2024年1月普通高等學校招生全國統(tǒng)考高三數(shù)學模擬訓練卷附答案解析

年1月普通高等學校招生全國統(tǒng)考高三數(shù)學模擬訓練卷注意事項：]．答卷前，考生務必將自己的考生號、姓名、考點學校、考場號及座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若集合，，則為（

）A． B． C． D．2．已知非零向量，，滿足，，若為在上的投影向量，則向量，夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．已知點是雙曲線的左焦點，點是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點，點是雙曲線漸近線上的動點，則的最小值為（

）A．8 B．5 C．3 D．24．甲箱中有個紅球，個白球和個黑球；乙箱中有個紅球，個白球和個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，分別以、、表示由甲箱中取出的是紅球、白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結論錯誤的是（）A． B．C．事件與事件不相互獨立 D．、、兩兩互斥5．若數(shù)列滿足，，則滿足不等式的最大正整數(shù)為（

）A．28 B．29 C．30 D．316．設函數(shù)若恰有5個不同零點，則正實數(shù)的范圍為（

）A．B．C．D．7．若，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．8．設集合，定義：集合，集合，集合，分別用，表示集合S，T中元素的個數(shù)，則下列結論可能成立的是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知是兩個虛數(shù)，則下列結論中正確的是（

）A．若，則與均為實數(shù) B．若與均為實數(shù)，則C．若均為純虛數(shù)，則為實數(shù) D．若為實數(shù)，則均為純虛數(shù)10．如圖所示，棱長為3的正方體中，為線段上的動點（不含端點），則下列結論正確的是（

）A． B．與所成的角可能是C．是定值 D．當時，點到平面的距離為111．已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，，且，則（

）A． B．的圖象關于點對稱C．以6為周期的函數(shù) D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．有一個郵件過濾系統(tǒng)，它可以根據(jù)郵件的內(nèi)容和發(fā)件人等信息，判斷郵件是不是垃圾郵件，并將其標記為垃圾郵件或正常郵件.對這個系統(tǒng)的測試具有以下結果：每封郵件被標記為垃圾郵件的概率為，被標記為垃圾郵件的有的概率是正常郵件，被標記為正常郵件的有的概率是垃圾郵件，則垃圾郵件被該系統(tǒng)成功過濾（即垃圾郵件被標記為垃圾郵件）的概率為.13．已知，若存在使得，則k的最大值為．14．已知為拋物線的焦點，過點的直線與拋物線交于不同的兩點，，拋物線在點處的切線分別為和，若和交于點，則的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知橢圓的左右頂點距離為，離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)設過點且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點，求弦垂直平分線的縱截距的取值范圍.16．在銳角中，設邊所對的角分別為，且．(1)證明：(2)若，求的取值范圍．17．如圖，在四棱錐中，已知，是等邊三角形，且為的中點.(1)證明：平面；(2)當時，試判斷在棱上是否存在點，使得二面角的大小為.若存在，請求出的值；否則，請說明理由.18．已知在一個不透明的盒中裝有一個白球和兩個紅球（小球除顏色不同，其余完全相同），某抽球試驗的規(guī)則如下：試驗者在每一輪需有放回地抽取兩次，每次抽取一個小球，從第一輪開始，若試驗者在某輪中的兩次均抽到白球，則該試驗成功，并停止試驗.否則再將一個黃球（與盒中小球除顏色不同，其余完全相同）放入盒中，然后繼續(xù)進行下一輪試驗.(1)若規(guī)定試驗者甲至多可進行三輪試驗（若第三輪不成功，也停止試驗），記甲進行的試驗輪數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；(2)若規(guī)定試驗者乙至多可進行輪試驗（若第輪不成功，也停止試驗），記乙在第輪使得試驗成功的概率為，則乙能試驗成功的概率為，證明：.19．懸鏈線的原理運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．通過適當建立坐標系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，類比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關系：①，②和角公式：，③導數(shù)：定義雙曲正弦函數(shù)．(1)直接寫出，具有的類似①、②、③的三種性質(zhì)（不需要證明）；(2)若當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)求的最小值．1．D【分析】利用無理不等式及一元一次不等式的解法，結合交集的定義即可求解.【詳解】,所以.故選：D.2．B【分析】根據(jù)題意，由平面向量的數(shù)量積運算，向量的投影向量的計算公式，結合其夾角公式代入計算，即可得到結果.【詳解】由，為在上的投影向量，所以，故故選：B3．B【分析】設右焦點為，根據(jù)雙曲線的定義可得，再根據(jù)三角形性質(zhì)結合點到線的距離求解即可.【詳解】設右焦點為，又由對稱性，不妨設在漸近線上.根據(jù)雙曲線的定義可得，當且僅當三點共線時取等號.又當與漸近線垂直時取最小值，為，故最小值為5.故選：B4．A【分析】利用全概率公式可判斷A選項；直接寫出的值，可判斷B選項；利用獨立事件的定義可判斷C選項；利用互斥事件的定義可判斷D選項.【詳解】依題意，，，，，，B對，，A錯；，，所以，，所以，事件與事件不相互獨立，C對，由題意可知，事件、、中的任意兩個事件都不可能同時發(fā)生，因此，事件、、兩兩互斥，D對.故選：A.5．B【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正確答案.【詳解】依題意，數(shù)列滿足，，，所以，也符合，所以，是單調(diào)遞增數(shù)列，由，解得，所以的最大值為.故選：B6．D【分析】畫出的圖象，將恰有5個不同零點轉(zhuǎn)化為與有5個交點即可.【詳解】由題知，零點的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為與交點的個數(shù)，當時，所以時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，如圖所示：

所以時有最大值：所以時，由圖可知必有兩個交點；當時，因為，，所以，令，則則有且，如圖所示：

因為時，已有兩個交點，所以只需保證與有三個交點即可，所以只需，解得.故選：D【點睛】思路點睛：函數(shù)零點問題往往可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結合方便分析求解.7．A【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，構造函數(shù)，利用導數(shù)可得，則答案可求.【詳解】因為，所以，所以，令，所以，則，，所以，即恒為遞增函數(shù)，則，即，所以，綜上：，故選：A.8．D【分析】對A、B：不妨設，可得，根據(jù)集合的定義可得Y中至少有以上5個元素，不妨設，則集合S中至少有7個元素，排除選項A，若，則集合Y中至多有6個元素，所以，排除選項B；對C：對，則與一定成對出現(xiàn)，根據(jù)集合的定義可判斷選項C；對D：取，則，根據(jù)集合的定義可判斷選項D.【詳解】解：不妨設，則的值為，顯然，，所以集合Y中至少有以上5個元素，不妨設，則顯然，則集合S中至少有7個元素，所以不可能，故排除A選項；其次，若，則集合Y中至多有6個元素，則，故排除B項；對于集合T，取，則，此時，，故D項正確；對于C選項而言，，則與一定成對出現(xiàn)，，所以一定是偶數(shù)，故C項錯誤.故選：D.9．ABC【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算，結合共軛復數(shù)的定義即可求解ABC，舉反例即可求解D.【詳解】設，．，．若，則，，所以，，所以A正確；若與均為實數(shù)，則，且，又，，所以，所以B正確；若，均為純虛數(shù)，則，所以，所以C正確；取，，則為實數(shù)，但，不是純虛數(shù)，所以D錯誤．故選：ABC．10．ACD【分析】以為原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系，設，，計算，可判斷A；假設與所成的角是，則，求解可判斷B；計算，可判斷C；當時，，求出平面的法向量，利用點到平面的距離公式可判斷D.【詳解】以為原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，，，設，，則，，所以，則，故A正確；因為，，所以，若與所成的角是，則，即，整理得，得，與矛盾，故B錯誤；，，所以為定值，故C正確；當時，，，，，設平面的法向量為，由令，則，，，點到平面的距離，故D正確.故選：ACD.11．ABC【分析】令，求出可判斷A；利用和得出可判斷B正確；利用周期函數(shù)的定義和求出周期可判斷C；賦值法求出，結合周期可判斷D.【詳解】因為函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，所以，，對于A，令，可得，因為，可得，故A正確；對于B，因為，所以，可得，從而，又因為，可得，所以，可得，所以的圖象關于點對稱，故B正確；對于C，因為，所以，所以，可得，所以有，所以以6為周期的函數(shù)，故C正確；對于D，，，令可得，可得，令可得，可得，令可得，可得，令可得，可得，所以，所以，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】關鍵點點睛：適當?shù)馁x值和變量代換，是探求抽象函數(shù)周期的關鍵，求解抽象函數(shù)問題，要有扎實的基礎知識和較強的抽象思維和邏輯推理能力.12．【分析】記“正常郵件”，“標記為正常郵件”，根據(jù)題設有，，，再應用對立事件、條件概率、全概率及貝葉斯公式求垃圾郵件被該系統(tǒng)成功過濾的概率.【詳解】記“正常郵件”，“標記為正常郵件”，則，，，所以，，故，所以.故答案為：13．1011【分析】根據(jù)二項展開式的通項可得，討論的奇偶性，結合分析求解即可.【詳解】二項式的通項為，二項式的通項為，所以，，若，則有：當為奇數(shù)時，此時，即，則，可得，又因為為奇數(shù)，所以的最大值為1011；當為偶數(shù)時，此時，不合題意；綜上所述：的最大值為1011.故答案為：1011.14．10【分析】設直線方程為，，聯(lián)立拋物線方程得出韋達定理，再利用導數(shù)的幾何意義求解方程，聯(lián)立可得，再代入根據(jù)基本不等式求解最小值即可.【詳解】的焦點為，設直線方程為，.聯(lián)立直線與拋物線方程有，則.又求導可得，故直線方程為.又，故，同理.聯(lián)立可得，解得，代入可得，代入韋達定理可得，故.故，當且僅當，即時取等號.故答案為：10【點睛】方法點睛：如圖，假設拋物線方程為，過拋物線準線上一點向拋物線引兩條切線，切點分別記為，其坐標為.則以點和兩切點圍成的三角形中，有如下的常見結論:結論1.直線過拋物線的焦點.

結論2.直線的方程為.結論3.過的直線與拋物線交于兩點，以分別為切點做兩條切線，則這兩條切線的交點的軌跡即為拋物線的準線.結論4..結論5..結論6.直線的中點為，則平行于拋物線的對稱軸.結論7..15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)長軸長與橢圓的離心率求得，進而得到橢圓標準方程；（2）設與橢圓方程聯(lián)立后，得到韋達定理的形式，利用中點坐標公式表示出點坐標，從而得到方程；令可求得在軸的截距，利用函數(shù)值域的求解方法可求得結果.【詳解】（1）由題意，，即，又，所以，故，故所求橢圓的標準方程為.（2）如圖，由題意知：直線的斜率存在且不為零，設，，，，中點，聯(lián)立，消去并整理得：，恒成立，則，，，，則方程為：，即，化簡得：設直線在軸上截距為，令得，由可知，所以直線在軸上的截距的取值范圍為.16．(1)證明見詳解(2)【分析】（1）余弦定理結合已知消元，然后利用正弦定理邊化角，利用內(nèi)角和定理消去角C，用和差公式化簡后，利用正弦函數(shù)單調(diào)性可得；（2）利用正弦定理將目標式轉(zhuǎn)化為關于角B的三角函數(shù)，根據(jù)銳角三角形定義求角B范圍，然后使用換元法，借助對勾函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）因為，所以，整理得，又，所以，所以，整理得，所以，因為為銳角三角形，所以，所以，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.（2）由（1）可知，，因為，所以由正弦定理可得，，即，因為，所以，又，所以，即，所以，因為為銳角三角形，所以，解得，則.記，則，由對勾函數(shù)可知，在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍為17．(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）根據(jù)線線平行即可結合線面平行的判定求證，（2）建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角求解二面角，即可求解.【詳解】（1）證明：在四棱錐中，已知，如圖，取的中點，連接，是等邊三角形，且為的中點.，是棱的中點，為的中點，，且.，，且.四邊形是平行四邊形，.平面平面，平面.

（2）是等邊三角形，為的中點，，且為的中點，，，又，且平面平面，平面,平面,，又，且平面，平面，平面，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，如圖，建立空間直角坐標系

則，假設存在滿足題設的點，不妨設，且，則，，且，，即，所以則即不妨設平面的一個法向量為，易知，由令，則，.顯然平面的一個法向量為，.，又，解得，存在滿足題設的點，此時.18．(1)分布列見解析，(2)證明見解析【分析】（1）由條件確定的取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；（2）由（1）中的結論及結合題意寫出每一輪的概率，結合概率乘法公式從而求解.【詳解】（1）由題意得，的可能取值為，在第一輪中，試驗者每次抽到白球的概率為，，依題意，在第二輪中，盒中有一個白球，兩個紅球和一個黃球，每次摸到白球的概率為，，易知，的分布列為：123的數(shù)學期望.（2）證明：當時，不難知道