2023屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）含解析

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,2),2是Z的共輾復(fù)數(shù)，則==

Z

?34.?34.34.34.

A.-----1—1B.----------1C.—I—1D.-------1

55555555

2.已知集合4={1,2,3},B={x∣x2-Λ-+∕n=θ},若Ac8={2},則B=

A.{2,1}B.{2,4}C.{2,3}D.{2,-1}

3.已知命題尸的否定為“小cR,x2+l≤Γ?則下列說法中正確的是

A.命題P為"3x∈R,x2+l>l''且為真命題

B.命題P為“WX/R,/+且為假命題

C.命題P為"?x∈R,f+]>]”且為假命題

D.命題尸為"玉∈R,/+[2]”且為真命題

4.世界數(shù)學(xué)三大猜想：“費馬猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想“，其中“四色猜想”和“費

馬猜想”已經(jīng)分別在1976年和1994年榮升為“四色定理”和“費馬大定理”.281年過去了，

哥德巴赫猜想仍未解決，目前最好的成果力+2”由我國數(shù)學(xué)家陳景潤在1966年取得.哥

德巴赫猜想描述為：任何不小于4的偶數(shù)，都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)之和.在不超過17的

質(zhì)數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和為奇數(shù)的概率為

[2]2I

A.—B.-C.—D.—Cln

4735甲

5.執(zhí)行如圖所示程序框圖，則輸出的S的值是\

6

S=S+舟

78n=n+?

工

6.下列函數(shù)中，定義域和值域不相同的是

A.y=τB.>=√7</7>5???

工

2[x-2,x≤0

c七d

??y=1+2,x>oL/輸出s/

?

7.已知向量a=(2cos75",2sin75'),￡>=(COSl5",-Sinl5"),

fi(2α+?)l(α-2?),則實數(shù)力的值為

A.8B.-8C.4D.-4

8.已知焦點在X軸上的雙曲線，一條漸近線的傾斜角是另一條漸近線的傾斜角的5倍,

則雙曲線的離心率是

A.友B.2C.@D.也

322

9.如圖，生活中有很多球缺狀的建筑.球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底

面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高.球冠面

積公式為5=2兀/汨，球缺的體積公式為V=gπ(3R-")”2,

其中R為球的半徑，”為球缺的高.現(xiàn)有一個球被一

平面所截形成兩個球缺，若兩個球冠的面積之比為1:2,

則這兩個球缺的體積之比為

A.?B,??C,?D.?

9202010

10.已知關(guān)于X的方程fcc+A+3=0有兩個正根，那么兩個根的倒數(shù)和最小值是

*7X

A.-2B.?C.-

39

11.為了降低或消除白熾燈對眼睛造成的眩光，給光源加上

一個不透光材料做的燈罩，可以起到十分顯著的效果.

某一燈罩的防止眩光范圍，可用遮光角/這一水平夾

角來衡量.遮光角是指燈罩邊沿和發(fā)光體邊沿的連線與

水平線所成的夾角，圖中燈罩的遮光角用tany=∕?2h

D+d

表示.若圖中D=IO6,4=14,且-----彳=11,則〃=

cos27+1

A.44B.66C.88

2

y

12.曲線「-14+--9=0,要使直線y=，MmeR)與曲線「有四個不同的交

33/

點，則實數(shù)，”的取值范圍是

A.(-3,-√3)(-√3,>^)("3)B.(-3,-√3)(√3j)

C.(3,3)D.(-√3,>^)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.總體由編號為01,02,19,20的20個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取6個

個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩

個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為.

78166572080263140702436911280598

14.在等比數(shù)列｛4｝中，％、%是函數(shù)〃、)=§丁-4/+?-1的極值點，則為=

15.如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中,

異面直線AB與CD的夾角為

16.若直線y=K(x+l)-l與曲線y=e*相切，直線

y=&(x+1)-1與曲線y=InX相切，則勺與的值為

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考

生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分

17.(12分)

已知S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，%=9,S3=15.

(1)求｛5｝的通項公式；

(2)若伉=」一，也｝的前〃項和為，，證明：Tn<^-.

anan^?O

18.（12分）

某校工會開展健步走活動，要求教職工上傳3月1日至3月7日的微信記步數(shù)信息，下圖是職工甲和

職工乙微信記步數(shù)情況:

步數(shù)15524步數(shù)12396

職工甲

(1)從3月2日至3月7日中任選一天，求這一天職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于IooOO的概率；

(2)從3月1日至3月7日中任選兩天，記職工乙在這兩天中微信記步數(shù)不低于IooOO的天數(shù)為X,求

X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)下圖是校工會根據(jù)3月1日至3月7日某一天的數(shù)據(jù)制作的全校200名教職工微信記步數(shù)的頻率分

頻率/組距

0.06

布直方圖.已知這一天甲和乙微信記步數(shù)在單位200名教職工中排名(按照從大到小排序)分別為第68

和第142,請指出這是根據(jù)哪一天的數(shù)據(jù)制作的頻率分布直方圖(不用說明理由).

19.(12分)

已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C:y2=2a5>0)的焦點，拋物線C過點M(6,-6).

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)已知直線/與拋物線C交于A,8兩點，且OALOB,證明：直線/過定點.

20.(12分)

如圖，線段AA是圓柱。。的母線，BC是圓柱下底面O的直徑

(1)弦AB上是否存在點。，使得。Q,?平面AAC,請說明理由；

(2)若BC=2,/鉆。=30。，點41,A,B,C都在半徑為&的

球面上，求二面角C-AB-A的余弦值.

21.(12分)

已知函數(shù)/(%)=a4+(x+l)2(x>-l).

JI1

(1)若F(X)在X=I處有極值，問是否存在實數(shù)如使得不等式病+〃"+/-1叱/(均對任意*€卜-1,4

及小［-1』恒成立？若存在，求出〃?的取值范圍：若不存在，請說明理由.(e=2?71828)；

(2)若a=l,設(shè)F(X)=/(x)-(x+l)2-x.

①求證：當x>0時，尸(X)<0；

11

②設(shè)勺=---+----+???+--------("∈N'),求證：an>In2

H÷1∕τ+2π+(w+l)

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

在直角坐標系Xoy中，曲線C的參數(shù)方程為Λα為參數(shù)，常數(shù)幾>0),以坐標原點為極點，無軸

y=-

t

正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的方程為PSin(e-?^∣=2.

(1)寫出C的極坐標方程和/的直角坐標方程；

(2)若直線O=S(OeR)和C相交于A8兩點，以AB為直徑的圓與直線/相切，求，的值.

23.［選修45不等式選講］

己知函數(shù)/(x)=∣x+α∣+k+3α∣.

(1)當α=T時，求不等式f(x)<4的解集；

(2)若f(x)的最小值為2,且(α-m)(α+m)=4?,求上+其的最小值.

nm~

2023屆高三第二次模擬數(shù)學(xué)(理科)參考答案

一、單選題

1.答案：A

解析：依題意，z=l+2i,則W=I-2i，

由“yl+2i_(l+2i)(l+2i)-3+4i3工4.

“'人Zl-2i(l-2i)(I+2i)555

故選：A

2.答案：D

解析：由題意可知，2wB,即22-2+〃7=0,所以m=-2,

所以,B={X∣X2-X-2=0}={2,-1}.

故選：D.

3.答案：C

解析：命題/,的否定為特稱命題，，P:Vx∈R,χ2+l>l,

當X=O時，Y+ι=ι,.?.p為假命題，ABD錯誤，C正確.

故選：C.

4.答案：B

解析：不超過17的質(zhì)數(shù)有：2,3,5,7,11,13,17,共7個，

隨機選取兩個不同的數(shù)，基本事件總數(shù)"=C=21,

其和為奇數(shù)包含的基本事件有：(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2』3),(2,17),共6個,

所以尸=A=Z

217

故選：B

5.答案：B

解析：由題意可知，流程圖的功能為計算s=τ?+?rS+7?+盤的值,

裂項求和可得：S

故選：B.

6.答案：D

解析：對于A：函數(shù)y=-X+2的定義域為R,值域也為R,不符合題意;

對于B：函數(shù)y=√7的定義域和值域都為[0,+8),不符合題意；

對于C：y=(的定義域和值域都為{χ∣χ≠0},不符合題意；

對于D：y=1—：Xu的定義域為R；

[x+2,x>0

當x≤()時，y=x-2<-2?當x>0時，y=x+2>2.

所以值域為(-8，-2]=(2,+8),定義域和值域不相同，符合題意；

故選：D.

7.答案：A

解析：因為“力=2cos75cos15-2sin75sin15=2CoS(15+75)=0,

M=2,W=I.

^↑?^(2a+b)-(a-λb)=2a-λb"=8-2=0.

所以2=8.

故選：A

8.答案：A

解析：由題意設(shè)一條漸近線的傾斜角為α,αe（O,］）,

Tr

則另一條漸近線的傾斜角為5α,由雙曲對稱性可得α+5α=π,α=2,

O

則一條漸近線的斜率為tan工=3，

63

設(shè)雙曲線的長半軸長為％短半軸長為8則2=正，

a3

故離心率為e=卜⑶=R=半,

故選：A

9.答案：C

解析：設(shè)小球缺的高為九，大球缺的高為也，則4+∕?=2R,①

4,2τιR%1_

由題意可得：亍號=5,即："=2九，②

所以由①?得：九=竽，壇罟,

所以小球缺的體積匕=；43R-竿上（與j=卷手

大球缺的體積K=，兀（3R-竺］x（竺］='皿，

23V3JV3J81

28?！?/p>

所以小球缺與大球缺體積之比為"=τ?=?.

V1ft（Jπ∕<20

81

故選：C.

10答案：B

解析：由題意可得4=T）2-4伏+3）..0,

解得化.6或A≤-2,

設(shè)兩個為好，X”由兩根為正根可得

N+x2=k>0

解得z>0,

XfX2=?÷3>0

綜上知，k..6.

故兩個根的倒數(shù)和為7+T?=T?

人］??√V∣

k1

氏+314.3,

1十一

1131

.6Γ--6f-2-

故

κ2

12

?,?1+-?,

k

故兩個根的倒數(shù)和的最小值是I.

故選：B

11.答案：B

EAIOsin2/20sinrcos∕S11

解析：嬴萬丁11",βr即t2cN∕=Nn/=111,所以tany=而,

-?=-2/?,解得∕z=66,

D+d106+1410

故選：B.

12.答案：B

解析：由題意得：x2+∕-9>0,BP√+∕≥9,即曲線「上的點(x,y)為圓Y+V=9上或圓Y+V=9夕卜

的點，

由1+Bi""''=。得:I-I=I或W+),2=9,

,---二=1先∫x=-√6∫x=-√6∫x=√6∫x=√6

由<33得：彳r或)廠或｛L或彳,

d+y2=9Iy=Kb,?-v?[y=?^Iy=-4

由此可得曲線「的圖象如下圖所示，

由圖象可知：當，〃€卜3,-石)(有,3)時，直線y=m與曲線「有四個不同交點;

實數(shù)〃7的取值范圍為(T-G)(√3,3).

故選：B.

二、填空題

13.答案：11

解析：由題設(shè)，依次取出的編號為08、02、14、07、11、05,

所以第5個個體的編號為11.

故答案為：11

14.答案：2

解析：∕,(X)≈X2-8X+4,

由題外,生是方程f-8x+4=0的兩個不等實根,

則由韋達定理W7=4>0,〃3+%=8>0,所以%>O">()

又如是％，%的等比中項且％與生，%同號，則a；=4,4>0=>%=2?

故答案為：2.

15.答案：60o

解析：

如圖所示，把展開圖恢復(fù)到原正方體.

連接AE,BE.由正方體可得C￡7/Ao且CE=4),

：.四邊形AoCE是平行四邊形，,AE//DC.

NBAE或其補角是異面直線AB與CD所成的角.

由正方體可得：AB=AE=BE,；.ABE是等邊三角形，；./BAE=60。.

.?.異面直線AB與Q9所成的角是60°.

故答案為：60。

16.答案：1

解析：設(shè)“X)=e",則f'(x)=e*,設(shè)切點為(和必)，則勺=e*1,

x,jrV|

則切線方程為V-y∣=e(x-x1),BPy-e'=e(x-xl),

直線y=K(χ+1)τ過定點(-∣,-i).

所以-l-e"=ew(-l-x,),所以NeW=1，

設(shè)g(x)=lnx,貝∣Jg'(x)=L設(shè)切點為(入2，%)，則右=

X?

則切線方程為y-%=’(χ-χ2),即yTn%?-?-u-??),

X2*2

直線V=年(x+1)-1過定點(T-1),

所以-I-InX2=L(T-Xz),所以占lnx2=l,

X?

則中皆是函數(shù)/(x)=e'和g(x)=InX的圖象與曲線y=J交點的橫坐標，

X

易知KX)與g(x)的圖象關(guān)于直線y=X對稱，而曲線丫」也關(guān)于直線.v=X對稱,

X

因此點(4y),(七，%)關(guān)于直線.V=X對稱，

從而Xz=e*1,Xl=InX2，

所以"2=史=I.

X2

故答案為：1.

三、解答題

17.答案：⑴%=2"+1；⑵詳見解析.

(4+31=9

解析：(1)由設(shè)數(shù)列伍“｝的公差為d,貝:?,,

解得d=2,α∣=3,

所以｛q,｝是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,

所以％=2〃+1；

(2)由q,=2"+l,可得"=-----=---=?

aftan+i(2〃+1)(2〃+3)22/?+12〃+3

所以τ,=4+a++a=:(〈一￡)+(￡-；)++q11J

2\_35572n+ι2〃+3_

=1(1__1_)=1__

232〃+364π+6,

又＞°,故?

4n+6

18.答案：⑴；⑵分布列見解析，E(X)=∣(3)3月3日

解析：(1)令時間A為“職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000?,

從3月2日至3月7日這6天中，3月2日、5日、7日這3天中，

甲乙微信記步數(shù)都不低于10000,

故P(A)W

(2)由(1)知：X=O,1,2,

2112

P(X=OC)=I1l1,尸(X=I)=專CCV4，p(x=2)=∣C=72?

X的分布列為：

X012

?42

P

777

（3）根據(jù)頻率分步直方圖知：微信記步數(shù)落在[20,25],[15,20）,[10,15）,[5,10）,

[0,5）（單位：千步）區(qū)間內(nèi)的人數(shù)依次為200x0.15=30人，200x0.25=50人，

200x0.3=60人，2∞×0.2=40Λ,200x0.1=20人，

由甲微信記步數(shù)排名第68,可知當天甲微信記步數(shù)在15000到20000萬之間，

根據(jù)折線圖知：只有3月2日，3月3日，3月7日.

由乙微信記步數(shù)排名第142,可知當天乙微信記步數(shù)在5000到IOOOO萬之間，

根據(jù)折線圖知：只有3月3日和3月6日，

所以3月3日符合要求.

19.答案：⑴/=6χ⑵證明見解析

解析：（1）因為拋物線C過點"（6,-6）,

二（-6）2=2px6,解得p=3,

：.拋物線C的標準方程為,V2=6x.

(2)設(shè)A(Jcl,y∣),B(w,y2),直線/的方程為畋=X-f，QK0),

聯(lián)立:t,化為V-6my-6f=0,

[y=6χ

Δ=36rn2+24,>0,

：?y∣+y2=6∕H,γ1γ2=-6r,

9

：OAYOB9

：.OAOB=xx+yy=6t瞪+1卜0”,7“1

t2l2(必%)+%%=-<—

366

解得f=6,滿足A=36,"2+24r>0,

二直線/的方程為瓶y=X-6,

.?.直線過定點(6,0).

20.答案：⑴存在，理由見解析(2)獨?

19

解析：(1)當點。為A8的中點時，OiD平面AAC,證明如下:

取AB的中點。，連接。。，

'：O,O分別為BC,AB的中點，則。。AC,

Of)CZ平面AAC,ACU平面AAC,

ΛOD平面AIAC,

又?.?OO∣AA1,

0。(Z平面AAc,A4∣u平面AAC,

.?.OO1平面4AC,

QQcOO=O,。ι0,。。<^平面。。〃

平面。QD平面AlAC,

由于OQU平面OOQ,故OQ〃平面AAC.

(2)TBC是。的直徑，可得/B4C=90。，即ABIAC,

且JBC=2,ZABC=30。，故AB=√J,AC=I,

又?.?AΛ∣_L平面A8C,且A8,ACu平面A8C,

,

..AAtrAB,AA1rAC,

即48,AC,兩兩垂直，且點A,A,B,C都在半徑為√∑的球面上,

可知該球為以AB、AC、AA為長、寬、高的長方體的外接球，

則AB2+4C2+AA2=(20『，可得AA=2,

以A為原點，AB,AC,AA所在直線分別為X,y,z軸建立直角坐標系,

則A(0,0,0),B(√3,θ,θ),C(0,l,0),A(O，0,2),

得48=侔,0,-2),A1C=(0,1,-2),

rz、.n?An=?√JX-ZZ=

設(shè)〃=(x,y,z)為平面ABC的一個法向量，貝U'

n?A1C=y-2z=0

令x=2,貝!∣V=2出,z=6，可得/2=倒,2Λ∕5?Q),

且AC=(0,1,0)為平面?AB的一個法向量，

設(shè)二面角C-Ab-A為巴

UuInrL/—

E∕I∕u^r?lA?！?√32√57

貝Ucosθ1—cos(AC,n)=IuuBj-F=-----=------------,

Iξ/I∣AC∣∣n∣1×√1919

所以二面角C-AB-A的余弦值為嚕.

21.答案：(D存在，-2≤∕n≤2;(2)①證明見解析；②證明見解析.

解析：由題可知/(x)=αln(x+l)+(x+l)2,r/X)=擊+2x+2.

(1)由/'⑴=0,可得:+2+2=0,?=-8.

PWQ，/X2(x+3)(x-l]

又當〃=—8時，f,(x]=~^————

`x+1

故“X)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，在(ι,+∞)單調(diào)遞增.

故函數(shù)/(x)在x=l處取得極值，所以“=-8.

??[尸-?,?,?2(x-l)(x+3)

?lve-l1,f(x)=-----+2x+2=------------------.

x÷lx+1

ΛΓ(x)>0,

當l,e]時，由上述討論可知，/(x)單調(diào)遞增，

故/(x)mM=f(e-D=-8+e2

不等式m2+tm+e2-?4</(x)對任意xe[e-1,e]及fe[-1,1]恒成立,

22222

即：m+tm+e-?4<f(x)mιnm+tm+e-l4≤-8+e,

即：+""-6≤0對1e[—1,1]恒成立，令g(r)=〃/+“”一6,

ng(T)≤0,g(l)≤0

BPm2-m-6≤0?fi∕∕z2+m-6≤0)

整理得(加一3)(加+2)≤0,且("7+3)("L2)≤O,

解得：-2<m<2,即為所求.

(2)?VF(x)=/(x)-(x+1)2-x=ln(l÷x)-x,.,.F,f(x)=------

1+x

當x>0時，F(xiàn)r(x)<O,.?^^在3+⑹上單調(diào)遞減，

??.F(x)<F(O)=OBPffi.

②由①可得：ln(l+x)<x(x>0)

令：X=T?,得In(I+Jγ)v??γ,即：-?->ln(?^)

k+1左+1Z+lZ