高斯求積公式

高斯求積公式引言求積公式高斯求積公式的系數(shù)和余項(xiàng)舉例

引言n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值求積公式的代數(shù)精確度不低于n求積公式,能不能在區(qū)間[a,b]上適中選擇n個(gè)節(jié)點(diǎn)x1,x2,……,xn,使插值求積公式的代數(shù)精度高于n？答案是肯定的，適中選擇節(jié)點(diǎn)，可使公式的精度最高到達(dá)2n+1，這就是所要介紹的高斯求積公式。為考慮一般性,設(shè)求積公式為注意此時(shí)的代數(shù)精度最高為2n-1〔一〕定理：求積公式的代數(shù)精度最高不超2n-1次。證明：分別取f(x)=1,x，x2，...xn時(shí)代入公式，并讓其成為等式得A1+A2+……+An=∫ab1dx.=b-ax1A1+x2A2+……+xnAn=∫abxdx.=〔b2-a2)/2......x1rA1+x2rA2+……+xnrAn=∫abxrdxr=(br+1-ar+1)/(r+1)上式共有r個(gè)等式，2n個(gè)待定系數(shù)(變?cè)?,要想如上方程組有唯一解，應(yīng)有方程組中方程的個(gè)數(shù)等于變?cè)膫€(gè)數(shù),即r=2n,這樣求出的解容許的求積公式的代數(shù)精度至少是2n-1,下面證明代數(shù)精度只能是2n-1.[如果事先已選定[a，b]中求積節(jié)點(diǎn)xk如下ax1…xnb,上式成為n個(gè)未知數(shù)A1、...An的n元線性方程組，此時(shí)要r=n時(shí)方程組有唯一解]事實(shí)上,取2n次多項(xiàng)式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2….(x-xn)2代入求積公式,有左=右==0左右,故不成立等式,定理得證.定義:使求積公式到達(dá)最高代數(shù)精度2n-1的求積公式稱為Guass求積公式Guass求積公式的節(jié)點(diǎn)xk稱為Guass點(diǎn),系數(shù)Ak稱為Guass系數(shù).因?yàn)镚uass求積公式也是插值型求積公式,故有結(jié)論:插值型求積公式的代數(shù)精度d滿足：n-1d2n-1

定理:假設(shè)f(2n)(x)在[a,b]上連續(xù)，那么高斯求積公式的余項(xiàng)為其中(a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2)…..(x-xn)。高斯求積公式的系數(shù)Ak恒為正,故高斯求積公式是穩(wěn)定的.Guass求積公式有多種,他們的Guass點(diǎn)xk,Guass系數(shù)Ak都有表可以查詢.常用的高斯求積公式1.Gauss-Legendre求積公式

(1)

其中高斯點(diǎn)為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式的零點(diǎn)

Ln(x)=對(duì)于一般有限區(qū)間[a,b]，用線性變換x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它變成為[-1,1]。

nxk(n)Ak(n)Rn1022-0.57735031+0.57735031

3-0.77459675/9=0.5555556+0.77459675/9=0.555555608/9=0.88888894-0.86113630.3478548-0.33998100.6521452+0.33998100.6521452+0.86113630.34785485-0.90617990.2369269-0.53846930.478628700.5688889+0.53846930.4786287+0.90617990.2369269Gauss-

Legendre

點(diǎn)及系數(shù)表例題利用高斯求積公式計(jì)算［解］令x=1/2(1+t),那么用高斯-Legendre求積公式計(jì)算.取n=5

積分精確值為I=ln2=0.69314718…由此可見(jiàn)，高斯公式精確度是很高的2.Gauss-Chebyshev求積公式

(2)

其中高斯點(diǎn)為Chebyshev多項(xiàng)式Tn(x)的零點(diǎn)

Tn(x)=cos(narccos(x))3.Gauss-Laguerre求積公式

(3)

4.Gauss-Hermite求積公式(4)例題:分別用不同方法計(jì)算如下積分,并做比較令I(lǐng)=各種做法比較如下：一、Newton-Cotes公式當(dāng)n=1時(shí)，即用梯形公式，I=0.9270354當(dāng)n=2時(shí),即用Simpson公式,I=0.9461359當(dāng)n=3時(shí),I=0.9461090當(dāng)n=4時(shí),I=0.9460830當(dāng)n=5時(shí),I=0.9460831二:用復(fù)化梯形公式令h=1/8=0.125三：用復(fù)化拋物線令h=1/8=0.125四、

Romberg公式KTn

SnCnRn00.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.940083030.94569060.94608330.94608310.9460831五、Gauss公式令x=(t+1)/2,用2個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss公式用3個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss公式

=0.9460831

比較此例題的精確值為0.9460831...由例題的各種算法可知：對(duì)Newton-cotes公式，當(dāng)n=1時(shí)只有1位有效數(shù)字，當(dāng)n=2時(shí)有3位有效數(shù)字，當(dāng)n=5時(shí)有7位有效數(shù)字。對(duì)復(fù)化梯形公式有2位有效數(shù)字，對(duì)復(fù)化拋物線公式有6位有效數(shù)字。用復(fù)合梯形公式，對(duì)積分區(qū)間[0，1]二分了11次用2049個(gè)函數(shù)值，才可得到7位準(zhǔn)確數(shù)字。用Romberg公式對(duì)區(qū)間二分3次，用了9個(gè)函數(shù)值，得到同樣的結(jié)果。用Gauss公式僅用了3個(gè)函數(shù)值，就得到結(jié)果?？偨Y(jié)1：梯形求積公式和拋物線求積公式是低精度的方法，但對(duì)于光滑性較差的函數(shù)有時(shí)比用高精度方法能得到更好的效果。復(fù)化梯形公式和拋物線求積公式，精度較高，