江蘇省2022年各地區(qū)中考數(shù)學真題匯編（14套）-05解答題壓軸題

江蘇省2022年各地區(qū)中考數(shù)學真題按題型難易度分層分類匯編

（14套）-05解答題壓軸題

【考點目錄】

一次函數(shù)綜合題（共1小題）...................................................1

—,二次函數(shù)綜合題（共3小題）...................................................1

三.三角形綜合題（共3小題）.....................................................3

四.四邊形綜合題（共4小題）.....................................................4

五.圓的綜合題（共3小題）......................................................6

六.相似形綜合題（共1小題）....................................................9

【專題練習】

一次函數(shù)綜合題（共1小題）

1.（2022?泰州）定義：對于一次函數(shù)y↑-ax+b>yi—cx+d,我們稱函數(shù)y—m（t∕x+?）+n

（CX+d）（ma+nc≠0）為函數(shù)yi、”的"組合函數(shù)

（1）若〃?=3,n=?,試判斷函數(shù)y=5x+2是否為函數(shù)yι=x+hy2=2x-1的"組合函

數(shù)”，并說明理由；

（2）設函數(shù)yι=x-p-2與yi--x+3p的圖象相交于點P.

①若點尸在函數(shù)V、”的“組合函數(shù)”圖象的上方，求P的取值范圍；

②若pWl,函數(shù)戶、”的“組合函數(shù)”圖象經過點P.是否存在大小確定的機值，對于

不等于1的任意實數(shù)p,都有“組合函數(shù)”圖象與無軸交點Q的位置不變？若存在，請

求出，”的值及此時點。的坐標；若不存在，請說明理由.

二.二次函數(shù)綜合題（共3小題）

2.（2022?無錫）如圖，二次函數(shù)y=?^χ2+H■的圖象與X軸交于點4、8（4在8左側），

點C（0,3）,點E在對稱軸上.

（1）求A、B兩點坐標；

（2）設直線AC與拋物線的另一個交點為Zx求點O坐標；

（3）設E關于直線BD、CD的對稱點分別為F、G,求以GF為直徑的圓面積的最小值.

y

∕A]?BX

3.(2022?宿遷)如圖，二次函數(shù)y=y+hx+c與X軸交于O(0,0),A(4,0)兩點，頂

點為C,連接OC、AC,若點8是線段OA上一動點，連接BC,將AABC沿8C折疊后,

點A落在點A'的位置，線段A'C與X軸交于點。，且點。與0、A點不重合.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)①求證：XOCDs小BD；

②求理的最小值；

BA

交于A,8兩點(點A在點B的左側)，與)，軸交于點C,頂點為￡).其對稱軸與線段BC

交于點E,與X軸交于點足連接AC,BD.

(1)求A,B,C三點的坐標(用數(shù)字或含用的式子表示)，并求/O2C的度數(shù)；

(2)若/4Co=/C8。，求，〃的值；

(3)若在第四象限內二次函數(shù)y=-/+2〃a+2根+1(機是常數(shù)，且相＞0)的圖象上，始

終存在一點P,使得NACP=75°,請結合函數(shù)的圖象，直接寫出機的取值范圍.

備用圖

≡.三角形綜合題(共3小題)

5.(2022?徐州)如圖，在AABC中，∕BAC=90°,AB=AC=12,點P在邊AB上，D、

E分別為BC、PC的中點，連接DE.過點E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G

兩點.連接。G,交PC于點H.

(1)NEz)C的度數(shù)為°；

(2)連接PG,求aAPG的面積的最大值；

(3)PE與力G存在怎樣的位置關系與數(shù)量關系？請說明理由：

(4)求生的最大值.

CE

6.(2022?泰州)已知：ZXABC中，。為BC邊上的一點.

(1)如圖①，過點。作QE〃AB交AC邊于點￡若AB=5,BO=9,Z)C=6,求DE

的長；

(2)在圖②中，用無刻度的直尺和圓規(guī)在Ae邊上作點F,使N。以=乙4；(保留作圖

痕跡，不要求寫作法)

(3)如圖③，點F在AC邊上，連接BF、DF.若∕O∕?=NA,△尸BC的面積等于工CO

?AB,以FD為半徑作。凡試判斷直線BC與0P的位置關系，并說明理由.

A

AA

F

7.（2022?揚州）如圖1,在aABC中，ZBΛC=90°,ZC=60o,點。在BC邊上由點C

向點8運動（不與點B、C重合），過點。作。ELA。，交射線AB于點E.

（1）分別探索以下兩種特殊情形時線段AE與BE的數(shù)量關系，并說明理由；

①點E在線段AB的延長線上且BE=BD-,

②點E在線段AB上且EB=ED.

（2）若AB=6.

①當運=返_時，求AE的長；

AD2

②直接寫出運動過程中線段AE長度的最小值.

四.四邊形綜合題（共4小題）

8.（2022?淮安）在數(shù)學興趣小組活動中，同學們對菱形的折疊問題進行了探究.如圖（1）,

在菱形ABC。中，為銳角，E為Be中點，連接DE,將菱形ABC。沿。E折疊，得

到四邊形AbED,點4的對應點為點A,點B的對應點為點6.

【觀察發(fā)現(xiàn)】

A,D與B1E的位置關系是:

【思考表達】

（1）連接BC,判斷NoEC與NgCE是否相等，并說明理由；

（2）如圖（2）,延長OC交AHl于點G,連接EG,請?zhí)骄縉QEG的度數(shù)，并說明理由；

【綜合運用】

如圖(3),當NB=60°時，連接FC,延長。C交Ab于點G,連接EG,請寫出8C、

EG、OG之間的數(shù)量關系，并說明理由.

圖⑴圖⑵圖⑶

9.(2022?鎮(zhèn)江)已知，點E、F、G、H分別在正方形ABCQ的邊AB、BC、CD、AD

(1)如圖1,當四邊形EFG〃是正方形時，求證：AE+4H=AB;

(2)如圖2,已知AE=4"，CF=CG,當AE、C尸的大小有關系時，四

邊形EFG”是矩形；

(3)如圖3,AE=DG,EG、FH相交于點。，OE：OF=4：5,已知正方形ABCZ)的邊

長為16,FH長為20,當AOEH的面積取最大值時，判斷四邊形EFG，是怎樣的四邊形？

證明你的結論.

10.(2022?南通)如圖，矩形ABC。中，AB=4,AD=3,點E在折線BCQ上運動，將4E

繞點A順時針旋轉得到AR旋轉角等于NBAC,連接CF.

(1)當點E在8C上時，作FMLAC,垂足為M,求證：AM=AB-,

(2)當4E=3&時，求CF的長；

(3)連接。凡點E從點8運動到點力的過程中，試探究。尸的最小值.

F

11?（2022?鹽城）【經典回顧】

梅文鼎是我國清初著名的數(shù)學家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法.圖

1是其中一種方法的示意圖及部分輔助線.

在aABC中，ZACB=90°,四邊形AoEB、AC"/和BFGC分別是以RtZvWC的三邊

為一邊的正方形.延長出和FG,交于點L,連接LC并延長交OE于點J,交AB于點K,

延長DA交IL于點M.

（1）證明：AD=LC;

（2）證明：正方形Ae7//的面積等于四邊形ACLM的面積；

（3）請利用（2）中的結論證明勾股定理.

【遷移拓展】

（4）如圖2,四邊形4C，/和BFGC分別是以AABC的兩邊為一邊的平行四邊形，探索

在AB下方是否存在平行四邊形ADEB,使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形ACHK

BFGC的面積之和.若存在，作出滿足條件的平行四邊形AOEB（保留適當?shù)淖鲌D痕跡）；

若不存在，請說明理由.

五.圓的綜合題（共3小題）

12.（2022?鎮(zhèn)江）（1）已知AC是半圓。的直徑，ZAOB=（且阻）°（〃是正整數(shù)，且〃

n

不是3的倍數(shù)）是半圓。的一個圓心角.

【操作】如圖1,分別將半圓O的圓心角/AOB=（J?叫）°（〃取1、4、5、10）所對

n

的弧三等分（要求：儀用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

【交流】當N=Il時，可以僅用圓規(guī)將半圓。的圓心角/AOB=（儂）°所對的弧三

n

等分嗎？

從上面的操作我發(fā)現(xiàn)，就是利用60。、（儂）°所對的弧去找（儂）°的三分之一

1111

即（竺）°所對的弧

11

我發(fā)現(xiàn)了它們之間的數(shù)量關系是4X（儂）°-60°=（"）

11n

我再試試：當〃=28時，（較）°、60。、（θθ）°之間存在數(shù)量關

2828

系.

因此可以僅用圓規(guī)將半圓。的圓心角NAoB=（儂）°所對的弧三等分.

28

【探究】你認為當滿足什么條件時,就可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角NAO8=（儂）°

n

所對的弧三等分？說說你的理由；

（2）如圖2,。。的圓周角/PM。=（2∑θ）°.為了將這個圓的圓周14等分，請作

7

出它的一條14等分弧&（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

Q

，

圖2

13?（2022?常州）現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點。是圓心，直徑AB的長是12cm,C

是半圓弧上的一點（點C與點A、B不重合），連接AC、BC.

（1）沿AC、BC剪下4ABC,則AABC是三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍

角”）；

（2）分別取半圓弧上的點E、F和直徑AB上的點G、H.已知剪下的由這四個點順次連

接構成的四邊形是一個邊長為6cm的菱形.請用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個符合條件的

菱形（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（3）經過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點C,一定存在線段AC上的點

M、線段BC上的點N和直徑AB上的點P、Q,使得由這四個點順次連接構成的四邊形

是一個邊長為的菱形.小明的猜想是否正確？請說明理由.

備用圖

14.（2022?宿遷）如圖，在網格中，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點稱為

格點，點4、B、C、D、M均為格點.

【操作探究】

在數(shù)學活動課上，佳佳同學在如圖①的網格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線

段AB、CD,相交于點尸并給出部分說理過程，請你補充完整：

解：在網格中取格點E,構建兩個直角三角形，分別是aABC和4CZ）E.

在RtZ?ABC中，tanNBAC=L,

2

在RtZXCDE中，_______________________

所以IanZBAC=IanZDCE.

所以NBAC=NQCE.

因為NACP+/￡>CE=NACB=90°,

所以NACP+NBAC=90°,

所以NAPC=90°,

即ABLCD.

【拓展應用】

(1)如圖②是以格點。為圓心，AB為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在“上找出

一點P，使奇=氤，寫出作法，并給出證明;

(2)如圖③是以格點。為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦AB上找出一點P.使

六.相似形綜合題(共1小題)

15.(2022?南京)在平面內，先將一個多邊形以自身的一個頂點為位似中心放大或縮小，再

將所得多邊形沿過該點的直線翻折，我們稱這種變換為自位似軸對稱變換，變換前后的

圖形成自位似軸對稱.例如：如圖1,先將448C以點A為位似中心縮小，得到

再將沿過點A的直線/翻折，得到AAFG,則AABC和aAFG成自位似軸對稱.

(1)如圖2,在aABC中，NAC8=90°,AC<BC,CDLAB,垂足為D下列3對三

角形：①AABC和aACO;②48AC和aBCQ;③4D4C和4OCB.其中成自位似軸對

稱的是;(填寫所有符合要求的序號)

(2)如圖3,已知aABC經過自位似軸對稱變換得到AAOE,Q是。E上一點，用直尺

和圓規(guī)作點P，使P與。是該變換前后的對應點(保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)；

(3)如圖4,在AABC中，。是BC的中點，E為AABC內一點.ZABE=ZC,NBAE

ACAD,連結Z)E,求證：DE//AC.

江蘇省2022年各地區(qū)中考數(shù)學真題按題型難易度分層分類匯編

(14套)-05解答題壓軸題

參考答案與試題解析

一次函數(shù)綜合題(共1小題)

1.(2022?泰州)定義：對于一次函數(shù)γι=0x+?>yι=cx+d,我們稱函數(shù)y=m(ax+h)+n

(CX+d)(ma+nc≠O')為函數(shù)yi、”的"組合函數(shù)

(1)若%=3,〃=1,試判斷函數(shù)y=5x+2是否為函數(shù)yι=x+l?y2-2x-1的“組合函

數(shù)”，并說明理由；

(2)設函數(shù)yι=x-p-2與”=-x+3p的圖象相交于點P.

①若〃點P在函數(shù)V、”的“組合函數(shù)”圖象的上方，求P的取值范圍；

②若pWl,函數(shù)yi、"的“組合函數(shù)”圖象經過點P?是否存在大小確定的，〃值，對于

不等于1的任意實數(shù)p,都有“組合函數(shù)”圖象與X軸交點Q的位置不變？若存在，請

求出，〃的值及此時點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)函數(shù)y=5x+2是函數(shù)yι=x+l?>?2=2x-1的“組合函數(shù)”，理由見解答過程；

(2)①p<l；

②存在m=?∣時，"組合函數(shù)”圖象與X軸交點Q的位置不變，Q(3,0).

【解答】解：(1)函數(shù)y=5x+2是函數(shù)yi=x+l、”=緘-1的“組合函數(shù)”，理由如下：

V3(x+l)+(2χ-1)=3x+3+2x-l=5x+2,

.?y=5x+2=3(x+l)+(2r-1),

，函數(shù)y=5x+2是函數(shù)yi=x+l、y2=2x-1的“組合函數(shù)”；

⑵①由仍X-P-2得卜=2p+l,

ly=-χ+3pIy=P-I

：.P(2/7+1,p-1),

Yyi'”的“組合函數(shù)”為y=m(χ-p-2)+〃(-χ+3p),

.*.x=2p+l時,y—m(2p+1-/?-2)+〃(-2P-I+3p)=(P-I)(m+n),

???點尸在函數(shù)V、”的“組合函數(shù)”圖象的上方，

??p-1>(P-I)(m+n),

.*.(P-I)(1-m-n)>0,

?，%+〃>1,

/.I-m-rt<O,

：.p-KO,

???pVl;

②存在m=?∣時，對于不等于1的任意實數(shù)p,都有“組合函數(shù)”圖象與X軸交點Q的

位置不變，Q(3,0),理由如下：

由①知，P(2p+l,p-1),

?；函數(shù)川、”的“組合函數(shù)”)=，”(X-P-2)+n(-x+3p)圖象經過點P,

.*?p-\—m(2p+I-P-2)+〃(-2p-l+3p),

/.(P-I)(1-m-九)=0,

?.?p≠l,

∕?l-∕7t-幾=0,有n=1-m,

*?y=m(X-P-2)+〃(-x+3P)=m(X-P-2)+(1-加)(-x+3P)=(2m-1)x+3p

-(4p+2)tn,

令y=0得(2/刀-1)x+3p-(4p+2)m=O,

變形整理得：(3-4/72)p+(2ιn-1)x-2m=Q,

，當3-4加=0,即機=3時，L：-3=0,

422

.?.x=3,

.?.〃?=?!時，"組合函數(shù)”圖象與X軸交點。的位置不變，Q(3,0).

二.二次函數(shù)綜合題(共3小題)

2.(2022?無錫)如圖，二次函數(shù)y=[χ2,χ等的圖象與X軸交于點A、2(4在8左側)，

點C(0,3),點E在對稱軸上.

(1)求4、B兩點坐標；

(2)設直線AC與拋物線的另一個交點為力，求點O坐標；

(3)設E關于直線B。、CO的對稱點分別為尸、G,求以GF為直徑的圓面積的最小值.

y

【答案】(I)A(-3,O),B(1,0)；

(2)D(5,8)；

(3)以GF為直徑的圓面積最小為旦.

5

【解答】解：⑴在y=[χ2,XV中,

令產°得:-^?χ2+yx--1-=0，

解得X=I或X=-3,

.?.A(-3,0),B(1,0)；

(2)設直線AC對應的函數(shù)表達式為y=h+f,

把A(-3,0),C((0,3)代入得：

f-3k+t=0

lt=3,

解得Ik=I

lt=3

.?.直線AC對應的函數(shù)表達式為y=x+3,

y=x+3

聯(lián)立I_1213-

解得卜=5或IX=Y,

Iy=8Iy=0

：.D(5,8)；

(3)設EF交8。于點P,拋物線y=1χ2VXv的對稱軸交X軸于點°,直線交

EQ千N,連接NG,EG,過。作。ALLx軸于H,過F作尸M_LEQ于M,如圖：

：.N(-?,2),

'：OA=OC=3,

.?.∕C4O=45°=NANQ=END,

'：E,G關于A。對稱，

：.NEND=NGND=45°,EN=GN,

：.NENG=90°,AENG是等腰直角三角形,

設EM=a,EQ=h,貝∣Jf(-l,b),

J.EN=b-2=EG,

：.G(?-3,2),

,：E,1關于8。對稱,

：.ZKPF=90°,尸為EF的中點，

ZDBH=ZPKF=90°-ZPFK=ZMEF,

；∕DHB=90°=NEMF,

：./XDBHSAFEM,

.BH=EM

,,DHFM'

'：B(1,0),D(5,8),

J.BH=4,DH=8,

.EH=4=1

"FM8^^2,

.?.FM=2EM=2a,

：.F(24-1,h-a),

為EF的中點，

：.P(α-Lft-?),

2

由B(1,O),D(5,8)可得直線8。解析式為y=2χ-2,

把p(α-1,?--∣.)代入y=2χ-2得：

2(α-1)-2=?-A,

2

?.?Cz,Z-2-b--+---8--,

5

?p(?b+l13b~8?

??55'

14b+1122

.?FG=(b-3-)+(2-2=當2_絲%+4O=2(?-8)+H,

555555

?.?2>o,

5

.??對2的最小值為衛(wèi)，

5

.?.以GF為直徑的圓面積最小為n(Fl)2=工FG2=旭π,

245

答：以GF為直徑的圓面積最小為雪τ.

5

3.(2022?宿遷)如圖，二次函數(shù))，=∕/+法+。與》軸交于。(O,O),A(4,0)兩點，頂

點為C,連接OC、AC,若點B是線段OA上一動點，連接BC,將AABC沿8C折疊后,

點A落在點A'的位置，線段A'C與X軸交于點。，且點。與。、A點不重合.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)①求證：XOCDSABD；

②求理的最小值；

BA

(3)當SCD=8S2VΓBD時，求直線A'8與二次函數(shù)的交點橫坐標.

(2)①證明見解答；

(3)2±2√H,

3

【解答】(1)解：；二次函數(shù)y=y+fex+c與X軸交于。(O,0),A(4,0)兩點,

2

二次函數(shù)的解析式為：y=L(X-O)(X-4)=Xr-Zr5

22

圖1

由翻折得：ZOAC^ZA',

由對稱得：OC=AC,

ZAOC=ZOAC,

.?.∕COA=NA',

?.?NA'DB=NODC,

：.XOCDSXA'BD;

②解：IXOCDSXA,BD,

.QC-CD

??NBBD,

,."AB=A'B,

.BD=CD

"ABOC,

.?.膽的最小值就是生的最小值，

ABOC

V=-X1-2x=-(X-2)2-2,

22

：.C(2,-2),

.?.OC=2衣，

二當C￡>_LOA時，CO最小，毀的值最小，

AB

當CO=2時，毀的最小值為一_=退_；

AB2√22

(3)解法一：?.?SZIOCO=8SZ?AJW,

.*.SΔOCD:SAA'8O=8,

V?0CD^?A,BD,

s

.AOCD(0C)2=8,

BDA'B

Λ-^-=2√2,

AzB

V(9C=2√2,

."B=AB=I,

ΛBF=2-1=1,

如圖2,連接/L4f,過點A作AGLOA于G,延長CB交A4于“，設拋物線的對稱軸與

X軸交于點F,

由翻折得：AA,1CH,

VZAHB=ZBFC=i)O°,ZABH=ZCBD,

：.ZBCF^ZBAH,

tanZBCF-tanZGAA",

?BF-AyG_1

"CFAG^2,

設A,G=a,則AG=2a,BG=2a-1,

在RtZ?A,GB中，由勾股定理得：BG2+A'G2^A'B2,

.'.?2+(2〃-1)2=I2,

.*.aι=O(舍),a2=—,

5

.".BG=2a-1=&-1=3,

55

?'A'G∕∕OQ,

：.∕?A'GB^?QOB,

_43_

.AzG_BG即亙=宜

OQOB'`OQ^3^,

OQ=4,

：.Q(0,4),

設直線AB的解析式為：y=kx+m,

.?m=4

13k÷m=0

解得：κ3,

lm=4

.?.直線A'B的解析式為：y=-2+4,

3

3X2-4X-24=0,

解得：χ=2±2√I^,

3_

.?.直線A'B與二次函數(shù)的交點橫坐標是2±2丘.

.,.」C.=型=..0」-=2&,

AzBBDA'D

?；OC=2√2.

：.A'B=AB=l,

設8。=/,則CC=2%

ΛA'D=2√2-2√2r-OD=2√2A'D=8-8f,

'JOB=OD+BD=4-1=3,

Λ8-8/+/=3,

.”互,

7

ΛΛ'D=2√2-lθV∑=-?ZΣ,

77

"."A'B=AB,ZA'=ZOAC,NA'BD=NABN,

Λ?A'βD^ΔAβM(ASA),

ΛAM=A,D=-^~,

7

,/ΛAHM是等腰直角三角形,

J.AH=MH--,

7

.?.M(絲，-A),

77

易得的解析式為：）=-&+4,

3

--x+^--x1-Ix,

32

解得：3?-4x-24=0,

解得：λ^2±2√19,

3

直線A'B與二次函數(shù)的交點橫坐標是2±2后.

3

4.（2022?蘇州）如圖，二次函數(shù)y=-/+2〃a+2〃什1（"?是常數(shù)，且相>0）的圖象與X軸

交于A,B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C,頂點為D其對稱軸與線段BC

交于點E,與X軸交于點足連接AC,BD.

（1）求A,B,C三點的坐標（用數(shù)字或含根的式子表示），并求/08C的度數(shù):

(2)若∕AC0=∕C8Zλ求，〃的值;

（3）若在第四象限內二次函數(shù)y=-』+2〃tr+2"?+l（機是常數(shù)，Km>0）的圖象上，始

終存在一點P,使得NACP=75°,請結合函數(shù)的圖象，直接寫出〃1的取值范圍.

備用圖

【答案】(I)A(-I,0),B(2m+?,0),C(0,2w+l),ZOBC=45°；

(2)m=l；

(3)

2

【解答】解：(1)當y=O時，-/+2"ir+2帆+1=0,

解方程，得Xl=-1,%2=2m+l,

丁點A在點B的左側，且相＞0,

,A(-1,0),B(2∕zz+l,0),

當元=0時，y=2m+?,

：.C(0,2m+l),

???OB=OC=2m+?9

?.?N8OC=90°,

.?.NO8C=45°；

2

：.DCm,(∕n+l)),F(mf0),

：.DF=(∕π+l)2,OF=in,BF=m+l,

VA,B關于對稱軸對稱，

LAE=BE,

：.ZEAB=ZOBC=45o,

VZACO=ZCBDfZOCB=ZOBC,

：.ZACO+ZOCB=ZCBD+ZOBC,即ZACE=NDBF,

'：EF//OC9

.?.tan∕ACE=迪=型=典

CECEOFm

.?.4=〃?+1,

m

Ix=1或-1,

V∕w>O,

??m—1；

當點P在第四象限時，點?？偸窃邳c3的左側，此時NCQA>NCA4,即NCQ4>45°,

VZACβ=75o,

ΛZCAO<60o,

.*.2m+1<Λ∕3，

.?.w<√I∑l,

2

又?.?NCAQ>15°,

同法可得上叵，

2

Vw>0,

.?.0Vu<立二L.

2

三.三角形綜合題（共3小題）

5.（2022?徐州）如圖,在2?4BC中,ZBAC=90a,AB=AC=12,點如在邊AB上,￡）、

E分別為BC、PC的中點，連接。E.過點E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G

兩點.連接。G,交PC于點從

AA

RR

/"c

BDFLBDF

備用圖

(1)NEDC的度數(shù)為45°；

(2)連接PG,求aAPG的面積的最大值；

(3)PE與。G存在怎樣的位置關系與數(shù)量關系？請說明理由;

(4)求里的最大值.

CE

【答案】(1)45；

(2)9；

(3)PErDG,DG=PE,理由見解析過程；

⑷心

2

【解答】解：(1)VZBAC=90o,AB=AC=12,

ΛZABC=ZACB≈45o,BC=I2&,

E分別為BC、PC的中點，

.?DE∕∕AB,DE=工BP,

2

NEOC=NABC=45°,

故答案為：45；

(2)設AP=JG則BP=I2-X,

'：DE=^BP,

2

：.DE=6-—,

2

'JGFLBC,NEDC=45°,

：?NEDC=NDEF=45°,

.,.DF=EF=^-DE=3√2-返?x,

24

；點。是8C的中點，

ΛBD=CD=6√2.

ΛCF=3√2+?x,

VGF±BC,NACB=45°,

ΛZACB=ZCGF=45o，

：.GF=FC,

：?GC=芯FC=6+工

2

.?.AG=6/

2

.?SΛAPG=-×AP×AG=^×X×(e-?)=-A.(χ-6)2+9,

2224

???當x=6時，AAPG的面積的最大值為9；

(3)PE工DG,DG=PE,理由如下：

?：DF=EF,ZCFE=ZGFD=90o,CF=GF,

ΛΔΔGDF(SAS),

/.CE=DG,NDGF=NFCE,

?；∕DGF+NGDF=90°,

J.ZGDF+ZDCE=90o,

ΛZDHC=90Q,

：?DG工PE,

Y點E是PC的中點，

LPE=EC,

；.DG=PE；

(4)方法一、VCF=3√2+2^-x=GF,EF=3&-返次，

44

λ

:AP=χfAe=I2,

2

???PC=JAC2+AP2=7x+i44'

o

VZACP=ZGCHfZA=90=ZGHC,

：.XAPCsAHGC,

?.?—GH=―GC--C—H,

APPCAC

.,GH=_CH

X"+14412

12+6X

2

.CH≡VX+144_.9Yx+1212W1212

CE22J≡i--、2√288-24

^36+∣XX2+ι44χ+1+2424√2-24

Xx+12

1,√2+1

2√2-2~，

.??里的最大值為返也.

CE2

方法二、如圖，過點”作MH〃A8,交BC于M,

"：ZDHC=Wo,

二點H以CD為直徑的OO上,

連接04,并延長交AB于M

,CMH//AB,

?.?.O.H.=O1M,

ONOB

VOH,OB是定長,

二ON的取最小值時，OM有最大值,

.?.當ONLAB時，OM有最大值,

此時MH_LOH,CM有最大值,

"JDE∕∕AB,

:,MH//DE,

.CHCM

??二,

CECD

.?.當CM有最大值時，生有最大值，

CE

".,AB∕∕MH,

：.ZHMO=ZB=45°,

'：MHlOH,

；.NHMO=NHoM=45°,

.'.MH=HO,

：.Mo=近H0,

'JHO=CO=DO,

：.Mo=?CO,CD=ICO,

.,.CM=（√2+DCO,

?CH_CM一（加+1）CO_弧+1

??^δfF2cδ2--

6.（2022?泰州）已知：ZXABC中，6為Be邊上的一點.

（1）如圖①，過點。作。E〃AB交AC邊于點E.若AB=5,80=9,DC=6,求。E

的長；

（2）在圖②中，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點凡使NDΛ4=NA;（保留作圖

痕跡，不要求寫作法）

（3）如圖③，點F在AC邊上，連接8F、DF.若/。砥=/4,△尸BC的面積等于工CO

2

?AB,以FD為半徑作OF,試判斷直線BC與OF的位置關系，并說明理由.

【答案】見試題解答內容

【解答】解：（1）如圖①中，'JDE//AB,

：.XCDEsXCBk,

.DE=CD

,,ABCB^,

.DE=6

"~5~6^9^,

ΛDE=2;

解法二：過點。作AB的平行線交AC于點G,再以點。為圓心，OG長為半徑畫弧，交

AC于點尸(異于點G).

?：AB//DG,

：.NA=NDGC,

?：DG=DF,

：.ZDGF=ZDFG,

：.ΛDGC=ΛDFA=AA.

(3)結論：直線5C與以尸。為半徑作。尸相切.

理由：作陰?〃Cr交尸。的延長線于點R連接CR

③

9

?AF∕∕BRfZA=ZAFRf

???四邊形A次?/是等腰梯形，

：.AB=FRf

FCF〃BR,

：.SACFB=SKFR=LAB?CD=LFR*CD,

22

ΛCD±DF,

???直線5。與以FD為半徑作OF相切.

解法二：過點。作。后〃AB交AC于點￡設C尸的BC邊上的高為〃.

`:DE//AB,

.?.NCEO=∕A,

,.?ZA=ΛAFD,

：.ZAFD=ZCED,

：.NDFE=ZDEF,

：.DE=DF,

VDE：AB=CD:CB,

.?.Z)E=Z)F=逆■"

CB

???SABCF=L?8C?∕Z=?1?C7>AB,

22

.,.h=DF,

；.DFLBC,

.?.直線BC與以FD為半徑作。尸相切.

7.(2022?揚州)如圖1,在AABC中，ZBAC=90o,ZC=60o,點。在BC邊上由點C

向點8運動(不與點B、C重合)，過點。作。ELAO,交射線AB于點E.

(1)分別探索以下兩種特殊情形時線段AE與8E的數(shù)量關系，并說明理由；

①點E在線段AB的延長線上且BE=BD;

②點E在線段AB上且EB=ED.

(2)若AB=6.

①當運=返_時，求AE的長；

AD2

②直接寫出運動過程中線段4E長度的最小值.

A

A

圖1備用圖

【答案】(1)①AE=28E,理由見解答過程；

②AE=2BE,理由見解答過程；

(2)①AEt=2λ;

5

②線段AE長度的最小值為4.

【解答】W-：(1)?AE=IBE,理由如下：

DELADi

：.ZAED^-ZEAD=90°=ZADE=ZBDE+ZBDAf

?：BE=BD,

：.ZAED=ZBDE9

：.ΛEAD=ZBDA9

：.AB=BD,

IBE=BD=AB,

：.AE=2BE；

②AE=2EB,理由如下：

如圖：

.?.NB=30°,

?：EB=ED,

，NEDB=NB=30°，

；.NAED=NEDB+∕B=60°,

"：DELAD,

ΛZEDA=90o,ZEAD=30o,

.'.AE=2ED,

.?.AE=2E8;

(2)①過。作OfIAB于尸，如圖:

ΛΔAFD^?ADE,

.AF=DF即感

,,ADDE,`ADAF,

..DE=√3

"AD

.DF-√3

??----',

AF2

設DF-??[3m,則AF-2ιn,

在RtZ?BD尸中，BF=MDF=3m,

"：AB=6,

：.BF+AF=6,即3m+2m=6,

?"?,"=?^?,

5_

.?.AF=國OF=?^1?,

55

Λ^^-VAF2+DF2=,

D

???XAFDSXADE,

126√7

...竺=延，即_O=W

ADAE6√7AE

5

ΛAE=-2λi

5

②作AE的中點G,連接3G,如圖:

G

YNADE=90°,OG是斜邊上的中線，

：.AE=2DG,DG=AG=EG,

當AE最小時，Z)G最小，此時。GJ_8C,

VZB=30o,

：.BG=IDG,

：.AE=IDG=BG,

：.BE=AG,

：.AG=EG=BE,

.?.此時AE=ZAB=4,

3

答：線段AE長度的最小值為4,

法2：作AE的中點G,連接。G,過G作GHJ_8C于H,如圖:

?"ZADE=90Q,OG是斜邊上的中線，

：.AE=2DG,DG=AG^EG,

設OG=AG=EG=m，則BG=6-m，

ΛG∕∕=AβG=A(6-m),

22

?：GHWDG,即工(6-WWm,

2

Λw≥2.

當〃?=2,即G”與。G重合時，AE取最小值，最小值為2〃?=4,

.?.答：線段AE長度的最小值為4.

法3：

過A做AG_LBC于G,過E做EH_LBC于”，如圖：

.?.NEDH=90°-ZADG=ZDAG,

'：ZEHD^ZAGD=90o,

.AG=DG

**DHEH'

：.AG'EH=DH*DG,

'：ZBAC=90o,ZC=60o,

ΛZB=30o,

ΛΛG=AAB=3,EH=LBE=L(6-AE),

222

IDH?DG=3EH,

AE1=AD2+DE2=AG2+DG2+DH2+EH2=9+DG2+DH2+EH2,

?'DG2+DH2^2DH?DG,

,,.AE129+2DH?DG+EH2,即AE2>9+6EH+EH2,

.?AE1^(3+EH)2,

'JAE>O,EH>O,

：.AE^3+EH,

工(6-A￡),

2

.?.AEN3+L(6-AC),

2

ΛAE≥4.

答：線段AE長度的最小值為4.

四.四邊形綜合題(共4小題)

8.(2022?淮安)在數(shù)學興趣小組活動中，同學們對菱形的折疊問題進行了探究.如圖(1),

在菱形ABC。中，NB為銳角，E為BC中點，連接。E,將菱形A8C。沿。E折疊，得

到四邊形AbED,點A的對應點為點4,點B的對應點為點8.

【觀察發(fā)現(xiàn)】

A'D與B'E的位置關系是A'D〃B'E；

【思考表達】

(1)連接B'C,判斷NOEe與/3CE是否相等，并說明理由；

(2)如圖(2),延長。C交Ab于點G,連接EG,請?zhí)骄縉OEG的度數(shù)，并說明理由;

【綜合運用】

如圖(3),當NB=60°時;連接BC,延長OC交Ab于點G,連接EG,請寫出EC、

EG、OG之間的數(shù)量關系，并說明理由.

圖⑴圖⑵圖⑶

【答案】【觀察發(fā)現(xiàn)】A,D∕∕B,E；

【思考表達】(1)結論：NDEC=NBPE.證明見解析部分；

(2)結論：NQEG=90°.證明見解析部分；

【綜合運用】結論：DG2^EG2+^-BIC2.證明見解析部分.

16

【解答】解：【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖(1)中，由翻折的性質可知，A'D∕∕B'E.

故答案為：A'D∕∕B,E；

【思考表達】(1)結論：NDEC=NB'CE.

理由：如圖(2)中，連接BB'.

?：EB=EC=EB',

.".ZBB1C=90o,

.?.BB'IB1C,

由翻折變換的性質可知8B'A.DE,

.?DE∕∕CB,,

,NDEC=NB'C