2021新高考數(shù)學一輪復習學案9-3變量間的相關(guān)關(guān)系統(tǒng)計案例

第三節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例課標要求考情分析1.會作兩個相關(guān)變量的散點圖，會利用散點圖認識變量之間的相關(guān)關(guān)系．2．了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸系數(shù)公式建立線性回歸方程．3．了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡單應用．4．了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用.1.以選擇題、填空題的形式考查求線性回歸系數(shù)或利用線性回歸方程進行預測，在給出臨界值的情況下判斷兩個變量是否有關(guān)．2．在解答題中與頻率分布結(jié)合考查線性回歸方程的建立及應用和獨立性檢驗的應用.知識點一兩個變量的線性相關(guān)1．正相關(guān)在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)．2．負相關(guān)在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負相關(guān)．3．線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．知識點二回歸方程1．最小二乘法求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．2．回歸方程方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是待定參數(shù)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x).))知識點三回歸分析1．定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．2．樣本點的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))稱為樣本點的中心．3．相關(guān)系數(shù)當r>0時，表明兩個變量正相關(guān)；當r<0時，表明兩個變量負相關(guān)．r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強．r的絕對值越接近于0，表明兩量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性．知識點四獨立性檢驗1．分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．2．列聯(lián)表：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d構(gòu)造一個隨機變量K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．3．獨立性檢驗利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗．1．思考辨析判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系都是一種確定性的關(guān)系，也是一種因果關(guān)系．(×)(2)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關(guān)關(guān)系．(√)(3)只有兩個變量有相關(guān)關(guān)系，所得到的回歸模型才有預測價值．(√)(4)某同學研究賣出的熱飲杯數(shù)y與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，得線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－2.352x＋147.767，則氣溫為2℃時，一定可賣出143杯熱飲．(×)(5)事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值越大．(√)2．小題熱身(1)觀察下列各圖形，其中兩個變量x，y具有相關(guān)關(guān)系的圖是(C)A．①② B．①④C．③④ D．②③(2)兩個變量的相關(guān)關(guān)系有①正相關(guān)，②負相關(guān)，③不相關(guān)，則下列散點圖從左到右分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是(D)A．①②③ B．②③①C．②①③ D．①③②(3)對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是(A)A．r2<r4<0<r3<r1B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1D．r2<r4<0<r1<r3(4)某汽車的使用年數(shù)x與所支出的維修總費用y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：使用年數(shù)x/年12345維修總費用y/萬元0.51.22.23.34.5根據(jù)上表可得y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x－0.69，若該汽車維修總費用超過10萬元就不再維修，直接報廢，據(jù)此模型預測該汽車最多可使用(不足1年按1年計算)(D)A．8年 B．9年C．10年 D．11年(5)在性別與吃零食這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是③.①若K2的觀測值為k＝6.635，我們有99%的把握認為吃零食與性別有關(guān)系，那么在100個吃零食的人中必有99人是女性；②從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吃零食與性別有關(guān)系時，我們說某人吃零食，那么此人是女性的可能性為99%；③若從統(tǒng)計量中求出有99%的把握認為吃零食與性別有關(guān)系，是指有1%的可能性使得出的判斷出現(xiàn)錯誤．解析：(1)由散點圖知③④具有相關(guān)關(guān)系．(2)第一個散點圖中，散點圖中的點是從左下角區(qū)域分布到右上角區(qū)域，則是正相關(guān)；第三個散點圖中，散點圖中的點是從左上角區(qū)域分布到右下角區(qū)域，則是負相關(guān)；第二個散點圖中，散點圖中的點的分布沒有什么規(guī)律，則是不相關(guān)，所以應該是①③②.(3)由相關(guān)系數(shù)的定義以及散點圖所表達的含義可知r2<r4<0<r3<r1.(4)由y關(guān)于x的線性回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x－0.69過樣本點的中心(3,2.34)，得eq\o(b,\s\up6(^))＝1.01，即線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.01x－0.69，由eq\o(y,\s\up6(^))＝1.01x－0.69＝10得x≈10.6，所以預測該汽車最多可使用11年，故選D.(5)由獨立性檢驗的基本思想可得，只有③正確．考點一相關(guān)關(guān)系的判斷【例1】(1)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A．－1 B．0C.eq\f(1,2) D．1(2)x和y的散點圖如圖所示，則下列說法中所有正確命題的序號為________．①x，y是負相關(guān)關(guān)系；②在該相關(guān)關(guān)系中，若用y＝c1ec2x擬合時的相關(guān)系數(shù)的平方為req\o\al(2,1)，用eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))擬合時的相關(guān)系數(shù)的平方為req\o\al(2,2)，則req\o\al(2,1)>req\o\al(2,2)；③x、y之間不能建立線性回歸方程．【解析】(1)所有點均在直線上，則樣本相關(guān)系數(shù)最大即為1.故選D.(2)①顯然正確；由散點圖知，用y＝c1ec2x擬合的效果比用eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))擬合的效果要好，故②正確；x，y之間能建立線性回歸方程，只不過預報精度不高，故③不正確．【答案】(1)D(2)①②方法技巧1．已知變量x和y近似滿足關(guān)系式y(tǒng)＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是(C)A．x與y正相關(guān)，x與z負相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負相關(guān)，x與z負相關(guān)D．x與y負相關(guān)，x與z正相關(guān)解析：由y＝－0.1x＋1，知x與y負相關(guān)，即y隨x的增大而減小，又y與z正相關(guān)，所以z隨y的增大而增大，減小而減小，所以z隨x的增大而減小，x與z負相關(guān)．2．甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量的線性相關(guān)性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則哪位同學的試驗結(jié)果體現(xiàn)A，B兩變量有更強的線性相關(guān)性(D)A．甲B．乙C．丙D．丁解析：在驗證兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系時，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，相關(guān)性越強，在四個選項中只有丁的相關(guān)系數(shù)最大；殘差平方和越小，相關(guān)性越強，只有丁的殘差平方和最小，綜上可知丁的試驗結(jié)果體現(xiàn)了A，B兩變量有更強的線性相關(guān)性．考點二回歸分析【例2】下圖是某地區(qū)2012年至2018年生活垃圾無害化處理量(單位：萬噸)的折線圖．注：年份代碼1～7分別表示對應年份2012～2018.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)r(|r|>0.75線性相關(guān)較強)加以說明；(2)建立y與t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預測2019年該地區(qū)生活垃圾無害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,7,y)i＝9.32，eq\i\su(i＝1,7,t)iyi＝40.17,eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t中斜率和截距最小二乘估計公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).【解】(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得eq\x\to(t)＝4，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))2＝28,eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝eq\i\su(i＝1,7,t)iyi－eq\x\to(t)eq\i\su(i＝1,7,y)i＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈eq\f(2.89,0.55×2×2.646)≈0.99.因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系．(2)由eq\x\to(y)＝eq\f(9.32,7)≈1.331及(1)得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(2.89,28)≈0.10，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)＝1.331－0.10×4≈0.93.所以y關(guān)于t的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.93＋0.10t.將2019年對應的t＝8代入回歸方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10×8＝1.72.所以預測2019年該地區(qū)生活垃圾無害化處理量約1.72萬噸．方法技巧1．某單位為了解用電量y(千瓦時)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表：氣溫x(℃)181310－1用電量y(千瓦時)24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，預測當溫度為－5℃時，用電量約為(D)A．64千瓦時 B．66千瓦時C．68千瓦時 D．70千瓦時解析：由已知得eq\x\to(x)＝10，eq\x\to(y)＝40，將其代入回歸方程得40＝－2×10＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝60，故回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋60，當x＝－5時，eq\o(y,\s\up6(^))＝70.故選D.2．二手車經(jīng)銷商小王對其所經(jīng)營的A型號二手汽車的使用年數(shù)x與銷售價格y(單位：萬元/輛)進行整理，得到如下數(shù)據(jù)：使用年數(shù)x234567售價y201286.44.43z＝lny3.002.482.081.861.481.10下面是z關(guān)于x的折線圖：(1)由折線圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合z與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)求y關(guān)于x的回歸方程，并預測某輛A型號二手車當使用年數(shù)為9年時售價約為多少；(eq\o(b,\s\up6(^))、eq\o(a,\s\up6(^))小數(shù)點后保留兩位有效數(shù)字)(3)基于成本的考慮，該型號二手車的售價不得低于7118元，請根據(jù)(2)求出的回歸方程預測在收購該型號二手車時車輛的使用年數(shù)不得超過多少年．參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)).參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝187.4，eq\i\su(i＝1,6,x)izi＝47.64，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝139，eq\r(\i\su(i＝1,6,)xi－\x\to(x)2)＝4.18,eq\r(\i\su(i＝1,6,)yi－\x\to(y)2)＝13.96，eq\r(\i\su(i＝1,6,)zi－\x\to(z)2)＝1.53，ln1.46≈0.38，ln0.7118≈－0.34.解：(1)由題意，知eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，eq\x\to(z)＝eq\f(1,6)×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，又eq\i\su(i＝1,6,x)izi＝47.64,eq\r(\i\su(i＝1,6,)xi－\x\to(x)2)＝4.18，eq\r(\i\su(i＝1,6,)zi－\x\to(z)2)＝1.53，∴r＝eq\f(47.64－6×4.5×2,4.18×1.53)＝－eq\f(6.36,6.3954)≈－0.99，∴z與x的相關(guān)系數(shù)大約為－0.99，說明z與x的線性相關(guān)程度很高．(2)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(47.64－6×4.5×2,139－6×4.52)＝－eq\f(6.36,17.5)≈－0.36，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(z)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝2＋0.36×4.5＝3.62，∴z與x的線性回歸方程是eq\o(z,\s\up6(^))＝－0.36x＋3.62，又z＝lny，∴y關(guān)于x的回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝e－0.36x＋3.62.令x＝9，得eq\o(y,\s\up6(^))＝e－0.36×9＋3.62＝e0.38，∵ln1.46≈0.38，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝1.46，即預測某輛A型號二手車當使用年數(shù)為9年時售價約為1.46萬元．(3)當eq\o(y,\s\up6(^))≥0.7118，即e－0.36x＋3.62≥0.7118＝eln0.7118＝e－0.34時，則有－0.36x＋3.62≥－0.34，解得x≤11，因此，預測在收購該型號二手車時車輛的使用年數(shù)不得超過11年．考點三獨立性檢驗【例3】目前，浙江和上海已經(jīng)成為新高考綜合試點的“排頭兵”，有關(guān)其他省份新高考改革的實施安排，教育部部長在十九大上做出明確表態(tài)：到2020年，我國將全面建立起新的高考制度．新高考規(guī)定：語文、數(shù)學和英語是考生的必考科目，考生還需從物理、化學、生物、歷史、地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目．若一個學生從六個科目中選出了三個科目作為選考科目，則稱該學生的選考方案確定；否則，稱該學生選考方案待確定．例如，學生甲選擇“物理、化學和生物”三個選考科目，則學生甲的選考方案確定，“物理、化學和生物”為其選考方案．某校為了解高一年級840名學生選考科目的意向，隨機選取60名學生進行了一次調(diào)查，統(tǒng)計選考科目人數(shù)如下表：(1)估計該學校高一年級選考方案確定的學生中選考生物的學生有多少人？(2)將2×2列聯(lián)表填寫完整，并通過計算判斷能否有99.9%的把握認為選歷史與性別有關(guān)？選歷史不選歷史總計選考方案確定的男生選考方案確定的女生總計(3)從選考方案確定的16名男生中隨機選出2名，設(shè)隨機變量ξ＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，2名男生選考方案不同,1，2名男生選考方案相同))，求ξ的分布列及數(shù)學期望E(ξ)．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cc＋db＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828【解】(1)由題意可知，選考方案確定的男生中確定選考生物的學生有8人，選考方案確定的女生中確定先考生物的學生有20人，則該學校高一年級選考方案確定的學生中選考生物的學生約有eq\f(28,36)×eq\f(36,60)×840＝392(人)．(2)2×2列聯(lián)表填寫完整為選歷史不選歷史總計選考方案確定的男生41216選考方案確定的女生16420總計201636由2×2列聯(lián)表可得，K2＝eq\f(36×4×4－12×162,20×16×20×16)＝eq\f(36×162×112,20×16×20×16)＝eq\f(1089,100)＝10.89>10.828，所以有99.9%的把握認為選歷史與性別有關(guān)．(3)由題表中數(shù)據(jù)可知，選考方案確定的男生中有8人選擇物理、化學和生物；有4人選擇物