第10講 拋物線及其性質(zhì)【秋季講義】（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）（解析版）

第10講拋物線及其性質(zhì)【人教A版2019】·模塊一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程·模塊二拋物線的幾何性質(zhì)·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1．拋物線的定義(1)定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線.點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.(2)集合語言表示設(shè)點(diǎn)M(x,y)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線l的距離為d，則拋物線就是點(diǎn)的集合P={M||MF|=d}.2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)【考點(diǎn)1動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題】【例1.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)Px,y到直線x=1的距離比它到定點(diǎn)-2,0的距離小1，則P的軌跡方程為（

A．y2=2x BC．y2=-4x D【解題思路】根據(jù)拋物線的定義判斷軌跡，再由拋物線焦點(diǎn)、準(zhǔn)線得到方程即可.【解答過程】由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)Px,y到直線x=2的距離與定點(diǎn)-2,0由拋物線的定義知，P的軌跡是以-2,0為焦點(diǎn)，x=2為準(zhǔn)線的拋物線，所以p=4，軌跡方程為y2故選：D.【例1.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)Mx,y滿足方程5x-12+y-2A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【解題思路】根據(jù)軌跡方程所代表的意義和拋物線的定義可得答案.【解答過程】由5(x-1)2+等式左邊表示點(diǎn)x,y和點(diǎn)1,2的距離，等式的右邊表示點(diǎn)x,y到直線3x+4y+12=0的距離，整個(gè)等式表示的意義是點(diǎn)x,y到點(diǎn)1,2的距離和到直線3x+4y+12=0的距離相等，且點(diǎn)1,2不在直線3x+4y+12=0上，所以其軌跡為拋物線.故選：D.【變式1.1】（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知圓C與過點(diǎn)-1,0且垂直于x軸的直線l僅有1個(gè)公共點(diǎn)，且與圓C':x2+A．y2=12x B．y2=6x C．【解題思路】根據(jù)外切關(guān)系結(jié)合拋物線定義，分析得到C的軌跡為拋物線，由此求解出拋物線的方程.【解答過程】由題意得，直線l:x=-1，且圓C'設(shè)點(diǎn)C到直線l的距離為r，則點(diǎn)C到l':x=-3與點(diǎn)C到C'故點(diǎn)C的軌跡是以C'為焦點(diǎn)，以l'為準(zhǔn)線的拋物線，故方程為故選：A.【變式1.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)圓O:x2+y2=4與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到A．x2=8y B．x2=16y C．【解題思路】根據(jù)題意分別求得A，B的坐標(biāo)與切線l，再根據(jù)拋物線的定義即可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．【解答過程】因?yàn)閳AO:x2+y2=4與y軸交于A，所以A(0,2)，B(0,-2)，又因?yàn)檫^B作圓O的切線l，所以切線l的方程為y=-2，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線，且其焦點(diǎn)為(0,2)，準(zhǔn)線為y=所以P的軌跡方程為x2故選：A.【考點(diǎn)2利用拋物線的定義解題】【例2.1】（2023秋·福建福州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)Px0,2在拋物線C：y2=4xA．4 B．3 C．2 D．1【解題思路】根據(jù)拋物線方程求出準(zhǔn)線方程，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；【解答過程】拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為將Px0,2代入y故P到準(zhǔn)線的距離為2，故選：C．【例2.2】（2023春·河南省直轄縣級(jí)單位·高二?？茧A段練習(xí)）拋物線y=4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是（A．78 B．1516 C．34【解題思路】先將拋物線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，再利用拋物線定義將點(diǎn)M到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離，最后轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M的縱坐標(biāo)即可.【解答過程】設(shè)M(x由拋物線方程y=4x2化為得焦點(diǎn)F(0,116)由拋物線定義可得MF=y0故選：B.【變式2.1】（2023秋·重慶渝中·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B3,0，若AF=A．1 B．2 C．4 D．2【解題思路】求出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得BF，即AF的長度，根據(jù)拋物線定義可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出面積.【解答過程】由題意得，F(xiàn)1,0，則AF=BF=2，即點(diǎn)A到準(zhǔn)線所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1+2=1，所以A1,2由各點(diǎn)坐標(biāo)易知∠AFB=90°，所以S△ABF故選：B.【變式2.2】（2023春·安徽滁州·高二校考階段練習(xí)）已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為k的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn)，若AF=3A．33 B．±33 C．3【解題思路】根據(jù)題意，作出拋物線與直線AB的圖像，利用拋物線的定義將曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，借助幾何圖形可判斷直線AB的傾斜角，從而可得答案．【解答過程】如圖，當(dāng)點(diǎn)A在第一象限時(shí)，過點(diǎn)A,B分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足為M,N，作BC⊥AM，垂足為C，則BN//AM//x軸，設(shè)BF=t(t>0)由拋物線的定義得BN=BF=t,在Rt△ABC中，∠BAC等于直線AB的傾斜角，其正切值即為kAC=12AB，∠ABC=于是直線l的傾斜角為60°，斜率k=當(dāng)點(diǎn)A在第四象限時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得斜率為-3故選：D．【考點(diǎn)3拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程】【例3.1】（2023秋·全國·高二期中）已知點(diǎn)1,4在拋物線y=ax2上，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（A．1,0 B．(0,1) C．0,116 D【解題思路】先將點(diǎn)代入求得拋物線方程，再將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得解.【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)1,4在拋物線y=ax2上，所以4=a×1所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F0,故選：C.【例3.2】（2023秋·重慶銅梁·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M4,y0為C上一點(diǎn)，若|MF|=2A．x=-2 B．y=-2 C．x=-3 D．y=-3【解題思路】由給定條件求出y0，再借助拋物線定義即可計(jì)算作答【解答過程】因點(diǎn)M4,y0在拋物線x2=2py上，則y又|MF|=2y0，于是由y0+p2=2y0所以C的準(zhǔn)線方程為y=-2.故選：B.【變式3.1】（2023秋·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）過拋物線C:x2=2pyp>0的焦點(diǎn)F的直線l交C于A,B兩點(diǎn)，若直線l過點(diǎn)P1,0，且ABA．y=-3 B．y=-2【解題思路】設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立拋物線方程，設(shè)出A,B坐標(biāo)，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)弦長列出方程，求出答案.【解答過程】因?yàn)橹本€l過點(diǎn)F0,p2,P1,0由y=-p2x-1

設(shè)Ax1,因?yàn)锳B=p整理得p3+4p-16=p-2所以拋物線C的準(zhǔn)線方程是y=-p故選：D.【變式3.2】（2023·全國·高二假期作業(yè)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：x2=2pyp>0的焦點(diǎn)，直線y=1與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若∠AFB=120°，則拋物線CA．y=-23 BC．y=-13或y=-3【解題思路】根據(jù)題意，由條件可得AF=2FM【解答過程】設(shè)直線y=1與y軸交點(diǎn)為M，由拋物線的對(duì)稱性，易知△MFA為直角三角形，且∠AFM=1∴AF=2FM，即1+p2所以拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-13或故選：C.【考點(diǎn)4拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】【例4.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）以x軸為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線方程是（

）A．y2=8x B．y2=-8x C．y2=8x或y2【解題思路】根據(jù)拋物線的概念以及幾何性質(zhì)即可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解答過程】依題意設(shè)拋物線方程為y2因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，所以p=4，所以2p=8，所以拋物線方程為y2=8x或故選：C．【例4.2】（2023·全國·高二假期作業(yè)）點(diǎn)M(5,3)到拋物線x2=ay的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（A．x2=112yC．x2=12y或x2【解題思路】由拋物線的準(zhǔn)線方程,分類討論求參數(shù)a的值.【解答過程】當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，準(zhǔn)線方程y=-a點(diǎn)M(5,3)到準(zhǔn)線的距離為3+a4=6所以拋物線方程為x2當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，準(zhǔn)線方程y=-點(diǎn)M(5,3)到準(zhǔn)線的距離為3+a4=6，解得a=-36所以拋物線方程為x2所以拋物線的方程為x2=12y或故選：C.【變式4.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是拋物線C上一點(diǎn)，AD⊥l于D.若AF=2,∠DAF=60°A．y2=8x BC．y2=2x D【解題思路】根據(jù)拋物線的定義求得DF=2，然后在直角三角形中利用∠DAF=60°可求得p=2【解答過程】如圖，連接DF，設(shè)準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為M

拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為Fp又拋物線的定義可得AF=AD，又∠DAF=60所以DF=AF所以在Rt△DFM中，DF=2MF=2p=2，則p=1，所以拋物線故選：C.【變式4.2】（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)T在C上，且FT=52，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為0,1，且MF⊥MTA．y2=2x或y2=8x BC．y2=2x或y2=4x D【解題思路】設(shè)T為x0,y0，得到MT=x0,y0-1，MF=【解答過程】設(shè)T為x0,y又由Fp2,0因?yàn)镸F⊥MT，所以MF?MT=0由y02=2px0，聯(lián)立方程組，消去x0，可得又由FT=x0+p2=52所以C的方程為y2=2x或故選：A．【考點(diǎn)5根據(jù)拋物線的方程求參數(shù)】【例5.1】（2023春·安徽·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是焦點(diǎn)為F的拋物線C：y2=2px（p>0）上一點(diǎn)，PF=2，∠PFO=π3A．1 B．32 C．2 D．【解題思路】利用拋物線定義和題給條件列出關(guān)于p的方程，解之即可求得p的值.【解答過程】設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于G，過F作FH⊥PG，垂足為H，∴FQ=p，PG∥OF∵∠PFO=π3，∴∠FPH=π∴cos∠FPH=PHPF故選：D．【例5.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M:(x+4)2+yA．5 B．4 C．3 D．2【解題思路】由拋物線方程得焦點(diǎn)坐標(biāo)，由幾何關(guān)系求解【解答過程】由題意知Fp2,0，點(diǎn)F與圓M上的點(diǎn)之間的最小距離為p故選：D.【變式5.1】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)Am,2為拋物線C:y2=2pxp>0上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作C準(zhǔn)線的垂線，垂足為B．若△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2A．12 B．1 C．2 D．【解題思路】根據(jù)點(diǎn)Am,2為拋物線C:y2=2px【解答過程】由題意點(diǎn)Am,2為拋物線C:y2即m=2p，則△AOB的面積解得p=2，故選：C.【變式5.2】（2022·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知拋物線x2=2pyp>0上一點(diǎn)Ax0,3，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，直線AF交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)B.且線段AB的中點(diǎn)為A．±3 B．±22 C．±33 D【解題思路】設(shè)點(diǎn)Bx1,-p2，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出p的值，可得出拋物線的方程，再將點(diǎn)【解答過程】拋物線x2=2pyp>0的焦點(diǎn)為F設(shè)點(diǎn)Bx1,-p2所以拋物線的方程為x2=4y，所以，x0故選：D.模塊二模塊二拋物線的幾何性質(zhì)1．拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的簡單幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)

方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形頂點(diǎn)(0,0)(0,0)軸對(duì)稱軸y=0對(duì)稱軸x=0焦點(diǎn)準(zhǔn)線離心率e=1e=1開口開口向右開口向左開口向上開口向下焦半徑范圍x≥0x≤0y≥0y≤02．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異：

①它們都是軸對(duì)稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對(duì)稱圖形；

②頂點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓有4個(gè)頂點(diǎn)，雙曲線有2個(gè)頂點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)頂點(diǎn)；

③焦點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個(gè)焦點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)焦點(diǎn)；

④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是0<e<1,雙曲線的離心率范圍是e>1，拋物線的離心率是e=1；

⑤橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線，而拋物線只有一條準(zhǔn)線；

⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.3．與拋物線有關(guān)的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：由條件建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解，如利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，利用函數(shù)的單調(diào)性等，亦可用均值不等式求解.【考點(diǎn)6拋物線的對(duì)稱性的應(yīng)用】【例6.1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2)，點(diǎn)P是拋物線y=4x2上的點(diǎn)，則使得△OPA是等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（A．2 B．4 C．6 D．8【解題思路】根據(jù)等腰三角形的腰長不明確，分①PA=PO；②PO=AO；③PA=AO；三種情況進(jìn)行討論求解．【解答過程】PA=PO，則P為OA垂直平分線(y=1)與拋物線的交點(diǎn)，下圖中的P1、PPO=AO，則P為以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的交點(diǎn)，下圖中的P3、PPA=AO，則P為以A為圓心，AO為半徑的圓與拋物線的交點(diǎn)，下圖中的P5、P

故選：C.【例6.2】（2023·河南濮陽·濮陽一高?？寄M預(yù)測(cè)）焦點(diǎn)為F的拋物線y2=2pxp>0上有一點(diǎn)P2,2p，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則滿足MP=A．12,32 B．14,【解題思路】將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線中，解得p=1，從而得到點(diǎn)P和點(diǎn)M的坐標(biāo)，要滿足MP=MO=MF，則只需點(diǎn)M為【解答過程】將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線中得2p2=2p×2，解得則P2,2，所以O(shè)P的斜率為1，且OP的中點(diǎn)為1,1則OP的垂直平分線方程為y-1=-x-1，即x+y-2=0又OF的垂直平分線方程為x=1又MP=MO=MF，則點(diǎn)M為所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為14故選：B．【變式6.1】（2023秋·北京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線W:y2=2px的焦點(diǎn)為F．點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A．若以F為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A且與W的兩個(gè)交點(diǎn)為B，CA．△BOC一定是鈍角三角形 B．△BOC可能是銳角三角形C．△ABC一定是鈍角三角形 D．△ABC可能是銳角三角形【解題思路】聯(lián)立圓和拋物線線方程求出B,C坐標(biāo)，再利用二倍角的正切公式即可判斷AB，利用等腰直角三角形性質(zhì)即可判斷CD.【解答過程】根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)p>0，B位于第一象限，C位于第四象限，由題意得Fp2,0則圓的方程為x-p22解得x=p2y=p或x=p2則有xB=xF，則則根據(jù)對(duì)稱性有tan∠BOC=2又因?yàn)椤螧OC∈0,π，所以∠BOF∈π2,π，所以又因?yàn)锳F=BF=p，且AF⊥BF，所以三角形ABF為等腰直角三角形，則∠BAF=π4，則根據(jù)對(duì)稱性知∠BAC=π2，則三角形故選：A.【變式6.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線C:y2=6x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A在拋物線C上，且點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離為6，AF的垂直平分線與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)N，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OFNA．932 B．934 C．【解題思路】解法一：先根據(jù)焦半徑公式求出A的坐標(biāo)，再求出AF的垂直平分線的方程，從而可求N的坐標(biāo)，故可求△OFN的面積.解法二：先根據(jù)焦半徑公式求出A的坐標(biāo)，過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B，利用拋物線的定義可得B,N重合，從而可求△OFN的面積.【解答過程】解法一：拋物線C：y2=6x的焦點(diǎn)為F32,0設(shè)A(m,n)，由點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離為6，得m+32=6代入拋物線的方程得n2=6×9由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)A92,33，則直線又A,F的中點(diǎn)坐標(biāo)為3,332，故AF令x=-32，得y=33所以△OFN的面積為12故選：B.解法二：拋物線C：y2=6x的焦點(diǎn)為F32,0設(shè)A(m,n)，由A到準(zhǔn)線l的距離為6，得m+32=6代入拋物線的方程得n2=6×9由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)A92,33，則直線所以∠AFx=60°．過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B，則B-32則∠FAB=∠AFx=60°，而AF=AB，所以△FAB是等邊三角形，于是邊AF的垂直平分線過點(diǎn)B，即點(diǎn)B與點(diǎn)N重合，所以△OFN的面積為故選：B.【考點(diǎn)7與拋物線有關(guān)的最值問題】【例7.1】（2023·全國·高二假期作業(yè)）點(diǎn)M為拋物線y2=8x上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N為圓x2+y2-4x+3=0上任意一點(diǎn)，PA．2 B．2 C．3 D．2+【解題思路】畫圖，找出拋物線焦點(diǎn)，化簡圓的普通方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合拋物線定義以及共線性質(zhì)分析得出最值.【解答過程】如圖所示：由y2=8x知，拋物線焦點(diǎn)由x2+y即為以2,0為圓心，1為半徑的圓，又ax-y-a-1=0，得y=ax-1-1，恒過定點(diǎn)過點(diǎn)M作ME垂直于拋物線的準(zhǔn)線：x=-2交于點(diǎn)E，連接PE，則MP+當(dāng)P,M,E三點(diǎn)共線時(shí)，PE最小,此時(shí)為3，所以MP+MN的最小值為：故選：A.【例7.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1,0，則拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M3p,0A．2 B．4 C．25 D．【解題思路】根據(jù)題意得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=4x，進(jìn)而設(shè)Px0,【解答過程】解：由題意，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2設(shè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為Px0由M6,0，所以由x0所以MP2即動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M3p,0的距離MP的最小值為2故選：C.【變式7.1】（2022秋·山東淄博·高二統(tǒng)考期末）已知F為拋物線C：x2=8y的焦點(diǎn)，P為拋物線C上一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-4,3)，則△PMF周長的最小值是（

）A．5+15 B．5+17 C．9 D【解題思路】△PMF的周長最小，即求PM+PF最小，過P做拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為D,轉(zhuǎn)化為求PM【解答過程】如圖：由已知F0，2，準(zhǔn)線方程y=-2作PD⊥準(zhǔn)線于D，MD'⊥所以MF=由拋物線定義知PM+PF=故△PMF周長的最小值是5+17故選：B.【變式7.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C1:y2=12x，圓C2:(x-3)2+y2=1．若點(diǎn)PA．32 B．22 C．12【解題思路】圓心C2(3,0)是拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)P(x,y)，因此|PQ|≤P【解答過程】易知C2即為拋物線C1的焦點(diǎn)，即C2(3,0)，設(shè)∴|PM|當(dāng)x>0時(shí)，上式≥1-42即P(4,±43)故選：A．模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023·全國·高二假期作業(yè)）若動(dòng)點(diǎn)Mx,y到點(diǎn)F4,0的距離等于它到直線x+4=0的距離，則M點(diǎn)的軌跡方程是（A．x+4=0 B．x-4=0C．y2=8x D【解題思路】根據(jù)拋物線的定義求得正確答案.【解答過程】依題意，動(dòng)點(diǎn)Mx,y到點(diǎn)F4,0的距離等于它到直線所以M的軌跡為拋物線，p2所以M點(diǎn)的軌跡方程為y2故選：D.2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OM=5，F(xiàn)MA．2 B．4C．2或32 D．2或【解題思路】由拋物線的定義設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)，由題意列方程求解【解答過程】依題意，設(shè)Mx0,OM2=x02故選：D.3．（2023春·安徽宣城·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓A:x24+yA．橢圓A的焦距是2B．橢圓A的離心率是1C．拋物線B的準(zhǔn)線方程是xD．拋物線B的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是4【解題思路】根據(jù)橢圓方程，求得a2,【解答過程】c2=a2-b2=4-3=1，所以橢圓拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，所以準(zhǔn)線方程為x=-1，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離d=1--1=2，故C正確，D故選：D.4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)，如圖，吉林大學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物，若將校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線y=ax2的一部分，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,-2．校門最高點(diǎn)到地面距離約為18.2米，則校門位于地面寬度最大約為（A．18米 B．21米 C．24米 D．27米【解題思路】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出a的值，即可得到拋物線方程，再令y=-18.2求出x的估值，從而得解.【解答過程】依題意知，拋物線y=ax2，即因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,-2，所以14a=-2，所以所以拋物線方程為y=-1令y=-18.2，則x2=145.6≈144，解得所以校門位于地面寬度最大約為24米.故選：C.5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線E:x2=4y，圓C:x2+y-32=1，P為EA．5 B．22-1 C．22 D【解題思路】先利用配方法求得P到圓心C的最小距離，從而求得P到Q的最小距離.【解答過程】由題意知C(0,3)，r=1，設(shè)Px0,所以PC=

故當(dāng)y0=1時(shí)，所以PQmin故選：B.6．（2023·天津?yàn)I海新·天津市?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．以F1F2為直徑的圓與雙曲線的右支交于A．y2=122x B．y2=12x【解題思路】設(shè)以O(shè)F2為直徑的圓與直線PF1相切于點(diǎn)N，圓心為M，則MN⊥PF1，因此Rt△PF1F2∽R(shí)t△N【解答過程】依題意知PF1⊥PF2，設(shè)以O(shè)F2為直徑的圓與直線PF1相切于點(diǎn)N設(shè)雙曲線的焦距為2c，則c2PF由勾股定理可得PF于是42c3又因?yàn)殡p曲線C與拋物線y2=2px有共同的右焦點(diǎn)則p2=32即拋物線方程為y故選:A.7．（2023·江蘇揚(yáng)州·江蘇省高郵中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，P是拋物線C上任意一點(diǎn)，PF的最小值為1，且A,B是拋物線C上兩點(diǎn)，AF+BF=6，則線段A．4 B．3 C．2 D．5【解題思路】利用拋物線定義與性質(zhì)計(jì)算即可.【解答過程】由條件可得Fp2,0則PF2=x故p=2，C:y設(shè)Ax1,y1,Bx由拋物線的定義可知AF+BF=故選：C.8．（2023秋·貴州貴陽·高三校考期末）已知點(diǎn)A是拋物線y2=2pxp>0上的一點(diǎn)，若以拋物線的焦點(diǎn)F為圓心，以FA為半徑的圓交拋物線的準(zhǔn)線于B，C兩點(diǎn)，BF=BC，當(dāng)△ABC的面積為32A．2 B．22 C．4 D．【解題思路】依題意可得△BFC為等邊三角形，則用p可表示出BC,FA，利用三角形面積公式，結(jié)合拋物線定義可構(gòu)造方程求得p【解答過程】依題意BF=CF=設(shè)準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為D，則FD=p，∴則圓的半徑FA=∴S△ABC=1故選：C.9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)P為拋物線C：y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，A2,4關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)為B，記P到直線x=-1,x=-3的距離分別d1，d2A．217+2 BC．17+2 D．【解題思路】根據(jù)題意得到d1+【解答過程】解：如圖，

因?yàn)閐2=d1+2，且A2,4關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)為B，所以|PA所以d1+≥2AF+2當(dāng)P在線段AF上時(shí)，d1+d故選：A.10．（2023秋·山西運(yùn)城·高二校考期末）已知曲線C的拋物線y2=2x及拋物線y2=-2x組成，A1,2，B-1,2，M,N是曲線C上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)（A,B,M,N四點(diǎn)不共線，且點(diǎn)A．2+17 B．1+17 C．3 D【解題思路】根據(jù)A1,2，B-1,2，M,N是曲線C上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性建立四邊形ABNM周長模型l=AB+2【解答過程】設(shè)拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為則四邊形ABNM的周長:l=AB當(dāng)A,M,F共線時(shí)取等號(hào)，故選：B.11．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程：(1)拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是3，而且焦點(diǎn)在x軸的正半軸上；(2)拋物線的焦點(diǎn)是F-3,0【解題思路】（1）首先設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)題意確定p的值，即可求解；（2）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，并確定p的值，即可求解.【解答過程】（1）根據(jù)題意可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有y2=2pxp>0因此所求標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=6x，準(zhǔn)線方程為（2）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F-3,0，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有y而且p2=3因此p=6，從而所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y212．（2023秋·上海浦東新·高二?？计谀┮阎c(diǎn)P到點(diǎn)F(2,0)的距離等于它到直線x=-2的距離，(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;(2)若A(2,2)，求△PAF周長的最小值.【解題思路】（1）利用拋物線的定義得解；（2）根據(jù)拋物線的定義可將問題轉(zhuǎn)化成PA+P【解答過程】（1）由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)P到F(2,0)的距離與它到直線x=-2的距離相等，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以F(2,0)為焦點(diǎn)、以直線x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2（2）由題意知，焦點(diǎn)為F2,0,FA當(dāng)PA+PF的值最小時(shí)，△PAF設(shè)點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為N'，根據(jù)拋物線的定義，可知PN因此PA+PF的最小值即PA根據(jù)平面幾何的知識(shí)可得，當(dāng)N'，P，A三點(diǎn)共線時(shí)，即可A與拋物線交于M',此時(shí)N，此時(shí)PA+所以△PAF周長的最小值為2+4=6.13．（2023秋·廣東揭陽·高二統(tǒng)考期末）如圖，一拋物線型拱橋的拱頂O離水面高4米，水面寬度AB=10米．現(xiàn)有一船只運(yùn)送一堆由小貨箱碼成的長方體形的貨物欲從橋下中央經(jīng)過，已知長方體形貨物總寬6米，高1.5米，貨箱最底面與水面持平．(1)問船只能否順利通過該橋？(2)已知每增加一層貨箱，船體連貨物高度整體上升4cm；每減少一層貨箱，船體連貨物高度整體下降4cm．且貨物頂部與橋壁在豎直方向需留2cm間隙方可通過，問船只最多增加或減