河北省保定市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023－2024學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研考試高二數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上．將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆2B把答題卡對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它標(biāo)號，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點的對稱性質(zhì)結(jié)合題意求解即可.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)為，故選：A2.已知直線與直線夾角為，則的傾斜角為（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】先求直線斜率及傾斜角，再根據(jù)夾角為求出的傾斜角即可.【詳解】直線斜率則傾斜角為，直線與直線夾角為，則的傾斜角為或.故選：C.3.如圖，是拋物線上一點，是拋物線焦點，以為始邊、為終邊的角，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】求出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立求出可得答案.【詳解】由題可知，則直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，解得，或，因為點在第一象限，所以，所以.故選：B.4.已知數(shù)列滿足，的前項和為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義可證得數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，由此可得結(jié)果.【詳解】，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，.故選：B.5.任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圖，這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰霓猜想”（又稱“角谷猜想”等）．已知數(shù)列滿足：，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)“冰霓猜想”結(jié)合遞推關(guān)系式，可發(fā)現(xiàn)從開始進(jìn)入循環(huán)，利用規(guī)律求解判斷.【詳解】由題意可得，，，，，，，，，…，按照此規(guī)律下去，可得，，，，令，解得，.故選：B.6.已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，頂點在底面ABC上的射影為的中心，則異面直線AB與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由于‖，所以為異面直線AB與所成角，然后根據(jù)題意可判斷為等邊三角形，從而可求出，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)頂點在底面上的射影為，連接，因為，所以為異面直線AB與所成角，因為為等邊三角形，為中心，所以，因為頂點在底面ABC上的射影為，所以平面，因為平面，所以，,所以，所以，因為，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，所以異面直線AB與所成角的余弦值為，故選：A7.在公比不為1的等比數(shù)列中，，的前項積為，則中不同的數(shù)值有（）A.15個 B.14個 C.13個 D.12個【答案】B【解析】【分析】先設(shè)出數(shù)列的公比，將用來表示，接著探究在中有多少對值相同，通過列舉法即得.【詳解】不妨設(shè)數(shù)列的公比為，則由可得：，則，于是，，對于，由可得：，即，整理得：，故得：，又，故有：，即在中，共有6對值分別相同，即其中不同的數(shù)值有14個.故選：B.8.已知為雙曲線的左，右焦點，為坐標(biāo)原點，為雙曲線上一點，且，則到軸的距離為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由雙曲線定義及余弦定理，求得的值，再利用三角形的面積相等法求得的值，進(jìn)而求得，得到答案.【詳解】由雙曲線，可得，則，設(shè)，由雙曲線的定義，可得，根據(jù)余弦定理，可得，解得，再設(shè)點的坐標(biāo)為，則，因為，可得，解得，由，可得，即點到軸的距離為.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.已知等比數(shù)列的首項為，公比為，則下列能判斷為遞增數(shù)列的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的首項為，公比為，對于A中，若，可得，所以為遞減數(shù)列，所以A錯誤；對于B中，若，可得，所以為遞增數(shù)列，所以B正確；對于C中，若，可得，所以為遞減數(shù)列，所以C錯誤；對于D中，若，可得，所以為遞增數(shù)列，所以D正確.故選：BD.10.平面直角坐標(biāo)系中，，則下列說法正確的是（）A.若，則點軌跡為橢圓B.若，則點軌跡為雙曲線C.若，則點軌跡關(guān)于軸、軸都是對稱的D.若，則點軌跡為圓【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓、雙曲線，以及軌跡方程的求法，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，因為，由橢圓的定義可知，點的軌跡為橢圓，所以A正確；對于B中，由雙曲線定義可得時，點的軌跡為雙曲線，所以B不正確；對于C中，設(shè)，由，可得，整理得，可得曲線關(guān)于軸對稱，所以C正確；對于D中，因為，可得，整理得，即，所以點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，所以D正確.故選：ACD.11.正方體中，P，Q，R分別是棱的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.P，Q，R，C四點共面 B.平面PQRC.平面 D.和平面PQR所成角的正弦值為【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點坐標(biāo)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算說明不共線，可判斷A；求出平面的一個法向量，利用空間位置關(guān)系的向量證明方法，可判斷B，C；根據(jù)空間角的向量求法，可判斷D.【詳解】以D為坐標(biāo)原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，則，則兩向量沒有倍數(shù)關(guān)系，即不共線，即不平行，又平面，平面,且平面平面，故不相交，則異面，即P，Q，R，C四點不共面，A錯誤；，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，又，則，又平面，故平面，B正確；由于，則，則，故平面，即平面，C正確；由于，平面的一個法向量為，設(shè)和平面所成角為，則，故D錯誤；故選：BC12.已知點，直線上有且僅有一點滿足，則可能是（）A.0 B.－1 C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意，得到點的軌跡方程為，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與雙曲線的位置關(guān)系，逐項判定，即可求解.【詳解】由點，且點滿足，根據(jù)雙曲線的定義，可得點是以為焦點的雙曲線的右支，且，所以雙曲線的方程為，又由直線，可得，聯(lián)立方程組，解得，所以直線過定點，由雙曲線的漸近線方程為，當(dāng)時，直線的方程為，此時直線與雙曲線的右支相切，只有一個公共點，符合題意，所以A正確；當(dāng)時，直線的方程為，此時直線與雙曲線的右支只有一個公共點，符合題意，所以B正確；當(dāng)時，直線的方程為，此時直線與雙曲線的右支沒有公共點，不符合題意，所以C不正確；當(dāng)時，直線的方程為，聯(lián)立方程組，其中，可得，此時，且易知方程有兩個正根，所以直線與雙曲線有兩個公共點，不符合題意，所以D不正確.故選：AB.三、填空題：本題共4小題．13.等差數(shù)列中，，則______．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)若，則求解即可。【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以若，則，又，所以，又，所以，故答案為：.14.若數(shù)列為等比數(shù)列，則以為焦點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比中項求得a即可.【詳解】解：因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以，，則，，所以以為焦點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故答案為：15.在空間直角坐標(biāo)系中，過點且一個法向量為的平面的方程可寫為．已知直線的方向向量為，平面的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)平面方程可得法向量，進(jìn)而根據(jù)線面角的向量法求解即可.【詳解】平面的方程為，所以可得平面法向量可以為，又直線的方向向量為所以直線與平面所成角的正弦值為,故答案為：16.過直線上任意一點作橢圓的兩條切線，切點分別是A，B，過點向直線引垂線，垂足為，則線段為坐標(biāo)原點）的最大值為______．【答案】【解析】【分析】求出直線、的方程，即可求出直線恒過定點，討論直線的斜率存在和不存在，求解即可.【詳解】設(shè)，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立得；∵與橢圓相切，∴，整理得：，所以代入，得，所以，從而切線的方程為，再將代入整理可得，直線的方程為：，同理直線的方程為：，直線，的方程過點，所以，，即，，則為方程的解，故直線的方程為，令，則，這直線恒過定點，①當(dāng)直線的斜率不存在時，則直線為，過點向直線引垂線，垂足為，則，②當(dāng)直線的斜率存在時，則直線為，過點向直線引垂線，垂足為，過點作向直線引垂線，垂足為，連接，點到直線的距離為，過點作交于點，可知四邊形時矩形，所以，而在中，，又，所以，所以，在中，，而在中，，則，故可知.故答案為：.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中定點問題的兩種解法（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點.（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).技巧：若直線方程為,則直線過定點；若直線方程為(為定值)，則直線過定點四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在空間四邊形ABCD中，為BC的中點，在CD上，且．（1）以為基底，表示；（2），，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件，結(jié)合圖形利用空間向量線性運(yùn)算法則求解即可；（2）由（1）結(jié)合向量的數(shù)量積的性質(zhì)及定義求解.【小問1詳解】，小問2詳解】由（1）得18.已知數(shù)列的首項是3，且滿足．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用已知，只要證明為非0常數(shù)即可；（2）由（1）可得，利用分組求和以及公式法即可得到結(jié)果.【小問1詳解】證明：由，得，．所以數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列．【小問2詳解】由（1）得數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，，，19.已知點在圓上運(yùn)動，，點為線段MN中點．（1）求點的軌跡方程；（2）已知，求最大值．【答案】（1）（2）89【解析】【分析】（1）設(shè)點，用表示出的坐標(biāo)，代入圓的方程即可；（2）利用兩點距離公式表示，結(jié)合的關(guān)系及范圍可求結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)點，因為為中點，，于是有，因為點在圓上運(yùn)動，所以，代入得，化簡得，所以點的軌跡方程為；【小問2詳解】因為，所以所以的最大值為89．20.如圖，正四棱錐中，，正四棱錐的高為分別為PB，PD的中點．（1）求證：（2）連結(jié)BF，DE相交于點，求平面與平面夾角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點，連接，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可；（2）分別求出平面與平面的法向量，利用空間向量求解即可.【小問1詳解】證明：在正四棱錐中，連接交于點，連接．因為四棱錐為正四棱錐，所以平面，四邊形為正方形，所以，，因為平面，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．因為，，所以在中，由，得，得，所以，則，因為為分別為PB，PD的中點，所以，所以，所以．所以．【小問2詳解】解：在分別為的中點，點為的交點，所以為的重心，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以，所以平面與平面夾角的正弦值為．21.已知等差數(shù)列的前項和為，，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，定義為不超過的最大整數(shù)，例如，，求數(shù)列的前項和．（說明：）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項和求和公式可構(gòu)造方程組求得，由此可得；（2）采用分組求和和裂項相消法可求得，由取整運(yùn)算定義可得，分類討論可求得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，解得：，.【小問2詳解】由（1）得：，，；則當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上所述：.22.橢圓的離心率為分別為橢圓的右頂點和上頂點，為坐標(biāo)原點，已知面積為3．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點作直線交橢圓于P，Q兩點，過點向軸引垂線交MN于點B，點C為點P關(guān)于點B的對稱點，求證：C，Q，M三點共線．【答案】