2023年中考數(shù)學知識點練習-二次函數(shù)的實際應用題型分類（附例題講解）

2023年中考數(shù)學重點核心知識點專題講練?二次函

數(shù)的實際應用題型分類（附例題講解）

?題型一：增長率問題

思維形成：

1.增長率是指兩年的平均增長率；

2.注意題中所給的結(jié)果是和還是單個數(shù)值。

ILBl例題精講：

【例1】我市2017年平均房價為6500元和2.若2018年和2019年房價平均增長率為X,則

預計2019年的平均房價y（元加2）與X之間的函數(shù)關(guān)系式為.

【答案】y6500（1?Λ）1

【分析】苜先根據(jù)題意可得2018年的房價=2017年的房價x（l+增長率）,2019年的房價=2018

年的房價x（l+增長率），由此可得2019年的平均房價y與X之間的函數(shù)關(guān)系式.

【詳解】解：由題意得：V=6500（1+√

故答案為：V=6500（1+√

需真題演練:

1.(2022.福建漳州.福建省漳州第一中學校考模擬預測)據(jù)省統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2021

年第一季度GZ)尸總值約為2.4千億元人民幣，若我市第三季度GDP總值為y千億元人民幣，

平均每個季度GO尸增長的百分率為X,則y關(guān)于X的函數(shù)表達式是()

A.y=2.4(l+2x)B.y=2.4(I-Jt)2

C.y=2.4(l+x)2D.y=2.4+2.4(l+x)+2.4(l+x)2

【答案】C

【分析】根據(jù)平均每個季度GDP增長的百分率為X,第二季度季度GD尸總值約為2.4(l+x)

元，第三季度GDP總值為2.4(l+x)2元，則函數(shù)解析式即可求得.

【詳解】解：設平均每個季度GCP增長的百分率為X,

則y關(guān)于X的函數(shù)表達式是：y=2.4(l+x)2.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式,正確理解增長率問題是解題關(guān)鍵.

2.(2020?安徽淮北?校聯(lián)考一模)據(jù)省統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，安徽省2019年第二季度GO尸總

值約為79千億元人民幣，若我省第四季度GOP總值為1千億元人民幣，平均每個季度

GOP增長的百分率為1,則1關(guān)于、的函數(shù)表達式是()

A.v=79(1?lτ)B.V=79(1-t)

C.v=79(l*t)jD.V=79>790+.τ)+79(1+Λ)1

【答案】C

【分析】根據(jù)平均每個季度GDP增長的百分率為X,第三季度季度GDP總值約為7.9(l+x)

元，第四季度GDP總值為7.9(l+x)2元，則函數(shù)解析式即可求得.

【詳解】解：設平均每個季度GDP增長的百分率為X,則y關(guān)于X的函數(shù)表達式是：y=7.9

(l+x)2.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式,正確理解增長率問題是解題關(guān)鍵.

3.(2022?寧夏銀川?銀川唐徐回民中學?？既?為執(zhí)行國家藥品降價政策，給人民群眾帶

來實惠，某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由100元降為64元，已知兩次降價的百分率相

同，則每次降價的百分率為.

【答案】2O?o

【分析】設每次降價的百分率為X,由題意得Ioo(I-XF=64,求解即可.

【詳解】解：設每次降價的百分率為X,由題意得

100(1Λ)64，

解得X=O.2=2(FaL=I8(舍去)，

，每次降價的百分率為2?。，

故答案為：2伊o?

【點睛】此題考查了一元二次方程的實際應用，正確理解百分率問題列方程的方法是解題的

關(guān)鍵.

4.(安徽淮南.統(tǒng)考一模)我市2017年平均房價為6500元加2.若2018年和2019年房價平均

增長率為X,則預計2019年的平均房價y(元加2)與X之間的函數(shù)關(guān)系式為.

【答案】P6500(l?X

【分析】首先根據(jù)題意可得2018年的房價=2017年的房價x(l+增長率),2019年的房價=2018

年的房價x(l+增長率)，由此可得2019年的平均房價y與X之間的函數(shù)關(guān)系式.

【詳解】解：由題意得：y=6500(1+、),

故答案為：V=6500(l+x)；

【點睛】本題考查了二次函數(shù)增長率問題，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握增量率模型.

5.(2022?廣東廣州?廣州大學附屬中學?？级?為積極響應國家“舊房改造”工程，該市推

出《加快推進舊房改造工作的實施方案》推進新型城鎮(zhèn)化建設，改善民生，優(yōu)化城市建設.

(1)根據(jù)方案該市的舊房改造戶數(shù)從2020年底的3萬戶增長到2022年底的4.32萬戶，求

該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長率；

(2)該市計劃對某小區(qū)進行舊房改造，如果計劃改造300戶，計劃投入改造費用平均20000

元/戶，且計劃改造的戶數(shù)每增加1戶，投入改造費平均減少50元/戶，求舊房改造申報的

最高投入費用是多少元？

【答案】(1)20%；(2)612500()(元)

【分析】(1)設平均增長率為X,根據(jù)題意列式求解即可：

(2)設多改造y戶，最高投入費用為W元，根據(jù)題意列式

H'=(300+∏)(2O(MX)-5αfl)=-5O(Λ-5O)2+612500?然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最

大值.

【詳解】解：(1)設平均增長率為X,則x>0,

由題意得：3(1+1)2=432，

解得：x=0.2或4-2.2(舍)，

答：該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長率為20%；

(2)設多改造“戶，最高投入費用為卬元，

由題意得：W'≡(3∞??).(2000050fl)v:50(fl50?612500?

Va=-50,拋物線開口向下，

當α-5O=O,即。=50時，W最大，此時W=612500元，

答：舊房改造申報的最高投入費用為612500元.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應用，解題的關(guān)鍵是正確讀懂題意列出式子，然后根據(jù)二

次函數(shù)的性質(zhì)進行求解.

6.（2019?山東東營?統(tǒng)考一模）為了打造“清潔能源示范城市”，東營市2016年投入資金2560

萬元用于充電樁的安裝，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2018年在2016年的基礎(chǔ)上增加投入資

金3200萬元.

（1）從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為多少？

（2）2019年東營市計劃再安裝A、B兩種型號的充電樁共200個.已知安裝一個A型充電樁

需3.5萬元，安裝一個8型充電樁需4萬元，且4型充電樁的數(shù)量不多于B型充電樁的一

半.求A、B兩種型號充電樁各安裝多少個時，所需資金最少，最少為多少？

【答案】（1）從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為50%；（2）

A、8兩種型號充電樁分別安裝66個，134個時所需資金最少，最少為767萬元

【分析】（1）設從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為X,根據(jù)

等量關(guān)系，列出方程，即可求解；

（2）設安裝A型充電樁。個，則安裝8型充電樁（20Oa）個，所需資金為“，萬元，列不等式，

求出a的范圍，再求出W的函數(shù)解析式，進而可求出答案.

【詳解】（1）設從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為X,

根據(jù)題意得：2560（1+Xy=2560+3200，

解得:怎=0.5=50%,演=-2.5（舍去）.

答：從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為50%；

（2）設安裝A型充電樁4個，則安裝8型充電樁仁OOα）個，所需資金為Ir萬元.

根據(jù)題意，得：《［（200a）,

解得:ɑ:66-,

3

??-=35Λ+4（2OOa）=-050ι8∞,

?--05<0.

，W隨α的增大而減小.

為整數(shù)，

二當α=66時，M最小，最小值為-OJ66+800=767（萬元）.

此時，200-aT34?

答：4、8兩種型號充電樁分別安裝66個，134個時，所需資金最少，最少為767萬元.

【點睛】本題主要考查一次函數(shù),二次函數(shù)以及一元一次不等式的實際應用，找到數(shù)量關(guān)系,

列出函數(shù)解析式和一元一次不等式，是解題的關(guān)鍵.

.題型二：拱橋問題

柘!思維形成：

L若題中沒有坐標系，建立適當?shù)淖鴺讼到忸}，一般以頂點為原點或讓頂點在y

軸上；

2.把題中給的長和寬準確的轉(zhuǎn)化成坐標。

IH例題精講：

【例2】如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2米時，水面寬6米，水面下降米,

水面寬8米.

<--------------6米---------A

【答案】—##1-

99

【分析】根據(jù)已知得出直角坐標系，通過代入A點坐標（-3,0）,求出二次函數(shù)解析式，

再根據(jù)把44代入拋物線解析式得出下降高度，即可得出答案.

【詳解】解：建立平面直角坐標系，設橫軸X通過A8,縱軸y通過4B中點O且通過C點,

通過以上條件可設頂點式）="∕+2,把點A點坐標（-3,0）代入得,

*'?Ski÷2=O,

2

??ɑ:—，

9

.?.拋物線解析式為：V：X2.2;

9

當水面下降，水面寬為8米時，有

把工一4代入解析式，得y=-4,÷2?-16÷2--：

999

???水面下降米；

9

故答案為：—；

9

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)已知建立坐標系從而得出二次函數(shù)解析式是

解決問題的關(guān)鍵.

盟真題演練：

I.(2020?浙江紹興?模擬預測)一座橋如圖，橋下水面寬度是20米，高是4米.

(1)如圖，若把橋看做是拋物線的一部分，建立如圖坐標系.

①求拋物線的解析式；②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米?

(2)如圖，若把橋看做是圓的一部分.

①求圓的半徑；②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米？

【答案】(1)①拋物線解析式為：v=-1τ+4;②要使高為3米的船通過，則其寬度須不

超過10多少米；

(2)①圓的半徑為∣4S米；②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過4、5米.

【分析】(1)①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

②根據(jù)題意得出P=3時，求出X的值即可；

(2)①構(gòu)造直角三角形利用￡相WC產(chǎn)，求出即可；

②在RtZMFG尸中，由題可知，JFF=145,rG=14I=IJS,根據(jù)勾股定理知:

GF2=WF2ITU*,求出即可.

【詳解】(D解：①設拋物線解析式為：＞，=0√+c,

；橋下水面寬度4B是20米，高CQ是4米，

.t.4(-10.0),8(10.0),O(O?4),

100σ+c=0.,A=-----

?,解jz得r：，25，

c=4

c≡4

，拋物線解析式為：v^-l.√÷4;

25

②Y要使高為3米的船通過，

JyT,則3-LT：4,

25

解得：X=±5，

EFnIO米：

答：要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過IO米:

(2)解：①設圓半徑，米，圓心為W,

?BF2=ΛCJ+CF2-

???L=(r-W+lO3'

解得：r=l43即圓的半徑為145米；

②在RtZJFG尸中，由題可知，Ir尸=∣4S,IFG=IJ5-1=13$，

根據(jù)勾股定理知：Gr=Jr/∏U^-

即G尸)=1452-13f=28，

所以G尸=2，？，

此時寬度月尸=S米.

答：要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過4々米.

【點睛】此題考查/待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、垂徑定理以及勾股定理的應用等知識，利用

圖象上的點得出解析式是解決問題關(guān)鍵.

2.（2022.四川廣安.統(tǒng)考中考真題）如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2米時，水面寬6

米，水面下降米，水面寬8米.

6米

【答案】—##1-

99

【分析】根據(jù)已知得出直角坐標系，通過代入A點坐標（-3,0）,求出二次函數(shù)解析式，

再根據(jù)把Λ-=4代入拋物線解析式得出下降高度，即可得出答案.

【詳解】解：建立平面直角坐標系，設橫軸X通過A2,縱軸y通過4B中點。且通過C點,

則通過畫圖可得知。為原點，由題意可得：40=08=3米，C坐標為（0,2）,

<------------6代---------A

通過以上條件可設頂點式y(tǒng)="2+2,把點A點坐標（-3,0）代入得,

?'.<ta+2=0.

2

??0=——，

9

.?.拋物線解析式為：V=-Nl+2；

9

當水面下降，水面寬為8米時，有

把代入解析式，得y=-2Γ+2=--16+2=--；

999

水面下降9米；

9

故答案為：—；

9

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)已知建立坐標系從而得出二次函數(shù)解析式是

解決問題的關(guān)鍵.

3.（2022.陜西.統(tǒng)考中考真題）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE

表示水平的路面，以。為坐標原點，以OE所在直線為X軸，以過點O垂直于X軸的直線為

y軸，建立平面直角坐標系.根據(jù)設計要求：O6-10川，該拋物線的頂點P到OH的距離為

(1)求滿足設計要求的拋物線的函數(shù)表達式；

(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點A、JB處分別安裝照

明燈.已知點A、B到OH的距離均為6m,求點A、B的坐標.

【答案】⑴.v--(.T5),+9

⑵/(5.氈,6),B(5+氈,6)

【分析】(1)根據(jù)題意，設拋物線的函數(shù)表達式為y=Mx-5)3+9,再代入(0,0),求出

a的值即可；

(2)根據(jù)題意知，4,B兩點的縱坐標為6,代入函數(shù)解析式可求出兩點的橫坐標，從而可

解決問題.

【詳解】(1)依題意,頂點解19),

設拋物線的函數(shù)表達式為.V=fl(x-5y'+9,

Q

將(0.0)代入，得0=a(0-5)'+9?解之，We---.

???拋物線的函數(shù)表達式為V--2(N5)?<9.

?25

9%

(2)令】；二6,得—(Λ5)4+9-6.

解之，得％=您+5,馬=-氈+5?

力3之3

??-4(5-?^^,6),B(5+^^,6)?

【點睛】本題考查了運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運用，由函數(shù)值求自變量的值的

運用，解答時求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.

4.(2021?貴州安順?統(tǒng)考中考真題)甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片.如圖①，甲秀樓的橋

拱截面084可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內(nèi)的水面寬Q4=8m,橋拱頂點；到

水面的距離是4m.

圖①

(1)按如圖②所示建立平面直角坐標系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達式；

(2)一只寬為I%”的打撈船徑直向橋駛來，當船駛到橋拱下方且距。點()4m時，橋下水

位剛好在0.4處.有一名身高16?u的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會

觸碰到橋拱，請說明理由(假設船底與水面齊平)：

(3)如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線T=S-?c(α=0),該拋物線在`軸下方部

分與橋拱在平靜水面中的倒影組成一個新函數(shù)圖象.將新函數(shù)圖象向右平移?0)

個單位長度，平移后的函數(shù)圖象在8時，1的值隨'值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，

求的取值范圍.

【答案】(I))=-Lr2+2t(0M8);(2)他的頭頂不會觸碰到橋拱，理由見詳解；(3)59^8

4

【分析】(I)設二次函數(shù)的解析式為：y=α(x-8)x,根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；

(2)把：χ=l,代入)=-?Lχ2+2x,得到對應的)，值，進而即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)題意得到新函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖像，進而即可得到的范圍.

【詳解】(1)根據(jù)題意得：4(8,0),8(4,4),

設二次函數(shù)的解析式為：y=α(x-8)x,

把(4,4)代入上式，得：4=°x(4-8)x4,解得：π--?,

4

.?.二次函數(shù)的解析式為：)=-一(X-8)x=--/+2入一(0W爛8)；

44

(2)由題意得：x=0.4+1.2÷2=l,代入y=-1∕+2χ,y=^?×↑^+2×l=->1.68,

444

答：他的頭頂不會觸碰到橋拱；

2

(3)由題意得：當0人8時，新函數(shù)表達式為：y=^x-2χf

當XVO或x>8時，新函數(shù)表達式為：y=--x2+2χ

4f

-X2-2X(0≤X≤8)

???新函數(shù)表達式為:4

-?.X3+2ι(.t(Ollt)S)

???將新函數(shù)圖象向右平移"』(川0)個單位長度，

Cf0),A'(∕n+8,0)>B'(〃?+4,-4),如圖所示,

根據(jù)圖像可知：當桁+色9且壯8時，即：59E8時，平移后的函數(shù)圖象在8?「9時，「的

值隨Y值的增大而減小.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的實際應用，掌握二次函數(shù)的待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖像

和性質(zhì)，二次函數(shù)圖像平移和軸對稱變換規(guī)律，是解題的關(guān)鍵.

5.(2021?浙江衢州?統(tǒng)考中考真題)如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖.水面寬AB與

橋長Co均為24m,在距離。點6米的E處，測得橋面到橋拱的距離E尸為1.5m,以橋拱

頂點。為原點，橋面為X軸建立平面直角坐標系.

(1)求橋拱項部。離水面的距離.

(2)如圖2,橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG,OH,DI,過相鄰兩根支柱頂端的

鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點到橋面距離為1m.

①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達式.

②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求彩帶長度的最小值.

1

【答案】(1)6m；(2)(T)v?=l(χ÷6)+∣;②2m

【分析】(I)設M=q∕,由題意得F(6.-L5),求出拋物線圖像解析式，求當廣12或k-12

時V的值即可；

(2)①由題意得右邊的拋物線頂點為(6.1),設力y(x6尸?1,將點，代入求值即可；

②設彩帶長度為6，則%代入求值即可.

【詳解】解(D設M=Q/,由題意得F(6,-L5),

Λ-l5=36^,

V∣=----Λ-，

E24

.二當公二12時/v∣=-—?12*=-6，

24

橋拱頂部離水面高度為6m.

(2)①由題意得右邊的拋物線頂點為(6,1),

??設力=—61+1,

v∕∕(OJ),

.4-Λ(0-6)J÷b

.Vj=?(t-6)j+l?

14

1

(左邊拋物線表達式：V??-L(1+6)+I)

12

②設彩帶長度為/?,

則〃—v?—V)=—(.?-6)"*1—(-----I')二一''-1+'1?

'"12248

Λ當x=4時，Q=2,

答：彩帶長度的最小值是2巾.

【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)最值得求解方法，結(jié)

合題意根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想設出二次函數(shù)的頂點式方程是解題的關(guān)鍵.

6?(2022?甘肅定西?統(tǒng)考模擬預測)有一個拋物線的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為4m，

跨度為Io如圖所示，把它的圖形放在直角坐標系中.

(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如圖，在對稱軸右邊］∣u處，橋洞離水面的高是多少？

【答案】⑴V=-

(2)在對稱軸右邊Im處，橋洞離水面的高是一m

【分析】(1)根據(jù)題意設拋物線解析式為頂點式，然后根據(jù)拋物線過點(0.0),代入即可求

解；

(2)根據(jù)對稱軸為：t=5,得出對稱軸右邊Im處為：i=6,代入即可求解.

【詳解】(1)解：由題意可得：拋物線頂點坐標為(5,4),

設拋物線解析式為：V="(一斤+4，

:拋物線過點(0.0),

O=fl(O-5)*+4>解得："=--^―>

.?.這條拋物線所對應的函數(shù)關(guān)系式為：V=V-Sf+4.

(2)解：對稱軸為：ι=S,則對稱軸右邊Im處為：i=6，

將t=6代入V=-■—(I-5)2÷4?可得：V=-■—(6—5)j÷4)解得：V=竺，

25并,25

答：在對稱軸右邊Im處，橋洞離水面的高是？m.

25

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，解答此題的關(guān)鍵是明確題意，求出拋物線的解析式.

?題型三：面積問題

柘!思維形成：

1?求完長度一定要檢驗結(jié)果是否符合題意，不能超過墻的長

度；

2.表示面積的時候注意是否有門。

IfflI例題精講：

［例］3］北重一中計劃利用一片空地建一個學生自行車車棚，其中一面靠墻，墻的最大

可用長度為12米.另三邊用總長為26米的木板材料圍成.車棚形狀如圖中的矩形心C7）。

為了方便學生出行，學校決定在與墻平行的一面開一個2米寬的門。

（1）求這個車棚的最大面積是多少平方米？此時月8與公「的長分別為多少米？

（2）如圖2,在（1）的結(jié)論下，為了方便學生取車，施工單位決定在車棚內(nèi)修建幾條等寬的

小路，使得停放自行車的面積為70平方米，那么小路的寬度是多少米？

【答案】⑴最大面積為96平方米，此時4。米，，48=8米;

（2）小路的寬為1米

【分析】（1）設AP為X米，則48為二X米,列出車棚面積的函數(shù)表達式，求出X的

取值范圍，再求出函數(shù)的最大值，同時求出AZ）和A8的長即可；

（2）設小路寬為小米.根據(jù)題意列出方程，解方程即可.

【詳解】（1）解：設40為X米，則48為；一I米,

根據(jù)題意得：S=?26+27」；+%,

2

由題意得,τ≤12,

X>0

解得0<Λ≤I2,

Va=-?<0>開口向下，

,當KVI4時，S隨X的增大而增大，

?,0<x≤12.

.?.當κ=12時，S有最大值，SZ=96,

此時AD=x=12,AB="6+-_1=8,

2

答：最大面積為96平方米，此時40」2米，.4H=8米.

(2)解：設小路寬為布米.

根據(jù)題意得(12-2Λ*8-"∣)=70

解得網(wǎng)13(舍)，”,一I

答：小路的寬為1米.

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)和一元二次方程的應用，讀懂題意，列出函數(shù)表達式和一

元二次方程是解題的關(guān)鍵.

盟真題演練：

1.(2022?江蘇蘇州?模擬預測)用28米長的鐵絲圍成一個一邊靠墻的長方形.

(1)當垂直于墻的一邊比另一邊少T米時，求長方形的面積.

(2)按表中列出的數(shù)據(jù)要求，填寫表格.

觀察表格，你感到長方形的面積會不會有最大的情況？如果會，可能是多少？

垂直于墻的一邊比另一邊少(U"1?710

長方形的面積—————

【答案】(l)98(m1

⑵見解析，會，98(∏r)

【分析】(1)設垂直于墻的一邊為X,平行于墻的一邊為y,根據(jù)三邊長為28,且垂直于墻

的一邊比另一邊少了米，列出關(guān)于x、y的方程組，即可求得面積

(2)根據(jù)題意完成表格，設長方形的面積為S,可得S=2(t7)；+98，即可得到結(jié)果

【詳解】(1)設垂直于墻的一邊為X,平行于墻的一邊為y,且垂直于墻的一邊比另一邊少7

米，

.∫lt+.V=28

??V-I=7

∣zX=7

解得:

Lv=14

xf-9t,

答：長方形的面積為98(n∕)

(2)完成表格如下:

垂直于墻的一邊比另一邊少(m)1J71013

長方形的面積9096989690

設長方形的面積為S,

則：S-π

=ΛΓ(28-1V)

?-Zx2428Λ

=-2(Λ-7)J+98

??.當\7時，長方形的面積取得最大值，最大值為98(m)

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應用和二元一次方程組的應用，根據(jù)長寬之間的關(guān)系列出

方程組和函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵

2.(2022?廣東茂名?統(tǒng)考二模)如圖，某養(yǎng)豬戶想用29米長的圍欄設計一個矩形的養(yǎng)豬圈，

其中豬圈一邊靠墻另外三邊用圍欄圍住，在8C邊開個門(寬度為1米)，MN的長度

為15m,

MN

-^A}Γθ-

BC

(1)為了讓圍成的豬圈(矩形A88)面積達到112n√,請你幫忙計算一下豬圈的長與寬分別

是多少？

(2)當豬圈的長與寬分別是多少時，豬圈的面積達到最大？

【答案】(1)長是14米，寬是8米

(2)豬圈的長是15米，寬是3米時，豬圈的面積最大，為半米

*4

【分析】(1)設豬圈的長為30?則寬為Em,其中「?：，根據(jù)SetJeB(30lx)<=112,

計算求出滿足要求的，的值，進而可得結(jié)果；

(2)由(D可知與(*6-(30It)t1??30Λ2X三?卜?，根據(jù)二次函數(shù)的性

質(zhì)可確定最大值時的N值，進而可得結(jié)果.

(1)

解：設豬圈的長為30-2xm,則寬為Xm,其中工21；，

.?.矩形ABCO的面積與,修工，(30lt)Λ-112,

/.(τ7)(Λ8)=0,

解得X=7(不合題意，舍去)，或3=8,

二3O-2,t=3O-2?8=14)

二豬圈的長為14m,寬為8m.

(2)

解：由(1)可知Sevg=(30-21)，=-2?2+3(h=+學，

-2<0.

.?.當'時，耳帆3最大，

.?.豬圈的長為15m,寬為±m(xù)時，豬圈的面積最大，最大值為二m2.

?*

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，二次函數(shù)的最值等知識.解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題

意列等式.

3.(2021?四川綿陽?統(tǒng)考二模)如圖，某養(yǎng)殖戶利用一面長20m的墻搭建矩形養(yǎng)殖房，中間

用墻隔成兩間矩形養(yǎng)殖房，每間均留一道1"?寬的門.墻厚度忽略不計，新建墻總長34〃?，設

AB的長為X米，養(yǎng)殖房總面積為S

F-------20m

~?lID

BFC

(1)求養(yǎng)殖房的最大面積?

(2)該養(yǎng)殖戶準備400元全部用于購買小雞和小鵝養(yǎng)殖，小雞每只5元，小鵝每只7元，并

且小雞的數(shù)量不少于小鵝數(shù)量的2倍.該養(yǎng)殖戶有哪兒種購買方案？

【答案】(I)IO8平方米

(2)5種購買方案.

小鵝05101520

小雞8073665952

【分析】(1)根據(jù)矩形的面積列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最大值；

(2)設買小雞。只，小鵝6只，根據(jù)5α+76=400,且“≥26,求出“，。的整數(shù)解即可.

【詳解】(1)解：由題意得：

S=X(34-3x+2)=X(36-3x)=-31+36X=-3(x-6)2+IO8,

；-3<0,

當x=6時，S有最大值，最大值為108,

???養(yǎng)殖房的最大面積為108平方米：

(2)設買小雞“只，小鵝人只，

則5α+7b=400,且θ≥2b,

則?≤-?y,且b>0,

又?."，。都為非負整數(shù)，

可為0,5,10,15,20,

此時α對應為80,73,66,59,52,

該養(yǎng)殖戶共有5種購買方案：方案1：小雞80只，小鵝。只；方案2：小雞73只，小鵝

5只；方案3：小雞66只，小鵝10只；方案4：小雞59只，小鵝15只；方案5：小雞52

只，小鵝20只.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的面積列出函數(shù)解析式.

4.(2022.江蘇泰州.模擬預測)用總長為60m的籬笆圍成矩形場地.

(1)根據(jù)題意，填寫下表：

矩形一邊長W5IOIS20

矩形面積加「1r

(2)設矩形一邊長為?m,矩形面積為Qi/,當X是多少時，矩形場地的面積S最大？并求出

矩形場地的最大面積；

(3)當矩形的長為m,寬為m時，矩形場地的面積為

【答案】(1)見解析

(2)當X是ISm時，矩形場地的面積S最大，最大面積為T5n∕

(3)18,12

【分析】(1)根據(jù)一邊長及周長求出另一邊長，再根據(jù)矩形面積公式計算可得；

(2)先表示出矩形的另一邊長，再根據(jù)：矩形面積公式，可得面積S關(guān)于X的函數(shù)解析式,

配方成頂點式可得其最值情況；

(3)在以上函數(shù)解析式中令S=216,解方程可得X的值.

【詳解】(I)解：若矩形一邊長為IOm,則另一邊長為10-20m,

此時矩形面積為：IO.20=200m'，

若矩形一邊長為15m,則另一邊長為1515m,

此時矩形面積為：］5T5=225nJ,

若矩形一邊長為20m，則另一邊長為20IOni,

此時矩形面積為：］0.20=200∏√,

完成表格如下：

矩形一邊長加1510r20

矩形面積加,2(.M∣225200

(2)解：設矩形一邊長為κm,則另一邊長為丁-x(Jo?x)m,

???矩形場地的面積S“30N).√+3Qτ(x15)2?225，

當X=”時，S取得最大值，最大值為225m，

答：當X是ISm時，矩形場地的面積S最大，最大面積為225n?；

(3)解：根據(jù)題意,得：-乂：+30*=216，

解得：xT2或x=18,

.??當矩形的長為18m，寬為Ilm時,矩形場地的面積為216m'，

故答案為：18,12.

【點睛】此題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的實際應用，根據(jù)題意表示出另一邊長，將長

乘以寬得出面積并配方找最大值是解題的關(guān)鍵.

5.（2022.內(nèi)蒙古包頭.?？既＃┍敝匾恢杏媱澙靡黄盏亟ㄒ粋€學生自行車車棚，其中

一面靠墻，墻的最大可用長度為12米.另三邊用總長為26米的木板材料圍成.車棚形狀如

圖中的矩形HC0。為了方便學生出行，學校決定在與墻平行的一面開一個2米寬的門。

（1）求這個車棚的最大面積是多少平方米？此時AS與A匚的長分別為多少米？

（2）如圖2,在（1）的結(jié)論下，為了方便學生取車，施工單位決定在車棚內(nèi)修建幾條等寬的

小路，使得停放自行車的面積為70平方米，那么小路的寬度是多少米？

【答案】⑴最大面積為96平方米，此時4）_12米，48=8米;

（2）小路的寬為1米

【分析】（1）設為X米，則為二；米,列出車棚面積的函數(shù)表達式，求出X的

取值范圍，再求出函數(shù)的最大值，同時求出AD和AB的長即可；

（2）設小路寬為米.根據(jù)題意列出方程，解方程即可.

【詳解】（1）解：設為X米，則48為“二,米,

根據(jù)題意得：S=X2-2-?-l（τ-H）i+98,

由題意得?x≤12,

X>0

解得0<x≤12,

=開口向下,

2

???當Λ??14時，S隨X的增大而增大,

?0vχ≤12,

???當.1-12時，S有最大值，SnIT=96,

此時4D=x=12,AB=~λ=8,

2

答：最大面積為96平方米，此時40.12米，,48=8米.

（2）解：設小路寬為/M米.

根據(jù)題意得（12-加）（8-間=：0

解得網(wǎng)13（舍），Hi-I

答：小路的寬為1米.

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)和一元二次方程的應用，讀懂題意，列出函數(shù)表達式和一

元二次方程是解題的關(guān)鍵.

6.（2022.遼寧沈陽.統(tǒng)考模擬預測）如圖，用一根長60厘米的鐵絲制作一個“日”字型框架

ABCD,鐵絲恰好全部用完.

（1）若所圍成矩形框架ABCD的面積為144平方厘米，則AB的長為多少厘米?

（2）矩形框架ABCD面積最大值為平方厘米.

【答案】（I）AB的長為8厘米或12厘米.

（2）150

【分析】（1）設48的長為尤厘米，則有ZlD=空史厘米，然后根據(jù)題意可得方程

竺二巴τ=144,進而求解即可;

（2）由（1）可設矩形框架ABCO的面積為S,則有S=竺W-Io）2+150,然

22

后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可進行求解.

【詳解】（1）解：設AB的長為X厘米，則有XO=竺二2厘米，由題意得:

竺叢…,

1

整理得：20κ+96=0,

解得：W=&玉=12,

?'?O<i<20，

...?,=8,\=12都符合題意，

答：48的長為8厘米或12厘米.

（2）解：由（1）可設矩形框架48CZ）的面積為S平方厘米，則有：

S=⑷，3.1X3+30ι=—：（.、T+150,

222

,/——<0，且O<X<2O,

2

；?當XTO時,S有最大值,即為STS0;

故答案為：150.

【點睛】本題主要考查一元二次方程及二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是找準題干中的等量關(guān)

系.

7.（2022?山東威海?統(tǒng)考中考真題）某農(nóng)場要建一個矩形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，另外三

邊用木柵欄圍成.已知墻長25m,木柵欄長47m,在與墻垂直的一邊留出Im寬的出入口（另

選材料建出入門）.求雞場面積的最大值.

//4/////////////////

出入口

【答案】288m2

【分析】設與墻平行的一邊為?m（爛25）,則與墻垂直的一邊長為獷±um,設雞場面積

2

為ym2,根據(jù)矩形面積公式寫出二次函數(shù)解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可.

【詳解】解：設與墻平行的一邊為Xm（Λ≤25）,則與墻垂直的一邊長為C："m,設雞場

面積為）加，

根據(jù)題意，得y=X；T--?24r-24）s?288,

.?.當戶24時，y有最大值為288,

二雞場面積的最大值為288n√.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應用，解題的關(guān)鍵是正確列出二次函數(shù)解析式.

8?（2022?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，

該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m）,另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成

兩個面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長度為24m,設較小矩形的寬為Xm（如圖）.

(1)若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36u√,求此時X的值；

(2)當X為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？

【答案】(I)X的值為2m；

(2)當X=與時?，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為竿m2

【分析】(1)由8C=x,求得BD=3x,AB=8-x,利用矩形養(yǎng)殖場的總面積為36“/，列一元

二次方程，解方程即可求解；

(2)設矩形養(yǎng)殖場的總面積為S,列出矩形的面積公式可得S關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，再根

據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：?.?8C=x,矩形CDEF的面積是矩形BCE面積的2倍，

.?CD=2x,

,?BD=3xfAB=CF=DE=^(24-BD)=8-x,

3

依題意得：3x(8-x)=36,

解得:X∣=2,&=6(不合題意,舍去)，

此時X的值為2m；

(2)解：設矩形養(yǎng)殖場的總面積為S,

由(1)得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48>

???墻的長度為10,

Λ0<3x<l0,

Λ0<x<-,

V-3<0,

.?.χV4時，S隨著X的增大而增大,

當時，S有最大值，最大值為”3，4)，,481卷，

即當1一州時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為更m2.

33

【點睛】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)在幾何圖形問題中的應用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌

握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.(2022?湖南湘潭?統(tǒng)考中考真題)為落實國家《關(guān)于全面加強新時代大中小學勞動教育的

意見》，某校準備在校園里利用圍墻(墻長12m)和21m長的籬笆墻，圍成I、∏兩塊矩形

勞動實踐基地.某數(shù)學興趣小組設計了兩種方案(除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費

籬笆墻)，請根據(jù)設計方案回答下列問題：

圖Q圖;2

(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在I區(qū)中留一個寬度AeIm的水池且需保

證總種植面積為3Znr，試分別確定。7、DG的長；

(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應設計為多長？此時最大

面積為多少？

【答案】(I)CG長為8mDG長為4,〃

⑵當BC=Zm時，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=㈣加2

24

【分析】⑴兩塊筒笆墻的長為12m,籬笆墻的寬為AQ=G"=BC=(21-12)÷3=3m,設CG為

am,Z)G為(12-a)m,再由矩形面積公式求解；

(2)設兩塊矩形總種植面積為y,BC長為Xm,那么AD=HG=8C=xm,OC=(21-3x)m,由

題意得，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=BCXDC,代入有關(guān)數(shù)據(jù)再把二次函數(shù)化成頂點式

即可.

【詳解】(1)解：兩塊籬笆墻的長為12m,籬笆墻的寬為AQ=GH=BC=(21-12)÷3=3m,

設CG為4m,Z)G為(12-o)m,那么

AD×DC-AE×AH=32

即12×3-1×(12-67)=32

解得：0=8

.*.CG=8m,Z)G=4m.

(2)解：設兩塊矩形總種植面積為yr!?,BC長為Xm,那么AD=HG=BC=xm,Z)C=(21-3x)m,

由題意得，

兩塊矩形總種植面積=5CXDC

即產(chǎn)v(21-3x)

.,.y=-3?2÷21x

=-3(χ-Z)?ψ

V21-3x≤12

Λx>3

71.17

2

當BC--m時，yjg?=——m.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的實際應用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意找到等量關(guān)系列出方

程.

10.(2020?山東日照?中考真題)如圖，某小區(qū)有一塊靠墻(墻的長度不限)的矩形空地ABCQ,

為美化環(huán)境，用總長為100〃?的籬笆圍成四塊矩形花圃(靠墻一側(cè)不用籬笆，籬笆的厚度不

計).

(I)若四塊矩形花圃的面積相等，求證：AE=3BE;

(2)在(1)的條件下，設BC的長度為加1,矩形區(qū)域ABC。的面積為"A求y與X之間

的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍.

A?H?ID

【答案】(D見解析；(2)v=-∣χ?40Λ∣0<Λ<y見解析.

【分析】(1)由題意易得AM=2ME,故可直接得證；

(2)由(1)及題意得2AB+G4+3BC=100,設BC的長度為m?,矩形區(qū)域ABCD的面積

為即可得出函數(shù)關(guān)系式.

【詳解】解：(1)證明：；矩形MEFN與矩形EBC尸面積相等，

：.ME=BE,AM=GH.

?.?四塊矩形花圃的面積相等，即S矩形AMDND=2S矩形MEFN,

?"M=2ME,

：.AE=3BE；

（2）.；籬笆總長為100/77,

,2A6+GH+38C=100,

即2.4B」/A+3Br=IOO，

2

6

.'.AB=40——BC

5

設BC的長度為xm,矩形區(qū)域48Co的面積為y/,

則ywBCΛRΛ∣40e.τ|-g.Y?40Λ,

6

AB-IO——BC

51

402

??EB————［二X），

35

解得XV嗎

3

J.y=-x1+40τ∣0<t<

"5I

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的實際應用，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到線段的等量關(guān)系，然后列

出函數(shù)關(guān)系式即可.

?題型四：拋球問題

行!思維形成：

1.適當建系；

2.把長度和高度準確轉(zhuǎn)化成坐標問題。

Ql例題精講：

【例］4］如圖，是一名男生推鉛球時，鉛球行進過程中形成的拋物線.按照圖中所示的

平面直角坐標系，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離X（單位：m）之間的關(guān)系是

2

y-JV+τ+?則鉛球推出的水平距離OA的長是m.

1233

y?

【答案】IO

【分析】由圖可知，要求OA的長實際是需要點A的橫坐標，已知點A的縱坐標為0,將y=0

代入函數(shù)的解析式，求出X的值，再舍去不符合實際的一個X的值即可.

【詳解】將y=0代入V=-L/Jx+」;

1233

C?j25

1233

j

整理得：λ-8r-20=0

(X-Io)(x+2)=0

解得：X=Io或不=-2(舍去)

.?.鉛球推出的水平距離OA的長是10m.

故答案為：10

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)得實際應用，熟練地掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

需真題演練:

1.(2022?河北石家莊?石家莊市第四十一中學?？寄M預測)如圖,排球運動場的場地長18〃?,

球網(wǎng)在場地中央且高度為2.24〃?，球網(wǎng)距離球場左、右邊界均為9〃葭排球發(fā)出后其運動路

線可以看作是對稱軸垂直于水平面的拋物線的一部分.某次發(fā)球，排球從左邊界的正上方發(fā)

出，擊球點的高度為歷“，當排球運動到水平距離球網(wǎng)3〃i時達到最大高度25”，建立如圖

平面直角坐標系.