數(shù)學(xué)-專項(xiàng)18.24 平行四邊形（中考真題專練）（培優(yōu)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（人教版）

專題18.24平行四邊形（中考真題專練）（培優(yōu)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．（2020·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，，是銳角，于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接；若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（2020·遼寧·中考真題）一個(gè)零件的形狀如圖所示，，則的度數(shù)是（

）A．70° B．80° C．90° D．100°3．（2012·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖是蹺蹺板示意圖，橫板AB繞中點(diǎn)O上下轉(zhuǎn)動(dòng)，立柱OC與地面垂直，設(shè)B點(diǎn)的最大高度為h1．若將橫板AB換成橫板A′B′，且A′B′=2AB，O仍為A′B′的中點(diǎn)，設(shè)B′點(diǎn)的最大高度為h2，則下列結(jié)論正確的是【】A．h2=2h1 B．h2=1.5h1 C．h2=h1 D．h2=h1

4．（2020·湖南邵陽·中考真題）如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)E，B，D，F(xiàn)在同一條直線上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使得，下列不正確的是（

）A． B． C． D．5．（2011·四川成都·中考真題）如圖，①②③④⑤五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30°內(nèi)角的菱形EFGH（不重疊無縫隙）．若①②③④四個(gè)平行四邊形面積的和為14cm2，四邊形ABCD面積是11cm2，則①②③④四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)的總和為（）A．48cm B．36cmC．24cm D．18cm6．（2012·四川德陽·中考真題）如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合）.以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又APBE（點(diǎn)P、E在直線AB的同側(cè)），如果，那么△PBC的面積與△ABC面積之比為（）A． B． C． D．7．（2018·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰Rt△

ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為2，O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQ⊥OP交BC于點(diǎn)Q，M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過的路線長(zhǎng)為（）A． B． C．1 D．28．（2018·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC的周長(zhǎng)為19，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為N，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為M，若BC=7，則MN的長(zhǎng)度為（）A． B．2 C． D．39．（2013·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，點(diǎn)D在BC上，以AC為對(duì)角線的所有?ADCE中，DE最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．510．（2018·黑龍江伊春·中考真題）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD，分別交BC、BD于點(diǎn)E、P，連接OE，∠ADC=60°，AB=BC=1，則下列結(jié)論：①∠CAD=30°②BD=③S平行四邊形ABCD=AB?AC④OE=AD⑤S△APO=，正確的個(gè)數(shù)是（）

A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題11．（2020·湖北武漢·中考真題）在探索數(shù)學(xué)名題“尺規(guī)三等分角”的過程中，有下面的問題：如圖，是平行四邊形的對(duì)角線，點(diǎn)在上，，，則的大小是________．12．（2011·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.取BC邊中點(diǎn)E，作，，得到四邊形，它的面積記作；取中點(diǎn)，作，，得到四邊形，它的面積記作，照此規(guī)律作下去，則_____________.13．（2018·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB=OB，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是OA、OD的中點(diǎn)，連接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于點(diǎn)M，EM交BD于點(diǎn)N，F(xiàn)N=，則線段BC的長(zhǎng)為_____．

14．（2018·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知∠XOY=60°，點(diǎn)A在邊OX上，OA=2．過點(diǎn)A作AC⊥OY于點(diǎn)C，以AC為一邊在∠XOY內(nèi)作等邊三角形ABC，點(diǎn)P是△ABC圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD∥OY交OX于點(diǎn)D，作PE∥OX交OY于點(diǎn)E．設(shè)OD=a，OE=b，則a+2b的取值范圍是_____．15．（2017·青海西寧·中考真題）如圖，將沿EF對(duì)折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，若，則AE的長(zhǎng)為___.16．（2016·江蘇常州·中考真題）如圖，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同側(cè)作正△ABD、正△APE和正△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是__．17．（2015·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB為邊向外作等邊△ACD、等邊△ABE，EF⊥AB，垂足為F，連接DF，當(dāng)=____時(shí)，四邊形ADFE是平行四邊形．18．（2015·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）在ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2

，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，使點(diǎn)B′落在ABCD所在的平面內(nèi)，連接B′D．若△AB′D是直角三角形，則BC的長(zhǎng)為_____．三、解答題19．（2020·遼寧大連·中考真題）如圖1，中，點(diǎn)分別在邊上，，點(diǎn)G在線段上，，．（1）填空：與相等的角是_____；（2）用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）若（如圖2），求的值．20．（2020·四川樂山·中考真題）點(diǎn)是平行四邊形的對(duì)角線所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），分別過點(diǎn)、向直線作垂線，垂足分別為點(diǎn)、．點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，線段和的關(guān)系是；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的位置時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全圖形并通過證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？

（3）如圖3，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，試探究線段、、之間的關(guān)系．21．（2019·重慶·統(tǒng)考中考真題）在中，BE平分交AD于點(diǎn)E．（1）如圖1，若，，求的面積；（2）如圖2，過點(diǎn)A作，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，分別交BE，BC于點(diǎn)G，H，且．求證：．22．（2019·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，連結(jié)AE，EM⊥AE，垂足為E，交CD于點(diǎn)M，AF⊥BC，垂足為F，BH⊥

AE，垂足為H，交AF于點(diǎn)N，點(diǎn)P顯AD上一點(diǎn)，連接CP．（1）若DP=2AP=4，CP=，CD=5，求△ACD的面積．（2）若AE=BN，AN=CE，求證：AD=CM+2CE．23．（2018·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，在口ABCD中，分別以邊BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF＝∠CDE，連接AF，AE.（1）求證：△ABF≌△EDA；（2）延長(zhǎng)AB與CF相交于G，若AF⊥AE，求證BF⊥BC．24．（2018·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作

的垂線，垂足為，交于點(diǎn).（1）若，，求的面積；（2）若，求證：.參考答案1．B

【分析】延長(zhǎng)EF，DA交于G，連接DE，先證明△AFG≌△BFE，進(jìn)而得到BE=AG，F(xiàn)是GE的中點(diǎn)，結(jié)合條件BF⊥GE進(jìn)而得到BF是線段GE的垂直平分線，得到GD=DE，最后在Rt△AED中使用勾股定理即可求解.解：延長(zhǎng)EF，DA交于G，連接DE，如下圖所示：∵F是AB的中點(diǎn)，∴AF=BF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥BC，∴∠GAB=∠EBF且∠GFA=∠EFB，∴△AFG≌△BFE(ASA)，設(shè)，由GF=EF，且∠DFE=90°知，DF是線段GE的垂直平分線，∴，在Rt△GAE中，．在Rt△AED中，，∴，解得，∴，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.2．B【分析】延長(zhǎng)DE與BC交于點(diǎn)F，則四邊形ABFD是平行四邊形，則∠A=∠F，利用三角形內(nèi)角和定理，即可求出答案．解：延長(zhǎng)DE與BC交于點(diǎn)F，如圖：

∵，∴四邊形ABFD是平行四邊形，∴∠A=∠F，在△BDF中，，∴，∴∠A=80°；故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，求出∠F的度數(shù)．3．C解：直接根據(jù)三角形中位線定理進(jìn)行解答即可：如圖所示：∵O為AB的中點(diǎn)，OC⊥AD，BD⊥AD，∴OC∥BD，∴OC是△ABD的中位線．∴h1=2OC．同理，當(dāng)將橫板AB換成橫板A′B′，且A′B′=2AB，O仍為A′B′的中點(diǎn)，設(shè)B′點(diǎn)的最大高度為h2，則h2=2OC．∴h1=h2．故選C．4．A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，

∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF，∴∠ABE=∠CDF，A.若添加，則無法證明，故A錯(cuò)誤；B.若添加，運(yùn)用AAS可以證明，故選項(xiàng)B正確；C.若添加，運(yùn)用ASA可以證明，故選項(xiàng)C正確；D.若添加，運(yùn)用SAS可以證明，故選項(xiàng)D正確．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．5．A解：由題意得：⑤的面積=四邊形ABCD面積﹣（①+②+③+④）=4cm2，∴EFGH的面積=14+4=18cm2，又∵∠F=30°，∴菱形的邊長(zhǎng)為6cm，而①②③④四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)的總和=2（AE+AH+HD+DG+GC+CF+FB+BE）=2（EF+FG+GH+HE）=48cm．故選A．6．D解：過點(diǎn)P作PH∥BC交AB于H，連接CH，PF，PE．∵APBE，∴四邊形APEB是平行四邊形．∴PEAB．，∵四邊形BDEF是平行四邊形，

∴EFBD．∴EF∥AB．∴P，E，F(xiàn)共線．設(shè)BD=a，∵，∴PE=AB=4a．∴PF=PE﹣EF=3a．∵PH∥BC，∴S△HBC=S△PBC．∵PF∥AB，∴四邊形BFPH是平行四邊形．∴BH=PF=3a．∵S△HBC：S△ABC=BH：AB=3a：4a=3：4，∴S△PBC：S△ABC=3：4．故選D．7．C【分析】連接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得AC=BC=，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再證明Rt△AOP≌△COQ得到AP=CQ，接著利用△APE和△BFQ都為等腰直角三角形得到PE=AP=CQ，QF=BQ，所以PE+QF=BC=1，然后證明MH為梯形PEFQ的中位線得到MH=，即可判定點(diǎn)M到AB的距離為，從而得到點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線為△ABC的中位線，最后利用三角形中位線性質(zhì)得到點(diǎn)M所經(jīng)過的路線長(zhǎng)．解：連接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如圖，∵△ACB為等腰直角三角形，∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，∵O為AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，

∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都為等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，∵M(jìn)點(diǎn)為PQ的中點(diǎn)，∴MH為梯形PEFQ的中位線，∴MH=（PE+QF）=，即點(diǎn)M到AB的距離為，而CO=1，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線為△ABC的中位線，∴當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過的路線長(zhǎng)=AB=1，故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、梯形的中位線、點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，通過計(jì)算確定動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中不變的量，從而得到運(yùn)動(dòng)的軌跡是解題的關(guān)鍵.8．C【分析】證明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根據(jù)題意求出DE，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，

在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE，∴BA=BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴點(diǎn)N是AE中點(diǎn)，點(diǎn)M是AD中點(diǎn)（三線合一），∴MN是△ADE的中位線，∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，∴DE=BE+CD-BC=5，∴MN=DE=．故選C．【點(diǎn)撥】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】由平行四邊形的對(duì)角線互相平分、垂線段最短知，當(dāng)OD⊥BC時(shí)，DE線段取最小值．解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∴BC⊥AB．∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴OD=OE，OA=OC．∴當(dāng)OD取最小值時(shí)，DE線段最短，此時(shí)OD⊥BC．∴OD∥AB．又點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴OD是△ABC的中位線，∴OD=AB=1.5，∴ED=2OD=3．

故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及垂線段最短．解答該題時(shí)，利用了“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”的性質(zhì)．10．D【分析】①先根據(jù)角平分線和平行得：∠BAE=∠BEA，則AB=BE=1，由有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形得：△ABE是等邊三角形，由外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得：∠ACE=30°，最后由平行線的性質(zhì)可作判斷；②先根據(jù)三角形中位線定理得：OE=AB=，OE∥AB，根據(jù)勾股定理計(jì)算OC=和OD的長(zhǎng)，可得BD的長(zhǎng)；③因?yàn)椤螧AC=90°，根據(jù)平行四邊形的面積公式可作判斷；④根據(jù)三角形中位線定理可作判斷；⑤根據(jù)同高三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)底邊的比可得：S△AOE=S△EOC=OE?OC=，，代入可得結(jié)論．解：①∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∴∠DAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE=1，∴△ABE是等邊三角形，∴AE=BE=1，∵BC=2，

∴EC=1，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ACE，∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，∴∠ACE=30°，∵AD∥BC，∴∠CAD=∠ACE=30°，故①正確；②∵BE=EC，OA=OC，∴OE=AB=，OE∥AB，∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC中，OC=，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCD=∠BAD=120°，∴∠ACB=30°，∴∠ACD=90°，Rt△OCD中，OD=，∴BD=2OD=，故②正確；③由②知：∠BAC=90°，∴S?ABCD=AB?AC，故③正確；④由②知：OE是△ABC的中位線，又AB=BC，BC=AD，∴OE=AB=AD，故④正確；⑤∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=，

∴S△AOE=S△EOC=OE?OC=××，∵OE∥AB，∴，∴，∴S△AOP=S△AOE==，故⑤正確；本題正確的有：①②③④⑤，共5個(gè)，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、三角形面積和平行四邊形面積的計(jì)算；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明△ABE是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵，并熟練掌握同高三角形面積的關(guān)系．11．26°．【分析】設(shè)∠BAC=x，然后結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)和已知條件用x表示出∠EBA、∠BEC、∠BCE、∠BEC、∠DCA、∠DCB，最后根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，列方程求出x即可．解：設(shè)∠BAC=x∵平行四邊形的對(duì)角線∴DC//AB,AD=BC,AD//BC∴∠DCA=∠BAC=x∵AE=BE∴∠EBA=∠BAC=x∴∠BEC=2x∵∴BE=BC∴∠BCE=∠BEC=2x∴∠DCB=∠BCE+∠DCA=3x∵AD//BC，∴∠D+∠DCB=180°，即102°+3x=180°，解得x=26°．故答案為26°．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，運(yùn)用平行四邊形結(jié)合已知條件判定等腰三角形和掌握方程思想是解答本題的關(guān)鍵．12．【分析】先根據(jù)是等邊三角形可求出的高，再根據(jù)三角形中位線定理可求出，進(jìn)而可得出，找出規(guī)律即可得出．解：∵是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，∴的高，∵是的中位線，∴，∴；同理可得，；…∴；∴．故答案是．【點(diǎn)撥】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及三角形中位線定理，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．13．【分析】設(shè)EF=x，根據(jù)三角形的中位線定理表示AD=2x，AD∥EF，可得∠CAD=∠CEF=45°，證明△EMC是等腰直角三角形，則∠CEM=45°，證明△ENF≌△MNB，則EN=MN=x，BN=FN=，最后利用勾股定理計(jì)算x的值，可得BC的長(zhǎng)．解：設(shè)EF=x，∵點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是OA、OD的中點(diǎn)，∴EF是△OAD的中位線，

∴AD=2x，AD∥EF，∴∠CAD=∠CEF=45°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC=2x，∴∠ACB=∠CAD=45°，∵EM⊥BC，∴∠EMC=90°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴∠CEM=45°，連接BE，∵AB=OB，AE=OE∴BE⊥AO∴∠BEM=45°，∴BM=EM=MC=x，∴BM=FE，易得△ENF≌△MNB，∴EN=MN=x，BN=FN=，Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2，∴()2＝x2+(x)2，x=2或-2（舍），∴BC=2x=4．故答案為4．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；解決問題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)，利用方程思想解決問題．14．2≤a+2b≤5．【分析】作輔助線，構(gòu)建30度的直角三角形，先證明四邊形EODP

是平行四邊形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的長(zhǎng)，計(jì)算a+2b=2OH，確認(rèn)OH最大和最小值的位置，可得結(jié)論．解：過P作PH⊥OY交于點(diǎn)H，∵PD∥OY，PE∥OX，∴四邊形EODP是平行四邊形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a，Rt△HEP中，∠EPH=30°，∴EH=EP=a，∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，當(dāng)P在AC邊上時(shí)，H與C重合，此時(shí)OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；當(dāng)P在點(diǎn)B時(shí)，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，∴2≤a+2b≤5．故答案為：2≤a+2b≤5【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，有難度，掌握確認(rèn)a+2b的最值就是確認(rèn)OH最值的范圍．15．解：過點(diǎn)C作CG⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，在?ABCD中，∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB，由于?ABCD沿EF對(duì)折，∴∠D′=∠D=∠EBC，∠D′CE=∠A=∠DCB，D′C=AD=BC，∴∠D′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB，∴∠D′CF=∠ECB，

在△D′CF與△ECB中，,∴△D′CF≌△ECB（ASA）,∴D′F=EB，CF=CE，∵DF=D′F，∴DF=EB，AE=CF設(shè)AE=x，則EB=8﹣x，CF=x，∵BC=4，∠CBG=60°，∴BG=BC=2，由勾股定理可知：CG=2，∴EG=EB+BG=8﹣x+2=10﹣x在△CEG中，由勾股定理可知：（10﹣x）2+（2）2=x2，解得：x=AE=考點(diǎn)：1.翻折變換（折疊問題）；2.平行四邊形的性質(zhì)．16．1．試題分析：先延長(zhǎng)EP交BC于點(diǎn)F，得出PF⊥BC，再判定四邊形CDEP為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出：四邊形CDEP的面積=EP×CF=a×b=ab，最后根據(jù)，判斷ab的最大值即可．解：延長(zhǎng)EP交BC于點(diǎn)F，∵∠APB=90°，∠AOE=∠BPC=60°，∴∠EPC=150°，∴∠CPF=180°﹣150°=30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB=PC，∴PF⊥BC，設(shè)Rt△ABP中，AP=a，BP=b，則CF=CP=b，，

∵△APE和△ABD都是等邊三角形，∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，∴∠EAD=∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED=PB=CP，同理可得：△APB≌△DCB（SAS），∴EP=AP=CP，∴四邊形CDEP是平行四邊形，∴四邊形CDEP的面積=EP×CF=a×b=ab，又∵≥0，∴2ab≤，∴ab≤1，即四邊形PCDE面積的最大值為1．故答案為1．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；最值問題．17．．解：當(dāng)=時(shí)，四邊形ADFE是平行四邊形．理由如下：∵=，∴∠CAB=30°，∵△ABE為等邊三角形，EF⊥AB，∴EF為∠BEA的平分線，∠AEB=60°，AE=AB，∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，∴∠FEA=∠BAC，在△ABC和△EAF中，∵∠ACB=∠EFA，∠BAC=∠AEF，AB=AE，∴△ABC≌△EAF（AAS），∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，

∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形．故答案為．考點(diǎn)：1．平行四邊形的判定；2．等邊三角形的性質(zhì)；3．綜合題；4．壓軸題．18．4或6．解：試題分析：本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，發(fā)現(xiàn)存在兩種情況，進(jìn)行分類討論．在ABCD中，AB＜BC，要使△AB′D是直角三角形，有兩種情況：∠B′AD=90°或∠AB′D=90°，畫出圖形，分類討論：（1）當(dāng)∠B′AD=90°AB＜BC時(shí)，如圖1，延長(zhǎng)B′A交BC于點(diǎn)G，利用平行四邊形和直角三角形的性質(zhì)，可求出BC的長(zhǎng)為6；（2）當(dāng)∠AB′D=90°時(shí)，如圖2，由平行四邊形的性質(zhì)可求出四邊形ACDB′是等腰梯形，然后根據(jù)∠AB′D=90°，得出四邊形ACDB′是矩形，再通過解直角三角形，得出BC的長(zhǎng)為4．解：當(dāng)∠B′AD=90°AB＜BC時(shí)，如圖1，∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，∴∠B′GC=90°，∵∠B=30°，AB=2，∴∠AB′C=30°，∴GC=B′C=BC，∴G是BC的中點(diǎn)，在RT△ABG中，BG=AB=×2=3，∴BC=6；當(dāng)∠AB′D=90°時(shí)，如圖2，∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，

∵AC∥B′D，∴四邊形ACDB′是等腰梯形，∵∠AB′D=90°，∴四邊形ACDB′是矩形，∴∠BAC=90°，∵∠B=30°，AB=2，∴BC=AB÷=2×=4，∴當(dāng)BC的長(zhǎng)為4或6時(shí)，△AB′D是直角三角形．故答案為4或6．考點(diǎn)：1．翻折變換（折疊問題）；2．平行四邊形的性質(zhì)；3．等腰梯形、矩形和直角三角形．19．（1）；（2），理由見分析；（3）【分析】（1）由可得到答案；（2）在上取點(diǎn)，使連接，先證明再證明四邊形是平行四邊形，從而得到為的中位線，從而可得答案；（3）如圖，在上取點(diǎn)，使連接，同理可得：四邊形是平行四邊形，證明再證明得到設(shè)利用勾股定理求解即可得到答案．解：（1）

故答案為：（2）理由如下：

在上取點(diǎn)，使連接，，四邊形是平行四邊形，為的中位線，（3）如圖，在上取點(diǎn)，使連接，同理可得：四邊形是平行四邊形，為的中位線，設(shè)

，設(shè)【點(diǎn)撥】本題考查的等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．20．（1）；（2）補(bǔ)圖見分析，仍然成立，證明見分析；（3），證明見分析【分析】（1）證明△AOE≌△COF即可得出結(jié)論；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出結(jié)論；（3）FC＋AE＝OE，理由是：作輔助線，構(gòu)建全等三角形，與（2）類似，同理得，得出，，再根據(jù)，，推出，即可得證．

解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF；（2）補(bǔ)全圖形如圖所示，仍然成立，證明如下：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，∴，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段、、之間的關(guān)系為，證明如下：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖所示，

由（2）可知，∴，，又∵，，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等腰三角形的性質(zhì)和判定，以構(gòu)建全等三角形和證明三角形全等這突破口，利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分得全等的邊相等的條件，從而使問題得以解決．21．（1）；（2）證明見分析.【分析】（1）作于O，由平行四邊形的性質(zhì)得出，由直角三角形的性質(zhì)得出，證出，得出，由三角形面積公式即可得出結(jié)果；（2）作交DF的延長(zhǎng)線于P，垂足為Q，連接PB、PE，證明得出，再證明得出，即可得出結(jié)論．（1）解：作于O，如圖1所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，，，∴，，∴，∵BE平分，∴，∴，∴，

∴的面積；（2）證明：作交DF的延長(zhǎng)線于P，垂足為Q，連接PB、PE，如圖2所示：∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．

【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．22．（1）；（2）見分析.【分析】（1）作CG⊥AD于G，設(shè)PG=x，則DG=4-x，在Rt△PGC和Rt△DGC中，由勾股定理得出方程，解方程得出x=1，即PG=1，得出GC=4，求出AD=6，由三角形面積公式即可得出結(jié)果；（2）連接NE，證明△NBF≌△EAF得出BF=AF，NF=EF，再證明△ANE≌△ECM得出CM=NE，由NF=NE=MC，得出AF=MC+EC，即可得出結(jié)論.（1）解：作CG⊥AD于G，如圖1所示：設(shè)PG＝x，則DG＝4﹣x，在Rt△PGC中，GC2＝CP2﹣PG2＝17﹣x2，在Rt△DGC中，GC2＝CD2﹣GD2＝52﹣（4﹣x）2＝9+8x﹣x2，∴17﹣x2＝9+8x﹣x2，