初中數(shù)學《最值問題》典型例題

初中數(shù)學《最值問題》典型例題一、解決幾何最值問題的通常思路兩點之間線段最短；直線外一點與直線上所有點的連線段中，垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重合時取到最值）是解決幾何最值問題的理論依據(jù)，根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最值問題的關(guān)鍵．通過轉(zhuǎn)化減少變量，向三個定理靠攏進而解決問題；直接調(diào)用基本模型也是解決幾何最值問題的高效手段．幾何最值問題中的基本模型舉例軸對稱最值圖形原理兩點之間線段最短兩點之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征A，B為定點，l為定直線，P為直線l上的一個動點，求AP+BP的最小值A(chǔ)，B為定點，l為定直線，MN為直線l上的一條動線段，求AM+BN的最小值A(chǔ)，B為定點，l為定直線，P為直線l上的一個動點，求|AP-BP|的最大值轉(zhuǎn)化作其中一個定點關(guān)于定直線l的對稱點先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一個定點關(guān)于定直線l的對稱點作其中一個定點關(guān)于定直線l的對稱點折疊最值圖形原理兩點之間線段最短特征在△ABC中，M，N兩點分別是邊AB，BC上的動點，將△BMN沿MN翻折，B點的對應(yīng)點為B'，連接AB'，求AB'的最小值．轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成求AB'+B'N+NC的最小值二、典型題型1．如圖：點P是∠AOB內(nèi)一定點，點M、N分別在邊OA、OB上運動，若∠AOB=45°，OP=，則△PMN的周長的最小值為．【分析】作P關(guān)于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．根據(jù)對稱的性質(zhì)可以證得：△COD是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解．【解答】解：作P關(guān)于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．∵PC關(guān)于OA對稱，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．∴△COD是等腰直角三角形．則CD=OC=×3=6．【題后思考】本題考查了對稱的性質(zhì)，正確作出圖形，理解△PMN周長最小的條件是解題的關(guān)鍵．2．如圖，當四邊形PABN的周長最小時，a=．【分析】因為AB，PN的長度都是固定的，所以求出PA+NB的長度就行了．問題就是PA+NB什么時候最短．把B點向左平移2個單位到B′點；作B′關(guān)于x軸的對稱點B″，連接AB″，交x軸于P，從而確定N點位置，此時PA+NB最短．設(shè)直線AB″的解析式為y=kx+b，待定系數(shù)法求直線解析式．即可求得a的值．【解答】解：將N點向左平移2單位與P重合，點B向左平移2單位到B′（2，﹣1），作B′關(guān)于x軸的對稱點B″，根據(jù)作法知點B″（2，1），設(shè)直線AB″的解析式為y=kx+b，則，解得k=4，b=﹣7．∴y=4x﹣7．當y=0時，x=，即P（，0），a=．故答案填：．【題后思考】考查關(guān)于X軸的對稱點，兩點之間線段最短等知識．3．如圖，A、B兩點在直線的兩側(cè)，點A到直線的距離AM=4，點B到直線的距離BN=1，且MN=4，P為直線上的動點，|PA﹣PB|的最大值為．【分析】作點B于直線l的對稱點B′，則PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|，則當A，B′、P在一條直線上時，|PA﹣PB|的值最大．根據(jù)平行線分線段定理即可求得PN和PM的值然后根據(jù)勾股定理求得PA、PB′的值，進而求得|PA﹣PB|的最大值．【解答】解：作點B于直線l的對稱點B′，連AB′并延長交直線l于P．∴B′N=BN=1，過D點作B′D⊥AM，利用勾股定理求出AB′=5∴|PA﹣PB|的最大值=5．【題后思考】本題考查了作圖﹣軸對稱變換，勾股定理等，熟知“兩點之間線段最短”是解答此題的關(guān)鍵．4．動手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5．如圖所示，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當點A′在BC邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動．若限定點P、Q分別在AB、AD邊上移動，則點A′在BC邊上可移動的最大距離為．【分析】本題關(guān)鍵在于找到兩個極端，即BA′取最大或最小值時，點P或Q的位置．經(jīng)實驗不難發(fā)現(xiàn)，分別求出點P與B重合時，BA′取最大值3和當點Q與D重合時，BA′的最小值1．所以可求點A′在BC邊上移動的最大距離為2．【解答】解：當點P與B重合時，BA′取最大值是3，當點Q與D重合時（如圖），由勾股定理得A′C=4，此時BA′取最小值為1．則點A′在BC邊上移動的最大距離為3﹣1=2．故答案為：2【題后思考】本題考查了學生的動手能力及圖形的折疊、勾股定理的應(yīng)用等知識，難度稍大，學生主要缺乏動手操作習慣，單憑想象造成錯誤．5．如圖，直角梯形紙片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，點E、F分別在線段AB、AD上，將△AEF沿EF翻折，點A的落點記為P．當P落在直角梯形ABCD內(nèi)部時，PD的最小值等于．【分析】如圖，經(jīng)分析、探究，只有當直徑EF最大，且點A落在BD上時，PD最?。桓鶕?jù)勾股定理求出BD的長度，問題即可解決．【解答】解：如圖，∵當點P落在梯形的內(nèi)部時，∠P=∠A=90°，∴四邊形PFAE是以EF為直徑的圓內(nèi)接四邊形，∴只有當直徑EF最大，且點A落在BD上時，PD最小，此時E與點B重合；由題意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+62=80，∴BD=，∴PD=．【題后思考】該命題以直角梯形為載體，以翻折變換為方法，以考查全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是抓住圖形在運動過程中的某一瞬間，動中求靜，以靜制動．6．如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為．【分析】取AB的中點E，連接OD、OE、DE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得OD過點E時最大．【解答】解：如圖，取AB的中點E，連接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2∴OE=AE=AB=1，∵BC=1，四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=1，∴DE=，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OD＜OE+DE，∴當OD過點E是最大，最大值為+1．故答案為：+1．【題后思考】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，確定出OD過AB的中點時值最大是解題的關(guān)鍵．7．如圖，線段AB的長為4，C為AB上一動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE長的最小值是．【分析】設(shè)AC=x，BC=4﹣x，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得出CD=x，CD′=（4﹣x），根據(jù)勾股定理然后用配方法即可求解．【解答】解：設(shè)AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均為等腰直角三角形，∴CD=x，CD′=（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=x2+（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∵根據(jù)二次函數(shù)的最值，∴當x取2時，DE取最小值，最小值為：4．故答案為：2．【題后思考】本題考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形，難度不大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二次函數(shù)最值．8．如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為．【分析】根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，作點P關(guān)于BD的對稱點P′，連接P′Q與BD的交點即為所求的點K，然后根據(jù)直線外一點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)可知P′Q⊥CD時PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如圖，∵AB=2，∠A=120°，∴點P′到CD的距離為2×=，∴PK+QK的最小值為．故答案為：．【題后思考】本題考查了菱形的性質(zhì)，軸對稱確定最短路線問題，熟記菱形的軸對稱性和利用軸對稱確定最短路線的方法是解題的關(guān)鍵．9．如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，點P為邊BC上的任意一點（可與B、C重合），分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別為B′、C′、D′，則BB′+CC′+DD′的取值范圍是．【分析】首先連接AC，DP．由正方形ABCD的邊長為1，即可得：S△ADP=S正方形ABCD=，S△ABP+S△ACP=S△ABC=S正方形ABCD=，繼而可得AP?（BB′+CC′+DD′）=1，又由1≤AP≤，即可求得答案．【解答】解：連接AC，DP．∵四邊形ABCD是正方形，正方形ABCD的邊長為1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，∵S△ADP=S正方形ABCD=，S△ABP+S△ACP=S△ABC=S正方形ABCD=，∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，∴AP?BB′+AP?CC′+AP?DD′=AP?（BB′+CC′+DD′）=1，則BB′+CC′+DD′=，∵1≤AP≤，∴當P與B重合時，有最大值2；當P與C重合時，有最小值．∴≤BB′+CC′+DD′≤2．故答案為：≤BB′+CC′+DD′≤2．【題后思考】此題考查了正方形的性質(zhì)、面積及等積變換問題．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是連接AC，DP，根據(jù)題意得到S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，繼而得到BB′+CC′+DD′=．10．如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動點，則PE+PF的最小值是．【分析】利用菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)得