3.3 冪函數(shù)（九大題型）（解析版）

3.3冪函數(shù)【題型歸納目錄】題型一：冪函數(shù)的概念題型二：求函數(shù)解析式題型三：定義域問題題型四：值域問題題型五：冪函數(shù)的圖象題型六：定點(diǎn)問題題型七：利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問題題型八：比較大小題型九：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：冪函數(shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)．例如：等都不是冪函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二、冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)1、作出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知識(shí)點(diǎn)詮釋：冪函數(shù)隨著的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：（1）所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過點(diǎn)；（2）時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．2、作冪函數(shù)圖象的步驟如下：（1）先作出第一象限內(nèi)的圖象；（2）若冪函數(shù)的定義域?yàn)榛?，作圖已完成；若在或上也有意義，則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性如果為偶函數(shù)，則根據(jù)軸對稱作出第二象限的圖象；如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點(diǎn)對稱作出第三象限的圖象．3、冪函數(shù)解析式的確定（1）借助冪函數(shù)的定義，設(shè)冪函數(shù)或確定函數(shù)中相應(yīng)量的值．（2）結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，分析冪函數(shù)中指數(shù)的特征．（3）如函數(shù)是冪函數(shù)，求的表達(dá)式，就應(yīng)由定義知必有，即．4、冪函數(shù)值大小的比較（1）比較函數(shù)值的大小問題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)不便于利用單調(diào)性時(shí)，可與0和1進(jìn)行比較．常稱為“搭橋”法．（2）比較冪函數(shù)值的大小，一般先構(gòu)造冪函數(shù)并明確其單調(diào)性，然后由單調(diào)性判斷值的大?。?）常用的步驟是：①構(gòu)造冪函數(shù)；②比較底的大??；③由單調(diào)性確定函數(shù)值的大?。镜湫屠}】題型一：冪函數(shù)的概念例1．（2023·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期中）現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤，其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】由于冪函數(shù)的一般表達(dá)式為：；逐一對比可知題述中的冪函數(shù)有①；⑤共兩個(gè).故選：C.例2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在函數(shù)，，，中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】函數(shù)是冪函數(shù)，函數(shù)，都是二次函數(shù)，函數(shù)是一次函數(shù)，它們都不是冪函數(shù)，所以所給函數(shù)中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)是1.故選：B例3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，中指數(shù)上有變量，所以此函數(shù)不是冪函數(shù)，所以A錯(cuò)誤，對于B，是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)，所以B錯(cuò)誤，對于C，是冪函數(shù)，所以C正確，對于D，是一次函數(shù)，不是冪函數(shù)，所以D錯(cuò)誤，故選：C變式1．（2023·全國·高一課堂例題）在函數(shù)，，，中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】函數(shù)為冪函數(shù)；函數(shù)中的系數(shù)不是1，所以它不是冪函數(shù)；函數(shù)不是（是常數(shù)）的形式，所以它不是冪函數(shù)；函數(shù)與不相等，所以不是冪函數(shù)．所以這4個(gè)函數(shù)中，冪函數(shù)只有1個(gè)故選：B變式2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于選項(xiàng)A，，故它是冪函數(shù)．故A項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)B，是冪函數(shù)，故B項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)C，選項(xiàng)的系數(shù)為3，所以它不是冪函數(shù)．故C項(xiàng)不成立；對于選項(xiàng)D，是冪函數(shù)，故D項(xiàng)正確.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】冪函數(shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)．題型二：求函數(shù)解析式例4．（2023·黑龍江佳木斯·高一校考期中）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意設(shè)，是常數(shù)，∵函數(shù)圖象過點(diǎn)，即，∴解得，則.∴.故選：A.例5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則f等于（）A．4 B．2C． D．【答案】A【解析】設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn)，則，所以，所以則故選：例6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得：，解得，所以.故選：B.變式3．（2023·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的值為（

）A．2 B．1 C． D．0【答案】C【解析】由為冪函數(shù)，知.又函數(shù)圖像過點(diǎn)，則，故.故選：C變式4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（

）．A． B．4 C． D．8【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以可設(shè)f（x）＝xa，因?yàn)閳D象過，所以，所以，即，所以故選：C變式5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)是冪函數(shù)，，即點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，2，即，故.故選：D.變式6．（2023·河南南陽·高一鹽城市大豐區(qū)南陽中學(xué)校考期末）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)冪函數(shù)，由于的圖象過點(diǎn)，故，即，故選：A【方法技巧與總結(jié)】冪函數(shù)的定義同指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣，是一種形式定義，對表現(xiàn)形式要求非常嚴(yán)格．判定一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)，關(guān)鍵看它是否具有冪函數(shù)的三個(gè)特征：①指數(shù)為常數(shù)，且為任意常數(shù)；②底數(shù)為自變量；③系數(shù)為1．題型三：定義域問題例7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)，則此函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮?【解析】由冪函數(shù)，可得，解得，即，則滿足，即冪函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.例8．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)的定義域是．【答案】【解析】由于，所以冪函數(shù)的定義域是.故答案為：例9．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【解析】由根式的性質(zhì)知：，所以函數(shù)定義域?yàn)?故答案為：變式7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)．【答案】1【解析】由題意得到，解得：或，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，符合題意；當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，不符合題意．故．故答案為：1變式8．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)f(x)=xα滿足f(3)=，則該冪函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【解析】因?yàn)閒(3)=，所以，即，解得，所以，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為：變?．（2023·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域是．【答案】【解析】，，解得：，的定義域?yàn)?故答案為：.變式10．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥俊叩膱D象過點(diǎn)，∴，，應(yīng)該滿足：，即，∴的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋骸痉椒记膳c總結(jié)】使表達(dá)式有意義．題型四：值域問題例10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【解析】時(shí)，，時(shí)，，所以的值域?yàn)?故答案為：例11．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）設(shè)冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的值域是【答案】【解析】由圖像過點(diǎn)，可得，進(jìn)而可得值域.冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以的值域?故答案為：.例12．（2023·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)，其中，滿足：①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②對任意的，都有.求同時(shí)滿足條件①②的冪函數(shù)的解析式，并求時(shí)的值域.【解析】因冪函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，則，即，解得：，又因，所以或，當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，不滿足；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，滿足；故，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的值域.變式11．（2023·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)，且滿足：①在區(qū)間上是增函數(shù)；②對任意的，都有.(1)求同時(shí)滿足①②的冪函數(shù)的解析式，(2)在（1）條件下，求時(shí)的值域.【解析】（1）對任意的，都有，∴是奇函數(shù).且，則當(dāng)時(shí)，，滿足①不滿足②；當(dāng)時(shí)，，滿足①②；當(dāng)時(shí)，，不滿足①②.故冪函數(shù)的解析式為；（2），，故的值域?yàn)?變式12．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間，上的值域．【解析】設(shè)函數(shù)的解析式為，則，解得：，故，；（2）由（1），在遞增，故，，故函數(shù)的值域是．變式13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)（其中，）滿足：①在區(qū)間上為減函數(shù)；②對任意的，都有.求冪函數(shù)的解析式，并求當(dāng)時(shí)，的值域.【解析】，，，0，1.對任意，都有，即，是偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，，滿足條件①②；當(dāng)時(shí)，，不滿足條件①；當(dāng)時(shí)，，條件①②都不滿足，故同時(shí)滿足條件①②的冪函數(shù)的解析式為，且在區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?【方法技巧與總結(jié)】利用單調(diào)性求解．題型五：冪函數(shù)的圖象例13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）右圖的曲線是冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，已知n分別取，，2四個(gè)值，相應(yīng)的曲線對應(yīng)的n依次為（

）

A．，，1，2 B．2，1，，C．，，2， D．2，，，【答案】B【解析】函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，對應(yīng)的圖象為；對應(yīng)的圖象為一條過原點(diǎn)的直線，對應(yīng)的圖象為；對應(yīng)的圖象為拋物線，對應(yīng)的圖象應(yīng)為；在第一象限內(nèi)的圖象是；所以與曲線對應(yīng)的n依次為2，1，，.故選：B例14．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】由冪函數(shù)性質(zhì)知：的定義域?yàn)椋以诘谝幌笙迌?nèi)單調(diào)遞減，ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D.例15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該冪函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】設(shè)冪函數(shù)為，則，，得，得，所以，定義域?yàn)?，所以排除AD，因?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù)，所以排除B，故選：C變式14．（2023·全國·高一專題練習(xí)）冪函數(shù)的大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以是奇函數(shù)，排除BC；又因?yàn)锳中函數(shù)定義域?yàn)镽，所以A不合題意，故選：D.變式15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】由，排除A，D，當(dāng)時(shí)，，所以，排除C．故選：B．變式16．（2023·全國·高一專題練習(xí)）給定一組函數(shù)解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對應(yīng)的解析式號碼順序正確的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【解析】圖象（1）關(guān)于原點(diǎn)對稱，為奇函數(shù)，且不過原點(diǎn)、第一象限遞減，故滿足；圖象（2）關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，且不過原點(diǎn)、第一象限遞減，故滿足；圖象（3）非奇非偶函數(shù)，且不過原點(diǎn)、第一象限遞減，故滿足；圖象（4）關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，故滿足；圖象（5）關(guān)于原點(diǎn)對稱，為奇函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，故滿足；圖象（6）非奇非偶函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長率隨增大遞減，故滿足；圖象（7）非奇非偶函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長率隨增大遞增，故滿足；故圖象對應(yīng)解析式順序?yàn)棰蔻堍邰冖撷佗?故選：C變式17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（且p與q互質(zhì)）的圖像如圖所示，則（

）

A．p、q均為奇數(shù)且 B．p為奇數(shù)，q為偶數(shù)且C．p為奇數(shù)，q為偶數(shù)且 D．p為偶數(shù)，q為奇數(shù)且【答案】D【解析】由圖像知函數(shù)為偶函數(shù)，所以p為偶數(shù)，且由圖像的形狀判定，又因?yàn)閜與q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，故選：D.變式18．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以圖像與的圖像關(guān)于軸對稱，由解析式，作出的圖像如圖從而可得圖像為B選項(xiàng).故選：B.【方法技巧與總結(jié)】先根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象特征，確定冪指數(shù)的取值區(qū)間；再根據(jù)圖象在軸左側(cè)有無圖象確定函數(shù)的定義域，進(jìn)而確定中分母“”的奇偶性；當(dāng)圖象在軸左側(cè)有圖象時(shí)，再研究其圖象關(guān)于軸（或原點(diǎn)）的對稱性，從而確定函數(shù)的奇偶性，進(jìn)而確定冪指數(shù)中分子“”的奇偶性．類似地，可作出冪函數(shù)的圖象，即先作出第一象限的圖象，再研究定義域在軸左側(cè)有無圖象，有圖象時(shí)，再利用奇偶性作出圖象即可．題型六：定點(diǎn)問題例16．（2023·廣東東莞·高一?？计谥校┖瘮?shù)的圖象過定點(diǎn)．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，所以定點(diǎn)為.故答案為：例17．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知，則函數(shù)的圖象恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】令，得，故函數(shù)圖象過定點(diǎn)，故答案為：例18．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)（為不等于0的常數(shù)）的圖象恒過定點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【解析】因?yàn)榈膱D象恒過，所以的圖象恒過定點(diǎn).故答案為：變式19．（2023·全國·高一假期作業(yè)）不論實(shí)數(shù)取何值，函數(shù)恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)是．【答案】【解析】因?yàn)?，故?dāng)，即時(shí)，，即函數(shù)恒過定點(diǎn).故答案為：.變式20．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則．【答案】【解析】由題意可得，解得.故答案為：.變式21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)恒過定點(diǎn)．【答案】【解析】當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)恒過定點(diǎn).故答案為：.變式22．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是.【答案】【解析】由冪函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且是遞減函數(shù)，因?yàn)椋傻?，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過點(diǎn)題型七：利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問題例19．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若＜，則實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的定義域是{x|}，且在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則原不等式等價(jià)于，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.例20．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的表達(dá)式的解集為.【答案】【解析】由題意可知，的定義域?yàn)?，所以，所以函?shù)是奇函數(shù)，由冪函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在函數(shù)上單調(diào)遞增，由，得，即，所以，即，解得，所以關(guān)于的表達(dá)式的解集為.故答案為：.例21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，則不等式的解集為．【答案】【解析】設(shè)冪函數(shù)，由題意得，解得，故，，則，即為，根據(jù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則有，解得，故解集為，故答案為：．變式23．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，則的取值范圍是．【答案】【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則可得，解得或即的取值范圍是故答案為:變式24．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若冪函數(shù)過點(diǎn)，則滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】設(shè)冪函數(shù)，其圖像過點(diǎn)，則，解得；∴，函數(shù)定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞增，不等式等價(jià)于，解得；則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：變式25．（2023·全國·高一專題練習(xí)）不等式的解為.【答案】【解析】冪函數(shù)的定義域?yàn)椋液瘮?shù)在上單調(diào)遞增，又，則為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，則由不等式可得，平方后整理得，即，解得，則不等式的解集為.故答案為：.變式26．（2023·北京·高一清華附中?？计谀┮阎瘮?shù)經(jīng)過點(diǎn)，則不等式的解集為．【答案】【解析】由題意得，解得，故，則即為，根據(jù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則有，解得，故解集為，故答案為：.變式27．（2023·上海·高一專題練習(xí)）實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值集合為.【答案】【解析】，其定義域?yàn)椋以诙x域上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，解得故答案為：變?8．（2023·上海靜安·高一上海市市西中學(xué)?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)，且，則的取值范圍是．【答案】【解析】,，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，解得.故答案為：變式29．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）不等式的解為．【答案】【解析】將不等式轉(zhuǎn)化成（Ⅰ），解得；（Ⅱ），解得；（Ⅲ），此時(shí)無解；綜上，不等式的解集為：故答案為：變式30．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍為.【答案】【解析】冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，解得.，故，，.當(dāng)時(shí)，不關(guān)于軸對稱，舍去；當(dāng)時(shí)，關(guān)于軸對稱，滿足；當(dāng)時(shí)，不關(guān)于軸對稱，舍去；故，，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故或或，解得或.故答案為：變式31．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且，則的取值范圍為．【答案】【解析】由冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，得，解得：，即，為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，設(shè)，即，當(dāng)時(shí)，由單調(diào)性可知，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，或，解得或，即，故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，必須對圖象的特征有深刻的認(rèn)識(shí)．可見，能很好地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的重要途徑．題型八：比較大小例22．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，，又，在上單調(diào)遞增，所以．綜上，．故選：A．例23．（2023·重慶萬州·高一校考階段練習(xí)）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?，則，又，所以.故選：D例24．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知若，則下列各式中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】在單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，所以，故選：C.變式32．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，，，所以．故選：A．變式33．（2023·全國·高一專題練習(xí)）記，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，，由冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故選：C變式34．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】構(gòu)造冪函數(shù)，由該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且，故故選：B變式35．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，，，所以，則.故選：D.變式36．（2023·廣東深圳·高一深圳市羅湖高級中學(xué)校考期中）已知冪函數(shù)，對任意的且，滿足，若，，，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法判斷【答案】B【解析】∵已知函數(shù)是冪函數(shù)，∴，∴，或，，或.對任意的且，滿足，故是增函數(shù)，∴.若，，，即，∴，即，即.則，故選：B.【方法技巧與總結(jié)】（1）兩個(gè)數(shù)都是“同指數(shù)”的冪，因此可看作是同一個(gè)冪函數(shù)的兩個(gè)不同的函數(shù)值，從而可根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性做出判斷．（2）利用冪函數(shù)的奇偶性，先把底數(shù)化為正數(shù)的冪解決的問題．當(dāng)然，若直接利用上冪函數(shù)的單調(diào)性解決問題也是可以的．（3）引進(jìn)數(shù)“1”和“0”，三個(gè)數(shù)分別與“1”和“0”比較，得出結(jié)論．題型九：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用例25．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，．(1)若，求；(2)已知，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）對于冪函數(shù)，得，解得或，又當(dāng)時(shí)，不為偶函數(shù)，，，，，解得；（2）關(guān)于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，即，先證明在上單調(diào)遞增：任取，則，，，，又，，，即，故在上單調(diào)遞增，，，又，解得.例26．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（m為正整數(shù)）的圖像關(guān)于y軸對稱，且在上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足的實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以，解得．由m為正整數(shù)，則或,又函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，得是偶函數(shù)，而當(dāng)時(shí)，，為奇函數(shù)，不符題意，當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，于是．因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，在與上均為嚴(yán)格減函數(shù)，所以等價(jià)于或或，解得或，即.例27．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增.(1)求m的值；(2)求函數(shù)在上的最大值.【解析】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增．所以，解得．所以m的值為0.（2）由（1）知，，所以函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)為開口方向向下的拋物線，對稱軸為．所以在上單調(diào)遞增，所以在上的最大值為．變式37．（2023·遼寧大連·高一大連八中?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.(1)求的解析式；(2)求不等式的解集.【解析】（1）冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則且，解得，故.（2）的定義域，在上單調(diào)遞減，且，在上單調(diào)遞減，且.顯然且，當(dāng)且，即時(shí)，由不等式得，即，與不符，當(dāng)與一正一負(fù)時(shí)，若不等式成立，只能有且，解得，當(dāng)且，即時(shí)，由不等式得，解得，綜上，不等式的解集為.變式38．（2023·福建泉州·高一統(tǒng)考期中）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)的值域．【解析】（1）依題意，，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，不是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是偶函數(shù)，所以的解析式是．（2）由（1）知，，，設(shè)，則，，因此，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，于是，所以函數(shù)的值域?yàn)?變式39．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增．(1)求m的值及函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上的最大值為3，求實(shí)數(shù)a的值．【解析】（1）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，解得，故；（2）由（1）知：，所以，所以函數(shù)的圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為直線；由于在上的最大值為3，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，解得；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故，解得；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，解得（舍去）或（舍去）．綜上所述，．變式40．（2023·上海青浦·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若存在常數(shù)，使得對定義域內(nèi)的任意，都有成立，則稱函數(shù)是定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”，若是，請證明：若不是，請說明理由；(2)若函數(shù)是定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”，求常數(shù)的最小值；(3)是否存在實(shí)數(shù)，使得是定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”，若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題知，函數(shù)，定義域?yàn)?，所以，不妨設(shè)，因?yàn)椋?，所以，所以是利普希茲條件函數(shù)（2）若函數(shù)是“利普希茲條件函數(shù)”，則對于定義域上任意兩個(gè)，均有成立，不妨設(shè)，則恒成立，因?yàn)?，所以，所以的最小值為．?）由題意得在上恒成立，即，不妨設(shè)，所以，因?yàn)椋?，所?【方法技巧與總結(jié)】以內(nèi)函數(shù)或外函數(shù)為冪函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，來考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，是考試命題的熱點(diǎn)題型．解答這類問題的關(guān)鍵在于尋求相應(yīng)的基本冪函數(shù)，再利用其圖象與性質(zhì)解決問題．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·云南德宏·高一?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（

）A．-1 B．-2C．-4 D．-8【答案】D【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖像過點(diǎn)，所以，得，所以，則顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以所求最小值為.故選：D2．（2023·山東菏澤·高一菏澤一中?？计谥校┤魞绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】設(shè)冪函數(shù)，所以，所以.故選：A3．（2023·福建泉州·高一?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)的圖像過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．0【答案】C【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖像過點(diǎn)，所以，即，所以.故選：C4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，，且，滿足，若，，且，，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法判斷【答案】B【解析】因?yàn)閷θ我猓?，且，滿足，所以在上為減函數(shù)，由已知是冪函數(shù)，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，故不成立.當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，滿足條件，故，，故為奇函數(shù)，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所?故選：B5．（2023·湖北鄂州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是冪函數(shù).若對于，且，均有，則（

）A． B．8 C．4 D．【答案】A【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或3.因?yàn)?，且，均有，所以的圖象在第一象限上凸，因此.所以，所以.故選：A.6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，滿足題意，所以，且是偶函數(shù)，由于，所以，解得或，故選：D.7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】設(shè)，∵冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，∴∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等號，∴函數(shù)·在區(qū)間上的最小值為5．故選：C．8．（2023·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且其圖象與y軸沒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)=（

）A．2或-1 B．1或0 C．4 D．2【答案】D【解析】函數(shù)是冪函數(shù),根據(jù)冪函數(shù)的定義得到,且其圖像與軸沒有交點(diǎn)，則，由兩個(gè)式子解得.故選：D二、多選題9．（2023·遼寧大連·高一大連八中?？茧A段練習(xí)）已知是冪函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】冪函數(shù)的定義域?yàn)?，，，∵函?shù)在單調(diào)遞增，，∴，即，故A正確；，，∵函數(shù)在單調(diào)遞減，，即，∴，即，故B錯(cuò)誤；∵冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，，∴，，即，∴，故C正確；，∵，∴，即，故D正確.故選：ACD.10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則下列命題中，正確的有（

）A．函數(shù)為奇函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)在為減函數(shù) D．函數(shù)在為增函數(shù)【答案】AC【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以設(shè)，又的圖像經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，且在為減函數(shù)，故AC正確，BD錯(cuò)誤；故選：AC.11．（2023·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）(多選)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，是函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，可設(shè)，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，即,解得，所以，定義域?yàn)?，設(shè)，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，若，則有，即，故A不正確；設(shè)，定義域?yàn)?，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，若，則有，即，即，故B、C正確，D不正確；故選：BC.12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（m，，m，n互質(zhì)），下列關(guān)于的結(jié)論正確的是（

）A．m，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是奇函數(shù)B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)C．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)D．時(shí)，冪函數(shù)在上是減函數(shù)【答案】AC【解析】對A，當(dāng)m，n是奇數(shù)時(shí)，的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，則冪函數(shù)是奇函數(shù)，故A中的結(jié)論正確；對B，當(dāng)m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，冪函數(shù)在時(shí)無意義，故B中的結(jié)論錯(cuò)誤；對C，當(dāng)m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時(shí)，的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，則冪函數(shù)是偶函數(shù)，故C中的結(jié)論正確；對D，時(shí)，冪函數(shù)在上是增函數(shù)，故D中的結(jié)論錯(cuò)誤；故選：AC.三、填空題13．（2023·天津·高一?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是．【答案】3【解析】由題意，解得或，時(shí)，在上遞減，時(shí)，在上遞增，所以．故答案為：3.14．（2023·全國·高一課堂例題）（1）函數(shù)的定義域是，值域是；（2）函數(shù)的定義域是，值域是；（3）函數(shù)的定義域是，值域是；（4）函數(shù)的定義域是，值域是．【答案】【解析】（1）的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，所以值域?yàn)椋?）由，得，所以定義域?yàn)?，由，得，所以值域?yàn)椋?）由，得，所以定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以值域?yàn)椋?），由，得，所以定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，則，所以值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?，，，，，，?5．（2023·福建漳州·高一?？计谥校懗鐾瑫r(shí)滿足以下三個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)