2023-2024學年福建省高一數(shù)學下學期入學質量抽測試卷附答案解析

-2024學年福建省高一數(shù)學下學期入學質量抽測試卷（考試時間：120分鐘；總分：150分）友情提示：請將所有答案填寫到答題卡上！請不要錯位、越界答題！一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（

）A． B． C． D．2．數(shù)學符號的使用對數(shù)學的發(fā)展影響深遠，“=”作為等號使用首次出現(xiàn)在《礪智石》一書中，表達等式關系，英國數(shù)學家哈利奧特首次使用“”和“”，便于不等式的表示，則命題，，的否定為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，3．已知下列表格表示的是函數(shù)，則的值為（

）x0123y0214A． B． C．0 D．14．《紅樓夢》、《西游記》、《水滸傳》、《三國演義》為我國四大名著，其中羅貫中所著《三國演義》中經(jīng)典的戰(zhàn)役赤壁之戰(zhàn)是中國歷史上以弱勝強的著名戰(zhàn)役之一，東漢建安十三年（公元208年），曹操率二十萬眾順江而下，周瑜、程普各自督領一萬五千精兵，與劉備軍一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大敗曹軍．第49回“欲破曹公，宜用火攻；萬事俱備，只欠東風”，你認為“東風”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．某校高一6班有學生50人，為迎接國慶節(jié)的到來，班級組織了兩個活動，其中活動參與的人數(shù)有30人，活動參與的人數(shù)有25人，由于個人原因有5人兩個活動都沒有參與，則該班僅參與一個活動的人數(shù)為（

）A．40 B．35 C．30 D．256．函數(shù)，若，則，，的大小關系是（

）.A． B．C． D．7．如圖直角坐標系中，角、角的終邊分別交單位圓于A、B兩點，若B點的縱坐標為，且滿足，則的值為（

）

A． B． C． D．8．某企業(yè)從2011年開始實施新政策后，年產(chǎn)值逐年增加，下表給出了該企業(yè)2011年至2021年的年產(chǎn)值（萬元）.為了描述該企業(yè)年產(chǎn)值（萬元）與新政策實施年數(shù)（年）的關系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型：，（，且），（，且），選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，預測該企業(yè)2024年的年產(chǎn)值約為（

）（附：）年份20112012201320142015201620172018201920202021年產(chǎn)值278309344383427475528588655729811A．924萬元 B．976萬元 C．1109萬元 D．1231萬元二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知函數(shù)，則（

）A．的最大值為2B．函數(shù)的圖象關于點對稱C．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸D．函數(shù)在區(qū)間上單調遞增10．德國數(shù)學家康托爾是集合論的創(chuàng)立者，為現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展作出了重要貢獻．某數(shù)學小組類比拓撲學中的康托爾三等分集，定義了區(qū)間上的函數(shù)，且滿足：①任意，；②；③，則（

）A．在上單調遞增 B．的圖象關于點對稱C．當時， D．當時，11．設，當時，規(guī)定，如，.則下列選項正確的是（

）A．B．C．設函數(shù)的值域為，則的子集個數(shù)為D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知，，則.13．為豐富學生課余生活，拓寬學生視野，某校積極開展社團活動，高一（1）班參加社團的學生有21人，參加社團的學生有18人，兩個社團都參加的有7人，另外還有3個人既不參加社團也不參加社團，那么高一（1）班總共有學生人數(shù)為．14．已知不是常數(shù)函數(shù)，且滿足：.①請寫出函數(shù)的一個解析式；②將你寫出的解析式得到新的函數(shù)，若，則實數(shù)a的值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知關于的不等式的解集為.(1)求實數(shù)，的值；(2)若正實數(shù)，滿足，求的最小值.16．已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(2)討論函數(shù)在上的單調性，并加以證明．17．已知函數(shù)．請從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，解答下面的問題．條件①：;條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答記分．(1)求實數(shù)k的值；(2)設函數(shù)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性，并給出證明；(3)設函數(shù)，指出函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)，并說明理由．18．設函數(shù)，，．(1)求函數(shù)在上的單調區(qū)間；(2)若，，使成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)求證：函數(shù)在上有且只有一個零點，并求（表示不超過x的最大整數(shù)，如，）．參考數(shù)據(jù)：，．19．有如下條件：①對，，2，，均有；②對，，2，，均有；③對，，2，3，；若，則均有；④對，，2，3，；若，則均有.(1)設函數(shù)，，請寫出該函數(shù)滿足的所有條件序號，并充分說明理由；(2)設，比較函數(shù)，，值的大小，并說明理由；(3)設函數(shù)，滿足條件②，求證：的最大值.（注：導數(shù)法不予計分）1．B【分析】借助誘導公式計算即可得.【詳解】.故選：B.2．D【分析】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，進而得出答案.【詳解】因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題，，的否定為，，．故選：D．3．B【分析】根據(jù)給定的數(shù)表，直接計算得解.【詳解】依題意，，所以.故選：B4．B【分析】根據(jù)充分、必要條件的定義判定即可.【詳解】易知：“東風”是“打敗曹操”的必要不充分條件.故選：B5．B【分析】首先求出參加、兩項活動的人數(shù)，即可求出僅參與一個活動的人數(shù).【詳解】依題意參加、兩項活動的有人，則僅參與一個活動的人數(shù)為人.故選：B6．A【分析】先根據(jù)求得，再根據(jù)不等式性質結合中間值比較大小即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，又，所以.故選：A7．C【分析】由B點的縱坐標可得，即可得，可得范圍，由可得的值，結合范圍可得的值，化簡后代入計算即可得.【詳解】由B點的縱坐標為，即，則，故，，即，又，則有，故，.故選：C.8．C【分析】觀察表格中數(shù)據(jù)，越往后的年份的產(chǎn)值比上一年增加的越多，由此可結合函數(shù)的性質確定最符合實際的函數(shù)模型，再代入數(shù)值計算，即得答案.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知該企業(yè)年產(chǎn)值（萬元）隨著新政策實施年數(shù)（年）的增加而增加，結合2012年比2011年增加31萬元，2021年比2020年增加82萬元，可知越往后的年份比上一年增加的產(chǎn)值越多，即y的增長速度越來越快，結合三種函數(shù)模型：，（，且），（，且），可知（，且）為最符合實際的函數(shù)模型；則，故，故預測該企業(yè)2024年的年產(chǎn)值約為，則（萬元），即預測該企業(yè)2024年的年產(chǎn)值約為1109萬元，故選：C【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)的增加趨勢，即函數(shù)值的增加速度越來越快，從而確定最符合實際的函數(shù)模型，還要注意選擇接近于2024年的產(chǎn)值去計算，更為精確一些.9．AB【分析】先用輔助角公式將函數(shù)變形為，結合正弦型函數(shù)的性質逐項判斷正確與否即可.【詳解】函數(shù)，對于選項A，，A正確；對于選項B和C，將代入函數(shù)的解析式，得，函數(shù)的圖象關于點對稱，B正確，C錯誤；對于選項D，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，D不正確；故選：AB.10．BCD【分析】利用賦值法，求得，由單調性定義可判斷A；由③得，利用對稱性性質可判斷B；求得，，進而得，可判斷C；求得，進而得，即，即可判斷D.【詳解】由②得，即，得，而，得，∴，故A錯誤；由③可知，，即，則的圖象關于點對稱，故B正確；由②得，則，由③得，即，由，得，故C正確；由，得，則，∵任意，，∴當時，，即，∴，即，則，故D正確.故選：BCD.11．BD【分析】結合特例，可判定A錯誤；結合，可判定B正確；結合正弦、余弦函數(shù)的值域，得到的值域為，可判定C正確；設，得到的周期為，證得恒為，可判定D正確.【詳解】對于A中，例如，則，，可得，所以A錯誤；對于B中，由，，所以，所以，所以B正確；對于C中，因為，可得，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，若，則且，所以且，即且，所以，不符合題意，即，同理，若，則與其中一個為，另一個為，或其中一個為，另一個為，不妨令，則，此時，，則，，所以，，又，顯然不符合題意；再令，則，此時，，則，，所以，，又，不妨令，，此時滿足；即函數(shù)的值域為，所以集合的子集個數(shù)為，所以C錯誤；對于D中，設，若，可得，所以，，則，所以的周期為，又當時，可得，此時；，此時；，此時；，此時，所以，結合周期為，即恒為，即，所以，所以D正確.故選：BD.【點睛】方法點睛：對于函數(shù)的新定義試題的求解：1、根據(jù)函數(shù)的新定義，可通過舉出反例，說明不正確，同時正確理解新定義與高中知識的聯(lián)系和轉化；2、正確理解函數(shù)的定義的內涵，緊緊結合定義，結合函數(shù)的基本性質（如單調性、奇偶性和周期等性質）進行推理、論證求解.12．3【分析】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式化簡得到，結合換底公式和指數(shù)，對數(shù)運算法則得到答案.【詳解】因為，，所以，故.故答案為：313．35【分析】求出只參加社團和只參加社團的人數(shù)，即可求出高一（1）班總共有學生人數(shù).【詳解】由題意，高一（1）班參加社團的學生有21人，參加社團的學生有18人，兩個社團都參加的有7人，∴只參加社團的學生有（人），只參加社團的學生有（人），∵另外還有3個人既不參加社團也不參加社團，∴高一（1）班總共有學生人數(shù)為：（人）故答案為：.14．（答案不唯一，形如，是周期為的奇函數(shù)均可）0或2【分析】首先分析函數(shù)的性質，即可寫出其中一個，再分析函數(shù)與的關系，即可求解的值.【詳解】由，可知函數(shù)為奇函數(shù)，由，即，可知，函數(shù)是周期函數(shù)，周期為，函數(shù)的一個解析式為；設，定義域為，且，所以函數(shù)也是奇函數(shù)，則，則，由題意可知，，解得：或.故答案為：（答案不唯一，形如，是周期為的奇函數(shù)均可）；0或2【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵的判斷函數(shù)是奇函數(shù)，這樣，同時.15．(1)(2)【分析】（1）由題意得是方程的兩根，再利用韋達定理即可得解；（2）結合（1）中結論，利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】（1）因為關于的不等式的解集為，所以是方程的兩根，由韋達定理得，解得；（2）由（1）得，則，當且僅當，即時取等號，所以取得最小值.16．(1)為奇函數(shù)，理由見解析(2)當時，單調遞減，當時，單調遞增，理由見解析【分析】（1）求出定義域，計算出，得到答案；（2）利用定義法判斷函數(shù)單調性步驟，取點，作差，判號，下結論.【詳解】（1）為奇函數(shù)，理由如下：的定義域為R，又，故為奇函數(shù)；（2）當時，單調遞減，當時，單調遞增，，且，則，因為，且，所以，當時，，即，故單調遞減，當時，，即，故單調遞增，17．(1)答案見解析(2)在區(qū)間上單調遞減，證明見解析(3)在內有且僅有一個零點，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意結合奇偶性的定義分析求解；（2）根據(jù)單調性的定義分析證明；（3）根據(jù)題意結合單調性以及奇偶性的性質判斷在區(qū)間上的單調性，再結合零點存在性定理分析判斷.【詳解】（1）令，解得，所以函數(shù)的定義域為，若選①：因為，即為奇函數(shù)，則，整理得，注意到對任意上式均成立，可得，解得；若選②：因為，即為偶函數(shù)，則，整理得，注意到對任意上式均成立，可得，解得.（2）若選①：則，可得，可知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，證明如下：對任意，且，則，因為，則，可得，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減；若選②：則，可得，可知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，證明如下：對任意，且，則，因為，則，可得，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減.（3）若選①：則，則，由（2）可知在內單調遞減，且在定義域內單調遞增，可知在內單調遞減，又因為為奇函數(shù)，則在內單調遞減，且在內單調遞減，可知在內單調遞減，結合，，可知在內有且僅有一個零點；若選②：則，則，由（2）可知在內單調遞減，且在定義域內單調遞增，可知在內單調遞減，又因為為偶函數(shù)，則在內單調遞增，且在內單調遞增，可知在內單調遞增，結合，，可知在內有且僅有一個零點.18．(1)單調增區(qū)間是和；單調減區(qū)間是和(2)(3)證明見解析，【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)的單調區(qū)間求出的單調區(qū)間；（2）由已知得到的值域為的值域的子集，轉化為求函數(shù)最值的問題；（3）根據(jù)函數(shù)單調性判斷函數(shù)的零點個數(shù)，求出零點的范圍，進而求解.【詳解】（1）令，，解得，，又，得的單調增區(qū)間是和；令，，解得，，又，得的單調減區(qū)間是和.函數(shù)在上的單調增區(qū)間是和，單調減區(qū)間是和；（2）若，，使成立，則，，的值域應為的值域的子集.由（1）知，在單調遞減，的值域為，，當時，令，則，開口方向向上，對稱軸是，，當時，在單調遞減，不符合題意；當時，在單調遞減，在單調遞增，，即，解得，所以；（3）由（1）知在上是減函數(shù)，易知在上是增函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，，又，，根據(jù)零點存在性定理知在上有唯一零點，當時，，，所以，即在上無零點，綜上，在上有且只有一個零點.，，，.【點睛】結論點睛：本題第（2）問考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．19．(1)選①④，理由見解析(2)，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）結合正弦函數(shù)的單調性判斷①②，根據(jù)題意推出，，，且，即可判斷，判斷③；繼而討論和的情況，判斷出，即可判斷④；（2）構造時，在上單調遞減，在上遞增，利用函數(shù)單調性，即可比較大?。唬?）結合正弦函數(shù)性質可得在上且遞減，在上，，再結合函數(shù)的單調性，即可證明結論.【詳解】（1）選①④

理由：由在