2023-2024學(xué)年焦作市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)摸底考試卷附答案解析

-2024學(xué)年焦作市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)摸底考試卷考生注意：1．答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，在試卷上作答無效；3．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知，則（

）A．B．C．D．2．已知函數(shù)滿足，則下列描述正確的是（

）A．點(diǎn)與點(diǎn)在軸同側(cè)B．若的圖象在處的切線斜率小于0，則一定存在點(diǎn)在軸下方C．與的圖象可能與軸交于同一點(diǎn)D．函數(shù)不一定存在零點(diǎn)3．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．24．已知A，B，C三點(diǎn)在直線l上，點(diǎn)O在直線l外，滿足，其中，為等差數(shù)列中的項(xiàng)，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．10135．已知復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知圓，直線，若當(dāng)?shù)闹蛋l(fā)生變化時(shí)，直線被圓所截得的弦長的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值為（

）A． B． C． D．7．下列關(guān)于空間向量的命題中，錯(cuò)誤的是（）A．若非零向量，，滿足，，則有B．任意向量，，滿足C．若，，是空間的一組基底，且，則A，B，C，D四點(diǎn)共面D．已知向量，，若，則為銳角8．中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動(dòng)；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（

）種.A．408 B．120 C．156 D．240二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對1個(gè)得2分．9．盒子中有12個(gè)乒乓球，其中8個(gè)白球4個(gè)黃球，白球中有6個(gè)正品2個(gè)次品，黃球中有3個(gè)正品1個(gè)次品．依次不放回取出兩個(gè)球，記事件“第次取球，取到白球”，事件“第次取球，取到正品”，．則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C． D．10．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論，其中結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．在區(qū)間單調(diào)遞增C．在有3個(gè)零點(diǎn)D．的最大值為211．已知直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線與直線平行，則B．直線傾斜角的范圍為C．當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直D．直線過定點(diǎn)三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．12．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，且，則.13．已知正三棱錐，底面是邊長為2的正三角形，若，且，則正三棱錐外接球的半徑為．14．對任意的實(shí)數(shù)，圓上一點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足．(1)求角；(2)若，求面積的最大值．16．如圖，四邊形是平行四邊形，為的中點(diǎn).以為軸，將折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面，以為軸，將折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面，設(shè)平面平面直線.

(1)求證：直線平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.17．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；(2)過點(diǎn)P作曲線C的兩條切線，求這兩條切線的方程．18．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離比到點(diǎn)的距離大，點(diǎn)的軌跡為曲線，曲線是中心在原點(diǎn)，以為焦點(diǎn)的橢圓，且長軸長為．(1)求曲線、的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，與曲線相交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程．19．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域；(2)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的奇偶性并證明；(3)給定實(shí)數(shù)且，試判斷是否存在直線，使得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，請說明理由.1．A【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)求得為遞增函數(shù)，得到，得出；再由，，求得，即可求解.【詳解】令，，則，當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，即，故，因?yàn)?，所以，即，故，所以，故選：A.2．C【分析】根據(jù)，即可判斷選項(xiàng)A、C與D，選項(xiàng)B舉出反例即可判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，則，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，不在軸同側(cè)，所以A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，因?yàn)榈膱D象在處的切線斜率小于0，所以，又，所以，如果，則，滿足，且，，但的圖象恒在軸上方，所以B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，因?yàn)椋绻?，則與的圖象可能與軸交于同一點(diǎn)，所以C正確；對于選項(xiàng)D，因?yàn)?，則，所以函數(shù)存在零點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤.故選：C.3．A【分析】設(shè)BD、AE交于O，根據(jù)題意可得，所以，進(jìn)而可得，根據(jù)O、F、B三點(diǎn)共線，可得x，y的關(guān)系，代入所求，即可基本不等式，即可得答案.【詳解】設(shè)BD、AE交于O，因?yàn)?，所以，所?所以，則，所以，因?yàn)镺、F、B三點(diǎn)共線，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，此時(shí)，所以，故選：A4．C【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合得出數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由三點(diǎn)共線，且，可得，又因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，可得.故選：C.5．D【分析】由題意確定復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)以及的幾何意義，即可求得答案.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，長軸長的橢圓，則橢圓短半軸長為，橢圓方程為，表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓長軸上的頂點(diǎn)時(shí)，取值大值2；當(dāng)點(diǎn)位于橢圓短軸上的頂點(diǎn)時(shí)，取值小值；故的取值范圍為，故選：D6．C【分析】求出圓心到直線距離的最大值，結(jié)合勾股定理可求得的值.【詳解】由題意可知，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，直線交軸于點(diǎn)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，此時(shí)，，原點(diǎn)到直線的距離取最大值，即，因?yàn)橹本€被圓所截得的弦長的最小值為，即，解得.故選：C.7．B【分析】根據(jù)共線向量的性質(zhì)、共面向量的結(jié)論、空間向量夾角的計(jì)算公式逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)?，，是非零向量，所以由，，可得，因此本選項(xiàng)說法正確；B：因?yàn)橄蛄浚灰欢ㄊ枪簿€向量，因此不一定成立，所以本選項(xiàng)說法不正確；C：，，是空間的一組基底，且所以A，B，C，D四點(diǎn)共面，因此本選項(xiàng)說法正確；D：，當(dāng)時(shí)，，若向量，同向，則有，所以有，則（舍去）所以向量，不能同向，因此為銳角，故本選項(xiàng)說法正確，故選：B.8．A【解析】利用間接法求解，首先對6門課程全排列，減去“樂”排在第一節(jié)的情況，再減去“射”和“御”兩門課程相鄰的情況，最后還需加上“樂”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰的情況；【詳解】解：根據(jù)題意，首先不做任何考慮直接全排列則有（種），當(dāng)“樂”排在第一節(jié)有（種），當(dāng)“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí)有（種），當(dāng)“樂”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí)有（種），則滿足“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有（種），故選：．【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意“樂”的排列對“射”和“御”兩門課程相鄰的影響，屬于中檔題．9．AD【分析】利用古典概型的概率公式及排列組合數(shù)，求出，，，，，，再利用條件概率公式即可判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對A，，，所以,故A正確；對B，事件“第次取球，取到正品”，，故B錯(cuò)誤；對C，事件“第次取球，取到正品且第次取球，取到白球”，包括（正白，正白），（正白，次白），（正黃，正白），（正黃，次白），共有種情況，，故C錯(cuò)誤；對D，事件“第次取球，取到白球且第次取球，取到正品”，包括（白正，白正），（白正，黃正），（白次，白正），（白次，黃正），共有種情況，，又因?yàn)椋?故D正確；故選：AD.10．ACD【分析】對于A：利用奇偶性的定義證明；對于B：根據(jù)范圍去掉絕對值即可判斷；對于C：轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷；對于D：通過判斷構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)部分是否能同時(shí)取1來判斷.【詳解】對于A：，又函數(shù)的定義域?yàn)?，A正確；對于B：當(dāng)時(shí)，，其在單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；對于C：令，即，畫出函數(shù)在上的圖象如下圖：為實(shí)線圖象，為虛線圖象，觀察圖象可得，兩個(gè)函數(shù)圖象在上有3個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為，故在有3個(gè)零點(diǎn)，C正確；對于D：對于，明顯其最大值可以取到，對于，明顯其最大值也可以取到，當(dāng)時(shí)，和可同時(shí)取到最大值，所以的最大值為2，D正確.故選：ACD.11．BC【分析】選項(xiàng)A，由兩直線斜率都存在，利用斜率相等且截距不等求解即可；選項(xiàng)B，由斜率與傾斜角關(guān)系，先求斜率范圍再得傾斜角范圍；選項(xiàng)C，利用斜率關(guān)系可得；選項(xiàng)D，令求解可得.【詳解】選項(xiàng)A，存在斜率，直線方程可化為：，直線也存在斜率，方程可化為，由，則兩直線平行的充要條件為，即解得或，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由直線的斜率，則傾斜角的范圍為，故B正確；選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，直線，斜率為，又直線的斜率為，則兩直線斜率之積為，故兩直線垂直，C正確；選項(xiàng)D，，令，得，故直線過定點(diǎn)，不過，D錯(cuò)誤.故選：BC.12．【分析】利用正弦定理、誘導(dǎo)公式、和角公式、差角公式、二倍角公式分析運(yùn)算即可得解.【詳解】解：由題意，，則由正弦定理可得，∵，∴，∴，又∵，則，∴，∴.又由，可得：，則，∴，即，則，∴，即，由解得：，∴由解得：，.∴由正弦定理可得：，解得：，，∴.故答案為：13．##【分析】據(jù)題意，根據(jù)線面垂直的判定定理，可證得面，進(jìn)而證明面，由此可得到兩兩垂直，將三棱錐補(bǔ)形成正方體，即可求出外接圓半徑.【詳解】設(shè)正三棱錐的底面中心為點(diǎn)，連接，則面，連接并延長，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，因?yàn)榈酌媸钦切?，則為的中點(diǎn)，，，又，面，面，所以面，又因?yàn)槊?，所以，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，故面，又因?yàn)槊妫悦?，因?yàn)槊妫?，所以，因?yàn)槿忮F是正三棱錐，且底面是邊長為2的正三角形，所以兩兩垂直，且，將其補(bǔ)形成棱長為正方體，如圖：所以正三棱錐外接球的半徑為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求幾何體外接球半徑或體積（表面積），常用方法有：補(bǔ)形法，利用射影定理，建立空間直角坐標(biāo)系.14．【分析】根據(jù)直線方程先求出直線所過的定點(diǎn)，然后考慮直線經(jīng)過圓心，圓心與定點(diǎn)的連線垂直直線，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系確定出的取值范圍.【詳解】由題意可知圓的圓心為，半徑，直線方程可化為，令解得，所以直線過定點(diǎn)，顯然當(dāng)直線與圓相切或相交時(shí)，取最小值且，不妨令直線過原點(diǎn)，將代入，此時(shí)，設(shè)圓心到直線的距離為，當(dāng)直線與垂直時(shí)，取得最大值，下面證明：當(dāng)與直線垂直時(shí)，記為直線，當(dāng)不與直線垂直且直線不經(jīng)過時(shí)，記為直線，過作交于點(diǎn)，如下圖所示，由圖可知為直角三角形，且為斜邊，所以，所以取最大值時(shí)，與直線垂直時(shí)，故，，但此時(shí)的方程為，即為，此時(shí)無論取何值都無法滿足要求，故取不到，所以，故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，再結(jié)合三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】（1）解：因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)?、，則，可得，所以，，故.（2）解：由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故，因此，面積的最大值為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用合理轉(zhuǎn)化證明線面垂直即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意知，分別取的中點(diǎn)，連接，則，.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，同理平面，所?/.因?yàn)槠矫嫫矫?，所?/平面.因?yàn)槠矫嫫矫嬷本€，所以//.又平面，所以直線平面.（2）

不妨設(shè)，所以平行四邊形中，，所以.又平行四邊形中，，所以，所以，即.以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，直線為軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.又，則，所以，所以.設(shè)平面的法向量為，則得令，則，所以平面的一個(gè)法向量為.由（1）知，是平面的一個(gè)法向量，則.所以平面與平面夾角的余弦值為.17．(1)，C表示以為圓心，為半徑的圓(2)和【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意，列出方程，即可求解；（2）設(shè)切線方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)，由，可得，即，整理得，即方程可化為，所以曲線表示以為圓心，為半徑的圓．（2）解：由題意，兩切線的斜率均存在，設(shè)切線方程為，即，則圓心到切線的距離，解得或，所以兩條切線方程為和．18．(1)，(2)或【分析】（1）分析可知，曲線為拋物線，確定該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，可得出曲線的方程，求出、的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可得出橢圓的方程；（2）分析可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將該直線的方程分別與曲線、的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合韋達(dá)定理以及弦長公式可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）解：由題意知，點(diǎn)到直線的距離等于，所以，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，故曲線的方程為.因?yàn)闄E圓的長軸長，為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則，，所以，，所以，曲線的方程為.（2）解：若直線的斜率不存在，則直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線的斜率必存在，則直線的方程為由，整理得，則，設(shè)、，則，，所以，，則，由，整理得，則，設(shè)、，則，，所以，，因?yàn)?/p>