遼寧省鞍山市2024屆九年級(jí)新中考（樣卷）數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2024年遼寧省鞍山市新中考數(shù)學(xué)試卷（樣卷）一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）下列與杭州亞運(yùn)會(huì)有關(guān)的圖案中，中心對(duì)稱圖形是（）A． B． C． D．2．（3分）方程3x2﹣4x﹣1＝0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）A．3，﹣1，4 B．3，4，﹣1 C．3，﹣4，﹣1 D．3，﹣1，﹣43．（3分）如圖，已知D、E分別在△ABC的AB、AC邊上，△ABC∽△AED（）A． B．AB?AD＝AE?AC C． D．AD?DE＝AE?EC4．（3分）若二次函數(shù)y＝x2﹣4x+k的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，y1），（3，y2），則y1與y2的大小關(guān)系為（）A．y1＝y(tǒng)2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．不能確定5．（3分）如圖，小康利用復(fù)印機(jī)將一張長為5cm，寬為3cm的矩形圖片放大，則放大后的矩形的寬為（）A． B．5cm C．10cm D．6cm6．（3分）已知點(diǎn)P（m﹣n，1）與點(diǎn)Q（3，m+n）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣17．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△AB′C′，此時(shí)點(diǎn)B′恰在邊AC上，AC′＝5，則B′C的長為（）A．2 B．3 C．4 D．58．（3分）近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑，4月份售價(jià)為18.63萬元，設(shè)該款汽車這兩月售價(jià)的月平均降價(jià)率是x（）A．23（1﹣x）2＝18.63 B．18.63（1+x）2＝23 C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.639．（3分）如圖，正方形網(wǎng)格圖中的△ABC與△A′B′C是位似關(guān)系圖，則位似中心是（）A．點(diǎn)R B．點(diǎn)P C．點(diǎn)Q D．點(diǎn)O10．（3分）如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí)，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系h＝20t﹣5t2，下列對(duì)方程20t﹣5t2＝15的兩根t1＝1與t2＝3的解釋正確的是（）A．小球的飛行高度為15m時(shí)，小球飛行的時(shí)間是1s B．小球飛行3s時(shí)飛行高度為15m，并將繼續(xù)上升 C．小球從飛出到落地要用4s D．小球的飛行高度可以達(dá)到25m二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1+x2的值為．12．（3分）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，再以B為圓心，BO長為半徑畫弧，畫射線OC，則tan∠AOC的值為．13．（3分）圖1是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實(shí)物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，AD與CB相交于點(diǎn)O，根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)可得x的值為．14．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P是此函數(shù)圖象上在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S△PCB＝3時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．15．（3分）如圖，已知△ABC中，D，E分別是AC，，∠AED＝∠ABC，DE與AB的延長線交于點(diǎn)F，EF＝3，則BC＝．三、解答題（本題共8小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）16．（10分）解下列方程：（1）x2+3x﹣4＝0；（2）2x2﹣4x﹣1＝0．17．（8分）如圖，AE平分∠BAC，D為AE中點(diǎn)18．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2kx+k﹣1＝0．求證：不論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．19．（8分）已知拋物線y＝2x2+4x﹣6．（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將該拋物線向右平移m（m＞0）個(gè)單位長度，平移后所得新拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)20．（9分）在△ABC中，AB＝2，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△MBN，MA的延長線與CN交于點(diǎn)P，若AM＝3，．（1）求證：△ABM∽△CBN；（2）求AP的長．21．（8分）隨著互聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用的日趨成熟和完善，電子商務(wù)在近幾年得到了迅猛的發(fā)展，某電商以每件40元的價(jià)格購進(jìn)某款T恤，“雙11”的前一周（10月30日﹣11月5日）的銷售量為500件（11月6日﹣11月12日）進(jìn)行降價(jià)銷售，經(jīng)調(diào)查，每降價(jià)1元，周銷售量就會(huì)增加50件．若要求銷售單價(jià)不低于成本，如何定價(jià)才能使利潤最大？并求出最大利潤是多少元？（利潤率＝×100%）22．（12分）問題提出已知△ABC是等邊三角形，將等邊三角形ADE（A，D，E三點(diǎn)按逆時(shí)針排列）繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到線段CF，連接BE，BF．觀察發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上，猜想△BEF的形狀；探究遷移（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E不在線段AB上，（1）中猜想的結(jié)論是否依然成立；拓展應(yīng)用（3）若AB＝2，，在△ADE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)EF⊥AC時(shí)23．（12分）問題提出：如圖，四邊形ABCD是矩形，AB＝4，連接BE，過E作EF⊥BE（點(diǎn)F在BE的左側(cè)），且，連接FG，設(shè)DE長為x（x，y均可等于0）．初步感知：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E由點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)y是關(guān)于x的二次函數(shù)，l為其對(duì)稱軸，請(qǐng)根據(jù)圖象信息求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及線段AD的長；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段DA的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；延伸探究：（3）若存在三個(gè)不同位置的點(diǎn)E（從右向左依次用E1，E2，E3表示），對(duì)應(yīng)的四邊形DGFE面積均相等．①試確定DE1，DE2的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②當(dāng)2DE2＝DE1+DE3時(shí)，求四邊形DGFE3的面積．

2024年遼寧省鞍山市新中考數(shù)學(xué)試卷（樣卷）答案一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．解析：解：選項(xiàng)B、C、D均不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，所以不是中心對(duì)稱圖形，選項(xiàng)A能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，故選：A．2．解析：解：∵3x2﹣2x﹣1＝0，∴二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是7，﹣1，故選：C．3．解析：解：∵△ABC∽△AED，∴＝＝，∵＝＝，＝＝，≠，∴，故A錯(cuò)誤；∵＝，∴AB?AD＝AC?AE，故B正確；∵＝，AE≠AD，∴，故C錯(cuò)誤；∵AE?EC＝AE（AC﹣AE）＝AE?AC﹣AE2＝AB?AD﹣AE5，AD?DE＝AD＝?AD2，∴無法推出AD?DE＝AE?EC，故D錯(cuò)誤．故選：B．4．解析：解：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y1＝x5﹣4x+k＝1+4+k＝k+5；當(dāng)x＝3時(shí)，y8＝x2﹣4x+k＝3﹣12+k＝k﹣3，所以y1＞y2．故選：B．5．解析：解：設(shè)放大后矩形的寬為xcm．∵放大前后矩形相似，∴＝，∴x＝2．故選：D．6．解析：解：∵點(diǎn)P（m﹣n，1）與點(diǎn)Q（3，∴，∴，故選：C．7．解析：解：∵將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△AB'C'，∴AB＝AB'，AC＝AC'，∵AB＝2，AC'＝5，故選：B．8．解析：解：根據(jù)題意得：23（1﹣x）2＝18.63．故選：A．9．解析：解：如圖：∴點(diǎn)O是位似中心．故選：D．10．解析：解：20t﹣5t2＝15的兩根t3＝1與t2＝5，即h＝15時(shí)所用的時(shí)間，∴小球的飛行高度是15m時(shí)，小球的飛行時(shí)間是1s或3s；h＝20t﹣7t2＝20﹣5（6﹣t）2，∴對(duì)稱軸直線為：t＝2，最大值為20；∴t＝6時(shí)，h＝15，故B錯(cuò)誤；∵當(dāng)h＝0時(shí)，t1＝2，t2＝4，∴t3﹣t1＝4，∴小球從飛出到落地要用5s，故C正確．故選：C．二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．解析：解：∵x1，x2是一元二次方程x7+5x﹣1＝2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝﹣4．故答案為：﹣5．12．解析：解：連接BC，如圖所示： 根據(jù)作圖可知：OB＝OC＝BC，∴△OBC為等邊三角形，∴∠AOC＝60°，∴tan∠AOC＝tan60°＝．13．解析：解：在圖2中，過點(diǎn)O作MN⊥AB于點(diǎn)M，則ON＝x，∵AB∥CD，∴△OCD∽△OBA，∴＝，∴即＝，∴x＝0.96．故答案為：0.96．14．解析：解：令y＝0，則﹣x2+5x+3＝0，解得x3＝﹣1，x2＝5，∴A（﹣1，0），7），令x＝0，則y＝﹣3，∴C（2，﹣3），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，將B（3，2）和C（0，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)G，設(shè)P（t，﹣t2+7t+3），則G（t，∴PG＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t8+3t，∵S△PCB＝3，∴PG?OB＝3，即2+2t）×3＝3，解得：t6＝1，t2＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）或（8，故答案為：（1，4）或（7．15．解析：解：如圖，過點(diǎn)A作AG∥BC，∵∠AED＝∠ABC，∴180°﹣∠ABC＝180°﹣∠AED，即∠EBF＝∠AEF，又∵∠BFE＝∠EFA，∴△EBF∽△AEF，∴，即，∴EB＝，BF＝1，∵AG∥BC，∴△BEF∽△AGF，∴＝，即＝，∴AG＝，GF＝27，∴DG＝GF﹣DE﹣EF＝27﹣9﹣4＝15，∵AG∥BC，∴△ADG∽△CDE，∴，即，∴CE＝，∴BC＝BE+CE＝＝．三、解答題（本題共8小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）16．解析：解：（1）x2+3x﹣4＝0，則（x﹣1）（x+8）＝0，則x﹣1＝4或x+4＝0，解得x5＝1，x2＝﹣5；（2）2x2﹣5x﹣1＝0，x7﹣2x＝，∴x2﹣2x+5＝+62＝，∴x﹣1＝±，∴x＝1±，∴x1＝1+，x2＝3﹣．17．解析：證明：∵D為AE中點(diǎn)，∴AE＝2AD，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠B＝∠C．∴△ABE∽△ACD，∴＝＝2，∴AB＝2AC．18．解析：證明：根據(jù)題意可得；a＝1，b＝2k，∴，∵，∴，∴不論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．19．解析：解：（1）由題知，y＝2x2+3x﹣6＝2（x4+2x+1）﹣2＝2（x+1）2﹣8，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣5）．（2）令y＝0得，2x7+4x﹣6＝8，解得x1＝1，x3＝﹣3．又因?yàn)閷⒃搾佄锞€向右平移m（m＞0）個(gè)單位長度，平移后所得新拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以﹣5+m＝0，解得m＝3．故m的值為5．20．解析：（1）證明：∵將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△MBN，∴AB＝MB，BC＝BN，∴，∴∠MBN+∠ABN＝∠ABC+∠ABN，即∠ABM＝∠CBN，∴△ABM∽△CBN；（2）解：由（1）知，△ABM∽△CBN，∴∠BMA＝∠BNC，∵CN∥BM，∴∠BMA＝∠APN，∴∠APN＝∠BNC，又∵BC＝BN，∴∠BNC＝∠BCN，∴∠APN＝∠BCN，∴BC∥MP，∴四邊形BCPM為平行四邊形，∴BC＝PM，∵△ABM∽△CBN，∴，即，∴CB＝5＝PM，∴AP＝PM﹣AM＝5﹣6＝2．21．解析：解：設(shè)售價(jià)為每件x元，利潤為y元，得：y＝（x﹣40）[500+50（60﹣x）]＝﹣50x2+5500x﹣140000＝﹣50（x﹣55）2+11250，∵銷售單價(jià)不低于成本，且按照物價(jià)部門規(guī)定銷售利潤率不高于30%，∴，解得40≤x≤52，∵a＝﹣50＜0，∴拋物線開口向下，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝55，∴當(dāng)40≤x≤52時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝52時(shí)，y有最大值4+11250＝10800（元），答：當(dāng)定價(jià)為每件52元，才能使利潤最大．22．解析：解：（1）點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，∵△ABC，△ADE是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∠AED＝60°＝∠BEF，∴△BEF是等邊三角形；故答案為：等邊三角形；（2）當(dāng)點(diǎn)E不在線段AB上，（1）中的結(jié)論依然成立延長AD交BC于M，如圖：∵△ABC，△ADE是等邊三角形，∴∠ABC＝60°＝∠DAE，AB＝BC，∵平移線段AD使點(diǎn)A與頂點(diǎn)C重合，得到線段CF，∴AD＝CF，AD∥CF，∴AE＝CF，∠BCF＝∠AMC，∵∠AMC＝∠ABC+∠BAM＝60°+∠BAM＝∠DAE+∠BAM＝∠BAE，∴∠BCF＝∠BAE，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，∴∠ABE+∠EBC＝∠CBF+∠EBC，即∠ABC＝∠EBF，∵∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴△BEF是等邊三角形；（3）設(shè)直線AC交EF于H，分兩種情況：①當(dāng)EF在BC下方時(shí)，如圖：由（2）可知△BEF是等邊三角形，∴∠BFE＝60°，BF＝EF，∵∠ACB＝60°，∴∠BCH＝120°，∵EF⊥AC，∴∠H＝90°，∴∠FBC＝360°﹣∠BFE﹣∠H﹣∠BCH＝90°，∴BF＝，∵平移線段AD使點(diǎn)A與頂點(diǎn)C重合，得到線段CF，∴CF＝AD＝，而BC＝AB＝2，∴BF＝＝，∴EF＝；設(shè)EH＝x，CH＝y(tǒng)，∵FH2+CH2＝CF2，EH5+AH2＝AE2，∴，∴，①﹣②得：3x﹣4y+，∴y＝x+③，把③代入①得：+32+x2+x+＝，解得x＝（負(fù)值已舍去），∴y＝×+＝，∵AF2＝FH2+AH6，∴AF2＝（+x）2+（y+3）2＝（+）2+（+2）2＝，∴AF＝；當(dāng)EF在BC上方時(shí)，如圖：同理可得∠ABE＝360°﹣∠F