圓中常用輔助線(xiàn)的作法1課件

圓的常用輔助線(xiàn)及作法

圓中常用輔助線(xiàn)的作法29751嘗試練習(xí)一嘗試練習(xí)二數(shù)學(xué)歌訣作法及應(yīng)用弦心距直徑圓周角切線(xiàn)徑兩圓相切公切線(xiàn)中點(diǎn)圓心線(xiàn)兩圓相交公共弦嘗試練習(xí)圓的常用輔助線(xiàn)及作法常用思想圓中常用輔助線(xiàn)的作法29751

圓是初中幾何學(xué)習(xí)中重要內(nèi)容，學(xué)好圓的有關(guān)知識(shí)，掌握正確的解題方法，對(duì)于提高學(xué)生的綜合能力非常重要，而在解決圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，恰當(dāng)添設(shè)輔助線(xiàn)則是解題的關(guān)鍵。一、添設(shè)圓的輔助線(xiàn)的常用思想添設(shè)圓的輔助線(xiàn)是幾何學(xué)習(xí)的重要方法。在作輔助線(xiàn)時(shí)，應(yīng)從結(jié)論入手分析，尋找題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系，尋找隱含的條件，使輔助線(xiàn)起到“搭橋鋪路”的作用。圓中常用輔助線(xiàn)的作法29751

弦與弦心距，親密緊相連。中點(diǎn)與圓心，連線(xiàn)要領(lǐng)先。兩個(gè)相交圓，不離公共弦。兩個(gè)相切圓，常作公切線(xiàn)。圓與圓之間，注意連心線(xiàn)。遇直徑想直角，遇切點(diǎn)作半徑。圓的常用輔助線(xiàn)作法的“數(shù)學(xué)歌訣”圓中常用輔助線(xiàn)的作法29751二、常用輔助線(xiàn)作法的應(yīng)用

在解決與弦、弧有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常作弦心距、半徑等輔助線(xiàn)，利用垂徑定理、推論及勾股定理解決問(wèn)題。2.1、弦心距

----有弦，可作弦心距。圓中常用輔助線(xiàn)的作法29751例1、如圖，已知，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)。

求證：AC=BD。

由垂徑定理得：

AE=EB，CE=DE

證明：過(guò)O作OE⊥AB，垂足為E。E即：AC=BD∴AE-CE=BE-DE圓中常用輔助線(xiàn)的作法29751

在解決有關(guān)直徑的問(wèn)題時(shí)，常作直徑上的圓周角，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角是直角，尋找隱含的條件，從而得到所求結(jié)論。2.2、直徑圓周角

----有直徑，可作直徑上的圓周角.圓中常用輔助線(xiàn)的作法29751

例2、已知：MN切⊙O于A點(diǎn)，PC是直徑，PB⊥MN于B點(diǎn)，求證：分析：圓中常用輔助線(xiàn)的作法29751證明：連結(jié)AC、AP∵PC是⊙O的直徑∴∠CAP=90°∵PB⊥MN∴∠PBA=90°

∴∠CAP=∠PBA∵M(jìn)N是⊙0的切線(xiàn)∴∠BAP=∠ACP圓中常用輔助線(xiàn)的作法29751

在解決有關(guān)切線(xiàn)問(wèn)題時(shí)，常作過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用切線(xiàn)的性質(zhì)定理；或者連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的弦，利用弦切角定理，使問(wèn)題得以解決。2.3、切線(xiàn)徑

----有切點(diǎn)，可作過(guò)切點(diǎn)的半徑。

圓中常用輔助線(xiàn)的作法29751

例3、如圖，AB、AC與⊙O相切有與B、C點(diǎn)，∠A=50°，點(diǎn)P優(yōu)弧BC的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求∠BPC的度數(shù)?！唷螧OC=360°-∠A-∠ABO-∠ACO=360°-50°-90°-90°=130°

解：連結(jié)OB、OC，∵AB、AC是⊙O的切線(xiàn)∴AB⊥OB，AC⊥OC，

在四邊形ABOC中，∠A=50°∴∠BPC==65°∴∠ABO=∠ACO=90°圓中常用輔助線(xiàn)的作法29751

在解決兩圓相交的問(wèn)題時(shí)，常作兩圓的公共弦，構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形。再利用圓內(nèi)接四邊形定理，架設(shè)兩圓之間的”橋梁”，從而尋找兩圓之間的等量關(guān)系。2.4、兩圓相交公共弦

----兩圓相交，可作公共弦。

圓中常用輔助線(xiàn)的作法29751例4、如圖，已知：⊙O和⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)的直線(xiàn)CD分別交⊙O和⊙O于C、D；過(guò)B點(diǎn)的直線(xiàn)EF分別交⊙O和⊙O于E、F。求證：CE∥DF?！郈E∥DF12221121證明：連結(jié)AB四邊形ACEB是⊙O的內(nèi)接四邊形∴∠DAB=∠E四邊形ABFD是⊙O的內(nèi)接四邊形∴∠DAB+∠F=180°∴∠E+∠F=180°圓中常用輔助線(xiàn)的作法29751

在解決兩圓相切的問(wèn)題時(shí)，常作兩圓的公切線(xiàn)。若兩圓外切，常作內(nèi)公切線(xiàn)；若兩圓內(nèi)切，常作外公切線(xiàn)。通過(guò)公切線(xiàn)構(gòu)造弦切角，利用弦切角便把兩圓的圓周角聯(lián)系起來(lái)。2.5、兩圓相切公切線(xiàn)

---兩圓相切，可作公切線(xiàn).圓中常用輔助線(xiàn)的作法29751例5、如圖，已知兩圓外切于T點(diǎn)。過(guò)T的直線(xiàn)AB、CD分別交⊙O和⊙O于A、C和B、D。求證：AC∥BD。MN證明：過(guò)T點(diǎn)作兩圓的內(nèi)公切線(xiàn)MN1212在⊙O中，∠A=∠CTN在⊙O中，∠B=∠DTM又∵∠CTN=∠DTM∴∠A=∠B∴AC∥BD圓中常用輔助線(xiàn)的作法29751

在解決有關(guān)中點(diǎn)和圓心的問(wèn)題時(shí)，可先連結(jié)中點(diǎn)與圓心。利用垂徑定理，或者是三角形、梯形的中位線(xiàn)定理，可求出所需要的結(jié)論。2.6、中點(diǎn)圓心線(xiàn)

---有中點(diǎn)和圓心，可連結(jié)中點(diǎn)與圓心。圓中常用輔助線(xiàn)的作法29751例6、如圖，已知AB、CD是⊙O的兩條弦，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，并且∠AMN=∠CNM。求證：AB=CD。即：AB=CD證明：連結(jié)OM、ON∵M(jìn)、N分別是AB、CD的中點(diǎn)∴OM⊥AB，ON⊥CD∴∠AMO=∠CNO=90°又∵∠AMN=∠CNM∴∠OMN=∠ONM∴OM=ON圓中常用輔助線(xiàn)的作法29751三、嘗試練習(xí)一1、如圖，點(diǎn)O是∠EPF的平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓與角的兩邊分別交于A、B和C、D點(diǎn)。求證：（1）、AB=CD（2）、PB=PD?！逷O平分∠BPA，∴OM=ON∴AB=CD。（1）、證明：過(guò)O作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足為M、N。MN圓中常用輔助線(xiàn)的作法29751三、嘗試練習(xí)一1、如圖，點(diǎn)O是∠EPF的平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓與角的兩邊分別交于A、B和C、D點(diǎn)。求證：（1）、AB=CD（2）、PB=PD。（2）、∵AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD∴AM=MB=CN=ND又∵OM=ON，∴RtΔPMO≌RtΔPNO∴PM=PN∴PM+MB=PN+ND即：PB=PD圓中常用輔助線(xiàn)的作法297512、如圖，以RtΔABC的直角邊AC為直徑作⊙O交斜邊AB于P，過(guò)B、P任意作一個(gè)圓，過(guò)A作所作圓的切線(xiàn)AD，切點(diǎn)為D。求證：

即：AD=ACAC是⊙O的直徑，∴∠APC=90°∵∠ACB=90°，∴ΔAPC∽ΔACB又∵AD是大⊙的切線(xiàn)證明：連結(jié)CP，圓中常用輔助線(xiàn)的作法297513、如圖，在⊙O中，半徑OA⊥OB垂足為O，P是OB上任意一點(diǎn)，AP交⊙O于Q，過(guò)Q點(diǎn)的切線(xiàn)交OB的延長(zhǎng)線(xiàn)于C。求證：CP=CQ?！逹C是⊙O的切線(xiàn)，∴∠OQC=90°∵OA=OQ，∴∠OAQ=∠OQA又OA⊥OB，∴∠APO=90°-∠OAP∠CQP=∠90°-∠OQA∠APO=∠CQP∴∠CQP=∠CPQ，∴CP=CQ。證明：連結(jié)OQ圓中常用輔助線(xiàn)的作法29751四、嘗試練習(xí)二1、如圖，兩圓相交于A、B兩點(diǎn)。過(guò)一個(gè)圓上的點(diǎn)P作射線(xiàn)PA和PB，分別交于另外一個(gè)圓于點(diǎn)C和點(diǎn)D，再作切線(xiàn)PT。求證：PT∥CD。PT是小⊙的切線(xiàn)，∠TPA=∠ABPABDC是大⊙的內(nèi)接四邊形，∠ABP=∠C∴∠TPA=∠C即：PT∥CD。證明：連結(jié)AB圓中常用輔助線(xiàn)的作法297512、如圖，已知：⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線(xiàn)，B、C為切點(diǎn)。求證：AB⊥AC。由切線(xiàn)長(zhǎng)定理得：BP=PA，PA=PC∴PA=BP=PC=證明：過(guò)點(diǎn)A作兩圓的公切線(xiàn)交BC于點(diǎn)P，∴AB⊥AC圓中常用輔助線(xiàn)的作法297513、已知、AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，BC交⊙O于點(diǎn)D，E是AC的中點(diǎn)。求證：ED是⊙O的切線(xiàn)。OE是ΔABC的的中位線(xiàn)∴OE∥BC∠AOE=∠B，∠EOD=∠ODB