第6章 空間向量與立體幾何單元綜合測試卷（解析版）

第6章空間向量與立體幾何單元綜合測試卷第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知法向量為的平面α內(nèi)有一點(diǎn)，則平面外點(diǎn)到平面的距離為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】依題意，，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：C2．已知為空間任意一點(diǎn)，滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且，則的值為（）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)闉榭臻g任意一點(diǎn)，，所以，所以，因?yàn)锳，B，C，P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，所以，解得．故選：C．3．向量，，若，則（

）A． B．，C．， D．，【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，解得?故選：C4．已知向量，，則（

）A． B．0 C．2 D．10【答案】B【解析】由題設(shè)，則，所以.故選：B5．已知四面體是的重心，若，則（

）A．4 B． C． D．【答案】B【解析】取的中點(diǎn)，所以，又，可得，所以.故選：B.6．直線l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A． B．C．或 D．與的位置關(guān)系不能判斷【答案】C【解析】由題意直線l的一個(gè)方向向量與平面的一個(gè)法向量的數(shù)量積為，所以或.故選：C.7．我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線的一個(gè)法向量為，則直線的點(diǎn)法式方程為：，化簡得.類比以上做法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)的平面的一個(gè)法向量為，則該平面的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意進(jìn)行類比，在空間任取一點(diǎn)，則平面法向量為，故選：A．8．正方形的邊長為12，其內(nèi)有兩點(diǎn)、，點(diǎn)到邊、的距離分別為3，2，點(diǎn)到邊、的距離也是3和2．現(xiàn)將正方形卷成一個(gè)圓柱，使得和重合（如圖）．則此時(shí)、兩點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】過點(diǎn)作平行于底面的截面圓，過點(diǎn)作平行于底面的截面圓，，設(shè)圓柱的底面圓半徑為，則，解得，于是，由，得，所以、兩點(diǎn)間的距離為.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．給出下列命題，其中正確命題有（

）A．空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為一個(gè)基底B．已知，則與任何向量都不構(gòu)成空間的一個(gè)基底C．已知向量，則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底D．是空間四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則共面【答案】ACD【解析】選項(xiàng)中，根據(jù)空間基底的概念，可得任意三個(gè)不共面的向量都可以作為一個(gè)空間基底，所以正確；選項(xiàng)中，根據(jù)空間基底的概念，可得不正確；選項(xiàng)中，因?yàn)樗耘c任何向量都共面，故不能構(gòu)成一個(gè)空間基底，所以正確；選項(xiàng)中，由不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，可得共面，又由過相同點(diǎn)，可得四點(diǎn)共面，所以正確.故選：ACD.10．下列命題中，正確的是（

）A．兩條不重合直線的方向向量分別是，，則B．直線l的方向向量，平面的法向是，則C．兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則D．直線l的方向向量，平面的法向量，則直線l與平面所成角的大小為【答案】AC【解析】A選項(xiàng)：因?yàn)?，且不重合，所以，A正確；B選項(xiàng)：因?yàn)?，所以所以或，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，C正確；D選項(xiàng)：記直線l與平面所成角為，則，因?yàn)椋裕珼錯(cuò)誤.故選：AC11．如圖，正方體的棱長為，是上的動(dòng)點(diǎn)，以下說法正確的是（

）

A．的面積是定值 B．與共線的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個(gè)法向量是【答案】AD【解析】A選項(xiàng)：在上且，到的距離等于到的距離，設(shè)為定值，為定值，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：的模為，不為單位向量，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；如圖所示建系，，，，，則，，C選項(xiàng)：，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：設(shè)，則，，即，，為面的一個(gè)法向量，故D選項(xiàng)正確；故選：AD．12．已知正方體的棱長為為棱中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），下面說法正確的是（

）A．平面截正方體截得的多邊形是正方形B．長度的最大值為6C．存在點(diǎn)，使得D．當(dāng)為棱中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為【答案】BCD【解析】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，則，，，由，故，故A錯(cuò)誤；可設(shè)，則，由，故長度的最大值為，故B正確；，，故，則當(dāng)時(shí)，有，即存在點(diǎn)，使得，故C正確；當(dāng)為棱中點(diǎn)時(shí)，，，有，則，故D正確.故選：BCD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若與互相垂直，則．【答案】【解析】由題意得：，∵與互相垂直，∴，則，解得.故答案為：.14．若空間向量共面，則實(shí)數(shù)【答案】1【解析】由題可知，即，所以，故．故答案為：1.15．在棱長為3的正方體中，為線段靠近的三等分點(diǎn).為線段靠近的三等分點(diǎn)，則直線到平面的距離為.【答案】/【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，而平面，平面，故平面，所以直線到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離.又，，設(shè)平面的法向量為，故，即，取，則，又，故點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.16．在直三棱柱中，，且，已知為線段的中點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的平面為，則平面截此三棱柱的外接球所得截面的面積為.【答案】【解析】如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則.連接相交于點(diǎn).直三棱柱中，，故此三棱柱的外接球即為以分別為長、寬、高的長方體的外接球，且點(diǎn)為外接球球心.因?yàn)?，所以，所以外接球半徑?設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則，所以.又，所以點(diǎn)到平面的距離為.所以平面截此三棱柱的外接球所得的截面圓的半徑為，故截面面積為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）如圖，在直四棱柱中，，，，E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

(1)求的值；(2)證明：C，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面.【解析】（1）∵，∴，，，，∴，，∴.（2）證明：由（1）得：，令，即，解得∴.故C，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面.18．（12分）如圖，在三棱柱中，，分別是，上的點(diǎn)，且,設(shè)，，．

(1)試用表示向量；(2)若，，，求線段的長．【解析】（1）因?yàn)椋鶕?jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得.（2）因?yàn)?，，，可得且，則，所以，即線段的長．19．（12分）如圖，在邊長為2的正方體中，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值.【解析】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，所以，所以，又平面，所以平面.（2）由（1）可知，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，即直線與平面所成角的余弦值為.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，，，底面ABCD，，E為PB中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求平面EAD與平面PCD所成銳二面角的余弦值．【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，,，,所以.（2）設(shè)平面的法向量為，,,,所以設(shè)平面的法向量為，，，,，所以，所以.21．（12分）圖1是直角梯形，，，，，，在線段上，且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2．(1)求證：平面平面(2)在棱上存在點(diǎn)，使得銳二面角的大小為，求到平面的距離．【解析】（1）在圖1中，過作，所以，又，所以，所以是等邊三角形；連接，可得：也是等邊三角形.在圖2中取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，，所以，所?且，，PO平面，平面，所以平面，平面，所以平面平面.（2）因?yàn)?，，兩兩垂直，可以以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.則，，，所以：，.設(shè)，，所以所以.設(shè)平面的法向量，則，可取.取平面的法向量.銳二面角的大小為，所以，即或（舍去）.所以平面的法向量，.所以點(diǎn)到平面的距離為：.22．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為梯形，，.

(1)求點(diǎn)到平面ABCD的距離；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面DBF與平面PBC夾角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題設(shè)，知，所以.又，所以為等邊三角形，所以.在中，，所以.即，則.所以，即，又，且平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?如圖1，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所?又因?yàn)槠矫嫫矫?，平?所以平面，所以即為點(diǎn)到平面的距離.在中，，所以.即點(diǎn)到平