2018-2023年高考數(shù)學(xué)真題匯編：直線與圓（附答案解析）

2018-2023年高考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編：直線與圓

選擇題（共9小題）

1.（2020?新課標(biāo)III）點(diǎn)（0,-1）到直線y=A（x+l）距離的最大值為（）

A.1B.√2C.√3D.2

2.（2018?北京）在平面直角坐標(biāo)系中，記"為點(diǎn)P（COS0,sinθ）到直線X-叩-2=0的

距離.當(dāng)。、機(jī)變化時，d的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2022?上海）設(shè)集合Q={（x,y）?（x-?）2+（?-A2）2=4?k?,?∈Z}

①存在直線/,使得集合。中不存在點(diǎn)在/上，而存在點(diǎn)在/兩側(cè)；

②存在直線/,使得集合。中存在無數(shù)點(diǎn)在/上；（）

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

4.（2022?北京）若直線2x+y-1=0是圓（x-ɑ）2七2=1的一條對稱軸，則°=（）

A.?B.」C.1D.-1

22

5.（2021?全國）己知點(diǎn)P在圓（x+l）2+y=2上，則尸到直線χ+y-5=0距離的最小值為

（）

A.√2B.C.2√2D.3√2

2

6.（2021?北京）已知直線N=?r+”?（"7為常數(shù)）與圓f+y2=4交于/，N,當(dāng)％變化時，

若∣Λ∕N1的最小值為2,則加=（）

A.+1B.+√2C.±√3D.+2

7.（2020?北京）已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)（3,4）,則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）

A.4B.5C.6D.7

8.（2020?新課標(biāo)∏）若過點(diǎn)（2,1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2χ-y-3=0

的距離為（）

A.B.C.D.4?

5555

9.（2020?新課標(biāo)I）已知圓/+72-6χ=0,過點(diǎn)（1,2）的直線被該圓所截得的弦的長度

的最小值為（）

A.IB.2C.3D.4

第1頁（共27頁）

-.多選題（共2小題）

22

（多選）10.（2021?新高考∏）已知直線/："+如-r=0與圓C：Λ+y2=r2,點(diǎn)/（〃，b）,

則下列說法正確的是（）

A.若點(diǎn)4在圓C上，則直線/與圓C相切

B.若點(diǎn)”在圓C外，則直線/與圓C相離

C.若點(diǎn)/在直線/上，則直線/與圓C相切

D.若點(diǎn)/在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相離

（多選）11.（2021?新高考I）已知點(diǎn)P在圓（x-5）2+⑶-5）2=16上，點(diǎn)力（4,0）,

B（0,2）,貝IJ（）

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

B.點(diǎn)尸到直線48的距離大于2

C.當(dāng)NP84最小時，∣P5∣=3√2

D.當(dāng)/P歷（最大時，∣P5∣=3√2

三.填空題（共16小題）

4W

12.（2022?上海）若關(guān)于X,V的方程組I'=2有無窮多解，則實(shí)數(shù)ZM的值為______.

l∑πx+16y=8

13.（2021?上海）直線X=-2與直線√5χ-y÷l=0的夾角為.

14.（2020?上海）已知直線/?:x+ay^?,∕2;ax+y^↑,若h〃b，則/1與/2的距離為.

15.（2018?全國）坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線X-y-6=0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.

16.（2023?上海）已知圓C的一般方程為x2+2x+f=0,則圓C的半徑為.

17.（2022?全國）己知。為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在圓（x+l）2+√=9上,則IoPI的最小值為.

18.（2022?天津）若直線χ-y4"=0（w>0）與圓（X-I）2+（?-1）2=3相交所得的弦

長為m,則m=.

19.（2022?甲卷）設(shè)點(diǎn)M在直線2xty-1=0上，點(diǎn)（3,0）和（0,1）均在。/上，則

0M的方程為.

20.（2022?乙卷）過四點(diǎn)（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三點(diǎn)的一個圓的方程為.

21.（2022?新高考∏）設(shè)點(diǎn)”（-2,3）,B（O,a）,若直線48關(guān)于y=α對稱的直線與圓

（x+3）2+（尹2）2=1有公共點(diǎn)，則”的取值范圍是.

22.（2022?新高考I）寫出與圓χ2t∕=ι和（χ-3）?+（歹-4）2=16都相切的一條直線的

方程.

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23.（2021?天津）若斜率為√5的直線與y軸交于點(diǎn)4與圓x2+（y-l）2=1相切于點(diǎn)B,

^??AB?=.

22

24.（2020?天津）已知直線x-J§y+8=0和圓x+y2=r（r>0）相交于48兩點(diǎn).^?AB?

=6,則廠的值為.

25.（2020?浙江）已知直線y=Ax+6（Ar>O）與圓/±/=1和圓（χ-4）2+/=1均相切，

貝Uk=,b=.

26.（2019?浙江）已知圓C的圓心坐標(biāo)是（0,用），半徑長是人若直線2χ-y+3=0與圓C

相切于點(diǎn)/（-2,-1）.則機(jī)=,r=.

x=-l÷γ-t

27.（2018?天津）已知圓χ2±f-2x=0的圓心為C,直線,廠,（f為參數(shù)）與該

y=32t

圓相交于N,B兩點(diǎn),則4/18C的面積為.

四.解答題（共3小題）

28.（2021?甲卷）在直角坐標(biāo)系XS，中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2&cos&

（1）將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)N的直角坐標(biāo)為（1,0）,M為C上的動點(diǎn)，點(diǎn)P滿足屈=√5疝，寫出尸

的軌跡Cl的參數(shù)方程，并判斷C與。是否有公共點(diǎn).

29.（2019?江蘇）如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路/,湖

上有橋（48是圓O的直徑）.規(guī)劃在公路/上選兩個點(diǎn)P,Q,并修建兩段直線型道

路尸8,QA,規(guī)劃要求：線段尸8,。/上的所有點(diǎn)到點(diǎn)。的距離均不小于圓。的半徑.已

知點(diǎn)4,8到直線/的距離分別為NC和8。（C,。為垂足），測得48=10,∕C=6,BD

=12（單位：百米）.

（1）若道路P8與橋/8垂直，求道路尸8的長；

（2）在規(guī)劃要求下，P和。中能否有一個點(diǎn)選在。處？并說明理由；

（3）在規(guī)劃要求下，若道路尸8和。的長度均為d（單位：百米），求當(dāng)d最小時，P、

。兩點(diǎn)間的距離.

第3頁（共27頁）

D

30.(2019?新課標(biāo)I)已知點(diǎn)N,8關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，MBI=4,0M過點(diǎn)43且與直

線x+2=0相切.

(1)若/在直線x+y=O上，求G)A/的半徑；

(2)是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)/運(yùn)動時，Mzl-IMPI為定值？并說明理由.

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2018-2023年高考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編：直線與圓

參考答案與試題解析

一.選擇題（共9小題）

1.（2020?新課標(biāo)m）點(diǎn)（0,-1）到直線y=左（x+l）距離的最大值為（）

A.1B.√2C.√3D.2

【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】直接代入點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合基本不等式即可求解結(jié)論.

【解答】解：方法一：因?yàn)辄c(diǎn)（0,-1）到直線∕=%（x+因距離d='l}L=必+21;+1

Vk2+l

?.?要求距離的最大值，故需/>0；

?.??2+l>2A,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時等號成立，

可得dw{ι啜=&,當(dāng)A=I時等號成立.

方法二：由y=攵（x+l）可知，直線y=左（x+l）過定點(diǎn)8（-1,0）,

記/（0,-1）,則點(diǎn)/（0,-1）到直線了=左G+1）距離

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2018?北京）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P（COS0,sinθ）到直線X-Wy-2=0的

距離.當(dāng)。、機(jī)變化時，d的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓.

【分析】由題意d=Icose-WSinθ-2I=上爐iS涇2_α）2L,當(dāng)Sin（。一

√1WΛ?

9

a）=-1時，dmaX=IT--≤3.由此能求出d的最大值.

第5頁（共27頁）

【解答】解：由題意"=Icose-?nsinθ-2∣SW-a)亞,

√1W√?

；.當(dāng)sin(θ-ɑ)=-1時，

9

drnax=1+I-≤3.

的最大值為3.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)到直線的距離的最大值的求法，考查點(diǎn)到直線的距離公式、三角函

數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

3.(2022?上海)設(shè)集合Q={(x,y)I(X-O)2+(?-A2)2=4?k?,k&Z}

①存在直線/,使得集合。中不存在點(diǎn)在/上，而存在點(diǎn)在/兩側(cè)；

②存在直線/,使得集合。中存在無數(shù)點(diǎn)在/上；()

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】分k=0,k>0,?<0,求出動點(diǎn)的軌跡，即可判定.

【解答】解：當(dāng)左=O時，集合。={(x,y)I(X-k)2+(y-F)2=4闈，k∈Z}={(0,

0)},

當(dāng)￡>0時,集合。={(x,?)I(χ-?)2+(y-k2)2=4?k?,?∈Z},

表示圓心為(k,k2),半徑為r=2n的圓，

圓的圓心在直線y=/上，半徑「=/(%)=2?單調(diào)遞增，

相鄰兩個圓的圓心距d=J(k+l-k)2+[(k+l)2-k2]2=y∣4k2+4k+2，相鄰兩個圓

的半徑之和為∕≈2√k+2√k+I,

因?yàn)閐>l有解，故相鄰兩個圓之間的位置關(guān)系可能相離，

當(dāng)人<0時?，同%>0的情況，故存在直線/,使得集合Q中不存在點(diǎn)在/上，而存在點(diǎn)在/

兩側(cè)，故①正確，

若直線/斜率不存在，顯然不成立，

設(shè)直線/：y—mx+n,若考慮直線/與圓(x-k)2+Cy-k2)2=4的的焦點(diǎn)個數(shù)，

第6頁(共27頁)

d=∣ι?gk2∣,r=WiTL

給定機(jī)，”，當(dāng)人足夠大時，均有d>r,

故直線/只與有限個圓相交，②錯誤.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了動點(diǎn)的軌跡、直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

4.（2022?北京）若直線2x+y-1=0是圓（x-α）2"=ι的一條對稱軸，貝IJa=（）

A.?B.」C.1D.-1

22

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由圓的方程求得圓心坐標(biāo)，代入直線方程即可求得。值.

【解答】解：圓（x-a）2+y2=1的圓心坐標(biāo)為（α,0）,

:直線2x+y-1=0是圓（χ-a）2+√=l的一條對稱軸，

圓心在直線2x+y-1=0上，可得2α+0-l=0,即α=?∣?.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，明確直線過圓心是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

5.（2021?全國）己知點(diǎn)尸在圓（x+l）2+y2=2±,則尸到直線x+y-5=0距離的最小值為

（）

A.√2B.??i.C.2√2D.3√2

2

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；點(diǎn)到直線的距離公式.

【專題】計算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法：直線與圓；邏輯推理：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】求出圓心C（-1,0）到直線x+y-5=0的距離，減去半徑，即可得出結(jié)論.

【解答】解：（x+l）2+f=2的圓心C（-1,0）到直線x+y-5=0的距離等于旦=3&,

√2

故圓（x+l）2+f=2上的動點(diǎn)P到直線x+y-5=0的距離的最小值為3√5-√^=2√5?

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，求出圓心C（-1,0）

到直線Xty-5=0的距離是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?北京）已知直線y=fcv+機(jī)（加為常數(shù)）與圓X2+/=4交于Λ/,N,當(dāng)A變化時,

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若IMTVI的最小值為2,則機(jī)=（）

A.±1B.±√2C.±√3D.+2

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；邏輯推理.

【分析】將直線被圓C所截的弦長的最小值，轉(zhuǎn)化為圓心到直線/的距離的最大值，結(jié)

合點(diǎn)到直線的距離公式，得到等式關(guān)系，求解即可得到答案.

【解答】解：圓C：x2+y2=4,直線/：y=kx+m,

直線被圓C所截的弦長的最小值為2,設(shè)弦長為α,

則圓心C到直線/的距離1=^4-（f）2=^Zγ-

當(dāng)弦長取得最小值2時，則d有最大值√百=√5,

又d'/1mL,因?yàn)閯t?/l+k2》1,

√l+k2

故d的最大值為ImI=√5,解得，"=±√5?

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，主要考查了直線被圓所截得的弦長問

題，點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于中檔題.

7.（2020?北京）已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)（3,4）,則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）

A.4B.5C.6D.7

【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【專題】對應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；直線與圓；直觀想象.

【分析】結(jié)合題意畫出滿足條件的圖象，結(jié)合圖象求出答案即可.

【解答】解：如圖示：

第8頁（共27頁）

半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)（3,4）,可得該圓的圓心軌跡為（3,4）為圓心，1為半徑的圓,

故當(dāng)圓心到原點(diǎn)的距離的最小時,

連結(jié)03,Z在。8上且ZB=1,此時距離最小,

由OB=5,得OZ=4,

即圓心到原點(diǎn)的距離的最小值是4,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了圓的基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道常規(guī)題.

8.（2020?新課標(biāo)∏）若過點(diǎn)（2,1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2χ-y-3=0

的距離為（）

A,「B?喑D?等

c^/5_

5"^T"

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】方程思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由已知設(shè)圓方程為（x-?）2+（?-ɑ）2=『，（2,D代入，能求出圓的方程,

再代入點(diǎn)到直線的距離公式即可.

【解答】解：由題意可得所求的圓在第一象限，設(shè)圓心為（。，a）,則半徑為α,α>0.

故圓的方程為Cx-a）2+（y-α）2=a2,再把點(diǎn)（2,1）代入，求得a=5或1,

故要求的圓的方程為(χ-5)2+(?-5)2=25或(χ-l)2+(V-I)2=1.

故所求圓的圓心為（5,5）或（1,1）；

∣2×5-5-3I,2√5,或公|2尸-1-3|=

故圓心到直線Ix-y-3=0的距離d=

√22+l25√22+l2

第9頁（共27頁）

2√5.

5

故選:B.

【點(diǎn)評】本題主要考查用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，求出圓心坐標(biāo)和半徑的值，

是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2020?新課標(biāo)I）已知圓f+∕-6x=0,過點(diǎn)（1,2）的直線被該圓所截得的弦的長度

的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì).

【專題】整體思想；綜合法；直線與圓：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由相交弦長M用和圓的半徑，?及圓心C到過O（1，2）的直線的距離〃之間的勾

股關(guān)系，求出弦長的最小值，即圓心到直線的距離的最大時，而當(dāng)直線與CO垂直時d

最大，求出d的最大值，進(jìn)而求出弦長的最小值.

【解答】解：由圓的方程可得圓心坐標(biāo)C（3,0）,半徑r=3；

設(shè)圓心到直線的距離為力則過。的直線與圓的相交弦長

（1,2）M8∣=2jr2.cl2,

當(dāng)最大時弦長最小，當(dāng)直線與所在的直線垂直時最大，這時

dCJDdd=∣CΣ>∣=

√（3-l）2+（2-0）2=2V2>

所以最小的弦長M8∣=2J32-（2點(diǎn)）2=2，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查直線與圓相交的弦長公式，屬于中檔題.

二.多選題（共2小題）

（多選）10.（2021?新高考∏）已知直線/：0x+勿-r2=o與圓c：點(diǎn)/（0,%）,

則下列說法正確的是（）

A.若點(diǎn)/在圓C上，則直線/與圓C相切

B.若點(diǎn)力在圓C外，則直線/與圓C相離

C.若點(diǎn)/在直線/上，則直線/與圓C相切

D.若點(diǎn)/在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相離

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

第10頁（共27頁）

【分析】/中，由點(diǎn)力在圓上，可得α,6,r的關(guān)系，求出圓心到直線/的距離，與半徑

比較可得力的真假；8中，由點(diǎn)/在圓外，可得α,b,r的關(guān)系，求出圓心到直線/的距

離，與半徑比較，可得8的真假；C中，點(diǎn)/在直線/上，可得α,6,r的關(guān)系，求出

圓心到直線/的距離，與半徑比較，可得C的真假；。中，由點(diǎn)4在圓內(nèi)，可得a,b,

廠的關(guān)系，求出圓心到直線/的距離，與半徑比較，可得。的真假.

2

【解答】解：N中，若/在圓上，則/+*=,2,而圓心到直線/的距離d="__=

J2-2

Va+b

H，所以直線與圓相切，即力正確；

2

〃中，點(diǎn)4在圓。外，則。2+房>戶，而圓心到直線/的距離d="_.<∣r∣,所以直

J2,2

Va+bR

線/與圓相交，所以8不正確；

2

。中，點(diǎn)N在直線/上，則/+戶=/2,而圓心到直線/的距離d=-r=L=-=∣r∣,所以

J2-2

Va+b

直線/與圓相切，所以C正確；

2

。中，點(diǎn)4在圓C內(nèi)，則Q2+b2<2,而圓心到直線/的距離__>∣∣,所以直

rJ2,,2r

Va+b

線/與圓相離，所以。正確；

故選：ACD.

【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，點(diǎn)與圓，點(diǎn)與直線的關(guān)系的性質(zhì)的應(yīng)用，

屬于基礎(chǔ)題.

（多選）11.（2021?新高考I）已知點(diǎn)尸在圓（x-5）2+Cy-5）2=16上，點(diǎn)/（4,0）,

B（0,2）,則（）

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線48的距離大于2

C.當(dāng)NP歷!最小時，∣PS∣=3√2

D.當(dāng)NP8/最大時，∣PS∣=3√2

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】求出過/8的直線方程，再求出圓心到直線45的距離，得到圓上的點(diǎn)尸到直線

第11頁（共27頁）

48的距離范圍，判斷Z與8；畫出圖形，由圖可知，當(dāng)過8的直線與圓相切時，滿足/

PBN最小或最大，求出圓心與2點(diǎn)間的距離，再由勾股定理求得尸為判斷C與ZX

【解答】解：(4,O),B(0,2),

過/、B的直線方程為工4=1，即x+2y-4=0,

圓(χ-5)2+3-5)2=16的圓心坐標(biāo)為(5,5),

圓心到直線x+2y-4=0的距離√=ll×5+2×?-4L1?-=11V∑>4,

22

√l+2√55

...點(diǎn)P到直線48的距離的范圍為［紅叵_小衛(wèi)返+4］，

55

vli√∑<5,.?.11√∑-4<L11√Σ+4<IO,

555

.?.點(diǎn)P到直線的距離小于10,但不一定大于2,故/正確，8錯誤；

如圖，當(dāng)過8的直線與圓相切時，滿足NPA4最小或最大(尸點(diǎn)位于Pl時/PA4最小,

位于P2時/P8/最大)，

此時Wq=Y(5-0)2+(5-2)2:每百=√34，

?,??PB?=?∣∣BCI2-42=√ιs=3√2，故cd正確?

【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

三.填空題(共16小題)

12?(2022?上海)若關(guān)于X,y的方程組IXrny=2有無窮多解，則實(shí)數(shù)加的值為4

［mx+16y=8

【考點(diǎn)】方程組解的個數(shù)與兩直線的位置關(guān)系；直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系；

兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

第12頁(共27頁)

【分析】根據(jù)題意，分析可得直線x+my=2和機(jī)x+16y=8平行，由此求出團(tuán)的值，即可

得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，若關(guān)于X,y的方程組I'4W=2有無窮多解，

[ιnx+16y=8

貝Il直線x+my=2和機(jī)x+16y=8重合，則有IX16=ZnXm，即"，=[6,解可得機(jī)=±4,

當(dāng)w=4時，兩直線重合，方程組有無數(shù)組解，符合題意，

當(dāng)機(jī)=-4時，兩直線平行，方程組無解，不符合題意，

故m—4.

故答案為：4

【點(diǎn)評】本題考查直線與方程的關(guān)系，注意轉(zhuǎn)化為直線與直線的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

13.（2021?上海）直線X=-2與直線JEX->1=0的夾角為「L_.

,-6

【考點(diǎn)】兩直線的夾角與到角問題.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；直線與圓：數(shù)據(jù)分析.

【分析】先求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角.

【解答】解：Y直線X=-2的斜率不存在，傾斜角為工，

2

直線√Ex-y+l=0的斜率為√5,傾斜角為工，

3

故直線X=-2與直線√ξχ-y+l=O的夾角為工-工=工，

236

故答案為：2L.

6

【點(diǎn)評】本題主要考查直線的斜率和傾斜角，兩條直線的夾角，屬于基礎(chǔ)題.

14.（2020?上海）已知直線∕∣:x+ay=l,∕2:αx+y=l,若l?∕∕l2,則1\與b的距離為

【考點(diǎn)】兩條平行直線間的距離.

【專題】方程思想；定義法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由/|〃/2求得。的值，再根據(jù)兩平行線間的距離計算即可.

【解答】解：直線/1：x+ay—1,/2：ax+y-?,

當(dāng)/1〃，2時，『-1=0,解得“=±1；

當(dāng)α=l時∕∣與/2重合，不滿足題意；

當(dāng)α=-l時八〃/2，此時/1：χ-y-1=0,/2：X-尸4=0；

第13頁（共27頁）

則/?與/2的距離為d=I-ITI=近.

√ι2÷（-υ2

故答案為：√2?

【點(diǎn)評】本題考查了平行線的定義和平行線間的距離計算問題，是基礎(chǔ)題.

15.（2018?全國）坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線X-y-6=0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（6,-6）.

【考點(diǎn)】與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的直線方程.

【專題】計算題；方程思想；定義法；直線與圓.

【分析】設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線X-y-6=0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,b）,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公

式、直線與直線垂直的性質(zhì)列出方程組，能求出結(jié)果.

【解答】解：設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線X-V-6=0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（α,b）,

-Xl=-I

則.a，

laτb-6=°

解得α=6,b--6.

.?.坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線x-y-6=0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（6,-6）.

故答案為：（6,-6）.

【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線與直線

垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

16.（2023?上海）已知圓C的一般方程為x2+2x+f=0,則圓C的半徑為1.

【考點(diǎn)】圓的一般方程.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】把圓C的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓C的圓心和半徑.

【解答】解：根據(jù)圓C的一般方程為f+2χ+爐=0,可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+l）2+/

=1,

故圓C的圓心為（0,-1）,半徑為1,

故答案為：L

【點(diǎn)評】本題主要考查圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程，屬基礎(chǔ)題.

17.（2022?全國）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在圓（X+1）2+∕=9上，則IoPl的最小值為2.

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

第14頁（共27頁）

【分析】由圓的參數(shù)方程可得尸的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式寫出IoPI，結(jié)合三角函

數(shù)求最值.

【解答】解：如圖，

X

令x+l=3COS0,v=3sinθ,得x=3COSe-1,y=3sinθ,BfJP(3cosθ-1,3sinθ),

,JOPl=Q(3COS8-1)2+(3Sinθ)2=410-6CoS8，

則當(dāng)cosθ=l時，IOPl有最小值為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查圓的應(yīng)用，考查圓的參數(shù)方程，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

18.(2022?天津)若直線χ-y+∕n=0(w>0)與圓(X-I)2+(y-1)2=3相交所得的弦

長為〃?，則加=2.

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】先求出圓心到直線的距離，再根據(jù)圓中的弦長公式建立方程，最后解方程即可

得解.

【解答】解：Y圓心C(1,1)到直線X-尹機(jī)=O(∕n>0)的距離d=%,

√2

又直線與圓相交所得的弦長為m,

22

Λw-2√r-d'

2

??m2=4(?-?),

解得加=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查直線與圓相交的弦長問題，點(diǎn)到直線的距離公式，方程思想，屬基礎(chǔ)

題.

第15頁(共27頁)

19.(2022?甲卷)設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y-1=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在。M上，則

OM的方程為(X-I)2+(Hl)2=5.

【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】設(shè)出圓心坐標(biāo)(α,l-2α),根據(jù)半徑相等，求得〃的值，可得圓心和半徑，從

而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【解答】解：由點(diǎn)M在直線2x+y-1=0上，可設(shè)M(α,l-2α),

由于點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在OM上，；?圓的半徑為J(a-3)2+(i-2a-0)2=

√(a-0)+(l-2a-l),

求得α=l,可得半徑為√至，圓心M(1,-1),

故。加的方程為(x-l)2+3+1)2=5,

故答案為：(X-I)2+(j+l)2=5.

【點(diǎn)評】本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，關(guān)鍵是確定圓心和半徑，屬于基礎(chǔ)題.

20.(2022?乙卷)過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個圓的方程為

x2+v2-4x-6v=0(或/+B-4x-2v=0或x2+/一2X-JAv=O或χ2+/--?t-2”~??

-—3—355

=0).

【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的一般方程.

【專題】方程思想；待定系數(shù)法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】選其中的三點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求出圓的方程.

【解答】解：設(shè)過點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1)的圓的方程為χ2T+Aχ+jξy+F=0,

'F=O

即，16+4D+F=。，解得尸=0，D=--4,E=-6,

,2-D+E+F=0

所以過點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1)圓的方程為χ2"-4χ-6y=0.

同理可得，過點(diǎn)(0,0),(4,0),(4,2)圓的方程為χ2+y2-4x-2y=0.

過點(diǎn)(0,0),(-L1),(4,2)圓的方程為χ2t∕-J-JAy=O.

33'

過點(diǎn)(4,0),(-1,1),(4,2)圓的方程為f"-也?-2y-Jg=0.

55

故答案為:/+)2-4X-6y=0(或#+)2-4X-2y=0或/+)2,??-JAy=O?Kx2+y2-兇?x

第16頁(共27頁)

-27

【點(diǎn)評】本題考查了過不在同一直線上的三點(diǎn)求圓的方程應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

21?(2022?新高考II)設(shè)點(diǎn)/(-2,3),B(O,a),若直線/8關(guān)于y=α對稱的直線與圓

(x+3)2+(>2)2=1有公共點(diǎn)，則“的取值范圍是_[工_3]_.

32

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】求出的斜率，然后求解直線關(guān)于y="對稱的直線方程，利用圓的圓心

到直線的距離小于等于半徑，列出不等式求解。的范圍即可.

【解答】解：點(diǎn)4(-2,3),B(O,α),尬8=等，所以直線48關(guān)于y="對稱的直

線的斜率為：芋，所以對稱直線方程為：y-a=^-,χ,即：(3-α)χ-2y+2a=0,

(x+3)2+(>2)2=1的圓心(-3,-2),半徑為1,

所以∣3/a-3)+4+2a|《得12層-22α+6≤0,解得〃曰工，?.

√4÷(3-a)232

故答案為：母,-∣].

【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是

中檔題.

22.(2022?新高考[)寫出與圓χ2t"=ι和(X-3)2+⑶-4)2=16都相切的一條直線的

方程X=-I(填3x+4y-5=0,7x-24v-25=0都正確).

【考點(diǎn)】圓的切線方程.

【專題】方程思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意畫出圖形，可得兩圓外切，由圖可知，與兩圓都相切的直線有三條.分

別求出三條切線方程，則答案可求.

【解答】解：圓A2+/=1的圓心坐標(biāo)為O(O,(J),半徑n=],

2

圓(X-3)+(廠4)2=16的圓心坐標(biāo)為C(3,4),半徑r2=4,

如圖：

第17頁(共27頁)

與兩圓都相切的直線有三條.

.?.∕1的斜率為旦，設(shè)直線/1：N=-3χ+b,即3x+4y-4b=0,

44

由I-4bI=],解得/,=§（負(fù)值舍去），則/1：3x+4y-5=0;

54

由圖可知，/2：X=-I;/2與/3關(guān)于直線尸X對稱，

,χ=-l

聯(lián)立44，解得/2與/3的一個交點(diǎn)為（-I,一生），在/2上取一點(diǎn)（-1,0）,

y^-χ3

?4x0~1

----='

23----2

該點(diǎn)關(guān)于y=芻X的對稱點(diǎn)為（χo,yo）,則｛UJ,解得對稱點(diǎn)為JL,-2魚）.

■3y032525

工，則/?:y—7，4即

五（x+l）下7χ-24y-25=0.

24

二與圓x2+∕=l和（x-3）2+（廠4）2=16都相切的一條直線的方程為:

X--1（填3x+4y-5=0,7x-24y-25=0都正確）.

故答案為：X=-I（填3x+4y-5=0,7x-24廠25=0都正確）.

【點(diǎn)評】本題考查圓的切線方程的求法，考查圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能

力，是中檔題.

23.（2021?天津）若斜率為√3的直線與y軸交于點(diǎn)4與圓x2+（y-l）2=1相切于點(diǎn)私

貝!1]/陰=_遙―.

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；邏輯推理：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意如圖可得/8與半徑BC的關(guān)系，再由切線的斜率可得的值.

第18頁（共27頁）

【解答】解假設(shè)/在X軸的上方，斜率為√E的直線與X軸交于。，

則可得tan∕∕Z）0=√5,所以CotN8∕C=J5,如圖所示，由圓C的方程可得，圓的半

徑為∣8C∣=1,

由于8為切點(diǎn)，所以∕18L8C,所以H8∣=∣8q?cotN8∕C=√^,

故答案為：√3?

【點(diǎn)評】本題考查直線與圓相切的性質(zhì)，直線斜率的應(yīng)用，屬于中檔題.

22

24.（2020?天津）已知直線χ-JSy+8=0和圓x+y2=r（r>0）相交于48兩點(diǎn).^?AB?

=6,則廠的值為5.

【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì).

【專題】計算題：方程思想：轉(zhuǎn)化思想；直線與圓：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心，由點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線X-√Sy+8

=0的距離，結(jié)合直線與圓相交的性質(zhì)可得內(nèi)=/+（_L&_L）2,計算可得答案.

2

【解答】解：根據(jù)題意，圓χ2tr2=/的圓心為（0,0）,半徑為r；

則圓心到直線X-√3y+8=0的距離d=’二=4,

√1^3

AB

若3陰=6,則有r2=/+（IL）2=16+9=25,

故/-=5；

故答案為：5

【點(diǎn)評】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，涉及弦長的計算，屬于基礎(chǔ)題.

25.（2020?浙江）已知直線y=fcc+b（?>0）與圓χ2±∕=ι和圓（χ-4）2+∕=ι均相切，

則上=_亞-h=-.?ZΣ.

—3——3—

【考點(diǎn)】圓的切線方程.

第19頁（共27頁）

【專題】方程思想；分析法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)直線/與兩圓都相切，分別列出方程d∣=*L=l,L=」號也Ll,

解得即可.

【解答】解：由條件得Cl(0,0),rι=l,C2(4,0),∕?2=1,

因?yàn)橹本€/與Cι,C2都相切，

故有力=Jbl=i,d2=∣4k÷bI=1)

則有，故可得序=(4?+?)2,整理得%(2k+b)=0,

Vl+k2√l+k2

因?yàn)楹?0,所以2k?=0,即6=-2k,

=1,解得左=Y?,