《1.4 充分條件與必要條件》課件及同步練習(xí)

人教A版必修第一冊1.4充分條件與必要條件第一章集合與常用邏輯用語如圖所示電路中(整個電路及燈泡一切正常),記p:閉合開關(guān)A,q:燈泡亮。請把這個電路圖改寫為“若p，則q”形式的命題并判斷真假。情境一：AC情境一：

“若p,

則q.”是真命題AC情境二：記p:x

>2,q:x>0

。判斷命題“若x

>2，則x>0”的真假。

“若x>2則x>0”是真命題思考：下列“若P，則q”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？（1）若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；（2）若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；（3）若（4）若平面內(nèi)兩條直線均垂直于直線l,則a//b。真假假真定義：

1、充分條件與必要條件：一般地,用、分別表示兩個命題,如果命題成立,可以推出命題也成立,即,那么叫做的充分條件,叫做的必要條件.

則稱：是的充分條件，是的必要條件。P足以導(dǎo)致q,也就是說條件p充分了；q是p成立所必須具備的前提思考：下列“若P，則q”形式的命題中，p是q

什么條件？（1）若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；（2）若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；（3）若（4）若平面內(nèi)兩條直線均垂直于直線l,則a//b。（1）、（4）中，p是q的充分條件，q是p的必要條件；（2）、（3）中，

p不是q的充分條件，q不是p的必要條件解：（1）這是一條平行四邊形的判定定理，所以p是q的充分條件。

（2）這是一條相似三角形的判定定理，所以p是q的充分條件。

（3）這是一條菱形的性質(zhì)定理，所以p是q的充分條件。解：（4）由于所以p不是q的充分條件。

（5）由等式的性質(zhì)知，，所以p是q的充分條件。

（6）為無理數(shù)，但為有理數(shù)，，所以p不是q

的充分條件。思考：例1中命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，這樣的充分條件唯一嗎？若不唯一，那么你能給出不同的充分條件嗎？四邊形的兩組對邊分別相等，四邊形的一組對邊平行且相等，四邊形的兩條對角線互相平分都是其充分條件。思考：你能說出幾個兩條直線平行的充分條件？一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件。解：（1）這是一條平行四邊形的性質(zhì)定理，所以q是p的必要條件。

（2）這是一條相似三角形的性質(zhì)定理，所以q是p的必要條件。

（3）如圖，四邊形ABCD的對角線互相垂直，但它不是菱形，，所以q不是p的必要條件。解：（4）顯然所以q不是p的必要條件。

（5）由于，，，所以q不是p的必要條件。

（6）為無理數(shù)，但不全是無理數(shù)，，所以q不是p的必要條件。思考：例2中命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件，這樣的必要條件唯一嗎？若不唯一，你能給出幾個其它的必要條件嗎？四邊形的兩組對邊分別相等，四邊形的一組對邊平行且相等，四邊形的兩條對角線互相平分都是其必要條件。一般地，數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件。思考：下列“若P，則q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？（1）若兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等，則這兩個三角形全等；（2）若兩個三角形全等，則這兩個三角形的周長相等；（3）若一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則（4）若是空集，則A與B均是空集。命題(1)、（4）與它們的逆命題都是真命題。定義一般地,如果既有p

q

，又有q

p

就記作

p

q.此時,我們說,p是q的充分必要條件,簡稱充要條件.

顯然,如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件.(p等價于q)

即：如果p

q,那么p與q互為充要條件.上思考中，命題（1）、（4）中，p與q互為充要條件.一般地，(1)若p

q,但q

p，則稱p是q的(2)若p

q，但q

p，則稱p是q的；(3)若p

q，且q

p，則稱p是q的充分不必要條件；必要不充分條件既不充分也不必要條件．例3下列各題中，哪些p是q的充要條件？（1）p:四邊形是正方形，q:四邊形的對角線互相垂直且平分；（2）P:兩個三角形相似，q:兩個三角形三邊成比例；（3）p:xy>0,q:x>0,y>0;(4)p:x=1是一元二次方程解：（1）因為對角線互相垂直平分的四邊形不一定是正方形，所以，所以p不是q的充要條件。（2）因為“若p，則q”是相似三角形的性質(zhì)定理，“若q，則p”是相似三角形的判定定理，所以它們均是真命題，即，所以P是q的充要條件。例3下列各題中，哪些p是q的充要條件？（1）p:四邊形是正方形，q:四邊形的對角線互相垂直且平分；（2）P:兩個三角形相似，q:兩個三角形三邊成比例；（3）p:xy>0,q:x>0,y>0;(4)p:x=1是一元二次方程解：（3）因為xy>0時，x>0,y>0不一定成立，所以，所以p不是q的充要條件。（4）因為“若p，則q”與“若q，則p”均為真命題，即所以P是q的充要條件。探究：通過上面的學(xué)習(xí)，你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？四邊形的兩組對角分別相等、四邊形的兩組對邊分別相等、四邊形的一組對邊平行且相等、四邊形的對角線互相平分、四邊形的兩組對邊分別平行都是它的充要條件。例4：已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．求證：d＝r是直線l與⊙O相切的充要條件．分析：設(shè)p:d=r,q:

l與⊙O相切.證明：如圖所示.（1）充分性（pq）：作OP⊥l于點(diǎn)P,則OP=d，若d=r，則點(diǎn)P在⊙O上，在直線l上任取一點(diǎn)Q(異于點(diǎn)P)，連接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP=r.所以，除點(diǎn)P外直線l上的點(diǎn)都在⊙O

的外部，即直線l與⊙O僅有一個公共點(diǎn)P.所以直線l與⊙O相切.PQlO（2）必要性（）：若直線l與相切，不妨設(shè)切點(diǎn)為P，則，因此，d=OP=r.由（1）（2）可得，d=r是直線l與相切的充要條件。達(dá)標(biāo)檢測B2.請用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”填空：

（1）x＝y(tǒng)是x2＝y(tǒng)2的_____________條件（2）ab=0是a=0的________________條件（3）x2>1是x<1的__________________條件（4）x＝1或x＝2是x2－3x＋2＝0的_____條件充分不必要必要不充分既不充分又不必要充要3.求證：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1的充要條件是a+b+c=0。證明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，則a+b+c=0”．∵x=1是方程的根，將x=1代入方程，得a12+b1+c=0，即a+b+c=0．（2）充分性，即“若a+b+c=0，則x=1是方程ax2+bx+c=0的根”．把x=1代入方程的左邊，得a12+b1+c=a+b+c．∵a+b+c=0，∴x=1是方程的根．綜合（1）（2）知命題成立

課堂小結(jié)

（3）判別技巧：

①可先簡化命題；②否定一個命題只要舉出一個反例即可；（1）充分條件、必要條件、充要條件的概念.

（2）判斷充分、必要條件的基本步驟：①認(rèn)清條件和結(jié)論；②考察p

q

和pq

是否能成立?！?.4充分條件與必要條件》同步練習(xí)閱讀課本17-20頁，思考并完成以下問題1.什么是充分條件？2.什么是必要條件？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。?充分必要充分必要答案(1)相同，都是p?q(2)等價2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)若p是q的充分條件,q是r的充分條件,則p是r的

條件.(2)“a>0,b>0”是“ab>0”的

條件.(3)“若p,則q”的逆命題為真,則p是q的

條件.【解析】(1)由題意知p?q,q?r,故p?r,所以p是r的充分條件.答案:充分(2)當(dāng)a>0,b>0時,顯然ab>0成立,故“a>0,b>0”是“ab>0”的充分條件答案:充分(3)因為“若p,則q”的逆命題為真,即“若q,則p”為真,所以q?p,即p是q的必要條件.答案:必要【思考】(1)若p是q的充分條件,p是惟一的嗎?提示:不一定惟一,凡是能使q成立的條件都是它的充分條件,如x>3是x>0的充分條件,x>5,x>10等都是x>0的充分條件.(2)若q是p的必要條件,q是惟一的嗎?提示:不一定惟一,凡是由p推出的結(jié)論都是它的必要條件,如x>0是x>3的必要條件,x>-1,x>2等都是x>3的必要條件.閱讀課本20-22頁，思考并完成以下問題1.什么充要條件？2.什么充分不必要條件？3.什么是必要不充分條件？4.什么是既不充分又不必要條件？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。充分必要充要互為充要3.從集合角度看充分、必要條件(1)依據(jù)設(shè)集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}.若x具有性質(zhì)p,則x∈A;若x具有性質(zhì)q,則x∈B.若A?B,就是說x具有性質(zhì)p,