新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第六章空間向量與立體幾何 課時練習(xí)題含答案解析

第六章空間向量與立體幾何

6.1空間向量及其運算................................................................1

6.1.1空間向量的線性運算....................................................1

6.1.2空間向量的數(shù)量積.....................................................19

6.1.3共面向量定理.........................................................37

6.2空間向量的坐標(biāo)表示............................................................51

6.2.1空間向量基本定理.....................................................51

6.2.2空間向量的坐標(biāo)表示..................................................69

6.3空間向量的應(yīng)用.................................................................88

6.3.1直線的方向向量與平面的法向量........................................88

6.3.2空間線面關(guān)系的判定..................................................102

6.3.3空間角的計算........................................................126

6.3.4空間距離的計算......................................................159

6.1空間向量及其運算

6.1.1空間向量的線性運算

一、單選題

?.下列說法正確的是（）

A.任一空間向量與它的相反向量都不相等

B.不相等的兩個空間向量的模必不相等

C.同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小

D.將空間向量所有的單位向量平移到同一起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓

【答案】C

【分析】取零向量可判斷A選項；利用任意一個非零向量與其相反向量可判斷B選項；利用向

量不能比大小可判斷C選項；利用單位向量的概念可判斷D選項.

【解析】對于A選項，零向量與它的相反向量相等，A錯；

對于B選項，任意一個非零向量與其相反向量不相等，但它們的模相等，B錯；

對于C選項，同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小，C對；

對于D選項，將空間向量所有的單位向量平移到同一起點，則它們的終點構(gòu)成一個球，D錯.

2.在長方體/88-44GR中，方+通+甌等于（）

A.ACB.AC1C.BCiD.BD1

【答案】B

【分析】根據(jù)長方體EGA,得到相等的向量，再利用空間向量的加法法則進(jìn)行計算.

【解析】如圖，可得而=前，函=西，所以在+N方+西=而+前+宙=布.

_______UUUI

3.在平行六面體Z8CO-44GR中，下列四對向量：①而與GA；②/G與西；③而與

Q5；④麗與麻.其中互為相反向量的有〃對，則〃等于()

【答案】B

【分析】根據(jù)平行六面體的幾何特征和相反向量的定義即可判斷.

【解析】對于①萬與函，長度相等，方向相反，互為相反向量；

UUUI

對于②/G與西長度相等，但兩向量不共線，，兩向量不是相反向量；

對于③亞與乖,易知/8CQ是平行四邊形，則兩向量方向相反，大小相等，互為相反向量;

對于④麗與麻，易知4。CA是平行四邊形，.?.這兩向量長度相等，方向相同.

故互為相反向量的是①③，共有2對，“=2.

4.已知三棱柱點P為線段4G的中點，則后=()

1——1———1一1—.

A.—∕8+√4Cd—AA,B.ABH—AC—AA.

2222

C.—4BT—AC—AAD.—4B4—AC+AA.

221i221

【答案】D

【解析】根據(jù)空間向量的線性運算求解即可

【解析】解：在三棱柱ABC-A,BS,點、P為線段BG的中點，則

方=麗,前=葩廂=月=g麗,

所以N=Zξ+港=直+福+；前

=AAx+^AB+^(BA+^C)

=-AB+-AC+AA.,

221

5.三棱錐。-/8C中，點。在棱5C上，且BO=2OC,則/。為

____2__1__

A.AD=OA+-OB——OC

33

B.AD=-OA+-OB+-OC

33

C.AD=OA--OB--OC

33

D.AD=-OA+-OB+-OC

33

【答案】D

【分析】利用向量加減運算及數(shù)乘運算求解即可.

【解析】由題得：

AD=A?+OD^AO+OB+BD

=A?+OB+^BC=-OA+OB+^(OC-OB)

=-OA+-OB+-OC

33

6.已知正方體ZBCO-48CQI的棱長為1,設(shè)Z8=α,5C=?,AC=e＞則∣α+萬+c∣=().

A.0B.3C.2+√2D,2√2

【答案】D

【分析】利用向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合正方形的性質(zhì)可得結(jié)果.

D?

G

【解析】

利用向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合正方形的性質(zhì)，可得

?a+b+c?=?AB+l(C+AC?=∣?4+∣=2∣^4C∣=2√2.

7.已知空間向量b-且9=)+2加BC=-5a+6h<CD=7α-2?.則一定共線的三點是

()

A.4B、CB.B、C、DC.4B、DD.4C、D

【答案】C

【分析】根據(jù)向量共線判斷三點共線即可.

【解析】解：BD=BC+CD=-5a+6b+'7a-2b=2a+4h

=2(a+2b)=IAB,

又而與而過同一點B,

.?.”、B、。三點共線.

8.如圖所示，在平行六面體力8CD-38/G。/中，E,F,G,H,P,。分別是小力，AB,BC,

CC∣,CιDl,DM/的中點，則()

—>→→→

A?EF+GH+PQ=O

TTTT

b?EF-GH-PQ=O

c?EF+GH-PQO

d?EF-G∕i+PQ=O

【答案】A

【分析】通過相等向量進(jìn)行平移，將￡>,國,超平移后可以首尾相接，最后得出結(jié)果即可.

【解析】由題圖觀察，f>,c?,j?平移后可以首尾相接，EF+GH+PQ=Z-

9.設(shè)1工是不共線的兩個向量，且/+/=［，Z〃eR,則（）

A.，=〃=0B.a=b=0

—>—>—>→

c?Λ=0,?=0d?〃=0,。=0

【答案】A

【分析】根據(jù)共線向量的定義即可判斷答案.

【解析】若；或W為零向量，則:了共線，不合題意;

若∕l≠0,貝喘=_獨，則"共線，不合題意，故4=0,同理〃=0,A正確.

λ，

10.在正四面體/8CO中，尸是NC的中點，E是。尸的中點，若兀=2,麗=5,況=",則而=

（）

D.-a-h+-c

44224422

【答案】A

【分析】利用空間向量加減法的運算法則即可得解.

【解析】依題意，結(jié)合圖形可得，

1■■?■I■?I?I.■"?II'''>I..I.I

BE=BD-}-DE=-DB+-DF=-DB+-×-（DA+DC）=-DA-DB+-DC=-a-b+-c.

2224444

11.如圖，在四面體/8CD中，E,F,G,H分別為48,BC,CD,力。的中點，則

g（N豆+豆3+麗）化簡的結(jié)果為（）

A.BFB.EHC.HGD.FG

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的加法和數(shù)乘的幾何意義，即可得到答案;

【解析】???g（布+Z+而）=g（就+而）=；石=gχ2布=旃.

12.如圖，在正方形網(wǎng)格中，已知A,B,C三點不共線，P為平面NBC內(nèi)一定點，點。為平

面力BC外任意一點，則下列向量能表示向量而的為（）

A.OA+2AB+2ACB.OA-3AB-2AC

C.OA+3AB-2ACD.OA+2AB-3AC

【答案】C

【分析】根據(jù)A,BC,尸四點共面，可知存在唯一的實數(shù)對（x,y）,使萬=X益+），%,結(jié)

合圖形可得x，y的值，即可得到答案;

【解析】根據(jù)A,B,C,P四點共面，可知存在唯一的實數(shù)對（XJ）,使而=X君+y撫.

由圖知x=3,y=-2,

^OP-OA+AP^OA+3AB-2AC>

二、多選題

13.下列說法錯誤的是（）

A.在平面內(nèi)共線的向量在空間不一定共線

B.在空間共線的向量在平面內(nèi)不一定共線

C.在平面內(nèi)共線的向量在空間一定不共線

D.在空間共線的向量在平面內(nèi)一定共線

【答案】ABC

【分析】由在平面內(nèi)共線的向量在空間一定共線判斷AC,由在空間共線的向量在平面內(nèi)一定共

線判斷BD.

【解析】A.在平面內(nèi)共線的向量在空間一定共線，故錯誤；

B.在空間共線的向量，平移到同一平面內(nèi)一定共線，故錯誤；

C.在平面內(nèi)共線的向量在空間一定共線，故錯誤：

D.在空間共線的向量，平移到同一平面內(nèi)一定共線，故正確.

14.在正方體CZ）-44GA中，下列各式運算結(jié)果為向量西的是（）

A.-AlA^-AB；

B.（BC+BB）-D￡；

C.西_碼-2兩;

D.5∣Z）l-AlA^+DDt

【答案】AB

（分析】按照空間向量的加法法則和減法法則去逐個判斷即可

【解析】如圖正方體ABCD—44GA中：

D,C1

選項A:（A^Di-A^A）-AB=ADi-AB=BDi,正確；

選項B：（而+而?-麗函-前=西,正確;

選項C：（TD-AB）-WD.=JD+75D,-3DD,=BDi-3DDl,錯誤；

選項D：（函一μ+函=（麗-函+西=西+西，錯誤.

15.（多選）如圖所示，〃是四面體。IBC的棱8C的中點，點N在線段OM上，點P在線段

—2—

AN上,且4P=3PN,ON=-OM,設(shè)況=,,OB=b，OC=c則下列等式成立的是（）

A.OM--b——c

22

B.ΛN=^b+?e-a

-1_1一1一

D.OP=-a+-b+—c

444

【答案】BD

【分析】利用空間向量基本定理結(jié)合空間向量的加減法以及數(shù)乘運算求解即可

【解析】根據(jù)向量的加減法及數(shù)乘運算法則：

OM=-(θB+OC^=—b+?A選項錯誤；

------------—■—.2--------—21——1-1

AN=AO+ON=AO+-OM=AO+-×-{OB+OC)=-b+-c-a,故B選項正確；

__3__3____332___311-31-1

AP=-AN=-(AO+ON)=--a+-×-OM=--a+-×-(b+c)=--a+-b-I--C,故C選項錯誤；

44443422444

——_31-111-1_

OP=OA+AP=a+(一一J)+-Z)+-c=-a+-∕>+-c,故O選項IF確.

444444

16.已知三棱錐O-48GE,尸分別是048C的中點，尸為線段E/上一點，且PF=2",

設(shè)方=2,麗=5,δδ=∣,則下列等式成立的是()

一1-1一11-1

A.0F=-b+-cB.EP=--a+-b+-c

22666

—II-I-11-1

C.FP=一一a+-b+-cD.OP=-a+-b+-c

333366

【答案】ABD

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)中點的結(jié)論及向量加法、減法的三角形法則逐個分析選項即可得出答案.

【解析】如圖，因為尸為BC的中點，所以O(shè)F=Io8+10C=；b+1c,故選項A正確；

A

一1_,1______、1___1__"1_1-A11-1一1一1-

EP=-EF=-(0F-0EJ=-0F--0E=-?-h+-c?--×-0A=--a+-h+-cf故選項B正

確；

麗=-2而=—2]一\a+-iO=TIT區(qū)TG故選項C錯誤；

麗=瓦+麗=；次+[Ji=TZViTq故選項D正確.

三、填空題

17.共線向量

(1)定義：表示空間向量的有向線段所在的直線，則這些向量叫做或平

行向量.

(2)共線向量定理：對于空間任意兩個向量b(b≠b),2〃區(qū)的充要條件是存在實數(shù)M更

【答案】互相平行或重合共線向量a=λb

【分析】根據(jù)共線向量的定義，即可知各空的應(yīng)填內(nèi)容.

【解析】由定義，共線向量空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，即為共線向量或平行

向量，

而其充要條件為存在實數(shù)/使￡=&.

故答案為：互相平行或重合，共線向量，a=λb.

18.下列向量中，真命題是.(填序號)

①若/、B、C、。在一條直線上，則刀與麗是共線向量；

②若小B、C、。不在一條直線上，則而與而不是共線向量；

③向量而與麗是共線向量，則/、B、C、。四點必在一條直線上；

④向量而與而是共線向量，則/、B、C三點必在一條直線上.

【答案】①

【分析】由向量平行共線的定義，依次對四個命題判斷即可.

【解析】對于①，若4、B、C、力在一條直線上，則刀與麗是共線向量，故①正確；

對于②，若/、B、C、。構(gòu)成平行四邊形時，A,B、C、。不在一條直線上，但是君與麗是

共線向量，故②不正確；

對于③，若/、B、C、。構(gòu)成平行四邊形時，4、B、C、。不在一條直線上，但是施與麗是

共線向量，故③不正確；

對于④，若4B、C、。構(gòu)成平行四邊形時，力、B、C不在一條直線上，但是在與麗是共線

向量，故④不正確；

19.如圖所示，在平行六面體/8C。-H8'C'Z)'的棱中，與向量五？模相等的向量有個.

【答案】7

【分析】根據(jù)向量模長相等即可結(jié)合幾何體特征求解.

【解析】與疝？模長相等的向量有：石,麗,麗,無,黃,麗,麗共有7個.

20.如圖，在長方體/8CD-44G。中，P是“。的中點，點M,。分別在Z)C,CG上，且

【分析】根據(jù)向量的加法與減法的三角形法則轉(zhuǎn)化即可.

【解析】因為M=而+反+函=g∑5+荏+；西=刀+g∑5+g卷,

PM=PD+DD.+=~AD+AA.+-OC.≈-JB+-AD+AA.,

''2'332'

??,4'?,.4.

所以PQ+PM=-AB+AD+-AA],

~44

所以A=I,c=-,

一44

所以α+b-c=-+1——=1.

33

四、解答題

21.如圖所示，在正方體43CD-44GA中，化簡向量表達(dá)式：

(l)Aβ+CD+BC+DA;

⑵AAy÷BlCl+DlD；

(3)Z√4]+4G+DTD+CB.

【答案】⑴6

⑵赤

⑶O

【分析】(1)(2)(3)結(jié)合圖形，根據(jù)空間向量的線性運算直接化簡可得.

【解析】(I)AB+CD+JC+DA^AB+BC+CD+DA=AC+CD+DA^AD^Ab^

(2)由圖知，甌=翅

所以Zξ+甌+麗=羽+翅+麗=函+麗=元

(3)由圖知，CB=DA

所以由(2)可得麴+前+而+3=而+E=而-而=飛

22.如圖，已知W,N分別為四面體Z-8C。的面88與面/C。的重心，G為4M上一點,

且GM：GH=I：3.求證：B,G,N三點共線.

【答案】證明見解析.

【分析】設(shè)方=2，AC=b<AD,=c>結(jié)合已知條件可得麗=g數(shù)，再由枝,麗有公共端

點，即可得結(jié)論

【解析】證明：取Cz)的中點E,連接AE,BE,

因為W,N分別為四面體Z-BC。的面BC。與面/CD的重心，

所以M在8E上，N在AE上,

----------UUU1

設(shè)AB=a，ACτ=b，AD=C，

因為M為48CQ的重心，

所以而=7Z+再而=7萬+∣?χg(元+瓦5)

=TB+^BC+BD^

=AB+^AC-AB+Ab-AB')

―?3-----

因為G":G4=1:3,所以ZG=—

所以BG=BA+AG=BA+—AM=-a+-(a+h+c?=--a+-b+-c,

44、,444

因為N為△力CD的重心，

所以麗=0+而=麗+g(就+75)=-Z+*I=g數(shù),

?'?BN∕∕BG.

又BNCBG=B,

：.B,G,N三點共線.

23.如圖，已知空間四邊形/88,連接/C,BD,E,F,G分別是8C,CD,05的中

點，請化簡：

WAB-CB-DC--

(2)AB+GD+EC?并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量.

【答案】⑴/。

(2)JF＞答案見解析

【分析】根據(jù)向量的線性運算直接分別化簡.

(1)

AB-CB-DC=AB+BC+CD=AD;

(2)

如圖所示，

連接G尸，因為E,F,G分別是8C,CD,的中點，

所以礪=而，GF^EC,

所以萬+而+就=劉+就+不=萬ζ?

24.如圖所示，在平行六面體/8CD-44GA中，M.N分別是44、BC的中點.設(shè)而=2,

_____UUU1

AB=h?AD=c?

(1)己知P是GA的中點，用人1)、)表示后、麗、MP+NQ；

cP1

(2)已知「在線段G"上，且而=5,用'人展表示N?

【答案】(?]AP=a+c-?--b,A,N=-a-st-b+-c,MP+NC.=-a+-b-?--c

22222

:一一2一

(2)AP=a+c+-b

【分析】由空間向量的線性運算可得.

【解析】(1)因為〃、N、尸分別是44、BC、GA的中點

所以，AP=ADt+D^P=(AAi+AD^+AB=a+c+^bi

A^=A^A+AN=-'AAt+AB+^A'Γ)=—α+?+?c；

標(biāo)+而=(麗+語+函+(林+西

=-AA.+AD+-AB+-AD+AA.=-^AA.+-AD+-AB

222222

3-173-

=-a+-b+-c；

222

CxP1一2___

（2）因為而=2,所以AP=IAG

所以"=位+而=瓦+75+—萬=Z+Z+-B.

33

25.如圖，正方體/BCO—G〃中，點￡,尸分別是上底面44GA和側(cè)面CGOQ的中心,

分別求滿足下列各式的X,y,Z的值.

（1）AE=XAD+yAB+zAAi;

（2）AF=xAD+yAB-?-zAAx；

（3）EF=XAD÷yAB+zAA].

【答案】（I）X=J=；,Z=I

I

（2）x=l1,y=z=-

ICI

（3）x=-,y=0,z=~-

【分析】（I）由向量加法的三角形法則和四邊形法則得亞=刀I'+乖和祚=；（而+而），由此

即可求出結(jié)果；

（2）由向量加法的三角形法則和四邊形法則得萬ζ=詬+而和而=；（存+后?,由此即可

求出結(jié)果；

—?1—?1——?

（3）因為EF=4F_4E，由（1），（2）可知，EF=—AD--AA1,由此即可求出結(jié)果.

【解析】（I）解：由向量加法的三角形法則得，AE=M+^Ef

由平行四邊形法則和向量相等得，語=;（語+而）=;（而+力）；

所以赤=存+祠=可+g（荏+而）=g而+;而+羽，

所以X=y=；,z=l；

(2)解：由向量加法的三角形法則得，AF=AD+DF^

由四邊形法則和向量相等得，DF=^(DC+DDi)=^{AB+AAi);

所以萬=石+方=赤+；(而+Zξ)=而+g荏+g∑ξ,

所以x=l,juz=；.

(3)解：由(1),(2)可知，EF=ZF-ZE=fz5+∣^5+∣ZξW∣ZD+∣^+Z^'∣

1―■

一AA.,

?22'

所以x=g,y=O,z=-；.

26.如圖，在長方體/88-H5'CZ>'中，點M,N分別是//,?8的中點，點。為Bo的中

點.設(shè)48=Q,AD=b>AA,=C?用a，b?C表示下列向量：

⑴%，~ABf>Z5，D7B；

⑵既，OM-

【答案】(I))C=a+B;

∕6'=a+c;

A,D=b-c^

D,B=a-b-c^

(2)D,N=a-b-^c；

____1→ι→

OM-

【分析】根據(jù)圖形和空間向量的線性運算依次求解即可.

(1)

AC=AB+BC=a+b^

AB,=AB+AA=a+cχ

ArD=AD-AAi^b-c;

DiB=TB-JtD'=AB-(AD+jA')=a-(h+c)=a-b-c;

(2)

WN^DiB'+B7N^DB--BB'^AB-Ab--AA'^a-b--C;

222

0M=7M-A0=^AA'-^(AD'+JB)=^AAi-^(AD+7A'+AB)

1~TB?~τf?I-17

2222

27.如圖，在空間四邊形/88中，已知G為438的重心，民廠,"分別為邊CQ,Z。和BC的

中點，化簡下列各式：

T]f1-t-

(?)AG^r-BE--AC↑

⑵;(北+/-&);

]T?→?→

(3)-AB+-AC+-ΛD.

【答案】⑴介

Q)品

⑶/%

【分析】(1)根據(jù)向量共線，加法與減法運算求解即可；

(2)根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則求解即可；

(3)根據(jù)=∕5+](4C-/BJ+40-48J化簡求值即可.

⑴

解：因為G為45CD的重心，E,尸為邊C。,力。的中點，

→?→1→→→?→1→T2T]f[τ

所以ZG+-5E——AC=AB+BG+-BE——AC=AB+-BE+-BE——AC

3232332

→—>1—>>1—>→→—>>>

=4B+BE-一AC=AE一一AC=AE-FE=AE+EF=AF,

22

T1-*ITT

所以/G+—BE——AC=AF

32

(2)

解：因為E,F,，分別為邊CD,/。和8C的中點,

1(→→→A?(→TIfTT→

所以—40J=5124"一力OJ=4〃-540=/〃一4/=尸〃

(3)

1→]τ]τ1(fff、AB+^AC-AB^+^AD-AB

解:-AB+-AC+-AD=-?AB+AC+AD\=

33331)

Tl(T->、→1→T2TT→→

=AB+-?BC+BD?=AB+-×2BE=AB+-BE=AB+BG=AG

3l)33

28.如圖，在正方體∕8CD-44CQ∣中，E在44上，且不豆=2西，尸在對角線小C上，且

乖=|定.若方=%而=5,福=C,

⑴用a,h,c表示EB-

(2)求證：E,F,8三點共線.

【答案】(1)EB=a-^b-c,(2)證明見解析.

【分析】(1)由已知得麗=瓦+常+而=]取;+9+刀，由此可得答案:

(2)由已知得麗=|麗，由此可得證.

【解析】解：(1)因為祚=2叫，AB=aM)=hJAAX=C,

....2一..2一

所以EB=EAl+A1A+AB=—D{A}+A]A+AB=--b-c^-a,

—2—

所以EB=I——b-c；

3

——2—?

(2)AF=-FC.

y3

~FB=FA,+A^A+AB=-CA^A^4+AB

=W(C8+84+44)+44+∕8

=^-h-a+c^—c+a

3-匕士)

a--h=I麗,

55553

又麗與麗相交于瓦所以E,F,B三點共線.

29.如圖所示，已知幾何體NBCO-48/G。是平行六面體.

1———2一

（1）化簡544+8C+]48結(jié)果用方表示并在圖上標(biāo)出該結(jié)果（點明E,F的具體位置）；

（2）設(shè)M是底面N8C。的中心，N是側(cè)面8CC/5/對角線8。上的點，且C∕N=9c?8,設(shè)

4

MN=aAB+βAD+χAy[,試求i,β,y的值.

1-.2一一1I3

【答案】（1）—AAx+BC+—AB=EF；作圖見解析；（2）<z=—,B=工,y=—.

【分析】（1）取44/的中點E,在O/C/上取一點R使得DF=2尸。，連接ER再根據(jù)向量

的線性運算計算即可；

（2）通過赤，AD'麗表示麗，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系求出α,￡,y的值即可.

【解析】解（1）取的中點E,在QG上取一點尸，

使得。尸=2尸。，連接ER

DlCi

__________1___3___.

(2)MN=MB+BN=-DB+-SC

24

ι__3-----?

+

=5(DA+AB~(SC+CC1)

1—1—3—

=-ABH—AD4—AA.

244,t

113

所以α=q,β=：,γ=-

244

6.1.2空間向量的數(shù)量積

一、單選題

1.下列各命題中，不正確的命題的個數(shù)為()

①=|「I②/M(44)?5=(WU)α?B(m,/IeR)③α?(5+c)=(5+c)?α④Z工=B.

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)及運算律可判斷①③，利用數(shù)乘向量的結(jié)合律可判斷

②，利用數(shù)量積的意義及相等向量判斷④作答.

【解析】由向量數(shù)量積的運算性質(zhì)知，①正確；由數(shù)乘向量的結(jié)合律知，②正確；

?(b+c)=a?b+a-C-b?a+c?a=(b+c)?a)③正確；

7,7都表示兩個非負(fù)實數(shù),表示與否共線的向量,不、表示與示共線的向量,即與/￡不

一定相等，④不正確.

2.在正方體∕8cr>-4AGA中，有下列命題：

_-------------------------C--------C___________________-----------UUU

①(44+∕D+ZB)2=3∣∕8∣2;②4。(4鳥-44)=0；③/。與48的夾角為60°.

其中正確的命題有().

A.1個B.2個C.3個D.0個

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量的垂直和異面直線所成的角求解即可

【解析】解：對于①，

22222

(AA}+AD+AB)=(AA1)+(AD)+(AS)+2AAt-AD+2AAl-AB+2AD-AB=3∑β,J9τ以①正

確；

對于②)，^4∣C?(AtBl—√4∣√4)=(AB+AD—AA1)?(AB—AlA)=AB—A1A=0>

所以②正確：

UUU______

對于③，因為48〃。。,/2，/。,。。分別為面的對角線，

______UUU

所以40C=60。,所以ADx與4B的夾角為120。，所以③錯誤

3.若向量比垂直于向量值和B,向量萬=店+〃伙/1,〃eR,且%〃≠0),則()

A.rhHnB.inLn

C.而不平行于腦而也不垂直于歷D.以上都有可能

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量垂直的定義和數(shù)量積運算的性質(zhì)，即可判斷而，鼠

【解析】解：向量比垂直于向量2和B,則玩?M=0,而石=0,

又向量方=4M+，

所以fh?n=m?(λa+μb)=λm?a+μm?b=0,

所以而±n.

4.在正三棱柱48C-44G中，若4B=BB?,則雞在南上的投影向量為()

A.一西B.!西C.-BCiD.--5C

4422

【答案】B

【分析】如圖建系，求得各點坐標(biāo)，可得福,西，根據(jù)投影向量的求法，代入公式，即可得

答案.

【解析】過4作4AJ?4G,分別以IR,4G，為“，〃z軸正方向建系，如圖所示,

設(shè)正三棱柱∕8C-44G的棱長為2,

則4(0,0,2),B?(√3,1,0),5(√3,1,2),C1(0,2,0),

所以布=(6,1,-2),西=(√3,1,-2),

所以福在畫上的投影向量為I福］COS＜福,BCi

5.已知空間向量z,h,|?|=i,∣?∣=√2,且】_%與G垂直，則Z與B的夾角為（）

A.60B.30°C.135°D.45°

【答案】D

【分析】根據(jù)已知可得G-可i=0,根據(jù)數(shù)量積的運算律即可求出cos?&=乎，進(jìn)而求出

結(jié)果.

【解析】因為屋Z與G垂直，所以R∕）G=O,

所以cos(a3)=乎.

j^?r

又0。"詞≤18(Γ,所以0,9=45°.

6.三棱錐Z-BCO中，AB=AC=AD=2,ZSAO=90。，ZfiyiC=90°,則次?麗等于

A

A.OB.2C.-2√3D.2√3

【答案】A

【解析】根據(jù)所給的條件把三棱錐底邊上的向量寫成兩條側(cè)棱的差，進(jìn)行數(shù)量積的運算，這樣

應(yīng)用的邊長和角都是已知的，得到結(jié)果.

【解析】解：因為4/。=90。，ZBAC=90°

即方J,Σ5,ABlAC

所以刀.而=^XB?AC=0

麗?麗=萬?（Z5-硝

=AB?AD—AB?AC

=0-0=0

7.已知空間向量ZiI滿足￡+5+2=0,H=2，W=3，H=4,則Z與5的夾角為（）

A.30oB.45°

C.60oD.以上都不對

【答案】D

【分析】設(shè)）與分的夾角為仇由￡+加+2=0,得￡+加=工，兩邊平方化簡可得答案

【解析】設(shè)Z與各的夾角為仇

由α+5+c=6'得α+Z=-c,

兩邊平方,得/+2Z/+片=占

因為卜卜2,啊=3,卜卜4,

所以4+2χ2x3COSe+9=16,解得COSe=L

4

8.正方體/8CD-GA的棱長為1,。為棱片。的中點，則有（）

A.BC-B^D.=2B.AB-AO=-C.AB-AD.=?D.BCDO=-

112112

【答案】B

【分析】由空間向量數(shù)量積的運算律對選項逐?判斷,

【解析】對于A,反?麗=阮?麗=1,故A錯誤，

對于B,ABA?=^-AB2=^-,故B正確，

22

對于C,48上平面則萬?函=0,故C錯誤，

對于D,BCi=BC+BBi,D?=^(DA+DC+DD,),

-=,

由垂直關(guān)系化簡得8C：■DO=^^BC,DA+—BB]-DDt=?+?θ故D錯誤,

9.已知2,尻了為兩兩垂直的單位向量，則∣a-B+W=()

A.1B.√3C.√2D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運算律可求得|萬-5+己］，由此可得結(jié)果.

【解析】由題意知：同=W=同=1,a-b=a-c=b-c=0'

.?.?a-b+c^=?a^+?b^+?c^-2a-b+2a-C-2b-C=3,Λ∣5-?+C∣=√3.

10.已知在平行六面體力8?！?gt;-44Ca中，向量在，^AD-您兩兩的夾角均為60°,且I而卜1,

?AD?=2,I詞=3,貝川肉I=()

A.5B.6C.4D.8

【答案】A

【分析】利用向量的數(shù)量積公式即可求解.

【解析】如圖，平行六面體48CDGA中，

向量而、AD`祠兩兩的夾角均為600，

且I詞=1,I與卜2,I怒卜3,

ACT=AB+BC+CCT

2

：.AC1=(JB+BC+CCI^

.2.2.2....,.

=AB-+BC+CC,+2AB-BC+2AB?CCi+2BC?CCl

=l+4+9+2×l×2×cos60+2×1×3×cos60+2×2×3×cos60

=25.

,國=5,

11.在棱長為1的正方體44GA中，設(shè)方=3，而=B，AAx-c,則4（Hc）的

值為（）

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】B

【分析】由正方體的性質(zhì)可知而、AD>羽兩兩垂直，從而對化簡可得答案；

【解析】解：由題意可得ABYAAx,

所以Q_LC，所以Q?加=0，Q?c=θ,

-<1-2-、1—2—

所以αl”一丁卜萬口"一針C=O，

12.正四面體/-8Cz）的棱長為4,空間中的動點P滿足I麗+斤卜2五，則萬.而的取值范

圍為（）

A.[4-2√3,4+2√3]B.[√2,3√2]

C.[4-3√2,4-√2]D.[-14,2]

【答案】D

【分析】分別取8C,4。的中點E,F,由題意可得點P的軌跡是以E為球心，以為半徑的

球面,又萬.歷=4-冏°,再求出網(wǎng)的最值即可求解

【解析】分別取BC,3的中點E,F,則I而+元∣=∣2網(wǎng)=2√Σ,

所以閥=0,

故點P的軌跡是以E為球心，以√∑為半徑的球面，

Q?而=_（而+可.（而+而）=_（而+或）（而_硝=同一網(wǎng)2=4_|研,

又ED=yjDC2-CE2=√16-4=√12=2√3,EF=yjDE2-DF2=√12-4=瓜=2√5^，

所以I而I=^F-√2=√2,IPFI=M+√Σ=3√Σ,

IIminIImax

所以萬?麗的取值范圍為卜14,2].

二、多選題

13.設(shè)￡,5為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確的有（）

.-2_|-|2a-bb

A.Q—kzBd.———=—

'1a?aa

_一?2-?2-2/一-*?2-2-?-?**2

（a?hj=a?bD.?a-^}=“-2a?h+h

【答案】AD

【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義與運算律一一判斷即可；

【解析】解：對于A：α2=α?α=∣α∣?∣<7∣cos0=∣α∣,故A正確:

即2無意義,

對于B：因為向量不能做除法,故B錯誤;

對于C:（α?5）=QaH.cos,]）=|?|?∣6∣CoCkM,故C錯誤;

對于D：（4-3）=（Q-A）?（α-B）=α-2Q?1+否~,故D正確；

14.三棱錐。-/8C中，040B,0C兩兩垂直，且CM=OB=OC,下列命題為真命題的是（）

B

/'i’'—'i?2'2，?一”--——?

A.?OA+OB+OC^=30AB.BC(CA-CO)=O

1∣,UUΓUUUTUlUT

C.a+瓦和B的夾角為60°D.三棱錐O-NBC的體積為K(∕8∕c)?x8C

【答案】ABC

【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，結(jié)合棱錐體積公式逐一判斷即可.

【解析】A：(OA+OB+OC^=OA+OB2+OC2+2OA-OB+2OC-OA+2VB-OC,

因為0408,。C兩兩垂直，所以次.礪=無歷=無.玩=0,

而。4=O8=OC,所以(0N+08+0C)=3。/,本命題是真命題;

B：BC(CA-C?)=(J?+OC)OA=BOOA+OCO/.,

因為0405,0C兩兩垂直，所以方.歷=反.萬=0,

因止匕8C?(C4—CO)=0,本命題是真命題;

C：^+δB)^=(OA+OB)(C?+OA)=OAC?+OA2+()BC?+OBOA，

因為0408,。C兩兩垂直，所以刀.礪=玩京=麗.玩=0,

所以(德+麗).擊=而