2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）2.2 基本不等式 分層訓(xùn)練

親愛的同學(xué)加油，給自己實現(xiàn)夢想的一個機會！第頁2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）2.2基本不等式分層訓(xùn)練班級：姓名：親愛的同學(xué)，在做題時，一定要認真審題，完成題目后，記得審查，養(yǎng)成好習(xí)慣！祝你輕松完成本次練習(xí)。一、選擇題1．若a>0，b>0，且a+b=6，則ab的最大值為（）A．5 B．6 C．8 D．92．設(shè)實數(shù)x滿足x<1，則函數(shù)y=2x+3+1A．1?22 B．5+22 C．1+223．若a>1，b>1，且a≠b，則A．a(chǎn)2+b2 B．2ab C．4．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，則(1＋x)(1＋2y)的最大值為（）A．36 B．4 C．16 D．95．已知x>y>0，且x2?yA．34 B．1 C．1716 6．若x>0，y>0，x+3y=1，則xy3x+yA．19 B．112 C．1167．已知x>0，y>0，且滿足x+2y?xy=0，則92x+yA．9 B．6 C．4 D．18．已知x，y∈R，A．x2+y2的最大值為2B．x2+y2的最大值為C．x2+y2的最小值為2D．x2+y2的最小值為9．已知x>0，y>0，且2x+1A．5+42 B．3+42 C．910．已知a，①ba>b+1a+1；②ab+2abA．②④ B．②③ C．②③④ D．①④二、多項選擇題11．下列結(jié)論中正確的有（）A．若命題“?x∈R，x2+4x+m=0”為假命題，則實數(shù)mB．若a，b，c∈R，則“C．“a>1”是“1aD．當x>0時，x+2x12．已知a，b為實數(shù)，且ab≠0，則下列命題正確的是（）A．若a>0，b>0，則a+b≥2ab B．若a+b=1，則C．若a≠b，則a+b>2ab D．若a+b>2ab13．已知x>0，y>0，x2+yA．xy取得最大值為12 B．xy取得最小值為C．x+y取得最大值為2 D．x+y取得最小值為214．已知a，b∈R，且ab>0，則下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)+b2≥ab B．a(chǎn)b≤a2+15．a(chǎn)，b>0且a+b=1，則A．8 B．9 C．10 D．1116．已知正實數(shù)x，y滿足2x+y=xy，則（）A．xy≥8B．x+y≥6C．1x?1+8三、填空題17．若正實數(shù)x、y滿足3x+y=1，則12x+118．已知x>0，y>0，且x+y=1，則3xy19．已知x>?2，則x+9x+2的最小值為20．某公園設(shè)計了一座八邊形的綠化花園，它的主體造型平面圖（如圖2）是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為80m2的十字型區(qū)域，計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為99元/m2；在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為8元/m21．設(shè)實數(shù)x滿足x>?1，函數(shù)y=2+3x+4x+1的最小值為22．已知x>0，y>0，滿足x2+2xy?2=0，則2x+y的最小值是四、解答題23．（1）在面積為定值S的矩形中，邊長是多少時矩形的周長最?。浚?）在周長為定值P的矩形中，邊長是多少時矩形的面積最大？24．已知m+2n=2．（1）當m>0，n>0時，求1m（2）當m>?1，n>0時，求1m+125．已知a>0，b>0.（1）若b=6?1a，求（2）若a2+9b26．已知正實數(shù)a，b滿足1a（1）a+2b的最小值；（2）4aa?1（3）16a27．已知m+2n=2，且m>?1，n>0.（1）求1m+1（2）求m228．已知關(guān)于x的方程(1+2k2)（1）證明：m2（2）證明：x1（3）設(shè)S=|

答案解析部分1．答案：D解析：解答：因為a>0，b>0，且a+b=6，所以ab≤(a+b2所以ab的最大值為9.故答案為：D.

分析：利用已知條件結(jié)合均值不等式求最值的方法，進而得出ab的最大值。2．答案：D解析：解答：因為x<1，所以1?x>0，所以y=2x+3+當且僅當x=1?2故答案為：D.

分析：y=2x+3+13．答案：A解析：解答：因為a>1，b>1，所以根據(jù)基本不等式可知a2+b因為a≠b，所以a2+b綜上所述，上述四個式子中最大值為a2故答案為：A

分析：根據(jù)題意，得到a2+b2>a+b4．答案：D解析：解答：由題意，(1+x)+(1+2y)=6，1+x>1，1+2y>1，所以(1+x)(1+2y)≤[故答案為：D.

分析：利用基本不等式的性質(zhì)求解可得(1＋x)(1＋2y)的最大值.5．答案：B解析：解答：因為x2?y2=1，所以(x?y)(x+y)=1x=n+m2y=2=≥當9m2=所以最小值為1.故答案為：B

分析：令m=x?y，n=x+y，則mn=1且x=n+m6．答案：C解析：解答：因為x>0，y>0，x+3y=1，則3x+yxy當且僅當3xy=3y所以0<xy3x+y≤116故答案為：C.

分析：利用基本不等式“1”的妙用求得3x+yxy的最小值，即可得到xy7．答案：D解析：解答：因為x+2y?xy=0，x>0，y>0，所以2x所以2x+y=(2x+y)(2當且僅當2yx=2x所以92x+y≤1，即故答案為：D.

分析：利用已知條件結(jié)合均值不等式變形求最值的方法，進而求出92x+y8．答案：C解析：解答：利用x2+y2≥2xy當且僅當x=y，即x2=y2=利用(x+y)2≥4xy，x2+y當且僅當x=y=33時取得等號，故x+y的最大值為故答案為：C

分析：利用已知條件結(jié)合均值不等式變形求最值的方法，進而找出正確的選項。9．答案：A解析：解答：因為x>0，y>0，且2x所以2x+y+=5+當x=2+2，y=1+所以2x+y+2yx的最小值為故答案為：A.

分析：利用已知條件結(jié)合均值不等式變形求最值的方法，進而得出2x+y+2y10．答案：C解析：解答：只有b>a時①成立；ab+2ab≥22（當且僅當a2+b2?4ab+4故a2+b令a=x，則|a?1|+|a|≥1可以看成當x>0時，函數(shù)y=|x?1|+|x|=2x?1，由函數(shù)圖象可知④恒成立.故答案為：C.

分析：利用已知條件結(jié)合不等式的基本性質(zhì)、均值不等式求最值的方法、平方數(shù)的性質(zhì)、絕對值的定義，進而找出不等式成立的選項。11．答案：A,C,D解析：解答：對于A項，等價于?x∈R，x2+4x+m≠0，則Δ=4對于B項，因為ab2>cb2，顯然b2>0，1b2對于C項，1a?1=1?aa，所以1a<1等價于1?aa<0，即a(a?1)>0，所以a>1或?qū)τ贒項，當x>0時，x+2x≥2x?2故答案為：ACD.

分析：轉(zhuǎn)化為?x∈R，x2+4x+m≠0，計算Δ=42?4m<0，可得m>4，即可判斷A項；根據(jù)不等式的性質(zhì)，可判斷B項；求出112．答案：A,D解析：解答：對于A，由基本不等式可知當a>0，b>0時，a+b≥2ab，當且僅當a=b對于B，取a=2，b=?1，a+b=1，而對于C，取a=?1，b=?4，則對于D，因為a+b>2ab，a?b≠0，所以a+b>0ab>0，且所以a>0，b>0，(a?b故答案為：AD.

分析：利用基本不等式可判斷A，舉例可判斷BC，利用基本不等式可判斷D.13．答案：A,C解析：解答：因為x>0，y>0，故x2+y2≥2xy所以xy取得最大值為12因為x+y2≤x2+所以x+y取得最大值為2，C符合題意，D不符合題意．故答案為：AC．

分析：利用已知條件結(jié)合均值不等式求最值的方法，進而得出結(jié)論正確的選項。14．答案：B,C解析：解答：對于A，因為ab>0，故當a<0，b<0時，不等式對于B，因為ab>0，所以ab≤a2+對于C，因為ab>0，所以ab>0，ba對于D，因為a2+b2≥2ab，所以(a+b)2≥4ab，當a<0故答案為：BC.

分析：利用已知條件結(jié)合均值不等式求最值的方法，進而找出不等式成立的選項。15．答案：B,C,D解析：解答：4a當且僅當4ba=aba+b=1即a=所以4a+1b的不可能為故答案為：BCD.

分析：化簡4a16．答案：A,D解析：解答：由題知，正實數(shù)x，y滿足所以2y對于A，因為2x+y≥22xy所以xy≥22xy所以x2y2對于B，x+y=(x+y)?(2當且僅當2xy=yx且對于C，因為2x+y=xy，所以x=y所以1所以1x?1當且僅當y2=8y，且對于D，由A得xy≥8，所以2=(2x+1)當且僅當2x+1=y+1，且2y+1故答案為：AD

分析：運用基本不等式得2x+y≥22xy，求解即可判斷A；；由題得2y+1x=1，根據(jù)乘“1”法，結(jié)合基本不等式即可判斷B；由題得x=y17．答案：49解析：解答：因為正實數(shù)x、y滿足3x+y=1，所以12x當且僅當12yx=3xy，即x=27，故答案為：49.

分析：由乘1法，12x18．答案：6解析：解答：因為x>0，y>0，所以0<x<1，3x令3x+1=t∈(1，則3xy其中t9+49t≥2故3xy+1xy=?3?故答案為：6

分析：利用已知條件結(jié)合換元法和均值不等式變形求最值的方法得出3xy19．答案：4解析：解答：x+9當且僅當x+2=9x+2(x>?2)所以x+9故答案為：4.

分析：利用基本不等式可求出x+920．答案：1440解析：解答：設(shè)DQ長為ym，則4xy+x即y=0<x<45所以S=99=100(≥100×2x當且僅當x2即x=22所以當x=22時，S故答案為：1440.

分析：利用已知條件結(jié)合矩形的面積和求和的方法建立函數(shù)的模型，再結(jié)合均值不等式求最值的方法得出綠化花園總造價S的最小值。21．答案：4解析：解答：由題意x>?1，所以x+1>0，故y=2+3x+4當且僅當3(x+1)=4x+1，即所以函數(shù)y=2+3x+4x+1的最小值為故答案為：43

分析：利用拼湊法結(jié)合基本不等式即可求解.22．答案：6解析：解答：由x2+2xy?2=0，得y=所以2x+y=2x+1當且僅當3x2=1所以2x+y的最小值是6.故答案為：6.

分析：由x2+2xy?2=0，得y=2?x223．答案：（1）解：設(shè)矩形的相鄰兩條邊的長分別是x，y，由已知得xy=S，由x+y2可得x+y≥2xy所以2(當且僅當x=y=S因此，當這個矩形是邊長為S的正方形時，它的周長最小，最小值為4S（2）解：設(shè)矩形的相鄰兩條邊的長分別是x，y，則2(x+y)因為xy≤所以xy≤P216因此，當這個矩形是邊長為P4的正方形時，它的面積最大，最大為P解析：分析：（1）利用已知條件結(jié)合矩形的周長公式和均值不等式求最值的方法，進而得出當這個矩形是邊長為S的正方形時，它的周長最小，進而得出矩形的周長的最小值。

（2）利用已知條件結(jié)合矩形的面積公式和均值不等式求最值的方法，進而得出當這個矩形是邊長為P424．答案：（1）解：因為m>0，n>0，m+2n=2，則12所以1m當且僅當2nm=2mn且所以1m+2n≥（2）解：因為m>?1，n>0，m+2n=2，則13(m+1+2n)=1，所以1m+1當且僅當2nm+1=2(m+1)n且所以1m+1+2n≥3解析：分析：（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式即可求出1m+2n的最小值；25．答案：（1）解：因為b=6?1a，所以ba當且僅當b=1a，a=1故ba（2）證明：因為a2所以a2b2解得ab≥8，當且僅當a=26故ab≥8.解析：分析：（1）由題意得b+1a=6，ba=1a×b，根據(jù)基本不等式即可求得最值；26．答案：（1）解：因為a，b是正數(shù)，1a所以a+2b=(a+2b)(1因為ab>0，所以a+2b=3+a當且僅當a=2+1，故a+2b的最小值為3+22（2）解：由1a+1b=1所以a?1>0，b?1>0，又4aa?1+9bb?1=4+所以4a當且僅當a=53，b=52時等號成立，故（3）解：由1a+1b=1所以a?1>0，b?1>0，所以16=16≥8(a?1)(b?1)?17=?9當且僅當a=32，故2a2+解析：分析：（1）化簡得到a+2b=(a+2b)(1a+1b)=3+ab+2ba，結(jié)合基本不等式，即可求解.

27．答案：（1）解：因為m+1+2n=3，(m+1)+2n3所以1=1+4+當且僅當2nm+1=4(m+1)2n，且m+2n=2，即則1m+1（2）解：m==2(n+1)+==9因為m+1+2n+2=5，所以(m+1)+(2n+2)5所以原式==9+16+≥=當且僅當9(2n+2)m+1=16(m+1)2n+2，且m+2n=2，即則