人教版八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練 專題17.9 勾股定理全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）

專題17.9勾股定理全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實際問題；【要點梳理】要點一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）2.勾股定理的應(yīng)用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；（3）求作長度為的線段.要點二、勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長為；（2）驗證與是否具有相等關(guān)系，若，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形，反之，則不是直角三角形.3.勾股數(shù)滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.常見的勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長的直角邊與對應(yīng)斜邊相差1.3.假設(shè)三個數(shù)分別為，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要點三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).【典型例題】類型一、勾股定理??勾股定理逆定理??求值??證明1．在中，，，，是斜邊上高．（1）求的面積；（2）求斜邊；（3）求高．【答案】(1) (2) (3)【分析】（1）根據(jù)直角三角形兩直角邊乘積的一半為三角形的面積進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)勾股定理求解即可；（3）根據(jù)等積法求出高即可．（1）解：∵在中，，，，∴；解：根據(jù)勾股定理可得：；（3）解：∵，∴．【點撥】本題主要考查了勾股定理，直角三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理及三角形面積的計算公式．舉一反三：【變式1】如圖，等邊三角形的邊長為4，為邊上的中線，且，求的長．【答案】【分析】過A作于點F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理可得的長，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可得的長，進(jìn)一步可得的長，再根據(jù)勾股定理可得的長．解：過A作于點F，如圖所示：∵是等邊三角形，∴F為邊上的中點，∵等邊三角形的邊長為4，∴，在中，根據(jù)勾股定理，得，∵是邊上的中線，∴，∵，，∴，∴，∴，在中，根據(jù)勾股定理，得．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在中，，，．求的長；點P從點A出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，連接．設(shè)點P運動的時間為t秒，當(dāng)t為何值時，為等腰三角形．【答案】(1)； (2)當(dāng)或或時，為等腰三角形．【分析】（1）由勾股定理可得；（2）依題意得，分三種情況求解：當(dāng)時，；當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，過點C作，垂直為D，在中，，求出，在中，，求出，則．（1）解：∵，，，由勾股定理可得；（2）依題意得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，，∴；

當(dāng)時，過點C作，垂直為D，在中，，∴，在中，，∴，∴，當(dāng)或或時，為等腰三角形．【點撥】本題考查等腰三角形的判定；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定方法，分類討論動點的運動情況是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，內(nèi)角所對的邊分別為．（1）若，請直接寫出與的和與的大小關(guān)系；（2）求證：的內(nèi)角和等于；（3）若，求證：是直角三角形．【答案】（1）；（2）證明見分析；（3）證明見分析【分析】（1）根據(jù)三角形中大角對大邊，即可得到結(jié)論；（2）畫出圖形，寫出已知，求證；過點A作直線MN∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，代入∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°即可求出答案；（3）化簡等式即可得到a2+c2=b2，根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論解：在中，，；如圖，過點作，，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），（平角的定義），（等量代換），即：三角形三個內(nèi)角的和等于；（3），，，，是直角三角形．【點撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)證明過程運用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】閱讀下列題目的解題過程：已知a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，試判斷△ABC的形狀．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4（A）∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）（B）∴c2=a2+b2（C）∴△ABC是直角三角形問：（1）上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的代號：；（2）錯誤的原因為：；（3）本題正確的結(jié)論為：．【答案】（1）C；（2）沒有考慮a=b的情況；（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形．【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)題目中B到C可知沒有考慮a=b的情況；（3）根據(jù)a=b，寫出正確的結(jié)論即可．解：（1）由題目中的解答步驟可得，錯誤步驟的代號為：C，故答案為C；（2）錯誤的原因為：等式兩邊同時除以一個整式時，沒有考慮除數(shù)不為0，即沒有考慮a=b的情況，故答案為沒有考慮a=b的情況；（3）由（2）可知，本題正確的結(jié)論為：△ABC是等腰三角形或直角三角形，故答案為△ABC是等腰三角形或直角三角形．【點撥】本題考查因式分解的應(yīng)用、勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的結(jié)論，注意考慮問題要全面．【變式2】在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設(shè)c為最長邊，當(dāng)a2+b2=c2時，△ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2≠c2時，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀（按角分類）．當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為三角形．猜想，當(dāng)a2+b2c2時，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2c2時，△ABC為鈍角三角形．判斷當(dāng)a=2，b=4時，△ABC的形狀，并求出對應(yīng)的c的取值范圍．【答案】(1)銳角；鈍角 (2)＞；＜ (3)①當(dāng)4≤c＜2時，這個三角形是銳角三角形；②當(dāng)c=2時，這個三角形是直角三角形；③當(dāng)2＜c＜6時，這個三角形是鈍角三角形．【分析】（1）利用勾股定理列式求出兩直角邊為6、8時的斜邊的值，然后作出判斷即可：（2）根據(jù)（1）中的計算作出判斷即可；（3）根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊求出最長邊c點的最大值，然后得到c的取值范圍，然后分情況討論即可得解．解：（1）∵兩直角邊分別為6、8時，斜邊=10，∴當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為銳角三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為鈍角三角形．（2）當(dāng)a2+b2＞c2時，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2＜c2時，△ABC為鈍角三角形．（3）∵c為最長邊，2+4=6，∴4≤c＜6，a2+b2=22+42=20．①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴當(dāng)4≤c＜2時，這個三角形是銳角三角形；②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，∴當(dāng)c=2時，這個三角形是直角三角形；③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴當(dāng)2＜c＜6時，這個三角形是鈍角三角形．【點撥】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，讀懂題目信息，理解三角形為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時的三條邊的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．類型二、勾股定理??勾股定理逆定理??作圖??求值??證明3．如圖，△ABC為銳角三角形．請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在AC右上方確定點D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不寫作法，保留作圖痕跡）在（1）的條件下，若，，，則四邊形ABCD的面積為．（如需畫草圖，請使用試卷中的圖2）【答案】(1)見分析 (2)【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分線的性質(zhì)作，即可找出點D；（2）由題意可知四邊形ABCD是梯形，利用直角三角形的性質(zhì)求出AE、BE、CE、AD的長，求出梯形的面積即可．（1）解：如圖，∴點D為所求點．（2）解：過點A作AE垂直于BC，垂足為E，∵，，∴，∵，∴，，∴，∵∠DAC＝∠ACB，∴，四邊形ABCD是梯形，∴，∴四邊形AECD是矩形，∴，∴四邊形ABCD的面積為，故答案為：．【點撥】本題考查作圖，作相等的角，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)做垂線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求線段的長，正確作出圖形是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，點是數(shù)軸上表示實數(shù)的點．（1）用直尺和圓規(guī)在數(shù)軸上作出表示實數(shù)的的點；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）利用數(shù)軸比較和的大小，并說明理由．【答案】（1）見分析；（2），見分析【分析】（1）利用勾股定理構(gòu)造直角三角形得出斜邊為，再利用圓規(guī)畫圓弧即可得到點．（2）在數(shù)軸上比較，越靠右邊的數(shù)越大．解：（1）如圖所示，點即為所求．（2）如圖所示，點在點的右側(cè)，所以【點撥】本題考查無理數(shù)與數(shù)軸上一一對應(yīng)的關(guān)系、勾股定理、尺規(guī)作圖法、熟練掌握無理數(shù)在數(shù)軸上的表示是關(guān)鍵．【變式2】如圖，的頂點均在正方形網(wǎng)格格點上．只用不帶刻度的直尺，作出的角平分線BD（不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】見分析【分析】取格點E，連接AE，作AE的中點D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知：BD即為的角平分線．解：如圖，射線BD即為所求作．．【點撥】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，等腰三角形三線合一的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．4．圖1，圖2均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，點A，B，E，F(xiàn)均在格點上，在圖①，圖②中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法．在圖①中畫一個等腰直角三角形ABC．在圖②中以線段EF為邊畫一個四邊形EFGH，使其面積為9，且∠EFG＝90°．【答案】(1)見分析 (2)見分析【分析】（1）根據(jù)題意作出等腰直角三角形即可．（2）作出其面積為9，且∠EFG＝90°的四邊形即可．（1）解：如圖3，△ABC即為所求．理由是：由勾股定理得AC＝AB＝，BC＝＝∴，∴∴△ABC是直角三三角形，∵AC＝AB∴△ABC是等腰直角三三角形（2）解：如圖4，四邊形EFGH即為所求．理由是：如圖5，四邊形EFGH的面積＝在Rt△EFM和Rt△FGN中，∵M(jìn)F＝NG＝1，∠EMF＝∠FNG＝90°，EM＝FN＝3∴Rt△EFM≌Rt△FGN（SAS）∴∠EFM＝∠FGN∵∠EFM＋∠GFN＝∠FGN＋∠GFN＝90°∴∠EFG＝180°－（∠EFM＋∠GFN）＝90°【點撥】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖等腰直角三角形和四邊形，解題的關(guān)鍵是正確的作出圖形．舉一反三：【變式1】如圖是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點稱為格點，的頂點均在格點上，回答下列問題．（要求：作圖只用無刻度的直尺，經(jīng)過的格點請描深一點．）邊的長度為______；作△ABC的角平分線；已知點在線段上，點在（2）中作出的線段上，當(dāng)PQ+BQ的長度最小時，在網(wǎng)格圖中作出△PBQ．【答案】(1) (2)見分析 (3)見分析【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求出AC的長；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)，連接AD即可；（3）取格點P，連接CP交AD于點Q，△PBQ即為所求．(1)解：根據(jù)勾股定理，得AC=，故答案為：；(2)解：如圖，AD即為所求；∵AB==AC，∴△ABC為等腰三角形，D為BC中點，∴AD為△ABC的角平分線；(3)解：如圖，△PBQ即為所求；∵AC2=50，AP2=42+42=32，CP2=32+32=18，∴AC2=AP2+CP2，∴∠APC=90°，即CP⊥AB，∵AD為等腰△ABC的角平分線，∴QB=QC，∴QB+QP的最小值為CP．【點撥】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合掌握以上知識．【變式2】在平面直角坐標(biāo)系中，A、B的坐標(biāo)分別為（4，2）、（2，﹣3）．（1）在AB的左側(cè)畫△ABC，使∠BAC＝90°，AC＝AB；（2）畫△DEF，使△DEF與△ABC關(guān)于y軸對稱（點A、B、C的對應(yīng)點分別是點D、E、F）；（3）連接BE、CE，直接寫出△BCE的面積．【答案】（1）見分析；（2）見分析；（3）14【分析】（1）找到坐標(biāo)點，根據(jù)勾股定理以及勾股定理的逆定理即可判定，，連接即可；（2）找到點關(guān)于軸的對稱點，連接即可；（3）△BCE以為底，高為，根據(jù)三角形面積公式求解即可．解：（1）找到坐標(biāo)點，由勾股定理得，，∴，∴，符合題意，連接，即可；（2）點、、關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)分別為、、，標(biāo)出，連接即可；（3）由圖形可得△BCE是以為底，高為，則故答案為【點撥】此題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，軸對稱變換，圖形與坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理以及軸對稱變換的性質(zhì)．類型三、勾股定理??勾股定理逆定理??折疊問題??求值??證明5．如圖，直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6和8，按如圖那樣折疊，使點A與點B重合，則折痕DE長為__________．【答案】【分析】在中利用勾股定理計算出，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，設(shè)，則，，在中根據(jù)勾股定理計算出，則，利用三角形面積公式計算出，再在中利用勾股定理計算出．解：在中，，，，把沿使與重合，，，，設(shè)，則，，在中，，即，，，，在中，，．【點撥】本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，也考查了勾股定理，能熟練應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】綜合與實踐動手操作：用矩形下的折疊會出現(xiàn)等腰三角形，快速求BF的長．（1）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=9，將此矩形折疊，使點D與點B重合，折痕為EF，則等腰三角形是；（2）利用勾股定理建立方程，求出BF的長是多少？（3）拓展：將此矩形折疊，使點B與DC的中點E重合，請你利用添加輔助線的方法，求AM的長；【答案】（1）是等腰三角形；（2）；（3）AM的長為.【分析】（1）證明可知，即是等腰三角形；（2）可設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可求解；（3）連接ME，可設(shè),則，在根據(jù)勾股定理分別表示出，等量代換，可得x的值，即AM的長.解：（1）是等腰三角形四邊形ABCD是矩形由折疊的性質(zhì)得：是等腰三角形（2）設(shè)，則在中，根據(jù)勾股定理得解得（3）連接ME，設(shè),則，由折疊性質(zhì)得E為DC的中點在中，根據(jù)勾股定理得在中，根據(jù)勾股定理得解得所以AM的長為【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，靈活的用同一個未知數(shù)表示直角三角形邊之間的關(guān)系，利用勾股定理求線段長是解題的關(guān)鍵.【變式2】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是長方形，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上且A（10，0），C（0，6），點D在AB邊上，將△CBD沿CD翻折，點B恰好落在OA邊上點E處．

（1）求點E的坐標(biāo)；

（2）求折痕CD所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）請你延長直線CD交x軸于點F．

①求△COF的面積；②在x軸上是否存在點P，使S△OCP=S△COF？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）E（8，0）；（2）y=﹣x+6（3）①54；②點P的坐標(biāo)為（6，0）或（﹣6，0）．【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知CE=CB=10．在在直角△COE中，由勾股定理求得OE=8；（2）根據(jù)OC=6知C（0，6），由折疊的性質(zhì)與勾股定理，求得D（10，），利用待定系數(shù)法求CD所在直線的解析式；（3）①根據(jù)F（18，0），即可求得△COF的面積；②設(shè)P（x，0），依S△OCP=S△CDE得×OP×OC=×54，即×|x|×6=18，求得x的值，即可得出點P的坐標(biāo)．解：（1）如圖，∵四邊形ABCD是長方形，∴BC=OA=10，∠COA=90°，由折疊的性質(zhì)知，CE=CB=10，∵OC=6，∴在直角△COE中，由勾股定理得OE==8，∴E（8，0）；（2）設(shè)CD所在直線的解析式為y=kx+b（k≠0），∵C（0，6），∴b=6，設(shè)BD=DE=x，∴AD=6-x，AE=OA-OE=2，由勾股定理得AD2+AE2=DE2即（6-x）2+22=x2，解得x=，∴AD=6-=，∴D（10，），代入y=kx+6得，k=-，故CD所在直線的解析式為：y=-x+6；（3）①在y=-x+6中，令y=0，則x=18，∴F（18，0），∴△COF的面積=×OF×OC=×18×6=54；②在x軸上存在點P，使得S△OCP=S△COF，設(shè)P（x，0），依題意得×OP×OC=×54，即×|x|×6=18，解得x=±6，∴在x軸上存在點P，使得S△OCP=S△COF，點P的坐標(biāo)為（6，0）或（-6，0）．【點撥】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的綜合應(yīng)用．解答此題時注意坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)的運用以及方程思想的運用．類型四、勾股定理??勾股定理逆定理??勾股定理的證明??應(yīng)用6．觀察、思考與驗證如圖1是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式．如圖2所示，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直線上．試說明：∠ACE=90°．伽菲爾德(1881年任美國第20屆總統(tǒng))利用(1)中的公式和圖2證明了勾股定理(發(fā)表在1876年4月1日的<新英格蘭教育日志》上)，請你寫出驗證過程．【答案】（1）（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）見分析；（3）見分析【分析】（1）由大正方形面積的兩種計算方法即可得出結(jié)果；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAC=∠DCE，再由角的互余關(guān)系得出∠ACB+∠DCE=90°，即可得出結(jié)論；（3）先證明四邊形ABDE是梯形，由四邊形ABDE的面積的兩種計算方法即可得出結(jié)論．解：（1）這個公式是完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2；理由如下：∵大正方形的邊長為a+b，∴大正方形的面積=（a+b）2，又∵大正方形的面積=兩個小正方形的面積+兩個矩形的面積=a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2∴（a+b）2=a2+2ab+b2；故答案為：（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）證明：如圖，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（SAS），∴∠BAC=∠DCE，∵∠ACB+∠BAC=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∴∠ACE=90°；（3）證明：∵∠B=∠D=90°，∴∠B+∠D=180°，∴AB∥DE，即四邊形ABDE是梯形，∴四邊形ABDE的面積=（a+b）（a+b）=ab+c2+ab，整理得：a2+b2=c2．【點撥】本題考查了完全平方公式、全等三角形的性質(zhì)、正方形面積的計算、梯形面積的計算方法；熟練掌握完全平方公式和四邊形面積的計算方法是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，等腰△ABC如圖放置，頂角的頂點C在直線m上，分別過點A、B作直線m的垂線，垂足分別為E、D，且AE＝CD．（1）求證：△AEC≌△CDB；（2）若設(shè)△AEC的三邊長分別為a、b、c，利用此圖證明勾股定理．【答案】（1）詳見分析；（2）詳見分析【分析】（1）通過直角三角形兩銳角互余證明∠CAE＝∠BCD，再證得△CAE≌△BCD，（2）利用等面積法證得勾股定理．解：（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCD＝90°．∵∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCD．在△AEC與△BCD中，，∴△CAE≌△BCD（AAS）．（2）解：由①知：△CAE≌△BCD，∴BD＝CE＝a，CD＝AE＝b，∴S梯形AEDB＝又∵S梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC∴整理，得a2+b2＝c2．【點撥】主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的證明，解本題的關(guān)鍵是判斷兩三角形全等．【變式2】閱讀下面的材料:勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣，下面是教材中介紹的一種拼圖證明勾股定理的方法．先做四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，然后按圖1的方法將它們擺成正方形．由圖1可以得到（a+b）2=4×ab+c2整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．所以a2+b2=c2．如果把圖1中的四個全等的直角三角形擺成圖2所示的正方形，請你參照上述方法證明勾股定理．【分析】直接利用圖形面積得出等式，進(jìn)而整理得出答案．解：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b-a）2，∴c2=4×ab+（b-a）2，整理，得2ab+b2-2ab+a2=c2，∴c2=a2+b2．【點撥】此題主要考查了勾股定理的證明，正確表示出圖形面積是解題關(guān)鍵．7．如圖所示，在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)需要在處進(jìn)行爆破，已知點與公路上的停靠站的距離為300米，與公路上的另一?？空镜木嚯x為400米，且．為了安全起見，爆破點周圍半徑250米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，在進(jìn)行爆破時，公路是否有危險而需要封鎖？如果需要，請計算需要封鎖的路段長度；如果不需要，請說明理由．【答案】公路有危險需要封鎖，需要封鎖的路段長度為140米【分析】過作于,利用勾股定理算出的長度，然后利用三角形的面積公式可求出的長，用的長和250比較大小即可判斷是否需要封鎖，最后根據(jù)勾股定理求出封鎖的長度．解：公路需要暫時封鎖，理由如下：如圖，過作于，因為米，米，，所以根據(jù)勾股定理有米，因為，所以（米），由于,故有危險，封鎖長度為：米，因此段公路需要暫時封鎖，封鎖長度為140米．【點撥】本題考查了正確運用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】某地一樓房發(fā)生火災(zāi)，消防隊員決定用消防車上的云梯救人如圖（1），如圖（2），已知云梯最多只能伸長到（即），消防車高，救人時云梯伸長至最長，在完成從（即）高的處救人后，還要從（即）高的處救人，這時消防車從處向著火的樓房靠近的距離為多少米？（延長交于點，，點在上，的長即為消防車的高）【答案】消防車從原處向著火的樓房靠近的距離為【分析】在Rt中，根據(jù)勾股定理得到和，于是得到結(jié)論．解：在Rt中,，，（m），（m），在Rt中，，，（m），（m），（m），答：消防車從原處向著火的樓房靠近的距離為．【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖所示的是古代一種可以遠(yuǎn)程攻擊的投石車，圖是投石車投石過程中某時刻的示意圖，是杠桿，彈袋掛在點，重錘掛在點，點A為支點，點是水平底板上的一點，米，米．（1）投石車準(zhǔn)備時，點恰好與點重合，此時和垂直，則______米（2）投石車投石過程中，的延長線交線段于點，若：：，則點距地面為______米．【答案】

【分析】（1）直接利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）先求出CE的長，再利用勾股定理和銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解即可．解：（1）如圖，連接，過A點作于F，∵米，米，∴米，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴（米），故答案為：．（2）由（1）可知：過點G作交于點N，∵，∴，∴，∴，∴在中，，，∴，∴，故點G距離底面的高度為米，故答案為：．【點撥】本題解直角三角形的應(yīng)用綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形和相似三角形．類型五、勾股定理??勾股定理逆定理??應(yīng)用??最值8．我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點處纏繞而上．若繞五周后其末端恰好到達(dá)點處，則問題中葛藤的最短長度是________尺．若繞周后其末端恰好到達(dá)點處，則問題中葛藤的最短長度是________