二次函數(shù)和相似三角形問(wèn)題附答案解析

./綜合題講解函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題1、如圖,已知拋物線與交于A<－1,0>、E<3,0>兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)B<0,3>。求拋物線的解析式；設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D,求四邊形AEDB的面積；△AOB與△DBE是否相似？如果相似,請(qǐng)給以證明；如果不相似,請(qǐng)說(shuō)明理由。2、已知拋物線經(jīng)過(guò)及原點(diǎn)．〔1求拋物線的解析式．〔2過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線交軸于點(diǎn),在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上,任取一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線平行于軸交軸于點(diǎn),交直線于點(diǎn),直線與直線及兩坐標(biāo)軸圍成矩形．是否存在點(diǎn),使得與相似？若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,說(shuō)明理由．〔3如果符合〔2中的點(diǎn)在軸的上方,連結(jié),矩形內(nèi)的四個(gè)三角形之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？3、如圖所示,已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)C．〔1求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．〔2過(guò)點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P,求四邊形ACBP的面積．CBAPy〔3在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M,過(guò)M作MG軸于點(diǎn)G,使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似．若存在,請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則,請(qǐng)說(shuō)明理由．CBAPy4、在平面直角坐標(biāo)系中,已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)〔點(diǎn)在點(diǎn)的左邊,與軸交于點(diǎn),其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,且過(guò)點(diǎn)和．〔1求此二次函數(shù)的表達(dá)式；〔由一般式得拋物線的解析式為〔2若直線與線段交于點(diǎn)〔不與點(diǎn)重合,則是否存在這樣的直線,使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在,求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；yCxBA〔3若點(diǎn)是位于該二次函數(shù)對(duì)稱軸右邊圖象上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn),試比較銳角與的大小〔不必證明,并寫出此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．yCxBA5、如圖,已知拋物線y＝x2＋bx＋c與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn),A點(diǎn)的坐標(biāo)為〔－1,0,過(guò)點(diǎn)C的直線y＝x－3與x軸交于點(diǎn)Q,點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作PH⊥OB于點(diǎn)H．若PB＝5t,且0＜t＜1．〔1填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是__,b＝__,c＝__；〔2求線段QH的長(zhǎng)〔用含t的式子表示；〔3依點(diǎn)P的變化,是否存在t的值,使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COQ相似？若存在,求出所有t的值；若不存在,說(shuō)明理由．6、如圖,拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)．〔1求出拋物線的解析式；〔2P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作軸,垂足為M,是否存在P點(diǎn),使得以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在,請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；〔3在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)D,使得的面積最大,求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．7、已知,如圖1,過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線,拋物線上的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和4,直線交軸于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作直線的垂線,垂足分別為點(diǎn)、,連接．〔1求點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2求證：；〔3點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸右側(cè)圖象上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn),是否存在點(diǎn)使得與相似？若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．8、當(dāng)x＝2時(shí),拋物線y＝ax2＋bx＋c取得最小值－1,并且拋物線與y軸交于點(diǎn)C〔0,3,與x軸交于點(diǎn)A、B．〔1求該拋物線的關(guān)系式；〔2若點(diǎn)M〔x,y1,N〔x＋1,y2都在該拋物線上,試比較y1與y2的大??；ABCDOxABCDOxyEF39、如圖,一次函數(shù)y=－2x的圖象與二次函數(shù)y=－x2+3x圖象的對(duì)稱軸交于點(diǎn)B.〔1寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2已知點(diǎn)P是二次函數(shù)y=－x2+3x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將直線y=－2x沿y軸向上平移,分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn).若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.OOBCD10、如圖,拋物線與軸交于兩點(diǎn)A〔－1,0,B〔1,0,與軸交于點(diǎn)C．<1>求拋物線的解析式；<2>過(guò)點(diǎn)B作BD∥CA與拋物線交于點(diǎn)D,求四邊形ACBD的面積；<3>在軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M,過(guò)M作MN⊥軸于點(diǎn)N,使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在,則求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．11、已知：函數(shù)y=ax2+x+1的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．〔1求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式；〔2如圖所示,設(shè)二次函數(shù)y=ax2+x+1圖象的頂點(diǎn)為B,與y軸的交點(diǎn)為A,P為圖象上的一點(diǎn),若以線段PB為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)B,求P點(diǎn)的坐標(biāo)；AxyOAxyOB12、如圖,設(shè)拋物線C1:,C2:,C1與C2的交點(diǎn)為A,B,點(diǎn)A的坐標(biāo)是,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是－2.求的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2點(diǎn)D在線段AB上,過(guò)D作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)H,在DH的右側(cè)作正三角形DHG.記過(guò)C2頂點(diǎn)Ｍ的直線為,且與x軸交于點(diǎn)N.①若過(guò)△DHG的頂點(diǎn)G,點(diǎn)D的坐標(biāo)為<1,2>,求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；②若與△DHG的邊DG相交,求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍.13、如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng),設(shè)AP=,現(xiàn)將紙片折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合,得折痕EF〔點(diǎn)E、F為折痕與矩形邊的交點(diǎn),再將紙片還原?！?當(dāng)時(shí),折痕EF的長(zhǎng)為；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí),折痕EF的長(zhǎng)為；〔2請(qǐng)寫出使四邊形EPFD為菱形的的取值范圍,并求出當(dāng)時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；〔3令,當(dāng)點(diǎn)E在AD、點(diǎn)F在BC上時(shí),寫出與的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)取最大值時(shí),判斷與是否相似？若相似,求出的值；若不相似,請(qǐng)說(shuō)明理由。14、如圖,已知,,現(xiàn)以A點(diǎn)為位似中心,相似比為9:4,將OB向右側(cè)放大,B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C．求C點(diǎn)坐標(biāo)及直線BC的解析式;一拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn),且頂點(diǎn)落在x軸正半軸上,求該拋物線的解析式并畫出函數(shù)圖象;現(xiàn)將直線BC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與拋物線相交與另一點(diǎn)P,請(qǐng)找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為的點(diǎn)P．參考答案例題、解:⑴由題意可設(shè)拋物線的解析式為∵拋物線過(guò)原點(diǎn),∴∴.圖1拋物線的解析式為,即圖1⑵如圖1,當(dāng)OB為邊即四邊形OCDB是平行四邊形時(shí),CDEQ\O<\s\up2<∥>,\s\do3<＝>>OB,由得,∴B<4,0>,OB＝4.∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6將x＝6代入,得y＝－3,∴D<6,－3>;根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知,在對(duì)稱軸的左側(cè)拋物線上存在點(diǎn)D,使得四邊形ODCB是平行四邊形,此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為<－2,－3>,當(dāng)OB為對(duì)角線即四邊形OCBD是平行四邊形時(shí),D點(diǎn)即為A點(diǎn),此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為<2,1>⑶如圖2,由拋物線的對(duì)稱性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.若△BOP與△AOB相似,必須有∠POB＝∠BOA＝∠BPO圖2設(shè)OP交拋物線的對(duì)稱軸于A′點(diǎn),顯然A′<2,－1>圖2∴直線OP的解析式為由,得.∴P<6,－3>過(guò)P作PE⊥x軸,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,∴PB＝≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,∴△PBO與△BAO不相似,同理可說(shuō)明在對(duì)稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點(diǎn).所以在該拋物線上不存在點(diǎn)P,使得△BOP與△AOB相似.練習(xí)1、解：〔1由已知可得：解之得,．因而得,拋物線的解析式為：．〔2存在．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,要使,則有,即解之得,．當(dāng)時(shí),,即為點(diǎn),所以得要使,則有,即解之得,,當(dāng)時(shí),即為點(diǎn),當(dāng)時(shí),,所以得．故存在兩個(gè)點(diǎn)使得與相似．點(diǎn)的坐標(biāo)為．〔3在中,因?yàn)椋裕?dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),．所以．因此,都是直角三角形．又在中,因?yàn)椋裕从校?又因?yàn)?所以．練習(xí)2解：〔1與相似。OxOxy圖1CBED312A由折疊知,,,又,。〔2,設(shè)AE=3t,則AD=4t。圖2Oxy圖2OxyCBEDPMGlNAF。由〔1,得,,。在中,,,解得t=1。OC=8,AE=3,點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔0,8,點(diǎn)E的坐標(biāo)為〔10,3,設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b,解得,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔16,0。〔3滿足條件的直線l有2條：y=－2x+12,y=2x－12。如圖2：準(zhǔn)確畫出兩條直線。練習(xí)3解：〔1二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,且過(guò)點(diǎn)和,由解得此二次函數(shù)的表達(dá)式為．〔2假設(shè)存在直線與線段交于點(diǎn)〔不與點(diǎn)重合,使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似．在中,令,則由,解得．yxBEAOCDyxBEAOCD設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為．．要使或,已有,則只需,①或②成立．若是①,則有．而．在中,由勾股定理,得．解得〔負(fù)值舍去．．點(diǎn)的坐標(biāo)為．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中,求得．滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為．［或求出直線的函數(shù)表達(dá)式為,則與直線平行的直線的函數(shù)表達(dá)式為．此時(shí)易知,再求出直線的函數(shù)表達(dá)式為．聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)為．］若是②,則有．而．在中,由勾股定理,得．解得〔負(fù)值舍去．．點(diǎn)的坐標(biāo)為．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中,求得．滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為．存在直線或與線段交于點(diǎn)〔不與點(diǎn)重合,使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似,且點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或．〔3設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中,求得．此直線的函數(shù)表達(dá)式為．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,并代入,得．解得〔不合題意,舍去．xBExBEAOCP·點(diǎn)的坐標(biāo)為．此時(shí),銳角．又二次函數(shù)的對(duì)稱軸為,點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí),銳角；當(dāng)時(shí),銳角；當(dāng)時(shí),銳角．練習(xí)四圖1CPByA解：〔1令圖1CPByA令,得∴ABC〔2∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=∵AP∥CB,∴PAB=過(guò)點(diǎn)P作PE軸于E,則APE為等腰直角三角形令OE=,則PE=∴P∵點(diǎn)P在拋物線上∴解得,〔不合題意,舍去∴PE=∴四邊形ACBP的面積=AB?OC+AB?PE=<3>．假設(shè)存在∵PAB=BAC=∴PAAC∵M(jìn)G軸于點(diǎn)G,∴MGA=PAC=在Rt△AOC中,OA=OC=∴AC=在Rt△PAE中,AE=PE=∴AP=設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則M①點(diǎn)M在軸左側(cè)時(shí),則GM圖2CByPA<ⅰ>當(dāng)AMGPCAGM圖2CByPA∵AG=,MG=即解得〔舍去〔舍去<ⅱ>當(dāng)MAGPCA時(shí)有=即解得：〔舍去GM圖3CGM圖3CByPA②點(diǎn)