軸對稱綜合題（幾何變換）（解析版）-2023學年七年級數學下冊壓軸題匯編（湘教版）

2022-2023學年湘教版七年級數學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷

專題16軸對稱綜合題（幾何變換）

考試時間：120分鐘試卷滿分：100分

姓名：班級：考號：

評卷人得分

----------------一、選擇題（共10題，每題2分，共20分）

1.（本題2分）（2022春?湖南益陽?七年級統(tǒng)考期末）如圖，A,B是直線/外兩點，在/上求作一點

尸，使A4+PB最小，其作法是（）

B

*

A.連接BA并延長與/的交點為P

B.連接A3,并作線段AB的垂直平分線與/的交點為P

C.過點8作/的垂線，垂線與/的交點為P

D.過點A作/的垂線段A。，。是垂足，延長A。到點A?,使4*O=AO,再連接HB,則48與/的交

點為P.

【答案】D

【思路點撥】利用兩點之間線段最短求PA+P8最短時尸的位置，則需要作點4關于直線/的對稱點A*,

再連接對稱點及6點即可

【規(guī)范解答】通過軸對稱的性質作點4的對稱點A.,再連接A'B,利用兩點之間線段最短的原理得到

AB與/的交點為P

故選D

【考點評析】本題考查軸對稱的性質在最值問題中的應用，理解將軍飲馬模型并運用軸對稱解題是關鍵.

2.（本題2分）（2021秋?山東威海?七年級校聯(lián)考期中）如圖，在RtAABC中，ZACB=90。，

AC=3,Be=4,AB=5,A。平分/C43交BC于。點，E,尸分別是AO,AC上的動點，則

CE+EF的最小值為（）

A

【答案】D

【思路點撥】作點F關于AD的對稱點F',連接CF'交AD于點E',連接EF',得到CE+￡F》CF',

結合點與直線上的所有點的連線中，垂線段最短，即可求解.

【規(guī)范解答】作點F關于AD的對稱點F',連接CF'交AD于點E',連接EF',

,.?AD平分/CAB交Be于D點，

.?.點F'在AB上，

；.CE+EFNCF',

3×412

在RtZ?ABC中，當CF'_LAB時，CF,的值最小，此時，CF,=.=不，

12

.?.8+所的最小值為了，

故選D

【考點評析】本題主要考查軸對稱與兩線段和的最小值問題，熟練掌握“馬飲水”模型，是解題的關鍵.

3.（本題2分）（2020春?福建泉州?七年級?？计谥校┤鐖D，NAOB=45°,點M、N分別在射線0A、OB

上，MN=6,4OMN的面積為12,P是直線MN上的動點，點P關于OA對稱的點為P“點P關于OB對稱點

為Pz,當點P在直線NM上運動時，的面積最小值為（）

PI

NB

~Pι

A.6B.8C.12D.18

【答案】B

【思路點撥】連接OP，過點()作OHLNM交NM的延長線于H.首先利用三角形的面積公式求出OH,再證明

△0PR是等腰直角三角形，OP最小時?，AOPB的面積最小.

【規(guī)范解答】解：連接0P,過點0作OH_LNM交NM的延長線于∏.

VSΔ(W=∣?MN?0H=12,MN=6,

Λ0H=4,

：點P關于OA對稱的點為P,,點P關于OB對稱點為P2,

ΛZAOP=ZAOPI,ZPOB=ZP2OB,OP=OPI=OP2

VZAOB=45°,

ΛZPiOP2=2(ZPOA+ZPOB)=90",

...△OPFz是等腰直角三角形，

.?.OP=OP∣最小時,AOPR的面積最小,

根據垂線段最短可知，OP的最小值為4,

.?.aOPFz的面積的最小值=/X4X4=8,

故選：B.

【考點評析】本題考查軸對稱，三角形的面積，垂線段最短等知識，解題的關鍵是證明AOPR是等腰直角

三角形，屬于中考?？碱}型.

4.（本題2分）（2021秋?七年級單元測試）如圖，一條筆直的河L,牧馬人從P地出發(fā),到河邊M處飲

馬，然后到Q地，現(xiàn)有如下四種方案，可使牧馬人所走路徑最短的是（）

【答案】D

【思路點撥】用對稱的性質，通過等線段代換，將所求路線長轉化為兩定點之間的距離；以及垂線段最短

求解.

【規(guī)范解答】作點P關于直線1的對稱點P',連接QP'交直線1于M.

根據兩點之間，線段最短，可知選項B使牧馬人所走路徑最短.

故選D.

【考點評析】本題考查了最短路徑的數學問題.這類問題的解答依據是“兩點之間，線段最短”.

5.（本題2分）（2021春?全國?七年級專題練習）如圖，正方形4?CO的面積為9,ΔABE是等邊三角

形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小，則這個最小值為

【答案】A

【思路點撥】首先根據題意連接BD,再結合題意當P、B、E三點在一條直線上是PD+PE的和最小，因此

可求得最小值.

【規(guī)范解答】解：正方形的面積為9,AABE是等邊三角形

:.BE=AB=3

連接PB,則PB=PD

那么PD+PE=PB+PE

因此當P、B、E三點在同一條直線上時，P￡>+PE的和最小

也就是PD+PE」PB+PE=BE=AB=3

故選A.

【考點評析】本題主要考查軸對稱,最短路問題,關鍵在于由兩點之間線段最短再結合題意求解即可.

6.（本題2分）（2019春?七年級課時練習）如圖，NAOB=30°,點M、N分別在邊0A、OB±,且0M=2,

0N=6,點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是（）.

【答案】A

【思路點撥】作物關于施的對稱點〃，作A'關于力的對稱點川,連接/N,即為,仍+々+QV的最

小值；證出46≡為等邊三角形，△的加為等邊三角形，得出NVOif=90°,由勾股定理求出臚

M即可.

作〃關于協(xié)的對稱點獷，作及關于物的對稱點T,如圖所示：連接MV,即為g+P0+QM的最小

值.

根據軸對稱的定義可知：ZVOgAfOB=3G°,Λ0NN'=60°,

ΛΔflW為等邊三角形，△〃如/為等邊三角形，

.?.NMOM=90°,

在Rt△"OJV中,

"V=√62+22=2√iθ-

故選A.

【考點評析】本題考查了軸對稱一一最短路徑問題，根據軸對稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角

形是解題的關犍.

7.（本題2分）（2022秋?山東東營?七年級統(tǒng)考期末）如圖，NAOB內一點、P,P1,2分別是一關于物、

如的對稱點，PE交（M于點M,交仍于點兒若aRZV'的周長是5czo,則夕島的長為（）

O

A.6c加B.5cmC.4cmD.3cm

【答案】B

【思路點撥】對稱軸就是兩個對稱點連線的垂直平分線，由垂直平分線的性質可得MP-MPt,NP:

NΛ,所以=MP+MN+NP=5cm.

（規(guī)范解答］?.?P與4關于CM對稱，

二。4為線段P6的垂直平分線，

...MP=M4，

同理，P與巴關于OB對稱，

ΛOB為線段P6的垂直平分線，

NP=N鳥，

：ZXPMN的周長為5cm.

二＜鳥=M6+MN+N∕=MP+MN+NP=5cm,

故選B

【考點評析】對稱軸是對稱點的連線垂直平分線，再利用垂直平分線的性質是解此題的關鍵.

8.（本題2分）（2022秋?上海?七年級專題練習）如圖，在網格圖中選擇一個格子涂陰影，使得整個圖

形是以虛線為對稱軸的軸對稱圖形，則把陰影涂在圖中標有數字（）的格子內.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【思路點撥】從陰影部分圖形的各頂點向虛線作垂線并延長相同的距離找對應點，然后順次連接各點可得

答案.

【規(guī)范解答】如圖所示，

f1

2

34

把陰影涂在圖中標有數字3的格子內所組成的圖形是軸對稱圖形.

故選：C.

【考點評析】本題考查的是作簡單平面圖形軸對稱后的圖形，其依據是軸對稱的性質，基本作法：①先確

定圖形的關鍵點；②利用軸對稱性質作出關鍵點的對稱點；③按原圖形中的方式順次連接對稱點.

9.（本題2分）（2021秋?山東煙臺?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，ZBAC=90o,AB=3,AC=

4,BC=5,EF垂直平分BC,點P為直線EF上的任一點，則AP+BP的最小值是（）

A.5B.4C.3D.7

【答案】B

【思路點撥】根據題意知點B關于直線EF的時稱點為點C,故當點P在AC上時，AP+BP有最小值.

【規(guī)范解答】解：連接PC

YEF是BC的垂直平分線,

，BP=PC.

ΛPA+BP=AP+PC.

，當點A,P,C在一條直線上時,PA+BP有最小值,最小值=AC=4.

故選B.

【考點評析】本題考查了軸對稱-最短路線問題的應用，明確點A、P、C在一條直線上時，AP+PB有最小值

是解題的關鍵.

10.（本題2分）（2021春?山東濟南?七年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形46切中，ZO50o,/廬N

介90°,E,尸分別是8C,加上的點，當445F的周長最小時，N￡4尸的度數為（）.

【答案】D

【思路點撥】要使的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出點力關于8C

和G9的對稱點分別為點G和點〃，即可得出∕1=NG,N3=NH,根據ΔAG"的內角和為180。，可得出

2（Zl+Z3）+Z2=180o;再根據四邊形的內角和為360。可知，ZBAD=130°,即/1+/2+/3=130。，建立

方程組，可得到N2的度數，即可得出答案.

【規(guī)范解答】解：作點力關于直線寬、和直線切的對稱點G和〃，連接小，交BC、CD干點、E、F,連接

AE,AF,則此時△力加'的周長最小，

???四邊形的內角和為360。，

ZBAD=360o-900-90°-50°=130°,

即Nl+N2+Z3=130°①，

由作圖可知：Nl=NG,Z3=Z∕/,

,.?ΔAG”的內角和為為0。,

.?.2(Zl+Z3)+Z2≈180°^,

方程①和②聯(lián)立方程組，

解得N2=80°.

【考點評析】本題考查軸對稱變換、最短路線問題，涉及到平面內最短路線問題求法以及三角形的內角和

定理、四邊形的內角和及垂直平分線的性質等知識，根據已知得出￡、尸的位置是解題關鍵.

評卷人得分

----------------二、填空題（共8題，每題2分，共16分）

11.（本題2分）（2021春?四川成都?七年級?？计谥校┤鐖D，在一ABC中，8。平分NABC交AC于點

。，點/，N分別是線段BD、BC上一動點，ΛB>3D且SA,。=10,AB=5,則CΛ∕+MN的最小值為

【答案】4

【思路點撥】根據BZ）平分/A8C,得出N關于BQ的對稱點在角平分線上，作點N關78。的對稱點

N',根據點到直線的距離，垂線段最短，可得當C7V'_LAB時，CN'最短,即CM+MN最小，進而根據三

角形面積公式即可求解.

【規(guī)范解答】解：如圖，作點N關于BO的對稱點N',

，MN=MN',

：.CM+MN=CM+MN'≥CN',

當C,Λ∕,N'?：點共線，旦CNUΛB時，CN'最短，即CA/+MN最小，

VSΛABC=10,AB=5,

...CM=?≡=4,

AB

則CM+MN的最小值為4，

故答案為：4.

【考點評析】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂線段最短的性質，熟練掌握軸對稱的性質是解題的

關鍵.

12.（本題2分）（2022春?山東濟南?七年級山東省濟南實驗初級中學?？计谥校┤鐖D，在JlfiC中，AD

為6C邊上的高線，且A。=BC,點〃為直線6C上方的一個動點，且一ΛBC面積為一MBC的面積2倍，則

當MB+MC最小時，NMBC的度數為°.

【答案】45

【規(guī)范解答】如圖，作過點M的直線/,使得/BC,作C關于/的對稱點C',連接3C',CC'交/于?點

E,則"3+MC=M3+MC'23C',當B,M,C'三點共線時，取得最小值，過點M作MN上BC,

:.1//BC.

.-.CC'±1,

CCUBC,

ABC中，/〃為以邊上的高線，ABC面積為，"BC的面積2倍，AD=BC,

.-.MN=-AD=-BC,

22

根據平行線間的距離相等，可得CE=MN,

則Ce=2MN=AO,

BCC'是等腰直角三角形，

.-.ZMBC=45°.

故答案為：45°.

【考點評析】本題考查了三角形的高線，等腰直角三角形的性質，平行線的距離，軸對稱求線段和的最小

值，掌握軸對稱的性質是解題的關鍵.

13.（本題2分）（2021春?河南鄭州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在長方形力靦中，AgBC=5,AB^g

12,〃=13,動點材在線段〃■上運動（不與端點重合），點M關于邊/O,Zr的對稱點分別為跖，區(qū),連接

肱%,點〃在必%上，則在點"的運動過程中，線段助魁長度的最小值是.

B

【答案】詈

【思路點撥】過。作。M'_LAC于"，，連接,根據題意可得M1M2=IDM,從而可以判定腸必最小

值為2DM',即可求解.

【規(guī)范解答】解：過〃作WJ_AC于M',連接。"，如圖：

/.S=-AD×CD=-AC×DM'

.ΛatΛd.-c22

；也關于邊4〃，〃。的對稱點分別為例，他

：.DM,=DM=DM2,

：.MiM2=2DM,

120

線段，長度最小即是〃“長度最小，此時DMVAC,即〃?M'重合，機M最小值為IDM'=—.

故答案為：詈120.

【考點評析】此題考查了軸對稱的性質，掌握軸對稱的有關性質將MlM2的最小值轉化為?！钡淖钚≈凳?/p>

解題的關鍵.

14.（本題2分）（2020春?山東青島?七年級統(tǒng)考期末）如圖，P為NMON內部的己知點，連接OP,A

為OM上的點，3為。N上的點，當Δf?B周長的最小值與OP的長度相等，NMoN的度數為一。.

兒Λ/

----------------B-----------N

【答案】30

【思路點撥】設點P關于OM的對稱點為C,關于ON的對稱點為D,當點A、B在CD上時，Z?PAB的周長為

PΛ+ΛB+BP-CD,此時周長最小，根據CD=OP可求出NMON的度數.

C

【規(guī)范解答】

解：作點P關于OM的對稱點C,關于ON的對稱點D,連接CD,交OM于A,交ON于B.此時，APAB的周

長最小.連接0C,0D,PA,PB.

：點P與點C關于OM對稱

/.OM垂直平分PC

ΛZCOM=ZMOP,PA=CA,OC=OP

同理，可得NDON=NNOP,PB=DB,OD=OP

ZC0A+ZD0B≈ZA0P+ZB0P=ZM0N

ZC0D=2ZM0N

又,.?ΔPΛB的周長=PA+AB+BP=CA+AB+BD=CD=OP

.?.OC=OD=CD

ΛΔC0D是等邊三角形

.?.NMON=30°

故答案為：30.

【考點評析】此題找到點A和點B是的位置是解題的關鍵，要使APAB的周長最小，通常是把三邊的和轉

化為一條線段，運用三角形三邊關系解決.

15.（本題2分）（2019春?福建三明?七年級校聯(lián)考期末）如圖，在44%中，AB=AC=6,力。是高，機

M分別是4C上的動點，ZUSC的面積是15,貝IJ砌上燈的最小值是.

【答案】5

【思路點撥】首先過點C作CElAB交AB于點E,交AD尸點M,過點M作MN,AC于點N,由AD是/BAC

的平分線，由垂線段最短得出MN=ME,MC+MN=CE的長度，最后通過三角形面積公式即可求解.

【規(guī)范解答】

過點C作CE±ΛB交AB于點E,交AD于點M,過點M作MN,AC于點N,

VAB=AC

???△ABC是等腰三角形

.?.AD是二刃C的平分線

：.MN=ME,則此時加÷秘V有最小值，即四的長度，

,uCExAB

15=-------

2

..CE=5

【考點評析】本題主要考查等腰三角形三線合一定理，三角形面積公式，垂線段最短，運用數形結合思想

是解題關鍵.

16.（本題2分）（2020秋?黑龍江大慶?七年級?？计谀┤鐖D，點P是直線AC外的一點，點D,E分別是

AC,CB兩邊上的點，點P關于CA的對稱點Pl恰好落在線段ED上,P點關于CB的對稱點R落在ED的延長線

上,若PE=2.5,PD=3,ED=4,則線段PR的長為.

【答案】4.5

【思路點撥】利用軸對稱圖形的性質得出PE=EP∣,PD=DP2,進而利用DE=4cm,得出RD的長，即可得出

PR的長.

【規(guī)范解答】???點P關于CA的對稱點Pl恰好落在線段ED上,P點關于CB的對稱點巳落在ED的延長線

上，

/.PE=EPbPD=DP2,

VPE=2.5cm,PD=3cm,DE=4cm,

.?.PJ）=3cm,EPι=2.5cm,

即DP∣=DE-EP,=4-2.5=1.5（cm）,

貝U線段P1P2的長為：P1D+DP2=1.5+3=4.5（Cm）.

故答案為4.5.

【考點評析】此題主要考查線段的長度求解，解題的關鍵是熟知軸對稱的性質.

17.（本題2分）（2019春?七年級單元測試）如圖，將長方形紙片力及力的一角沿仔'折疊，使點C落在長

方形4版的內部點C'處.若/所亡35°,則/次'=°.

【答案】70

【思路點撥】根據折疊前后角相等可知.

【規(guī)范解答】；長方形紙片/65的一角沿斷折疊，使點C落在長方形的內部點C”處，2EFC=

35°,

ΛZCEF=ZC,EF=90o-35°=55°,

二NDEC'=180°-IlOo=70°.

故答案是：70.

【考點評析】考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱

的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等.

18.（本題2分）（2020秋?山東淄博?七年級統(tǒng)考期中）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm,底面周長為

32cm,在杯內壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對

的點A處，則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為cm（杯壁厚度不計）.

螞蟻//\

?*

'5Si蜜

ζ---------->

【答案】20

【規(guī)范解答】分析：將杯子側面展開，建立A關于EF的對稱點A',根據兩點之間線段最短可知A'B的

長度即為所求.

詳解：如圖：

16

......................Q

將杯子側面展開，作A關于EF的對稱點Z,

連接A'B,則A'B即為最短距離，A'+BD2=√162+122=20(cm).

故答案為20.

點睛：本題考查了平面展開--最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解

題的關鍵.同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力.

評卷人得分

三、解答題（共64分）

19.（本題6分）（2023春?浙江?七年級專題練習）如圖，在5x5的正方形網格中，每個小正方形的頂點

稱為格點，如圖點A、B、C、D、E、產均為格點請用無刻度的直尺完成下列作圖（畫圖過程用虛線，

結果用實線）

BBB

(1)如圖1,過C點作直線A8的平行線；

⑵如圖2,點M為線段AB上一動點，連接MC,作出當ME)+MC最小時，M點位置;

(3)如圖3,在線段AB上找一點尸(不與點A重合)，使得PEJ

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【思路點撥】(1)取格點〃，作直線切即可；

(2)作點C關于4?的對稱點C,連接Zr交48于點、M,連接抽點"即為所求;

(3)取格點/N,連接口交的于點Λ^,連接腑交46于點尸，點尸即為所求.

【規(guī)范解答】(1)如圖I中，直線CO即為所求；

圖1

(2)如圖2中，點”即為所求;

B

圖2

（3）如圖3中，點P即為所求.

圖3

【考點評析】本題考查作圖-應用與設計作圖，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬

于中考?？碱}型.

20.（本題8分）（2022春?四川成都?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在所給網格圖（每小格均為邊長是1的正

方形）中完成下列各題：

D

（1）畫出格點，49。（頂點均在格點上）關于直線應■對稱的員G；

⑵求.46心的面積;

⑶在Z?、上畫出點凡使附AC最小.（保留作圖痕跡）

【答案】（1）見解析

*

（3）見解析

【思路點撥】（1）根據軸對稱的性質作圖即可.

（2）利用割補法求工角形的面積.

（3）關于原作點C的對稱點C,連接C8,交.DE干點、P,此時點一即為所求.

【規(guī)范解答】（1）如圖所示,

D

（2）Suβr=2x3」xlx2」x2xl」xlx3=*,

m,h'c'2222

?,?∕?ΛιB∣Cι的面積為5；

（3）如圖所示，關于施作點C的對稱點。，連接08,交場于點P,此時點。即為所求.

【考點評析】本題考查了畫軸對稱圖形，根據軸對稱線的性質求線段和的最小值，掌握軸對稱的性質是解

題的關鍵.

21.（本題10分）（2022春?山東濟南?七年級統(tǒng)考期末）如圖，一ABC和-A'8'C'的頂點都在邊長為1的

正方形網格的格點上，且一ABC和一A'ZΓC關于直線機成軸對稱.

(1)直接寫出，ABC的面積；

(2)請在如圖所示的網格中作出對稱軸直線加；

(3)請在直線m上作一點。，使得AD+C。最小.(保留必要的作圖痕跡)

【答案】(1)5

(2)見解析

(3)見解析

【思路點撥】(1)利用割補法，用一個正方形的面積減去三個三角形的面積即可求解;

(2)利用網格特點作B*,CC'的垂直平分線即可得到對稱軸；

(3)根據軸對稱的性質作圖即可.

(1)_ASC的面積=4x4-gxlx2-gx2x4-gx3x4=5；

【考點評析】本題考查了作圖-軸對稱變換，割補法求面積，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

22.（本題10分）（2021秋?山東淄博?七年級統(tǒng)考期中）如圖，_A3C和.A'3'Cf關于直線MN對稱,

一AB1C和ZV1"8"C"關于直線E尸對稱.

M

N

（1）畫出直線EF；

（2）直線MN與EF相交于點。，試探究/505"與直線MN、EF所夾銳角α的數量關系.

【答案】（1）見解析；（2）NBOB"=2a

【思路點撥】（1）找到并連接關鍵點，作出關犍點的連線的垂直平分線；

（2）根據對稱找到相等的角，然后進行推理.

【規(guī)范解答】解：（1）如圖，連接

作線段BTr的垂直平分線EF.

則直線EF是.A'8'C和ΛA"B"C的對稱軸；

（2）如圖，連接B'O.

?；^ABC和_A:B'C關于直線MN對稱，

：.ZBOM=ZB'OM.

乂：一A'B'C和AA"B"C*關于直線EF對稱，，ZB'OE=NBnoE.

：.NBoa=NBoM+AB'OM+NB'OE+ZBnOE=2(ZB'OM+ZBOE)=2a,

即NBO8"=2α.

【考點評析】解答此題要明確軸對稱的性質：

1.對稱軸是一條直線.

2.垂直并且平分一條線段的直線稱為這條線段的垂直平分線，或中垂線.線段垂直平分線上的點到線段

兩端的距離相等.

3.在軸對稱圖形中，對稱軸兩側的對應點到對稱軸兩側的距離相等.

4.在軸對稱圖形中，對稱軸把圖形分成完全相等的兩份.

5.如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

23.（本題10分）（2019春?遼寧遼陽?七年級階段練習）如圖，在AABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交

AB于N,交AC于M.

（1）若NB=70°,則NNMA的度數是

(2)連接MB,若AB=8cm,ZXMBC的周長是14cm.

①求BC的長；

②在直線MN上是否存在點P,使由P,B,C構成的APBC的周長值最?。咳舸嬖?，標出點P的位置并求△

PBC的周長最小值；若不存在，說明理由.

【答案】(1)50°；(2)①BC=6(c?m);②當點P與點也重合時，P3+PC的值最小，最小值是8cw

【思路點撥】(1)4ABC為等腰三角形，/B為底角，則可求頂角∕A,MN是AB的垂直平分線，可知∕A+

ZAMN=90°,求出NAMN即可，

(2)①由MN垂直平分A3可知M3=M4,可證C等于AC+BC即可，

②過點C作點C關于MN的對稱點C',連結BC',交MN恰好M,當點尸與點〃重合時，三角形PBC的周

長最短，求出即可.

【規(guī)范解答】解:(1)ΛB=ΛC,ZB=70",：.ZC=NB=70°,ZΛ=180°-2ZB=40°,

VMN±AB,.?.∕NMA+NA=90°,ΛZNMA=50",

(2)①如圖：MN垂直平分AB,MB=M4,

：CMBC=14(an)AC+BC=14(CVn),

.?.BC=14-AC=6(αw).

②如下圖，過點C作點C關于MN的對稱點C',連結BC',交MN恰好M,由對稱性AB與BC'交點在MN

上，當點尸與點M直合時，PB+PC的值最小，最小值是8cm,此時三角形PBC的周長=三角形BMC的周

長=BC+BM+CM=BC+AM+CM=BC+AB=14cm.

BC

【考點評析】本題考查已知等腰三角形底角，求腰中垂線與另一斜邊的夾角，以及三角形周長最短問題，

掌握作點C關于MN的對稱點，連結BC'與AC交于M,點P與點M重合時是解題的關鍵.

24.（本題10分）（2021春?重慶南岸?七年級統(tǒng)考期末）要在一條筆直的公路/邊上建一個快遞配送

點，方便為同側的43兩個居民小區(qū)發(fā)送快件.

（1）試確定快遞配送點一的位置，使它分別到48的兩個居民小區(qū)的距離相等，請在如圖中，畫出點P

的大致位置；

（2）試確定快遞配送點〃的位置，使它到46的兩個居民小區(qū)的距離之和最短.請在如圖中畫出點材的

大致位置；

(3)如圖，D是ABC內一點，連接BE),QC.延長3D交AC于點反

；在一DEC中，DE+EC>DC①,

在，ΛBE中，AB+AE>BD+DE?；

.?.①+②得+EC+AB+>OC+8。+OE；

二AB+AOBD+DC.

如果在兒8兩個居民區(qū)之間規(guī)劃一個正方形生態(tài)保護區(qū)，送快件的路線不能穿過該區(qū)域.請同學們用以

上這個結論，在圖中畫出快遞配送點0的大致位置，使得它到兩個居民小區(qū)路程之和最短.

I-----1

II

：:?B

A?

【答案】（1）見解析：（2）見解析：（3）見解析.

【思路點撥】（1）根據線段垂直平分線點性質點。在線段46的垂直平分線上，作46的垂直平分線，與/

的交點即為所求；

（2）根據兩點之間線段最短的性質，作點4關于1的對稱點A1,連接M與1的交點。即為所求；

（3）如圖，作點4關于/的對稱點兒，連接Z‰BD,ZK，與/交于點0,由已知可得g座＞豺微可得

QA