高三二輪復(fù)習(xí)專題07函數(shù)概念及函數(shù)的基本性質(zhì)

2024屆高三二輪復(fù)習(xí)第7講：函數(shù)概念及函數(shù)的基本性質(zhì)解析版2023年考情考題示例考點關(guān)聯(lián)考點2023年新I卷，第11題抽象函數(shù)、奇偶性極值點2023年新Ⅱ卷，第4題偶函數(shù)無2023年天津卷，第4題函數(shù)的圖像無2023年天津卷，第15題函數(shù)的零點無2023年北京卷，第4題函數(shù)的單調(diào)性無2023年乙卷文科，第5題偶函數(shù)無2023年乙卷文科，第8題函數(shù)的零點無2023年甲卷理科，第13題偶函數(shù)無2023年甲卷理科，第4題偶函數(shù)無2023年甲卷文科，第14題偶函數(shù)無題型一：函數(shù)的概念【典例例題】例1.（2023春·江西省宜春市宜豐縣宜豐中學(xué)模擬）設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則=___________.【答案】2【解析】【詳解】，令，則奇函數(shù)，所以的最大值和最小值和為0，又.有，即.答案為：2.【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東省廣州市二模）（多選）已知函數(shù)的定義域是（，），值域為，則滿足條件的整數(shù)對可以是（）AB.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由是偶函數(shù)及圖像可得出結(jié)論.【詳解】顯然是偶函數(shù)，其圖像如下圖所示：要使值域為，且，,則，；，；，.故選：ACD.2.（2024春·廣東省廣州市模擬）（如下圖，一個“心形”由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”上部分的函數(shù)解析式可能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)心形”上部分函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，排除部分選項，再根據(jù)函數(shù)的最大值判斷.【詳解】由函數(shù)圖象知：“心形”上部分的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，而，，不滿足；的圖象過（0，0），（2，0），（2，0），當時，，當且僅當，即時，等號成立，不符合要求；的圖象過（0，0），（2，0），（2，0），當時，，當時，函數(shù)取得最大值1，符合要求；故選：C3.（2024春·廣東省東莞市模擬）（多選）下列函數(shù)中，定義域與值域相同的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】求出每個函數(shù)的定義域和值域即可得到答案.【詳解】對A，的定義域為，值域為，錯誤；對B，的定義域和值域均為，正確；對C，，則，所以y<2，即的定義域和值域均為，正確；對D，的定義域為，因為，且，所以的值域為，則的值域為，正確.故選：BCD.題型二：函數(shù)的單調(diào)性【典例例題】例1.（2023春·安徽省滁州市定遠縣育才學(xué)校模擬）（多選）已知函數(shù)的定義域為，其圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（）A.的單調(diào)遞減區(qū)間為B.的最大值為C.的最小值為D.的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)圖象直接判斷單調(diào)區(qū)間和最值即可.【詳解】對于A，由圖象可知：的單調(diào)遞減區(qū)間為，A正確；對于B，當時，，B正確；對于C，當時，，C正確；對于D，由圖象可知：的單調(diào)遞增區(qū)間為和，但并非嚴格單調(diào)遞增，不能用“”連接，D錯誤.故選：ABC.【變式訓(xùn)練】1.（2023春·河北省秦皇島市青龍滿族自治縣實驗中學(xué)模擬）對于函數(shù)，下列描述正確的選項是（）.A.減函數(shù)且值域為 B.增函數(shù)且值域為C.減函數(shù)且值域為 D.增函數(shù)且值域為【答案】B【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件為，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】函數(shù),因為函數(shù)且單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，為增函數(shù)，又，所以，，所以即的值域為.故選：B.2.（2023春·黑龍江省海倫市第二中學(xué)模擬）已知函數(shù)，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】【分析】由奇偶性定義、導(dǎo)數(shù)判斷的奇偶性及單調(diào)性，再應(yīng)用奇函數(shù)、單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】由題設(shè)，且定義域為，故為奇函數(shù)，又，在定義域上遞增，∴，可得，∴，解得，∴原不等式解集為.故答案為：.3.（2023春·山東省青島萊西市模擬）（多選）下面給出的函數(shù)中，既是奇函數(shù)，在上又是增函數(shù)的為（）A B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性可得到答案.【詳解】對A：，，所以為奇函數(shù)，又時，，在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故A正確.對B：因為在上為減函數(shù)，，所以在上為減函數(shù)，故B錯誤.對C：，，所以為偶函數(shù)，故C錯誤.對D：，，，所以為奇函數(shù)，又時，為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷原則知在上為增函數(shù)，故D正確.故選：AD題型三：函數(shù)的奇偶性、周期性【典例例題】例1.（2023春·廣東省佛山市第一中學(xué)模擬）（多選）設(shè)函數(shù)的定義域為，且滿足，，當時，，則下列說法正確的是（）A.是偶函數(shù) B.為奇函數(shù)C.函數(shù)有8個不同的零點 D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)已知推出函數(shù)關(guān)于直線對稱且關(guān)于對稱，周期為8，由已知區(qū)間上的解析式畫出圖象判斷A、B；結(jié)合圖象判斷交點個數(shù)，周期性求函數(shù)值的和判斷C、D.【詳解】由，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，且，由，則函數(shù)關(guān)于對稱，且，所以，故，則，故函數(shù)的周期為8，當時，則，，根據(jù)周期和對稱性知：值域為，由函數(shù)關(guān)于直線對稱且關(guān)于對稱，周期為8，為向左平移1個單位得到，是偶函數(shù)，故A正確：為向左平移3個單位得到，是奇函數(shù)，故B正確；由在上遞減，且，；在上遞增，且，，結(jié)合圖象：看出和的圖象有10個交點，即有10個不同的零點，故C錯誤：由，，，，，，，，則，所以，故D錯誤，故選：AB【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東省深圳市一模）已知為奇函數(shù)，且時，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)及解析式求解即可.【詳解】為奇函數(shù)，且時，，.故選：D2.（2023春·廣東省潮州市一模）已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)，）是奇函數(shù)，則實數(shù)的值為______.【答案】【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得出，結(jié)合對數(shù)運算可得出實數(shù)的值.【詳解】對于函數(shù)，，解得或，所以，函數(shù)的定義域為，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，即，解得.故答案為：.3.（2023春·廣東省惠州市一模）“家在花園里，城在山水間．半城山色半城湖，美麗惠州和諧家園．．．．．．”首婉轉(zhuǎn)動聽的《美麗惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市環(huán)境．下圖1是惠州市風(fēng)景優(yōu)美的金山湖片區(qū)地圖，其形狀如一顆愛心．圖2是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在軸上方的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由圖可知，“心形”關(guān)于軸對稱，所以上部分的函數(shù)為偶函數(shù)，可排除B、D；再結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)求得A、C的函數(shù)最大值，看是否為1，進而判斷.【詳解】由圖可知，“心形”關(guān)于軸對稱，所以上部分的函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)和都不滿足，故排除B、D；而的圖象過點，，，且時，，當且僅當時，等號成立，即函數(shù)的最大值為2，又“心形”函數(shù)的最大值為1，故排除A；由的圖象過點，，，且時，，當且僅當時，等號成立，即函數(shù)的最大值為1，滿足題意，故C滿足.故選：C．4.（2023春·廣東省汕頭市一模）已知函數(shù)的定義域為，為的導(dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先證明為奇函數(shù)，再進行合理賦值逐個分析判斷.【詳解】對A：∵偶函數(shù)，則兩邊求導(dǎo)可得∴為奇函數(shù)，則令，則可得，則，A成立；對B：令，則可得，則，B成立；∵，則可得，則可得兩式相加可得：，∴關(guān)于點成中心對稱則，D成立又∵，則可得，則可得∴以4為周期的周期函數(shù)根據(jù)以上性質(zhì)只能推出，不能推出，C不一定成立故選：C.5.（2023春·廣東省韶關(guān)市二模）（多選）已知是周期為4的奇函數(shù)，且當時，.設(shè)，則（）A.函數(shù)是奇函數(shù)也是周期函數(shù)B.函數(shù)的最大值為1C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.函數(shù)的圖象有對稱中心也有對稱軸【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)判斷判斷奇函數(shù)，判斷周期性，求出在的解析式，根據(jù)圖象平移寫出在上解析式并判斷奇偶性，進而可得解析式，結(jié)合周期性判斷B、C，最后利用、判斷D.【詳解】由，令，則，故；令，則，故；所以，綜上，一個周期內(nèi)，由，而，故不是奇函數(shù)，但周期為4，A錯；所以，是將圖象右移一個單位，故在一個周期圖象如下：由圖象平移知：，且為偶函數(shù)，所以，故的最大值為1，B對；由周期性知：在上單調(diào)性同區(qū)間，即單調(diào)遞減，C對；由，由，注意：根據(jù)周期性有、，綜上，關(guān)于中心對稱、關(guān)于軸對稱，D對.故選：BCD6.（2023春·黑龍江省雞西市密山市第四中學(xué)模擬）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，當時，，則______．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)且得到，故的一個周期為4，則，根據(jù)求出，進而求出，求出答案.【詳解】因為為奇函數(shù)，故①，又，所以，即②，由①②得③，用代替得④，由③④得，故的一個周期為4，則，由于為定義在R上的奇函數(shù)，故，即，解得，所以當時，，又，所以.故答案為：17.（2023春·廣東省高州市一模）（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足，函數(shù)為奇函數(shù)，且對，當時，都有.函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點，，…，，給出以下結(jié)論，其中正確的是（）A. B.函數(shù)為偶函數(shù)C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)已知條件可得函數(shù)的對稱中心和對稱軸，然后可得周期，進而可判斷A；根據(jù)偶函數(shù)的定義，結(jié)合已知直接驗證可判斷B；由已知條件先判斷在的單調(diào)性，然后利用對稱性即可判斷C；判斷的對稱性，結(jié)合的對稱性即可求得所有交點橫坐標之和，以及縱坐標之和，然后可判斷D.【詳解】因為，所以，的圖象關(guān)于對稱，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點對稱，且又，所以，即，所以的周期為4，所以，故A錯誤；由上可知，，，故B正確；因為，當時，都有，即，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，因為的圖象關(guān)于點對稱，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，又的圖象關(guān)于對稱，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，C正確；因為，所以的圖象關(guān)于點對稱，所以與的交點關(guān)于點對稱，不妨設(shè)則，所以，所以，D正確.故選：BCD題型四：分段函數(shù)【典例例題】例1.（2023春·安徽省滁州市定遠縣育才學(xué)校模擬）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)定義，利用一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，限定端點處的取值列出不等式組即可解出的取值范圍.【詳解】函數(shù)是上的增函數(shù)，所以，解得.故答案為：【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東省深圳市二模）已知函數(shù)，則（）A.2 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的分段點代入求值.【詳解】，因為，所以.故選：A.2.（2023春·廣東省一模）已知函數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷分段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知不等式求參數(shù)范圍.【詳解】由解析式易知：在R上遞增，又，所以，則.故選：D3.（2023春·黑龍江省牡丹江市第二高級中學(xué)）已知函數(shù)若關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由題可知直線要在函數(shù)的圖象的下面，利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】∵，設(shè)，則恒成立，作出函數(shù)與的大致圖象，由可知過定點，則過的直線要在函數(shù)的圖象的下面，由圖象可知當與相切與點時為一個臨界值，把代入，可得，由，可得或(舍去)，當過的直線經(jīng)過時為另一個臨界值，此時，所以.故選：C.題型五：函數(shù)的圖像【典例例題】例1.（2023春·廣東省廣州市一模）函數(shù)在上的圖像大致為（）A.B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，由奇偶性排除兩個選項，再取特值即可判斷作答.【詳解】函數(shù)定義域為，而，且，即函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于原點不對稱，排除選項CD；而當時，，排除選項A，選項B符合要求.故選：B【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東省大灣區(qū)模擬）已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)零點排除B,C兩個選項，再由奇偶性排除A后可得正確選項．【詳解】由圖像知有三個零點經(jīng)驗證只有AD滿足，排除BC選項，A中函數(shù)滿足為偶函數(shù)，D中函數(shù)滿足為奇函數(shù)，而圖像關(guān)于原點對稱，函數(shù)為奇函數(shù)，排除A，選D．故選：D．2.函數(shù)的圖象大致為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性及特殊值即可作出判斷．【詳解】由易得f（﹣x）+f（x）＝0，∴f（x）是奇函數(shù)；當x=1時，排除A，當x＞0時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故可排除Ｂ，Ｄ故選Ｃ3.（2023春·江西省宜春市宜豐縣宜豐中學(xué)模擬）函數(shù)在上的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，結(jié)合特殊值，即可排除選項.【詳解】首先，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除D，，故排除B，當時，，故排除A，只有C滿足條件.故選：C4.（2023春·廣東省汕頭市二模）已知函數(shù)，則的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性結(jié)合特殊區(qū)間即可得出選項.【詳解】，令，所以在和上單調(diào)遞增，又當時，，.故選：C5.（2023春·安徽省滁州市定遠縣育才學(xué)校模擬）函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由解析式，應(yīng)用奇偶性定義判斷奇偶性，結(jié)合的符號確定大致圖象即可.【詳解】∵，∴為奇函數(shù)，A不正確；很顯然有三個零點分別為0，±1，，只有C符合.故選：C.6.（2023春·天津市寧河區(qū)蘆臺第一中學(xué)模擬）函數(shù)的部分圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除AB，再根據(jù)趨近于時的值判斷即可【詳解】因為，故為奇函數(shù)，排除AB，又當趨近于時，遠遠大于，所有函數(shù)逐漸趨近于0，排除D故選：C題型六：函數(shù)的新定義【典例例題】例1.（2023春·廣東省一模）（多選）已知定義在上的函數(shù)，對于給定集合，若，當時都有，則稱是“封閉”函數(shù).則下列命題正確的是（）A.是“封閉”函數(shù)B.定義在上的函數(shù)都是“封閉”函數(shù)C.若是“封閉”函數(shù)，則一定是“封閉”函數(shù)D.若是“封閉”函數(shù)，則不一定是“封閉”函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】A特殊值判斷即可；B根據(jù)定義及函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；C根據(jù)定義得到都有，再判斷所給定區(qū)間里是否有成立即可判斷，D選項可判斷出其逆否命題的正誤，得到D選項的正誤.【詳解】對A：當時，，而，A錯誤；對B：對于集合，使，即，必有，所以定義在上的函數(shù)都是“封閉”函數(shù)，B正確；對C：對于集合，使，則，而是“封閉”函數(shù)，則，即都有，對于集合，使，則，，而，，...，，所以，即，故，一定是“封閉”函數(shù)，C正確；對D，其逆否命題為，若是“封閉”函數(shù)，則不是“封閉”函數(shù)，只需判斷出其逆否命題的正誤即可，使，則，若，則，由解得，因為，所以，即使，則，滿足是“封閉”函數(shù)，故逆否命題為假命題，故原命題也時假命題，D錯誤.故選：BC【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東省惠州市一模）若函數(shù)的定義域為，如果對中的任意一個，都有，且，則稱函數(shù)為“類奇函數(shù)”．若某函數(shù)是“類奇函數(shù)”，則下列命題中，錯誤的是（）A.若0在定義域中，則B.若，則C.若在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減D.若定義域為，且函數(shù)也是定義域為的“類奇函數(shù)”，則函數(shù)也是“類奇函數(shù)”【答案】C【解析】【分析】對A，根據(jù)“類奇函數(shù)”的定義，代入求解即可；對B，根據(jù)題意可得，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；對C，根據(jù)，結(jié)合正負分數(shù)的單調(diào)性判斷即可；對D，根據(jù)“類奇函數(shù)”的定義，推導(dǎo)判斷即可.【詳解】對于A，由函數(shù)是“類奇函數(shù)”，所以，且，所以當時，，即，故A正確；對于B，由，即隨的增大而減小，若，則成立，故B正確；對于，由在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞減，設(shè)，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D，由，所以，所以函數(shù)也是“類奇函數(shù)”，所以D正確；故選：C2.（2023春·廣東省惠州市一模）我們知道按照一定順序排列的數(shù)字可以構(gòu)成數(shù)列，那么按照一定順序排列的函數(shù)可以構(gòu)成函數(shù)列.設(shè)無窮函數(shù)列（）的通項公式為，，記為的值域，為所有的并集，則E為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，進而，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，進而即得.【詳解】因為，，，所以，故在上單調(diào)遞增，又，，所以，設(shè)，，令，則，由，可得，由，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以，，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，所以，，綜上，，.故選：C.3.（2023春·廣東省茂名市二模）黎曼函數(shù)是由德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出的，它是一個無法用圖象表示的特殊函數(shù)，此函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在上的定義為：當（，且p，q為互質(zhì)的正整數(shù)）時，；當或或為內(nèi)的無理數(shù)時，，則下列說法錯誤的是（）A.在上的最大值為B.若，則C.存在大于1的實數(shù)，使方程有實數(shù)根D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到，或或時上的無理數(shù)，由的值域為，可判定A正確；若，設(shè)，，得到；若有一個為0，得到，可判定B正確；由，且的最大值為，可判定C錯誤；由，設(shè)，得到，可判定D正確.【詳解】設(shè)，（，且為互質(zhì)的正整數(shù)），或或時上的無理數(shù)，對于A中，由題意，的值域為，其中p是大于等于2的正整數(shù)，所以A正確；對于B中，①若，設(shè)，（互質(zhì)，互質(zhì)），，則；②若有一個為0，則，所以B正確；對于C中：若為大于1的正數(shù)，則，而的最大值為，所以該方程不可能有實根，所以C錯誤；對于D中：和內(nèi)的無理數(shù)，則，，，若為內(nèi)的有理數(shù)，設(shè)（為正整數(shù)，為最簡真分數(shù)），則，所以D正確.故選：C.4.（2023春·廣東省韶關(guān)市二模）定義為與距離最近的整數(shù)（當為兩相鄰整數(shù)算術(shù)平均數(shù)時，取較大整數(shù)），令函數(shù)，如：，，，，則（）A.17 B. C.19 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，分析的規(guī)律，將重新分組，第組為個，則每組中各個數(shù)之和為，分析所在的組，進而計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，當時，有，則，則有，當，有，則，則有，當，有，則，則有，當，有，則，則有，，當時，，，此時，包含，，，，共個整數(shù)，由此可以將重新分組，各組依次為、、、，，第組為個，則每組中各個數(shù)之和為，前組共有個數(shù)，則是第組的第個數(shù)，則．故選：C．1.（新課標全國Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D2.（新課標全國Ⅰ卷）（多選）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點【答案】ABC【詳解】方法一：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時無極值，故錯誤.方法二：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，故可以設(shè)，則，當肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，顯然，此時是的極大值，故D錯誤.故選：.3.（新課標全國Ⅱ卷）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【詳解】因為為偶函數(shù)，則，解得，當時，，，解得或，則其定義域為或，關(guān)于原點對稱.，故此時為偶函數(shù).故選：B.4.（全國乙卷數(shù)學(xué)（文）(理)）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【詳解】因為為偶函數(shù)，則，又因為不恒為0，可得，即，則，即，解得.故選：D.5.（全國甲卷數(shù)學(xué)（文））已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，因為，而，所以，即由二次函數(shù)性質(zhì)知，因為，而，即，所以，綜上，，又為增函數(shù)，故，即.故選：A.6.（全國甲卷數(shù)學(xué)（文）（理））若為偶函數(shù)，則________．【答案】2【詳解】因為為偶函數(shù)，定義域為，所以，即，則，故，此時，所以，又定義域為，故為偶函數(shù)，所以.故答案為：2.7.（新高考天津卷）函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且，由且定義域為R，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；當時、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；故選：D8.（新高考天津卷）若函數(shù)有且僅有兩個零點，則的取值范圍為_________．【答案】【詳解】（1）當時，，即，若時，，此時成立；若時，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時，，此時成立．（2）當時，，即，若時，，顯然不成立；若時，或，若方程有一根為，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時，，顯然不成立；綜上，當時，零點為，；當時，零點為，；當時，只有一個零點；當時，零點為，；當時，只有一個零點；當時，零點為，；當時，零點為．所以，當函數(shù)有兩個零點時，且．故答案為：．1.（2024春·廣東省東莞市模擬）已知函數(shù)，的定義域為R，則“，為周期函數(shù)”是“為周期函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)通過反例和周期的性質(zhì)判斷即可.【詳解】兩個周期函數(shù)之和是否為周期函數(shù)，取決于兩個函數(shù)的周期的比是否為有理數(shù)，若為有理數(shù)，則有周期，若不為有理數(shù)，則無周期.的周期為，的周期為，則當時，只有周期的整數(shù)倍才是函數(shù)的周期，則不是充分條件；若，，則為周期函數(shù)，但，為周期函數(shù)不正確，故不是必要條件；因此為不充分不必要條件.故選：D2.函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到答案.【詳解】的定義域是，令，其在定義域上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，.故選：A3.（2023春·廣東省廣州市二模）已知偶函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且也是偶函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由偶函數(shù)的定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得出，由已知可得出，可求出的表達式，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)在上為增函數(shù)，再由可得出，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，等式兩邊求導(dǎo)可得，①因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，②聯(lián)立①②可得，令，則，且不恒為零，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，即函數(shù)在上為增函數(shù)，故當時，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，，整理可得，解得.故選：B.4.（2024春·廣東省中山市模擬）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性列方程，從而求得正確答案.【詳解】的定義域為，由于是奇函數(shù)，所以，所以.故選：B5.（2024春·廣東省梅州市模擬）函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可以判斷函數(shù)是偶函數(shù)，然后取不同的x值，驗證函數(shù)圖像即可.【詳解】設(shè)，則函數(shù)為偶函數(shù)；，，則函數(shù)應(yīng)存在一段從負到正的曲線，對比選項，C正確.故選：C.6.（2024春·廣東省河源市模擬）已知定義域為的函數(shù)滿足，，當時，，則（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】依題意可得為奇函數(shù)，再由，推出是周期為的周期函數(shù)，由求出的值，最后根據(jù)周期性計算可得.【詳解】因為定義域為的函數(shù)滿足，則為奇函數(shù)，又，所以，所以，則是周期為的周期函數(shù)，又因為，即，又當時，，所以，解得，所以，所以故選：A7.（2023春·廣東省深圳市龍崗區(qū)德琳學(xué)校模擬）（多選）已知函數(shù)，在R上的導(dǎo)函數(shù)分別為，，若為偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.是R上的奇函數(shù) D.是R上的奇函數(shù)【答案】AD【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性，以及原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，即可判斷各選項正誤.【詳解】解：已知為偶函數(shù)，可知關(guān)于對稱，所以關(guān)于對稱，因為是奇函數(shù)，可知關(guān)于對稱，所以關(guān)于對稱，又因為，則，即，所以與關(guān)于對稱，因為關(guān)于對稱的點為，直線關(guān)于對稱的直線為，所以關(guān)于對稱，關(guān)于直線對稱，是偶函數(shù)，而關(guān)于對稱，，又，則，，，即是周期為4的偶函數(shù)，故C選項錯誤；由關(guān)于直線對稱，，關(guān)于對稱，，則，，所以，即是周期為4的偶函數(shù)，由于是周期為4的偶函數(shù)，則，等號兩邊同時求導(dǎo)，可得，所以是周期為4的奇函數(shù)，同理，由于是周期為4的偶函數(shù)，則，等號兩邊同時求導(dǎo)，可得，是周期為4的奇函數(shù)，所以與均是周期為4的奇函數(shù)，故D選項正確；由于關(guān)于對稱，，，則，所以，故A選項正確；，故B選項錯誤；故選：AD.8.（2023春·廣東省高中教育聯(lián)盟模擬）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域都為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性對稱性可得函數(shù)的周期性以及，再利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)推出的周期以及，進而可求解.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，即，即函數(shù)圖象關(guān)于對稱，則，因為為奇函數(shù)，所以，即函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，則，所以，則，所以函數(shù)以4為周期，，因為，所以，即，即，也即，令，則有，所以，由得，所以以4為周期，所以，所以，C正確，對于其余選項，根據(jù)題意可假設(shè)滿足周期為4，且關(guān)于點對稱，，故A錯誤；，B錯誤；，D錯誤，故選:C.9.（2024春·廣東省河源市模擬）（多選）已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，則（）A.曲線關(guān)于直線軸對稱 B.是以4為周期的周期函數(shù)C. D.關(guān)于點對稱【答案】ABC【解析】【分析】對A，根據(jù)為偶函數(shù)即可判斷；對B，根據(jù)函數(shù)對稱性化簡判斷即可；對C，根據(jù)周期性與對稱性可得，再求解即可；對D，根據(jù)對稱性與周期性判斷即可.【詳解】對A，為偶函數(shù)，則，故關(guān)于直線軸對稱，故A正確；對B，關(guān)于直線軸對稱，則，又是定義在上的奇函數(shù)，故，則，且，故，故周期為4.故B正確；對C，，且，圖象關(guān)于直線軸對稱，故，，，故，故C正確；由C知D錯誤.故選：ABC10.（2024春·廣東省梅州市模擬）（多選）已知函數(shù)的定義域為，，則（）A. B.C.為奇函數(shù) D.沒有極值點【答案】AC【解析】【分析】選項A：賦值法求解判斷；選項B:的值不確定；選項C：通過賦值解得，然后賦值，判斷函數(shù)奇偶性；選項D：根據(jù)抽象函數(shù)結(jié)構(gòu)利用對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)驗證極值點；【詳解】令，得，A正確；令，得，故的值不確定，B錯誤；令，得，令，得，則為奇函數(shù)，C正確；由，可得，根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)舉例，當時，可設(shè)，則，當時，，，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時有極值點，D錯誤；故選：AC.11.（2024春·廣東省中山市模擬）（多選）是定義在R上的奇函數(shù)，對任意，均有，當時，，則下列結(jié)論正確的是（）A.4是函數(shù)的一個周期B.當時，C.當時，的最大值為D.函數(shù)在上有1011個零點【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的性質(zhì)，再結(jié)合給定區(qū)間上的函數(shù)式逐一計算判斷得解.【詳解】由對任意，均有，得，即，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，而是定義在R上的奇函數(shù)，則，于是，因此4是函數(shù)的一個周期，A正確；當時，，而當時，，因此，B錯誤；當時，，，求導(dǎo)得，當時，，當時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是，C正確；當時，由，得，由，得，且，顯然函數(shù)在上遞減，在上遞增，結(jié)合對稱性得函數(shù)在上只有0和2兩個零點，由知，函數(shù)在上只有2和4兩個零點，因此函數(shù)在上只有2個零點，在上有個零點，D錯誤.故選：AC12.（2023春·山東省聊城市聊城一中東校模擬）（多選）定義域為，為偶函數(shù)，且，則下列說法正確的是（）A.的圖象關(guān)于（1，0）對稱 B.的圖象關(guān)于對稱C.4為的周期 D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的奇偶性和對稱性，求出周期，確定對稱軸，求函數(shù)值的和分別判斷各個選項.

【詳解】因為為偶函數(shù)，則，可知函數(shù)關(guān)于對稱，，把換成可得，兩式相加可得，關(guān)于對稱，又關(guān)于軸對稱，則可得，，可知4為的周期，所以ABC都正確．令，，，，，D選項錯誤.故選:ABC．13.（2023春·廣東省東莞市第一中學(xué)模擬）（多選）已知函數(shù)與的定義域均為，且，，若為偶函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B.C.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性、周期性、函數(shù)值等知識確定正確答案.【詳解】A選項，是偶函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，的圖象，橫坐標放大為原來的兩倍，得到的圖象，則是偶函數(shù)，圖象關(guān)于對稱；的圖象，向左平移個單位，得到的圖象，則的圖象關(guān)于對稱，A選項錯誤.B選項，由，以替換得，由得，令得，由于的圖象關(guān)于對稱，所以，B選項正確.C選項，由，以替換得，由得，令得，所以的圖象關(guān)于點對稱，C選項正確.D選項，的圖象關(guān)于對稱，所以，由，得，以替換得，所以，，的周期為4，又，，所以，D選項正確.故選：BCD14.（2023春·廣東省東莞市模擬）（多選）已知都是定義在上的函數(shù)，對任意滿足，且，則下列說法正確的有（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】利用賦值法結(jié)合題目給定的條件可判斷ABC，對于D，通過觀察選項可以推斷很可能為周期函數(shù)，結(jié)合，的特殊性以及一些已經(jīng)證明的結(jié)論，想到當令和時可構(gòu)建出兩個式子，兩式相加即可得出，進一步可得出是周期函數(shù)，從而可得出的值.【詳解】對于A，令，代入已知等式得，得，再令，，代入已知等式得，可得，結(jié)合得，故A正確；對于B，再令，代入已知等式得，將代入上式，得，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴函數(shù)關(guān)于點對稱，故B正確；對于C，再令，代入已知等式，得，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，故C錯誤；對于D，分別令和，代入已知等式，得以下兩個等式：，兩式相加易得，所以有，即：，有：，即：，∴為周期函數(shù)，且周期為3，∵，∴，∴，，∴，∴，故D正確.故選：ABD.15.（2024春·廣東省中山市模擬）（多選）已知函數(shù)的定義域為，，，當時，，則（）A.B.的圖象關(guān)于直線對稱C.當時，D.函數(shù)有個零點【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系式可推導(dǎo)得到，由周期性知A正確；根據(jù)得到為的對稱點，知B錯誤；利用可推導(dǎo)得到在時的解析式；結(jié)合可知C正確；將問題轉(zhuǎn)化為，圖象交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合的方式可知D正確.【詳解】對于A，，，，即，，即是以為周期的周期函數(shù)，，A正確；對于B，，圖象關(guān)于點對稱，B錯誤；對于C，當時，，.的圖象關(guān)于點對稱，的定義域為，.，滿足，當時，，C正確；對于D，由得：，的值域為，則由得：，作出，的部分圖象，如圖所示，由圖可知，它們有個交點，故函數(shù)有個零點，D正確.故選：ACD.16.（2023春·廣東省汕頭市二模）給出定義：設(shè)是函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)的圖象的對稱中心.若函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過二次求導(dǎo)可得，求出的圖像的對稱中心為，得到，據(jù)此規(guī)律求和即可.【詳解】由，可得，令，可得，又，所以的圖像的對稱中心為，即，所以，故選：B.17.（2023春·廣東省梅州市一模）（多選）對于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若滿足：，且，都有，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，若為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，且，，又當時，恒成立，下列命題中正確的有（）A. B.，C. D.，【答案】ACD【解析】【分析】利用已知條件和函數(shù)的性質(zhì)對選項逐一判斷即可得正確答案.【詳解】A.因為，所以令得，所以，故A正確；B.由當，恒成立，令，則，由為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，則，所以，則，，故B錯誤；C.，，而，所以，，由，，，則，則，故C正確；當時，，，令，則，，則，即，故D正確.故選：ACD18.（2024春·廣東省東莞市模擬）（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的一個周期是4B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù)D.的圖象關(guān)于點中心對稱【答案】AC【解析】【分析】對于A：根據(jù)周期性的定義分析判斷；對于BC：根據(jù)題意結(jié)合奇偶性的定義分析判斷；對于D：根據(jù)偶函數(shù)的定值結(jié)合周期性分析判斷.【詳解】對于A：由知，所以是周期為4的周期函數(shù)，故A正確；對于BC：因為，所以，由為奇函數(shù)，得，即，所以的圖象關(guān)于點中心對稱．則，因此，即，且的定義域為，故是偶函數(shù)，不一定是奇函數(shù)，故B錯誤，C正確；對于D：因為是偶函數(shù)，即圖象的一個對稱軸是，且是周期為4的周期函數(shù)，所以的圖象對稱軸是，不一定關(guān)于點對稱，故D錯誤，故選：AC．19.（2024春·廣東省佛山市模擬）函數(shù)在區(qū)間上所有零點的和等于（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)在的零點，轉(zhuǎn)化為的圖象和函數(shù)的圖象在交點的橫坐標，畫出函數(shù)圖象，可得到兩圖象關(guān)于直線對稱，且在上有8個交點，即可求出.【詳解】因為，令，則，則函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象在交點的