl+卜2，儀1+X2)2—4X1X2=

√14,即√m?J_4X就7=√R解得％=±苧，所以直線/的方程為y=±等.

鞏固訓(xùn)練2解析：(1)由題意可知，橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(O,b),左右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別

為L(zhǎng)a,0)、(a,0),

?,.~(—?)——?,即“2=4〃，則α=2A

又/=〃+/,.?.c=√?b所以橢圓的離心率e=￡=g.

a2

±+∑l=1

22

(2)設(shè)A(Xi,y∣),B{X2,y2),由《板得：2%+2Λ+1-4?=0,

y=-(x+1)

.?.A=32∕>2-4>0,Xl+x2=-1,XlX2=3，-,

,22

??IABI=Jl+(?)M—%2∣=y√(xι+x2)-4x1x2=y√8b-l=??,

解得√8b2-l=√7,Λ?2=l,滿(mǎn)足△>(),

.?.∕=4,.?.橢圓C的方程為。+y2=ι.

4-

例3解析：(1)設(shè)IQF2∣=2C,因?yàn)閮蓚€(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，

所以h=c,

因?yàn)辄c(diǎn)P(l,當(dāng)在C上,所以1+總=1，又辟=加+洛

2a，2bz

解得解=4,b1=2,

所以C的方程為？+5=1.

42

(2)設(shè)A(x∣,yi),8(x2,>2),因?yàn)橹本€/與橢圓C交于A,8兩點(diǎn),

Y+Y-1,兩式相減得左二左=一號(hào)??①，

×2_[_yj_?×ι-×2a2yi+yz

α2?2

K1+X2__]

M(—1,1)是AB的中點(diǎn),所以電2一，則Fj[xI=>2，

?yι?y2=1Iyl十丫2一/

2

由⑴知,α2=4,b2=2,所以代入①有：■=：,

所以直線/的斜率為a

鞏固訓(xùn)練3解析：(1)設(shè)M(x,y),則AMA=+，&MB=七，其中X關(guān)±2,

因?yàn)槿鏏?%MB=痣=—也整理可得9+9=L

因此，點(diǎn)M的軌跡方程為9+Y=1(X≠±2).

(2)設(shè)所求弦為所，設(shè)點(diǎn)E(X1,%)、F(X2,m)，

若ErJ_x軸，則線段E尸的中點(diǎn)在X軸上，不合乎題意.

所以，直線EF的斜率存在，則XI+X2=2,y∣+"=l,

%+J

J43,兩個(gè)等式作差可得安犬一犬

因?yàn)?=0,

(ΞL2￡=43

I4+31

則WO產(chǎn)轉(zhuǎn)yi+yz_yi-yj__3且kop=%.?.Z?F=-|,

,

X1+x2x[-×24

因此，所求直線的方程為y—3=—|(X—1),即3x+2y-4=0.

真題展臺(tái)——知道高考考什么？

I.解析：設(shè)尸(乃，yι),貝IJ點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(一xi,州).由題意，得點(diǎn)A(-a,0).又直線

AP,AQ的斜率之積為：，所以2-?-^=3即-?=%∑).又點(diǎn)P在橢圓C上，所以冬+

4x1+a-x1+a4a2-χj4a2

4=1②.由①得號(hào)=；,所以〃=4以所以“2=4(4-2),所以橢圓C的離心率e=￡=

o2az4a

當(dāng)故選A.

答案：A

2.解析：由題意知e=￡=；,所以α=2c,?=√3c,所以aAF∣F2是等邊三角形，所以

a2

OE垂直平分AF2,所以∣AO∣=|。尸2|,HEl=IEF2∣,所以AAOE的周長(zhǎng)為|。月+兇冽+∣AE∣=∣OE∣

+IOFR+IE尸2∣.由橢圓的定義，可知|。月+1。&|+IEBI=44=8c.因?yàn)橹本€Z)E的斜率α=tan30。

=y,所以直線OE的方程為y=*+c),即x=√3y-α由橢圓方程條+三=1,得3/+

2

4V=12C2.將χ=√5y-c代入并整理，得13丫2—6舊勺-9￡'=0.設(shè)。田，y∣),E(X2,刃)，則

I6√3cy∣N2=一羽，所以IDEI=Jl+/J(yι+y2)2—4yιy2=√l+3?電暮?+若=

6+”==

?o2KNAoV?o

-√3c2+13c2=—c=6,解得c=U.所以AAZ)E的周長(zhǎng)是8c=13.

13138

答案：13

3.解析：令A(yù)B的中點(diǎn)為E,因?yàn)镮M4∣=∣NB∣,所以IMEl=WE

設(shè)4(x∣,y∣),3(x2,y2),則(+q~=l,-7-+^—1.

所以皂_巡_+進(jìn)__或_=0即(x「x2)(xi+x2)+(yi+y2)(yi-Y2)Q

6633*63'

所以曾Ia獸拱=一'即％￡心&=-3設(shè)直線A&y=kx+m9k<09m>09

(χι-χ2)(χι+×2)22

令X=O得y=如令y=0得x=一￡,即M(一￡,O),N(0,m),所以￡(一?,≡),

KKZKZ

即々X^2?=-解得上=—日或上=M舍去)，

-2k