第2講函數(shù)的圖像與性質(zhì)

第2講函數(shù)的圖像與性質(zhì)知識方法掃描一、映射對于任意兩個(gè)集合與，依對應(yīng)法則，若對巾的任意一個(gè)元素，在中都有唯一一個(gè)元素與之對應(yīng)，則稱為一個(gè)映射．若：是一個(gè)映射，對任意，且，都有則稱之為單射．若是映射且對任意，都存在一個(gè)，使得，則稱是到上的滿射．若既是單射又是滿射，則叫作一一映射．一一映射存在逆映射，即從到由相反的對應(yīng)法則構(gòu)成的映射，記作．

二、函數(shù)的基本性質(zhì)

1．單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上滿足對任意的，并且，總有，則稱在區(qū)間上是增（減）函數(shù)，區(qū)問稱為單調(diào)增（減）區(qū)間．

2．奇偶性：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且是關(guān)于原點(diǎn)對稱的數(shù)集，若對于任意的，都有，則稱是奇函數(shù)；若對任意的，都有，則稱是偶函數(shù)．奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱．3．周期性：對于函數(shù)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)每一個(gè)數(shù)時(shí)，總成立，則稱為周期函數(shù)，稱為這個(gè)函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù)，則這個(gè)正數(shù)叫作函數(shù)的最小正周期．4．點(diǎn)集稱為函數(shù)的圖像，其中為的定義域．函數(shù)的圖像與其他函數(shù)圖像之間的關(guān)系為（1）向右平移個(gè)單位得到的圖像；（2）向左平移個(gè)單位得到的圖像；（3）向下平移個(gè)單位得到的圖像；（4）與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱；（5）與函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱；（6）與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；（7）與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱．5．對勾函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為和．（請讀者自己用定義證明）6．連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：若，在上連續(xù)，且，則在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根．處理函數(shù)問題時(shí)考生要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．經(jīng)常要將函數(shù)與方程結(jié)合起來一起考慮．要求熟練掌握常用的基本初等函數(shù)（二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)）的圖像與性質(zhì)．還要注意函數(shù)中的應(yīng)用性、開放性和探索性問題．典型例題剖析【例1】已知實(shí)數(shù)，滿足，求．【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性．【解】由已知有．令，可知該函數(shù)是奇函數(shù)，且嚴(yán)格單調(diào)遞增，故，即．所以，即．評注這類問題一般是利用函數(shù)的特殊性質(zhì)來解決．【例２】設(shè)是一個(gè)給定的實(shí)數(shù)，試求所有的函數(shù)：為全體實(shí)數(shù)的集合），使得對于任何的，都有及．【分析】由可得，，又由，于是可考慮從，的最小公倍數(shù)12入手將兩者聯(lián)系起來．【解】由知，，則．由知，，則所以，所以．于是由，所以．綜上可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不存在．評注這類問題對函數(shù)的周期性進(jìn)行挖掘和延伸，值得留意．【例3】已知，求的最小值【分析】本題結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，頗難處理，但若將條件變形為并自然聯(lián)想起函數(shù)的單調(diào)性，則問題迎刃而解．【解】已知條件可以變形為．構(gòu)造函數(shù)，則以上不等式即為．由于，易知在與上均單調(diào)遞增，于是在上單調(diào)遞增．所以由知，，又因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．評注靈活利用函數(shù)的性質(zhì)解題，往往可以事半功倍．【例4】求的最小值．【分析】絕對值型函數(shù)的最值問題，可以考慮絕對值的幾何意義，也可以首先分析最值點(diǎn)可能在哪些地方取得進(jìn)行突破．【解法1】由絕對值的幾何意義，想到將整理為，共項(xiàng)，則表示數(shù)軸上點(diǎn)到，，這個(gè)點(diǎn)距離之和，由于，所以的最小值在第和第個(gè)點(diǎn)之間取得，又由于，則，所以第和第個(gè)點(diǎn)均為，所以．【解法2】當(dāng)與時(shí)，均有，且為連續(xù)函數(shù)，由圖像知，的最小值只可能在轉(zhuǎn)折點(diǎn)處取得，則又由于，所以的最小值一定在，兩者中取得，而．所以，當(dāng)時(shí)，．評注解法1從絕對值的幾何意義出發(fā)求最值，解法2從函數(shù)圖像的角度分析求最值．【例5】求函數(shù)的值域．【分析】要求函數(shù)的最值或值域，首先考慮函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．【解法1】函數(shù)的定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)，，于是，，當(dāng)時(shí)等號取得．（2）當(dāng)時(shí)，．因?yàn)椋瑒t，則，所以．所以，原函數(shù)的值域?yàn)椋窘夥?】由得，（1）當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)是增函數(shù)，故，從而．當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)是減函數(shù)，故，從而，即．【解法3】由得，平方后即，解得，由，解得．所以，原函數(shù)的值域?yàn)椋u注隨著學(xué)習(xí)的進(jìn)一步深入，處理手段的增多，該題還會有一些其他解法（如求導(dǎo)、三角代換等）．【例6】試構(gòu)造函數(shù)、，其定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，并且對任意的，只有一解，而則有無窮多解．【分析】構(gòu)造函數(shù)的主要難點(diǎn)在于定義域?yàn)殚_區(qū)間而值域?yàn)殚]區(qū)間．【解】事實(shí)上，題目要求構(gòu)造的函數(shù)是一個(gè)單射，為了使定義域?yàn)?，值域?yàn)?，我們?gòu)造這樣的：易驗(yàn)證，滿足題設(shè)的條件．而題目要求構(gòu)造的函數(shù)不是一個(gè)單射，在我們所接觸的函數(shù)中，最常見的非單射的函數(shù)是三角函數(shù)．設(shè)，易知，滿足題設(shè)的條件．評注本題有大學(xué)數(shù)學(xué)的風(fēng)格．【例7】討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)．【分析】要求方程的根的個(gè)數(shù)，我們可考慮畫出函數(shù)和的圖像，前者可采用零點(diǎn)分段法去掉絕對值符號變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，后者是經(jīng)過定點(diǎn)的直線．【解】原方程的根的個(gè)數(shù)即函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（圖21），利用絕對值函數(shù)的零點(diǎn)分段討論法，不難得到．另一方面，一次函數(shù)恒過定點(diǎn)，經(jīng)計(jì)算，可得的分界點(diǎn)為，所以，可以得到方程根的個(gè)數(shù)為評注利用數(shù)形結(jié)合的方法，將代數(shù)問題幾何化避免了復(fù)雜的計(jì)算，正如華羅庚教授的名言：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微．【例8】已知函數(shù)．（1）是否存在實(shí)數(shù)和，使得函數(shù)的定義域和值域都是?若存在，請求出和的值；若不存在，請說明理由．（2）若存在實(shí)數(shù)和，使得函數(shù)的定義域是，值域是，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】需要利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式關(guān)系，以及代數(shù)方程來討論．【解】（1）不存在滿足題目條件的實(shí)數(shù)和．事實(shí)上，若存在滿足題目條件的實(shí)數(shù)和，則有．故．（i）當(dāng)，時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，所以即．由此推得，與已知矛盾，故此時(shí)不存在滿足題目條件的實(shí)數(shù)和（ii）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，所以即，于是和為方程的實(shí)根．而此時(shí)這個(gè)方程無實(shí)根，故此時(shí)也不存在滿足題目條件的實(shí)數(shù)和（iii）當(dāng)，時(shí)，顯然，而，所以，這與中的無法取0矛盾．綜上可知，不存在滿足題目條件的實(shí)數(shù)和．（2）若存在實(shí)數(shù)和滿足的定義域是，值域是，易得．仿（1）知，當(dāng)或，時(shí)，滿足題目條件的實(shí)數(shù)和不存在．只有當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，有即，于是和為方程的兩個(gè)大于1的實(shí)根．所以要滿足解得．所以的取值范圍為．評注解決此類探索性問題時(shí)需要充分利用題設(shè)條件．同步訓(xùn)練一、選擇題1．函數(shù)的圖像的對稱中心是（）． A． B． C． D．2．函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則的值等于（）． A． B． C． D．二、填空題3．已知，若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解，則的取值范圍是．4．設(shè)是定義在上的函數(shù)，若，且對任意，滿足，，則．5．已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．6．若對滿足的一切，恒成立，則的取值范圍是．7．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．三、解答題9．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．10．設(shè)函數(shù)滿足：，且當(dāng)時(shí)有，證明：當(dāng)時(shí)，有．11．設(shè)．當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上的最大值為1，求的最大值和最小值．12．設(shè)是實(shí)數(shù)，．（1）求證：所有這樣的拋物線都經(jīng)過同一個(gè)定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求證：所有這樣的拋物線的頂點(diǎn)都在同