2023年高考數(shù)學一輪復習習題：第八章第3節(jié)　空間點、直線、平面之間的位置關系

第3節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關系

考綱要求1.理解空間直線、平面位置關系的定義；2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理;

3.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題.

知識分類落實回扣知識?夯實基礎

知識梳理

1.平面的基本性質

(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線在此平面內.

(2)公理2：過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面.

(3)公理3：如果兩個不重合的平面有二±公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

2.空間點、直線、平面之間的位置關系

直線與直線直線與平面平面與平面

圖形--------aA/

平行語言//z?v

關系符號

a∕∕ba//aa∕∕β

語言

圖形7

相交語言ZW

關系符號

a∏b=Aa∏a=AaCβ=l

語言

圖形

6獨/^7

語言

有關

符號

系a,匕是異面直線CIUa

語言

3.平行公理(公理4)和等角定理

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

4.異面直線所成的角

⑴定義：設6是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點。作直線屋//a,bl//b,把優(yōu)與

b,所成的銳角(或直角)叫做異面直線”與〃所成的角(或夾角).

(2)范圍：(0,1.

常用結論與微點提醒

1.公理2的三個推論

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；

推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面；

推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.

2.異面直線的判定：經(jīng)過平面內一點和平面外一點的直線與平面內不經(jīng)過該點的直線互為

異面直線.

3.兩異面直線所成的角歸結到一個三角形的內角時，容易忽視這個三角形的內角可能等于

兩異面直線所成的角，也可能等于其補角.

診斷自測

〉思考辨析

1.判斷下列結論正誤(在括號內打“J”或“X”)

(1)兩個平面α,夕有一個公共點A,就說α,夕相交于過A點的任意一條直線.()

(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.()

(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.()

(4)若直線“不平行于平面α,且Hα,則α內的所有直線與α異面.()

答案(1)×(2)√(3)×(4)×

解析(1)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線,

故錯誤.

(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面相交或重合，故錯誤.

(4)由于“不平行于平面α,且兇ɑ,則〃與平面α相交，故平面ɑ內有與“相交的直線，故

錯誤.

?■教材衍化

2.如圖所示，在正方體ABC。-A∣5G2中，E,F分別是AB,A。的中點，則異面直線

8∣C與E尸所成角的大小為()

A.30oB.45°

C.60oD.90°

答案C

解析連接用。，D∣C,則故∕O∣B∣C或其補角為所求的角.又8。I=SC=

o

DiC,ΛZDιβ,C=60.

3.如圖，在三棱錐A-BCO中，E,F,G,H分別是棱A2,BC,CD,OA的中點，則

A

（1）當AC,Bf）滿足條件時，四邊形EFGH為菱形；

（2）當4C,8。滿足條件時，四邊形EFGH為正方形.

答案（I）AC=8。（2）AC=B。且AC_L8￡>

解析（1）：四邊形EFGH為菱形，

.?EF=EH,?'EF^AC,EH^BD,J.AC^BD.

（2）：四邊形EFGH為正方形,

.,.EF=EHS.EFLEH,?'EF^AC,EH*BD,

.?.AC=2。且AuLgD

>考題體驗

4.（2020?東北三省三校質檢）已知直線4和平面α,β,aC?β=l,aQa,aQβ,且〃在α,/內

的射影分別為直線。和c，則直線6和C的位置關系是（）

A.相交或平行B.相交或異面

C.平行或異面D.相交、平行或異面

答案D

解析依題意，直線6和C的位置關系可能是相交、平行或異面.

5.（2021.日照調研）若直線∕ι和，2是異面直線，/?在平面α內，6在平面夕內，/是平面α與

平面用的交線，則下列命題正確的是（）

A./與∕∣,/2都不相交

B./與∕∣,/2都相交

C.I至多與11，/2中的一條相交

D./至少與∕∣,/2中的一條相交

答案D

解析由于/與直線∕∣,/2分別共面，故直線/與/”/2要么都不相交，要么至少與/1,/2中

的一條相交.若/〃∕∣,l//12,則八〃/2,這與/”/2是異面直線矛盾.故/至少與/1,/2中的

一條相交.

6.（202卜鄭州質檢）在長方體ABCD-AiB↑ClDl中，AB=3,AD=A,Λ4∣=2,則異面直線

AC和BCi所成角的余弦值是（）

A隨R4^5r8√5D姓

u

a.255J5?25

答案A

解析如圖，連接ADI,CDi,則IAC（或其補角）就是異面直線AC和BCl所成的角，易

知AC=5,Aol=2小，CD∣=√13,由余弦定理得

/c?,AD1+ΛC2-CD}8√5

COSDAλC

^'-2ADVAC~25?

考點分層突破考點聚焦?題型剖析

考點一平面的基本性質及應用自主演練

1.如圖是正方體或四面體，P,Q,R,S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個

圖是（）

ABCD

答案D

解析對于A,PS//QR,故P,Q,R,S四點共面；同理，B,C圖中四點也共面；D中四

點不共面.

2.如圖所示，平面aC平面S=/,A∈a,B∈a,AB∏l=D,C∈夕，C&L則平面ABC與平面

夕的交線是（）

A.直線ACB.直線AB

C.直線CDD.直線BC

答案C

解析由題意知，DGl,lUβ,所以?！?,

又因為OeAB,所以DC平面4BC,

所以點Z）在平面ABC與平面￡的交線上.

又因為CG平面ABC,CRβ,

所以點C在平面夕與平面ABC的交線上，

所以平面ABeC平面β=CD.

3.在三棱錐A-Be。的邊AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,H四點，如果EfCHG

=P,則點尸（）

A.一定在直線B力上

B.一定在直線AC上

C.在直線AC或B。上

D.不在直線AC上，也不在直線BO上

答案B

解析如圖所示，

因為EFU平面ABC,

HGU平面ACJD,EFCHG=P,

所以P∈平面ABC,P∈平面ACD

又因為平面ABCn平面AeO=AC,所以P∈AC.

感悟升華1.證明點或線共面問題的兩種方法：（1）首先由所給條件中的部分線（或點）確定一

個平面，然后再證其余的線（或點）在這個平面內；（2）將所有條件分為兩部分，然后分別確定

平面，再證兩平面重合.

2.證明點共線問題的兩種方法：（1）先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；

（2）直接證明這些點都在同一條特定直線（如某兩個平面的交線）上.

3.證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.考

點二空間兩直線的位置關系師生共研

【例1】（1）（2021?廣州六校聯(lián)考）如圖,在正方體ABa）-AlBlClZ）I中,M,N,尸分別是

C∣Dι,BC,AIDl的中點，有下列四個結論：

①AP與CM是異面直線；②AP,CM,。。相交于一點；③MN〃BD\；④MN〃平面88∣O∣D

其中所有正確結論的序號是（）

A.①④B.②④

C.①③④D.②③④

（2）（2019?全國川卷）如圖，點N為正方形ABC。的中心，AECD為正三角形,平面ECD，平

面A8CZλM是線段EO的中點，則（）

A.BM=EN,且直線BΛ∕,EN是相交直線

B.BM≠EN,且直線EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,￡7V是異面直線

D.BMWEN,且直線BM,EN是異面直線

答案（I）B（2）B

解析（1）連接MP,AC（圖略），因為MP〃AC,MP≠AC,所以AP與CM是相交直線,

又面AiA。?！擅鍯tCDDl=DDi,

所以4P,CM,On相交于一點，則①不正確，②正確.

③令AC∩BQ=0,連接OD1,ON.

因為例，N分別是CI回，8C的中點，

所以0N∕∕D?M∕∕CD,0N=D?M=^CD,

則四邊形MNool為平行四邊形，所以MN〃OA,

因為MMl平面BnQ,ODIU平面BDQ,

所以MN〃平面BDQ,③不正確，④正確.

綜上所述，②④正確.

⑵取CD的中點0,連接OMEO,因為為正三角形，所以EOLCO,又平面ECz）

_L平面ABe￡>,平面ECOC平面4BCD=CD,EOU平面EeD,所以EO_L平面ABeD設正

方形ABC。的邊長為2,則E0=√5,ON=I,所以EN2=EO2+ON2=4,得EN=2.過M作

8的垂線，交CD于點、P,連接2尸，則MP=坐，Cp=|,所以8M2=MP2+Bp2=停）2

+d）2+22=7,得BM=幣,所以BM≠EN.連接BO,BE,因為四邊形ABC。為正方形，

所以N為8。的中點，即EMMB均在平面BQE內，所以直線BM,EN是相交直線，故選

B.

感悟升華空間中兩直線位置關系的判定，主要是異面，平行和垂直的判定.異面直線的判

定可采用直接法或反證法；平行直線的判定可利用三角形（梯形）中位線的性質、公理4及線

面平行與面面平行的性質定理；垂直關系的判定往往利用線面垂直或面面垂直的性質來解

決.

【訓練】（1）（2021?河南名校聯(lián)考）已知空間三條直線/,相，n,若/與，"垂直，/與"垂直,

則（）

A.Nl與W異面

B./力與〃相交

C.機與"平行

D.機與“平行、相交、異面均有可能

（2）（2021.宜賓質檢）四棱錐P-ABa）的所有棱長都相等，M,N分別為∕?,C0的中點，下

列說法錯誤的是（）

A.MN與PD是異面直線B.MN〃平面P8C

C.MN//ACD.MNlPB

答案（I）D（2）C

解析（1）因為tt?/,結合長方體模型可知相與〃可以相交，也可以異面，還可以平

行.

（2）如圖所示，取PB的中點“，連接M4,HC,

由題意知，四邊形CN為平行四邊形，

且MN//HC,所以MN//平面PBC,

設四邊形MWCN確定平面α,又DJa,

故M,N,。共面，但用平面α,DeMN,

因此MN與PO是異面直線；

故A,B說法均正確.

若MN//AC,由于CH//MN,則CHHNC,

事實上ACrICH=C,

C說法不正確；

因為PC=BC,H為PB的中點，

所以C〃J_P8,又CH〃MN,

所以MNLPB,D說法正確.

考點三異面直線所成的角典例遷移

【例2】⑴（經(jīng)典母題）在長方體ABCZ）-AIBIGa中，AB=BC=I,A4∣≈√3,則異面直

線ADi與DBl所成角的余弦值為（）

?'lB.坐C.qDY

（2）（2021?衡水檢測）如圖，在圓錐S。中，A8,CZ）為底面圓的兩條直徑，AB∏CD=O,且

ABlCD,SO=OB=3,SE=^SB,則異面直線SC與OE所成角的正切值為（）

與D.邛

A2BT3C.?IOJ

答案（I）C（2）D

解析（1）如圖，連接BD”交。向于0,取AB的中點M,連接。M,OM易知。為BDl

的中點，所以A￡>]〃OM,則NM。。為異面直線AoJ與。Bl所成角或其補角.因為在長方

體ABCQ-AIiGd中，AB=8C=1,AA∣=√3,

I

A2JB

2

ADl=yJλD+DDl=2f

DM=7AD2+QAB^=^,

DBl=√AB2+AD2+DD?=√5.

所以OM=TAO=1,0D=^DB?=坐，

于是在az>M0中，由余弦定理，

得NMoDH配停下正

得COSZMOD=----------反---=彳

2×1×?-

√

故異面直線A口與DBl所成角的余弦值為5

（2）如圖，過點S作SF//OE,交AB于點F，連接CR則NCSF（或其補角）為異面直線SC

與OE所成的角.

S

`:SE^SB,:,SE^BE.

又0B=3,ΛOF=?θB=?.

'：SO^LOC,SO=OC=3,Λ5C=3√2.

?'SO±OF,：.SF=√SO2+OF2=√IO.

,:OCLOF,：.CF=√Tθ.

.?.在等腰CF中，

2

【遷移1]若將例2中⑴條件"AΛ∣=√5”變?yōu)?44尸2”，其它條件不變，則異面直線

AiB與AD1所成角的余弦值為.

4

燒案-

n米5

解析連接BG,易證Bei〃A。，則NAlBG（或其補角）為異面直線4B與An所成的角.

連接AIG,由AB=I,AAl=2,

易得A∣G=√5,AIB=Bel=小,

2

./,“Alβ+BC↑-AlC↑4

..cosNAIBCl_2A?BBC?-5"

4

故異面直線A1B與ADi所成角的余弦值為3

【遷移2】若將例2中⑴題條件"4=小"變?yōu)椤爱惷嬷本€AB與A。所成角的余弦值

端”.試求A41的值.

解設AAl=r,?'AB=BC=?,

ΛA∣Cι=√2,A山=BCI=y∕t2+l.

,cos

?48Cl=2×AIB×BCI

l2+l+t2+l-29

-2×√r2+l×√∕2+l-lθ-

解之得t=3,則AAI=3.

感悟升華綜合法求異面直線所成南的步驟：

（1）作：通過作平行線得到相交直線.

（2）證:證明所作角為異面直線所成的角（或其補南）.

（3）求：解三衡形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果

求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角.

拓展視野/立體幾何中的截面問題

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，

理解和解決數(shù)學問題.立體幾何中截面問題涉及線、面位置關系，點線共面、線共點等問題，

綜合性較強，培養(yǎng)學生直觀想象和邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).

【典例】（2018?全國I卷）已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面α所成的角都相

等，則ɑ截此正方體所得截面面積的最大值為（）

??√?r2√3r3√2近

/?.4D?3L?4u.2

答案A

解析如圖，依題意，平面α與棱BA,BC,28所在直線所成角都相等，容易得到平面AsC

符合題意，進而所有平行于平面ABlC的平面均符合題意.

由對稱性，知過正方體ABCz）-AISGQI中心的截面面積應取最大值，此時截面為正六邊形

EFGHlJ.

易知正六邊形EFGHIJ的邊長為坐，將該正六邊形分成6個邊長為坐的正三角形.

故其面積為6X坐X惇＞=乎

思維升華作出截面的關鍵是找到截線，作出截線的主要根據(jù)有：（1）確定平面的條件；（2）

三線共點的條件；（3）面面平行的性質定理.

【訓練】（2021.雅禮中學檢測）我國古代的數(shù)學著作《九章算術?商功》中，將底面是直角

三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.在如圖所示的“塹堵”ABC-ABiG中，AB=AC=AAi

=2,M、N分別是BBl和AQ的中點，則平面AMN截“塹堵”ABC-A∣B∣C∣所得截面圖

形的面積為（

A屈

A.3

r2√7

L.3

答案A

解析延長AN,與CG的延長線交于點尸,則尸∈平面8B∣GC,連接尸與SG交于點

E,連接NE,得到的四邊形AMEN是平面AMN截“塹堵”ABC—4B∣G所得截面圖形,

由題意解三角形可得NE=ME==，AM=AN=鄧,MN=#.

：.∕?AMN中MN邊上的高∕?I=,AEMN中MN邊上的高比=

.?.4Λ∕N截"塹堵"A3C—A∣8G所得截面圖形的面積S=SZMΛ∕N+SZWMN=TMN,(〃]+〃2)

25

3

課后鞏固作業(yè)分層訓練?提升能力

A級基礎鞏固

一、選擇題

1.給出下列說法：①梯形的四個頂點共面；②三條平行直線共面；③有三個公共點的兩個

平面重合；④三條直線兩兩相交，可以確定1個或3個平面.其中正確的序號是（）

A.①B.①④C.②③D.③④

答案B

解析顯然命題①正確.

由于三棱柱的三條平行棱不共面，②錯.

命題③中，兩個平面重合或相交，③錯.

三條直線兩兩相交，可確定1個或3個平面，則命題④正確.

2.（2020?重慶一中月考）如圖，aC?β=l,A,B∈α,C≡β,且C&,直線A8∩∕=M,過A,B,

C三點的平面記作y,則y與夕的交線必通過（）

A.點AB.點B

C.點C但不過點MD.點C和點M

答案D

解析：ABUy,M∈AB,.?.M∈y.

又aCp=l,MWl,.,.M∈A

根據(jù)公理3可知，M在y與4的交線上.

同理可知，點C也在y與夕的交線上.

3.4,b,c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是（）

A.若直線〃，b異面,h,C異面，則。，C異面

B.若直線”,b相交，6,C相交，則”,c相交

C.若“〃兒則①人與C所成的角相等

D.若。_1_6,fo±c,則a〃c

答案C

解析若直線4,6異面，b,C異面，則”,C相交、平行或異面；若α,匕相交，仇C相交,

則4,C相交、平行或異面；若〃_16,bA.C,則“，C相交、平行或異面；由異面直線所成

的角的定義知C正確.

4.如圖所示，ABCD-A?B?C?D?是長方體，O是BIDl的中點，直線AlC交平面AB1D1于點M,

則下列結論正確的是（）

A.A,M,。三點共線

B.A,M,O,Al不共面

C.A,M,C,。不共面

D.B,B∣,O,M共面

答案A

解析連接4G,AC（圖略），則AIci〃AC,

.?.Aι,G,A,C四點共面，

.'AiCU平面ACCiAi,

VM∈A∣C,.?.M∈平面ACGA

又M∈平面ABQi,

在平面ACCiAi與平面AB∣D∣的交線上，

同理4,O在平面4CC∣A∣與平面Asa的交線上.

.?.A,M,。三點共線.

5.在三棱錐S-ABC中，G∣,G2分別是△&4B和ASAC的重心，則直線G1G2與BC的位置

關系是（）

A.相交B.平行

C.異面D.平行或異面

答案B

解析如圖所示，連接SGl并延長交A8于連接SG2并延長交AC于N,連接MN.

2

-^為的中線，且

由題意知SM為aS48的中線，且SGl3SN^SACSG2=,SN,

.?.在4SMN中，碧=需,

tjιViOlN

:?G\Gz〃MN、

易知MN是aABC的中位線，：.MN〃BC,

：.GiG2//BC.

6.在各棱長均相等的四面體ABC。中，已知M是棱A。的中點，則異面直線與4C所

成角的余弦值為（）

A*BTCTDW

3566

答案C

解析設四面體48Cr）的棱長為2,取CC的中點N,連接MN,BN,

A

是棱Ao的中點,

.?MN∕∕AC,

，∕BMN(或其補角)是異面直線B例與Ae所成的角.

,/BM=BNK22-12=邛，

MN=^AC=1,

上BM2+MN2-BN23+1-3√3

??花MMN中，c。SNBMN=?BM?疝一二^^盜

.?.異面直線BM與4C所成角的余弦值為*.

二、填空題

7.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB〃CZ),則直線EF與正

方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為.

答案4

解析因為AB〃C￡>,由圖可以看出EF平行于正方體左右兩個側面，與另外四個側面相交.

8.如圖，已知圓柱的軸截面AB8ι4是正方形，C是圓柱下底面弧48的中點，Cl是圓柱上

底面弧的中點，那么異面直線ACl與BC所成角的正切值為.

答案√2

解析取圓柱下底面弧A8的另一中點。，連接G￡),AD,

因為C是圓柱下底面弧AB的中點,

所以A力〃BC,

C1

所以直線ACl與4。所成角等于異面直線AG與BC所成角.

因為G是圓柱上底面弧A場的中點，所以GOL圓柱下底面,

所以C1DIAD,

因為圓柱的軸截面ABBiA是正方形，所以CQ=√5AO,

所以直線AC1與AD所成角的正切值為√L

所以異面直線AG與BC所成角的正切值為√Σ

9.如圖是正四面體的平面展開圖，G,H,M,N分別為。E,BE,EF,EC的中點，在這個

正四面體中，①G”與EF平行；②與MN為異面直線；③GH與MN成60。角；④DE與

MN垂直.

以上四個命題中，正確命題的序號是.

答案②③④

解析還原成正四面體AOEF,其中”與N重合，A,B,C三點重合.

易知GH與EF異面，BD與MN異面.

又AGM”為等邊三角形，

：.GH與MN成60。角，

易證尸，MN//AF,：.MNA.DE.

因此正確的序號是②③④.

三、解答題

10.在正方體ABCZ)-A/IeQl中,

(1)求異面直線AC與AiD所成角的大小；

(2)若E,F分別為AB,AO的中點，求異面直線AlCl與EF所成角的大小.

解(1)如圖，連接B∣C,AB1,由ABC。一AlBlCQl是正方體，易知A∣O"B∣C,從而BlC

與AC所成的角就是異面直線AC與A1D所成的角.

在aAB∣C中，AB↑=AC=BιC,

所以/BiCA=60。.

故異面直線AQ與AC所成的角為60°.

(2)連接8Q,在正方體ABCD—Aι8∣GO∣中，ACLBD,AC//AlCi,因為E,f分別為AB,

AD的中點，

所以EF〃8。，所以EF_LAC

所以EF±A↑Ci.

故異面直線AIG與EF所成的角為90。.

11.(2020?全國川卷)如圖，在長方體ABC。-4BIeE>i中，點E,1分別在棱。5,BBiI.,

且2。E=E2，BF=2FB∣.證明：

(1)當AB=BC時，EFLAC-,

(2)點C1在平面AEF內.

證明(1)如圖，連接3。，BQ∣.因為AB=BC,所以四邊形ABC。為正方形，故ACLBD.

又因為BBlj_平面4BCE),于是4C_LB8i.又BOCBBl=3,所以ACi.平面BBQlD

由于EFU平面BBiDiD,

所以EFLAC.

(2)如圖，在棱AAl上取點G,使得AG=2G4ι,連接GD∣,FCl,FG.

22

因為EA=QCOi,AG=W|，dd'^aa^所以ECl統(tǒng)AG,于是四邊形EOIGA為平行四

邊形，AE//GD1.

因為BIFA∣G=∣A4∣,BB?^,AA↑,所以SFGAl是平行四邊形，所以FG統(tǒng)45,

所以四邊形FGAG為平行四邊形，故GG〃尸CY

于是A￡〃FG.所以A,E,F,G四點共面，即點CI在平面AEF內.

B級能力提升

Jr

12.（2021?昆明診斷）如圖，已知二面角A-BD-C的大小為G,H分別是BC,C