第二章控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

控制系統(tǒng)的模型：描述系統(tǒng)各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，叫做系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。實(shí)際存在的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能都可以通過(guò)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述（例如微分方程、傳遞函數(shù)等）。

數(shù)學(xué)建模：從實(shí)際系統(tǒng)中抽象出系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程

建立數(shù)學(xué)模型有兩種基本方法

機(jī)理建模：利用各個(gè)相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域提出的物質(zhì)和能量的守恒性、連續(xù)性原理，以及組成系統(tǒng)各部件的結(jié)構(gòu)尺寸，推導(dǎo)出系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。

實(shí)驗(yàn)辨識(shí)法：是一種利用系統(tǒng)的輸入和輸出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建模的方法。

實(shí)際上，只有部分系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可用機(jī)理建模法建立，更多系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)辨識(shí)的方法求得。

自動(dòng)控制理論中常用的數(shù)學(xué)模型：

時(shí)域中的微分方程、復(fù)域中的傳遞函數(shù)和頻域中的頻率特性

本章主要討論系統(tǒng)微分方程、傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖，信號(hào)流圖及其應(yīng)用第二章動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型2.1系統(tǒng)的時(shí)域模型常微分方程模型非線(xiàn)性系統(tǒng)的局部線(xiàn)性化模型（自學(xué)）黑箱模型（自學(xué)）2.1.1常微分方程模型

微分方程：含有一個(gè)未知函數(shù)及其一階或更多階導(dǎo)數(shù)的方程常微分方程：如果在微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，我們稱(chēng)這種微分方程為常微分方程線(xiàn)性微分方程：如果一個(gè)微分方程中僅含有未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)作為整體的一次冪,則稱(chēng)它為線(xiàn)性微分方程?？梢岳斫鉃榇宋⒎址匠讨械奈粗瘮?shù)y是不超過(guò)一次的，且此方程中y的各階導(dǎo)數(shù)也應(yīng)該是不超過(guò)一次的。（1） 確定元件的輸入、輸出變量。（2） 從輸入端開(kāi)始，根據(jù)物理、化學(xué)基本定律寫(xiě)出原始方程式。（3） 消去中間變量，寫(xiě)出只含輸入、輸出變量的微分方程。（4） 標(biāo)準(zhǔn)化——將與輸入有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)的右邊,與輸出有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)的左邊，各階導(dǎo)數(shù)按降冪排列,并將輸出項(xiàng)的系數(shù)為1

。第二章數(shù)學(xué)模型線(xiàn)性元件的微分方程列寫(xiě)方法電氣網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)機(jī)械位移系統(tǒng)液位控制系統(tǒng)直流調(diào)速系統(tǒng)2.1.2典型系統(tǒng)的微分方程電氣系統(tǒng)三個(gè)基本元件：電阻、電容和電感。電路分析主要對(duì)象：電抗、電壓、電流電氣系統(tǒng)建模：列寫(xiě)各元件的電抗、電壓與電流之間關(guān)系：1.電氣網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

電阻電容電感例1RC網(wǎng)絡(luò)，為輸入，為輸出，列微分方程。解：令T=RC為時(shí)間常數(shù)，則有---一階微分方程?！?1)第二章數(shù)學(xué)模型由一階微分方程表示的系統(tǒng)稱(chēng)為:一階系統(tǒng)輸出電壓如何隨著輸入電壓變化？例2．R-L-C電路，為輸入，為輸出,列微分方程。解：—

二階微分方程均為時(shí)間常數(shù),第二章數(shù)學(xué)模型由二階微分方程表示的系統(tǒng)稱(chēng)為:二階系統(tǒng)彈簧—質(zhì)量—阻尼器系統(tǒng)。外力f(t)，系統(tǒng)產(chǎn)生的位移y(t)，運(yùn)動(dòng)部件質(zhì)量用M表示.B為阻尼器的阻尼系數(shù)。K為彈簧的彈性系數(shù),要求寫(xiě)出系統(tǒng)在外力f(t)作用下的運(yùn)動(dòng)方程式。（2）列出原始方程式。根據(jù)牛頓第二定律，有:（1）f(t)是系統(tǒng)的輸入，y(t)是系統(tǒng)的輸出。2.機(jī)械位移系統(tǒng)

式中

f1(t)——阻尼器阻力；

忽略了彈簧質(zhì)量f1(t)和f2(t)為中間變量，消去中間變量，整理得方程兩邊同時(shí)除以K令f2(t)——彈簧力。則有f(t)為N=kg·m/s2，t為s，M為kg，y(t)為m，B為N·s/m，K為N/m。顯然TB單位為s，而T2M為s2稱(chēng)TB和TM系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。1/K為該系統(tǒng)的傳遞系數(shù)，它的意義是:靜態(tài)時(shí)系統(tǒng)的輸出與輸入之比。相似系統(tǒng):

R-L-C電路與彈簧—質(zhì)量—阻尼器系統(tǒng)具有相同結(jié)構(gòu)的微分方程。描述物理系統(tǒng)的微分方程的特點(diǎn)：微分方程的系數(shù)由元件或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身的參量組合而成，因而都是實(shí)數(shù)；微分方程的形式取決于元件或系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)進(jìn)行的物理過(guò)程；微分方程的階數(shù)取決于元件或系統(tǒng)自身含有儲(chǔ)能元件的數(shù)量；微分方程的解反映了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。描述物理系統(tǒng)的微分方程的特點(diǎn)：同一元件或系統(tǒng)，所取的輸入輸出量不同，微分方程的形式也不相同；不同系統(tǒng)，盡管輸入、輸出量不同，也可能具有相似的微分方程；SISO線(xiàn)性系統(tǒng)，既可以由以下的線(xiàn)性常系數(shù)微分方程的一般形式來(lái)描述：小結(jié)建立微分方程要掌握所涉及系統(tǒng)的關(guān)鍵公式牛頓第二定律、克希霍夫定律、剛體旋轉(zhuǎn)定律等建立的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為要建立非線(xiàn)性系統(tǒng)的線(xiàn)性化微分方程式，首先確定系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，即預(yù)定工作點(diǎn)；最后得到整個(gè)系統(tǒng)以增量表示的線(xiàn)性化方程。相似系統(tǒng)微分方程如何解2.3復(fù)域模型與傳遞函數(shù)拉普拉斯變換傳遞函數(shù)的定義典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的性質(zhì)和物理意義傳遞函數(shù)的表示方式和術(shù)語(yǔ)對(duì)應(yīng)

時(shí)域函數(shù)f(t)(原函數(shù))復(fù)頻域函數(shù)F(s)(象函數(shù))s為復(fù)頻率

拉氏變換是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時(shí)間函數(shù)f(t)與復(fù)變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來(lái)，把時(shí)域問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)變換為復(fù)頻域問(wèn)題，把時(shí)間域的高階微分方程變換為復(fù)頻域的代數(shù)方程以便求解。2.3.1拉普拉斯變換對(duì)應(yīng)

時(shí)域函數(shù)f(t)(原函數(shù))復(fù)頻域函數(shù)F(s)(象函數(shù))對(duì)應(yīng)

時(shí)域函數(shù)f(t)(原函數(shù))復(fù)頻域函數(shù)F(s)(象函數(shù))對(duì)應(yīng)

時(shí)域函數(shù)f(t)(原函數(shù))復(fù)頻域函數(shù)F(s)(象函數(shù))形如的數(shù)，叫做復(fù)數(shù)1.復(fù)數(shù)概念當(dāng)時(shí)，s是實(shí)數(shù)a當(dāng)時(shí)，s

叫做虛數(shù)當(dāng)時(shí)叫做純虛數(shù)2復(fù)平面

一個(gè)復(fù)數(shù)

本質(zhì)上由一對(duì)有序?qū)崝?shù)

唯一確定。可對(duì)應(yīng)于平面上的點(diǎn)

，這樣表示復(fù)數(shù)的平面稱(chēng)為復(fù)平面或

平面。其中

軸稱(chēng)為實(shí)軸，

軸稱(chēng)為虛軸。xyOS（a，b）s=a+bi3.復(fù)數(shù)的表示代數(shù)形式：三角形式：指數(shù)形式：4拉氏變換的定義正變換反變換t<0,f(t)=0積分下限從0

開(kāi)始，稱(chēng)為0

拉氏變換。積分下限從0+

開(kāi)始，稱(chēng)為0+

拉氏變換。

今后討論的拉氏變換均為0

拉氏變換,計(jì)及t=0時(shí)f(t)包含的沖擊。注在t＝0

至t＝0＋

f(t)=(t)時(shí)此項(xiàng)

0正變換反變換1象函數(shù)F(s)

用大寫(xiě)字母表示,如I(s)，U(s)。原函數(shù)f(t)

用小寫(xiě)字母表示，如i(t),u(t)。23象函數(shù)F(s)

存在的條件：指數(shù)函數(shù)三角函數(shù)單位脈沖函數(shù)單位階躍函數(shù)單位速度函數(shù)單位加速度函數(shù)冪函數(shù)5.信號(hào)典型函數(shù)拉氏變換的計(jì)算階躍信號(hào)（StepFunction）

時(shí)間r（t）R-----單位階躍函數(shù)

斜坡信號(hào)（RampFunction）時(shí)間tr（t）Rttg（

）=R

-----單位階躍函數(shù)R=1時(shí)，稱(chēng)為單位斜坡信號(hào)脈沖信號(hào)（PulseFunction）時(shí)間tδ（t）定義1.f(x)稱(chēng)為檢驗(yàn)函數(shù).:設(shè)任意函數(shù)φ(x)在x=0點(diǎn)連續(xù),則 則與求單位階躍函數(shù)同理，就可求指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)令

弦函數(shù)與余弦函數(shù)的象函數(shù)

由歐拉公式，有

所以同理28拉氏變換的基本性質(zhì)（1）線(xiàn)性微分積分時(shí)移頻移原函數(shù)像函數(shù)29拉氏變換的基本性質(zhì)（2）尺度變換終值定理卷積定理初值定理5拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1）.線(xiàn)性性質(zhì)

性質(zhì)31觀(guān)察下列圖形的時(shí)移關(guān)系t0t0例1解

根據(jù)拉氏變換的線(xiàn)性性質(zhì)，求函數(shù)與常數(shù)相乘及幾個(gè)函數(shù)相加減的象函數(shù)時(shí)，可以先求各函數(shù)的象函數(shù)再進(jìn)行計(jì)算。注：歐拉公式332時(shí)域微分主要用于研究具有初始條件的微分方程證明:由定義34依此類(lèi)推,可得若f(t)為有始函數(shù),則同理可得例1解3）.積分性質(zhì)應(yīng)用微分性質(zhì)例解4）.延遲性質(zhì)注5).頻移性解:例:求拉氏變換時(shí)移性頻移性6).初值定理和終值定理初值定理：f(t)在t=0處無(wú)沖激則終值定理：406初值定理證明:利用時(shí)域微分性質(zhì)41427.終值定理兩邊取s趨于零的極限證明:由時(shí)域微分性質(zhì)43是常數(shù)）．求函數(shù)的拉氏變換1．2．3．4．6拉普拉斯反變換的部分分式展開(kāi)

用拉氏變換求解線(xiàn)性電路的時(shí)域響應(yīng)時(shí)，需要把求得的響應(yīng)的拉氏變換式反變換為時(shí)間函數(shù)。由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)對(duì)簡(jiǎn)單形式的F(S)可以查拉氏變換表得原函數(shù)即：把F(S)分解為簡(jiǎn)單項(xiàng)的組合部分分式展開(kāi)法利用部分分式可將F(s)分解為：象函數(shù)的一般形式：待定常數(shù)1待定常數(shù)的確定：方法1方法2求極限的方法例解法1解法2一對(duì)共軛復(fù)根為一分解單元設(shè)：原函數(shù)的一般形式：2K1,K2也是一對(duì)共軛復(fù)根例解方法二：配方法，根據(jù)3例解2.3.2傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)定義：線(xiàn)性定常系統(tǒng)，在零值初始條件下，系統(tǒng)(或元件)輸出拉氏變換和輸入拉氏變換之比。對(duì)上式兩邊求拉氏變換且所有初始值為零，那么有令C(s)=L[c(t)],R(s)=L[r(t)]。用G(s)表示元件(或系統(tǒng))的傳遞函數(shù)。若已知輸入R(s)和G(s),那么就可以求出C(s)傳遞函數(shù)主要研究的輸入對(duì)輸出的關(guān)系。關(guān)于零初始條件說(shuō)明兩點(diǎn)：輸入量在t>0時(shí)才作用在系統(tǒng)上；輸入量在加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)，即在t=0-時(shí)輸出及其所有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為零例：重看R-L-C電路已建立的微分方程為對(duì)兩邊求拉式變換，并令初始條件為零，則有根據(jù)傳遞函數(shù)的定義實(shí)際上，微分方程和傳遞函數(shù)有對(duì)應(yīng)關(guān)系，即將d/dt用s代替，當(dāng)然一定是在零初始條件下。例，再重看機(jī)械位移系統(tǒng)已建立的微分方程為將d/dt用s代替，則有根據(jù)傳遞函數(shù)的定義如果參數(shù)選擇的合適的話(huà)，這個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與R-L-C網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)一樣，稱(chēng)為相似系統(tǒng)。2.3.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1、比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)又稱(chēng)為無(wú)慣性環(huán)節(jié)或放大環(huán)節(jié)。典型元件為r(t)t01tc(t)K2、慣性環(huán)節(jié)如果微分方程為一階常微分方程如：KK典型慣性環(huán)節(jié)有R-C電路水箱水位溫度系統(tǒng)

K——環(huán)節(jié)的比例系數(shù)；

T——環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。3、積分環(huán)節(jié)如果微分方程仍為一階常微分方程，但T——積分時(shí)間常數(shù)。r(t)C(t)t若r(t)=1，那么4、微分環(huán)節(jié)若r(t)為階躍輸入所以稱(chēng)G(s)=Ts為理想微分環(huán)節(jié)而通常實(shí)際的微分環(huán)節(jié)為當(dāng)T1很小時(shí)5、振蕩環(huán)節(jié)當(dāng)0<<1時(shí)，由于系統(tǒng)輸出會(huì)出現(xiàn)振蕩，稱(chēng)為振蕩環(huán)節(jié)wn

---無(wú)阻尼自然振蕩頻率

——阻尼比；wn=1/T；常見(jiàn)的二階環(huán)節(jié)有：R-L-C電路6、延滯環(huán)節(jié)（純滯后環(huán)節(jié)）t稱(chēng)為延滯時(shí)間（又稱(chēng)死區(qū)時(shí)間）延滯環(huán)節(jié)典型的出現(xiàn)在管道運(yùn)輸慣性環(huán)節(jié)從輸入開(kāi)始時(shí)刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時(shí)間才接近所要求的輸出值。延遲環(huán)節(jié)從輸入開(kāi)始之初，在0~τ時(shí)間內(nèi)沒(méi)有輸出，但t=τ之后，輸出完全等于輸入。延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別2.3.4傳遞函數(shù)的性質(zhì)和物理意義關(guān)于傳遞函數(shù)性質(zhì)：只適合線(xiàn)性定常系統(tǒng)；傳遞函數(shù)式是復(fù)變量s的有理分式；m≤n。傳遞函數(shù)由系統(tǒng)或元件的參數(shù)和結(jié)構(gòu)決定，與外加輸入和初始狀態(tài)無(wú)關(guān)；傳遞函數(shù)代表了輸入和輸出之間的關(guān)系，不能提供系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息；稱(chēng)為“黑箱”模型。傳遞函數(shù)與系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的關(guān)系即討論當(dāng)初始條件為零，r(t)=(t)時(shí)系統(tǒng)的輸出c(t)。此時(shí)將c(t)稱(chēng)為單位脈沖響應(yīng)。此時(shí)R(s)=1,那么

G(s)=C(s)C(s)=L

[c(t)]＝G(s)結(jié)論：一個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)就是這個(gè)系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換。傳遞函數(shù)可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。2.3.5傳遞函數(shù)的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)式傳遞函數(shù)有兩種比較常見(jiàn)的表示方式，其一是零極點(diǎn)形式傳遞函數(shù)通式可表示為z1,…,zm為傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式方程的m個(gè)根，稱(chēng)為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；

zi(i=1，2…m)可以是實(shí)數(shù)和共軛復(fù)數(shù)。p1,…,pn為分母多項(xiàng)式方程的n個(gè)根，稱(chēng)為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。pi(i=1，2…n)可以是實(shí)數(shù)和共軛復(fù)數(shù)。傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖：將傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在復(fù)平面上的圖形。零點(diǎn)用“O”表示極點(diǎn)用“×”表示零、極點(diǎn)分布圖K為傳遞系數(shù)（或靜態(tài)放大系數(shù)）s=0表示所有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為零其二可寫(xiě)為時(shí)間常數(shù)形式K和k之間的關(guān)系為2.4結(jié)構(gòu)圖及系統(tǒng)互聯(lián)方塊圖的繪制方塊圖的化簡(jiǎn)結(jié)構(gòu)圖常稱(chēng)為方塊圖2.4.1.

結(jié)構(gòu)方塊圖！脫離了物理系統(tǒng)的模型!系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖解形式形象直觀(guān)地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關(guān)系及其功能以及信號(hào)在系統(tǒng)中的傳遞、變換過(guò)程。依據(jù)信號(hào)的流向，將各元件的方塊連接起來(lái)組成整個(gè)系統(tǒng)的方塊圖。函數(shù)方塊圖

任何系統(tǒng)都可以由信號(hào)線(xiàn)、函數(shù)方塊、信號(hào)引出點(diǎn)及求和點(diǎn)組成的方塊圖來(lái)表示。求和點(diǎn)函數(shù)方塊引出線(xiàn)函數(shù)方塊信號(hào)線(xiàn)1信號(hào)線(xiàn)帶有箭頭的直線(xiàn)，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，直線(xiàn)旁標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。

2信號(hào)引出點(diǎn)（線(xiàn)）/測(cè)量點(diǎn)表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置和傳遞方向。同一信號(hào)線(xiàn)上引出的信號(hào)，其性質(zhì)、大小完全一樣。

3函數(shù)方塊(環(huán)節(jié))

函數(shù)方塊具有運(yùn)算功能4求和點(diǎn)（比較點(diǎn)、綜合點(diǎn)）1.用符號(hào)“

”及相應(yīng)的信號(hào)箭頭表示2.箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號(hào)或減去此信號(hào)!注意量綱相鄰求和點(diǎn)可以互換、合并、分解。

代數(shù)運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和分配律。!求和點(diǎn)可以有多個(gè)輸入，但輸出是唯一的建立系統(tǒng)的方塊圖的步驟如下：建立控制系統(tǒng)各元部件的原始方程；對(duì)各原始方程進(jìn)行拉氏變換，可針對(duì)每一個(gè)原始方程畫(huà)出方塊圖；置系統(tǒng)的輸入變量于左端，輸出變量于右端，便得到系統(tǒng)的方塊圖。按系統(tǒng)中各變量信號(hào)的傳遞順序，依次將各元件的方塊圖連接起來(lái)；2.4.2、方塊圖的繪制（略）例還是R-L-C電路ur(t)為輸入電壓，

uc(t)為輸出電壓，輸出端開(kāi)路。寫(xiě)出原始方程式：拉氏變換得將相同信號(hào)I(s)、Uc(s)連接起來(lái),就完成了方塊圖的繪制。在建立了原始方程后，不需要消除中間變量，而是將中間變量根據(jù)傳遞關(guān)系，一個(gè)一個(gè)的串起來(lái)，最后完成整個(gè)的方塊圖。2.4.3方塊圖的化簡(jiǎn)建立結(jié)構(gòu)圖的目的是求系統(tǒng)傳遞函數(shù)，對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行分析。所以對(duì)于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)圖就需要進(jìn)行運(yùn)算和變換，設(shè)法將其化為一個(gè)等效的方框，其中的數(shù)學(xué)表達(dá)式即為總傳遞函數(shù)。這一步驟相當(dāng)于對(duì)方程消元。變換前后，輸入輸出總的數(shù)學(xué)關(guān)系應(yīng)保持不變等效原則：總傳遞函數(shù)方框圖的等效變換法則公式直接法化簡(jiǎn)法代數(shù)法方塊圖的化簡(jiǎn)方塊圖的運(yùn)算規(guī)則串聯(lián)、并聯(lián)、反饋基于方塊圖的運(yùn)算規(guī)則基于比較點(diǎn)的簡(jiǎn)化基于引出點(diǎn)的簡(jiǎn)化方塊圖的化簡(jiǎn)方法（一）串聯(lián)：串聯(lián)后總傳函等于各環(huán)節(jié)的傳函之乘積第二章數(shù)學(xué)模型

幾個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)，總的傳遞函數(shù)等于每個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積。例：隔離放大器串聯(lián)的RC電路串聯(lián)運(yùn)算規(guī)則（二）并聯(lián)：

并聯(lián)后總傳函等于各環(huán)節(jié)的傳函之代數(shù)和第二章數(shù)學(xué)模型同向環(huán)節(jié)并聯(lián)的傳遞函數(shù)等于所有并聯(lián)的環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和。并聯(lián)運(yùn)算規(guī)則反饋運(yùn)算規(guī)則基于方塊圖的運(yùn)算規(guī)則例4：網(wǎng)絡(luò)，第一個(gè)圖:第二章數(shù)學(xué)模型第二章數(shù)學(xué)模型第二個(gè)圖:第二章數(shù)學(xué)模型第二個(gè)圖:第二章數(shù)學(xué)模型例5：例2所示兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)：只采用三個(gè)基本等效法則能求出網(wǎng)絡(luò)的傳函嗎？第二章數(shù)學(xué)模型1.比較點(diǎn)前移G(s)(-)B(s)C(s)R(s)G(s)B(s)C(s)R(s)(-)C(s)R(s)G(s)(-)B(s)C(s)G(s)G(s)R(s)B(s)(-)R(s)V1(s)V2(s)E1(s)C(s)(-)V2(s)V1(s)(-)C(s)R(s)V1(s)V2(s)C(s)R(s)(-)或3.交換或合并比較點(diǎn)2.比較點(diǎn)后移C(s)=G(s)R(s)-B(s)C(s)=G(s)[R(s)-B(s)]

=G(s)R(s)-G(s)B(s)C(s)=E1(s)+V2(s)=R(s)-V1(s)+V2(s)=R(s)+V2(s)-V1(s)（四）比較點(diǎn)的移動(dòng)：

(五)引出點(diǎn)的移動(dòng):1.前移:第二章數(shù)學(xué)模型后移:3.互換:

結(jié)構(gòu)圖的等效變換（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型有多種方法，考慮負(fù)載效應(yīng)，變換時(shí)考慮交叉。例5：例2所示兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)：第二章數(shù)學(xué)模型兩個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型按第一種移動(dòng)方法：第二章數(shù)學(xué)模型兩個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)（續(xù)）例6：教材上的例2－15。第二章數(shù)學(xué)模型方塊圖化簡(jiǎn)方塊圖求取傳遞函數(shù)簡(jiǎn)化方塊圖求總傳遞函數(shù)的一般步驟：確定輸入量與輸出量；如果作用在系統(tǒng)上的輸入量有多個(gè)（分別作用在系統(tǒng)的不同部位），則必須分別對(duì)每個(gè)輸入量逐個(gè)進(jìn)行方塊變換，求得各自的傳遞函數(shù)。對(duì)于有多個(gè)輸出量的情況，也應(yīng)分別變換。若方塊圖中有交叉關(guān)系，應(yīng)運(yùn)用等效變換法則，首先將交叉消除，化為無(wú)交叉的多回路方塊。

對(duì)多回路方塊，可由里向外進(jìn)行變換，直至變換為一個(gè)等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。2.5信號(hào)流圖與梅遜公式（自學(xué)）

方框圖雖對(duì)于分析系統(tǒng)很有用處，但遇到結(jié)構(gòu)復(fù)雜的系統(tǒng)時(shí)，其簡(jiǎn)化和變換過(guò)程往往顯得煩瑣，還得分清比較點(diǎn)和引出點(diǎn)，一般二者不交換。因此可采用信號(hào)流圖，簡(jiǎn)單易繪制。一、基本概念1．組成：兩個(gè)基本單元如:第二章數(shù)學(xué)模型1）節(jié)點(diǎn)——表示變量和信號(hào)的點(diǎn)，用小圓圈表示。2）支路——起于一個(gè)節(jié)點(diǎn)，止于另一個(gè)節(jié)點(diǎn)，此間不包含或經(jīng)過(guò)第三個(gè)節(jié)點(diǎn)，支路上的箭頭方向表示信號(hào)傳遞方向。

傳函寫(xiě)在箭頭旁邊，稱(chēng)為支路傳輸。2．術(shù)語(yǔ)：(1)輸入支路——進(jìn)入節(jié)點(diǎn)的支路。(2)輸出支路——離開(kāi)節(jié)點(diǎn)的支路。信號(hào)流圖（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型(3)源節(jié)點(diǎn)——也叫輸入節(jié)點(diǎn)，即只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，一般表示系統(tǒng)的輸入變量。如(4)匯節(jié)點(diǎn)——也叫輸出節(jié)點(diǎn)，即只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，一般表示系統(tǒng)的輸出變量。如(5)混合節(jié)點(diǎn)——既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，相當(dāng)于方框圖中的引出點(diǎn)和比較點(diǎn)。如信號(hào)流圖（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型混合節(jié)點(diǎn)的信號(hào)為所有的支路引進(jìn)信號(hào)的迭加，且此信號(hào)可通過(guò)任何一個(gè)具有單位傳輸?shù)妮敵鲋啡〕?。如從取出變?yōu)椤?6)通路——也叫通道、路徑。凡從一個(gè)節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，沿著支路箭頭方向連續(xù)經(jīng)過(guò)相連支路而終止到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)（或同一節(jié)點(diǎn)）的徑路稱(chēng)為通路。(7)開(kāi)通路——若通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，且起點(diǎn)與終點(diǎn)不為同一點(diǎn)，稱(chēng)為開(kāi)通路。信號(hào)流圖（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型(8)閉通路——若通路與任一點(diǎn)相交不多于一次，但起點(diǎn)與終點(diǎn)為同一點(diǎn)，則稱(chēng)為閉通路、回路、回環(huán)。(9)自回路——從一點(diǎn)開(kāi)始，只經(jīng)過(guò)一個(gè)支路，又回到該點(diǎn)的回路。如：(10)不接觸回路——不具有任何公共點(diǎn)的回路。信號(hào)流圖（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型(11)前向通路——若從源節(jié)點(diǎn)到匯節(jié)點(diǎn)的通路上，通過(guò)任何節(jié)點(diǎn)不多過(guò)一次，則稱(chēng)為前向通路。（12)前向通路傳輸——前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱(chēng)為前向通路傳輸或增益。

(13)回路傳輸——閉通路(回路)上各支路傳輸?shù)某朔e稱(chēng)為回路傳輸或增益。信號(hào)流圖（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型（1）信號(hào)流圖是表達(dá)線(xiàn)性方程組的一種數(shù)學(xué)圖形。當(dāng)系統(tǒng)由微方（或差方）描述時(shí)，應(yīng)先變換成代數(shù)方程并整理成因果關(guān)系形式。（2）節(jié)點(diǎn)標(biāo)志系統(tǒng)的變量。每個(gè)節(jié)點(diǎn)標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之代數(shù)和，而從同一節(jié)點(diǎn)流向各支路的信號(hào)均用該節(jié)點(diǎn)的變量表示。（3）支路相當(dāng)于乘法器，信號(hào)流經(jīng)支路時(shí)，被乘以支路增益而變換為另一信號(hào)。3．性質(zhì)：（4）支路表示一個(gè)變量與另一個(gè)變量之間的關(guān)系，信號(hào)只能沿箭頭方向流通。第二章數(shù)學(xué)模型(5)對(duì)于給定的系統(tǒng)，節(jié)點(diǎn)變量的設(shè)置是任意的，因此，其信號(hào)流圖不是唯一的。4．信號(hào)流圖的繪制：信號(hào)流圖（續(xù)）1)由系統(tǒng)微分方程繪制信號(hào)流圖

任何線(xiàn)性數(shù)學(xué)方程都可以用信號(hào)流圖表示，但含有微分或積分的線(xiàn)性方程，一般應(yīng)通過(guò)拉氏變換，將微分或積分變換為關(guān)于的代數(shù)方程后再畫(huà)信號(hào)流圖。繪制信號(hào)流圖時(shí)，首先要對(duì)系統(tǒng)的每個(gè)變量指定一個(gè)節(jié)點(diǎn)，并按照系統(tǒng)中變量的因果關(guān)系，從左向右順序排列；然后，用標(biāo)明支路第二章數(shù)學(xué)模型2)由系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖：(1)將輸入量、輸出量、引出點(diǎn)、比較點(diǎn)以及中間變量均改為節(jié)點(diǎn)。(2)用標(biāo)有傳函的定向線(xiàn)段代替各環(huán)節(jié)的方框。二者都是數(shù)學(xué)模型，具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，在布局上很相似，并有等效對(duì)應(yīng)關(guān)系。但信號(hào)流圖省略了環(huán)節(jié)的方框，不必區(qū)分比較點(diǎn)和引出點(diǎn)，所以更簡(jiǎn)單。信號(hào)流圖（續(xù)）增益的支路，根據(jù)數(shù)學(xué)方程式將各節(jié)點(diǎn)變量正確連接，便可得到系統(tǒng)的信號(hào)流圖。第二章數(shù)學(xué)模型例如：

第二章數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖的關(guān)系（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型1、串聯(lián)支路的合并：串聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏數(shù)某朔e。2、并聯(lián)支路的合并：并聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏數(shù)拇鷶?shù)和。3、混合節(jié)點(diǎn)得消除：*消除混合節(jié)點(diǎn)后應(yīng)保持輸出節(jié)點(diǎn)的信號(hào)關(guān)系不變。(1)二.信號(hào)流圖的等效變換（自學(xué)，只需了解）第二章數(shù)學(xué)模型(2)信號(hào)流圖的等效變換（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型4.回路和自回路的消除:(1).(2).實(shí)際上abc＋第二章數(shù)學(xué)模型可見(jiàn)：與結(jié)構(gòu)圖消除反饋的等效變換是相似的★注意

或(3)均可串并、消回路。信號(hào)流圖的等效變換（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型不能直接消回路即有例：★注意信號(hào)流圖的等效變換（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型例1：兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)：信號(hào)流圖的等效變換（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型

信號(hào)流圖的等效變換（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型三．梅遜公式及其應(yīng)用：

信號(hào)流圖雖比結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)單，但通過(guò)等效變換來(lái)簡(jiǎn)化系統(tǒng)也很麻煩。利用梅遜公式可以不必簡(jiǎn)化流圖，直接寫(xiě)出從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的總傳輸——系統(tǒng)總傳函?！獜妮斎牍?jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通道數(shù)目。其中,—第條前向通道的總傳輸?！鲌D特征式，計(jì)算公式為：第二章數(shù)學(xué)模型其中，——流圖中所有不同回路的回路傳輸之和。—所有互不接觸回路中，每次取其中兩個(gè)回路傳輸?shù)某朔e之和?！谢ゲ唤佑|回路中，每次取其中三個(gè)回路傳輸?shù)某朔e之和。觸的回路后的特征式。條前向通道特征式的余子式，其——第中除去與第值為條前向通道相接其中，——流圖中所有不同回路的回路傳輸之和?！谢ゲ唤佑|回路中，每次取其中兩個(gè)回路傳輸?shù)某朔e之和。—所有互不接觸回路中，每次取其中三個(gè)回路傳輸?shù)某朔e之和。梅遜公式及其應(yīng)用（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型例2．仍為兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)：有三條回路：解：只有一條前向通道：

第二章數(shù)學(xué)模型且有兩個(gè)回路互不接觸：

在此故兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型例3．試用梅遜公式確定如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：由圖可知，系統(tǒng)有3條前向通路，其增益分別為P1P2P3第二章數(shù)學(xué)模型例3（續(xù)）有4個(gè)單獨(dú)的回路，各回路增益分別為L(zhǎng)1L2L3L4第二章數(shù)學(xué)模型例3（續(xù)）且有第二章數(shù)學(xué)模型例4：如圖系統(tǒng)。

解：有兩條前向通道：梅遜公式同樣可以在結(jié)構(gòu)圖中使用第二章數(shù)學(xué)模型均接觸。五個(gè)回路：第二章數(shù)學(xué)模型閉環(huán)系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)如圖§2-5閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(一)閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函：外作用有：

是根軌跡和頻率特性?xún)纱蠓治龇椒ǖ闹饕獢?shù)學(xué)模型，它是前向通道和反饋通道的傳函之乘積。第二章數(shù)學(xué)模型1．閉環(huán)傳函(二)作用下的閉環(huán)傳函：2．給定誤差傳函：

稱(chēng)為偏差，也叫誤差。令第二章數(shù)學(xué)模型3．單位反饋系統(tǒng)：1．?dāng)_動(dòng)閉環(huán)傳函：作用下的閉環(huán)傳函：(三)令第二章數(shù)學(xué)模型2．?dāng)_動(dòng)誤差傳函:

同時(shí)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)：利用迭加原理有：(四)和第二章數(shù)學(xué)模型

由以上各式可以看出，系統(tǒng)在各種情況下的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)都具有相同的分母多項(xiàng)式

稱(chēng)為閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式。而稱(chēng)為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程。第二章數(shù)學(xué)模型例1:系統(tǒng)如圖所示。－解:－－第二章數(shù)學(xué)模型一.基本概念:1．脈沖響應(yīng)：在零初始條件下，線(xiàn)性系統(tǒng)對(duì)理想脈沖輸入信號(hào)的響應(yīng)。2．單位脈沖信號(hào)：

§2—7脈沖響應(yīng)函數(shù)

當(dāng)時(shí),第二章數(shù)學(xué)模型2）脈沖響應(yīng)函數(shù)：設(shè)線(xiàn)性系統(tǒng)的傳函為，則有時(shí)刻的，出現(xiàn)在1）面積為理想脈沖為：脈沖響應(yīng)函數(shù)（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型二、應(yīng)用：，求其。

例1：已知解：

則線(xiàn)性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。根據(jù)拉氏變換的唯一性定理，也是一種數(shù)模。故求:1．由脈沖響應(yīng)函數(shù)（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型

一一對(duì)應(yīng)，所以就系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性而言，他們包含相同的信息，故若以脈沖信號(hào)作用于系統(tǒng)，并測(cè)定其輸出響應(yīng)，則可獲得有關(guān)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的全部信息。對(duì)于那些難以寫(xiě)出其傳函的系統(tǒng)，無(wú)疑是一種簡(jiǎn)便方法。2．利用求取任意下的輸出響應(yīng)：已知單位脈沖為，面積為時(shí)則為若脈沖出現(xiàn)在時(shí)刻，則為。脈沖響應(yīng)函數(shù)（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型脈沖響應(yīng)函數(shù)（續(xù)）

用無(wú)限多個(gè)互相聯(lián)接的實(shí)際脈沖近似表示，脈沖寬度為現(xiàn)將在時(shí)刻的幅則值為。面積為發(fā)生在τ時(shí)刻且面積為第二章數(shù)學(xué)模型又線(xiàn)性系統(tǒng)服從迭加原理，系統(tǒng)的輸出應(yīng)為所有脈沖響應(yīng)函數(shù)之和：脈沖響應(yīng)函數(shù)（續(xù)）若將脈沖寬度取得足夠小，

的脈沖函數(shù)可表示為

則任意輸入信號(hào)可表示為第二章數(shù)學(xué)模型例2：已知，求。

脈沖響應(yīng)函數(shù)（續(xù)）根據(jù)拉氏變換的卷積定理有因此，只要知道系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)就可求得系統(tǒng)對(duì)任意函數(shù)作用下的輸出響應(yīng)解：第二章數(shù)學(xué)模型脈沖響應(yīng)函數(shù)（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型本章小結(jié)（