人教版八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練 專題16.1 二次根式（知識講解）

專題16.1二次根式（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解二次根式的概念；掌握并運(yùn)用二次根式的非負(fù)性解決問題；【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二次根式及代數(shù)式的概念

1.二次根式：一般地，我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號．

特別說明：

二次根式的兩個要素：①根指數(shù)為2；②被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).2.代數(shù)式：形如6，a，m+n，ab，，x3，這些式子，用基本的運(yùn)算符號(基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式.要點(diǎn)二、二次根式的性質(zhì)

1.≥0，（≥0）；

2.（≥0）；

3..

特別說明：

1.二次根式(a≥0)的值是非負(fù)數(shù)。一個非負(fù)數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的形式，即.2.與要注意區(qū)別與聯(lián)系：（1).的取值范圍不同，中≥0，中為任意值。（2).≥0時，==；<0時，無意義，=.【典型例題】類型一、二次根式??概念的理解 1．在式子中，二次根式有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的定義判斷即可，形如的代數(shù)式叫做二次根式．解：是二次根式，符合題意，是三次根式，不合題意，是二次根式，符合題意，不是二次根式，不合題意．故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查二次根式定義，正確理解二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的定義求解即可．二次根式：一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式，其中．解：式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有：（x＞0），，，共3個．故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查了二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的定義．二次根式：一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式，其中．類型二、二次根式??有（無）意義 2．在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）A． B． C． D．且【答案】D【分析】直接根據(jù)分式有意義的條件和二次根式有意義的條件計算即可．解：根據(jù)題意得：，解得：且．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了分式有意義的條件和二次根式有意義的條件，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】若，則的值是（

）A．5 B．1 C． D．2【答案】D【分析】利用二次根式被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，可得y的值，代入可得x的值，從而得解．解：依題意得：，解得：，將代入得，∴，故選D．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式有意義的條件，代數(shù)式求值，掌握二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知實(shí)數(shù)a滿足，那么的值是（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】A【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再化簡絕對值、算術(shù)平方根的性質(zhì)即可得．解：由題意得：，即，，，，，則，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式有意義的條件、化簡絕對值、算術(shù)平方根的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)的非負(fù)性是解題關(guān)鍵．類型三、二次根式??求二次根式值??求參數(shù) 3．與結(jié)果相同的是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)運(yùn)算和二次根式的性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】∵，且選項(xiàng)B、C、D的運(yùn)算結(jié)果分別為：4、6、0故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式、有理數(shù)運(yùn)算的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算的性質(zhì)，即可得到答案．舉一反三：【變式1】已知是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)n為（

）A．1 B．2 C．3 D．12【答案】C【分析】先把化簡成，再根據(jù)是整數(shù)分析最小正整數(shù)n的值即可．解：∵=且是整式，∴3n是完全平方數(shù)，∴正整數(shù)n的最小值是3故選C【點(diǎn)撥】此題主要考查二次根式的定義和化簡，熟練掌握二次根式的定義和化簡方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知有理數(shù)滿足，則的值是______.【答案】【分析】將已知等式整理得，由a，b為有理數(shù)，得到，求出a，b的值，代入計算即可．解：∵，∴，∵a，b為有理數(shù)，∴，解得，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了求二次根式中的參數(shù)，將已知等式整理后得到對應(yīng)關(guān)系，由此求出a，b的值是解題的關(guān)鍵．類型四、二次根式??二次根式性質(zhì)??化簡 4．閱化簡：；(2)；；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡求出答案即可；（2）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡求出答案即可；（3）利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合平方差公式化簡求出答案；（4）先將被開方數(shù)化為假分?jǐn)?shù)，再利用二次根式的性質(zhì)化簡求出答案即可．（1）解：原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的性質(zhì)和平方差公式，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】求代數(shù)式，，如圖是小亮和小芳的解答過程：(1)______的解法是正確的；(2)化簡代數(shù)式，（其中）；(3)若，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)小芳；(2)3；(3)【分析】（1）由知，據(jù)此可得，從而作出判斷；（2）利用二次根式的性質(zhì)化簡、代入求值即可得；（3）分三種情況，化簡等號左邊，再求出相應(yīng)值，合并即可．（1）解：，，則，所以小芳的解法是正確的，故答案為：小芳；（2），；（3）當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，；當(dāng)時，，解得：，綜上，的取值范圍是：．【點(diǎn)撥】本題主要考查二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)．【變式2】設(shè)、是實(shí)數(shù)，且求的值．【答案】【分析】根據(jù)已知式子利用完全平方公式因式分解，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得的值，代入代數(shù)式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求解．解：∵即∴∴，解得：，∴【點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式因式分解，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)化簡，求得的值是解題的關(guān)鍵．類型五、二次根式??二次根式性質(zhì)??復(fù)合二次根式的化簡 5．觀察下列各式及其化簡過程：，．(1)按照上述兩個根式的化簡過程的基本思路，將化簡；(2)化簡；(3)針對上述各式反映的規(guī)律，請你寫出中，m，n與a，b之間的關(guān)系．【答案】(1)；(2)；(3)，．【分析】（1）將31分解成，再利用完全平方公式即可求出答案；（2）先將7分解成，計算第二層根式，再將35分解成，利用完全平方公式即可求出答案；（3）將等式兩邊同時平方即可求出答案．【詳解】（1）（2）（3）兩邊平方可得：∴，【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的化簡與性質(zhì)及配方法的應(yīng)用，讀懂題中的配方法并明確二次根式的化簡方法是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】因?yàn)?，所以因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以請你根?jù)以上規(guī)律，結(jié)合你的經(jīng)驗(yàn)化簡：（1）=；（2）=；（3）=；（4）=．【答案】（1）﹣；（2）；（3）；（4）【分析】（1）由被開方數(shù)中5分為(3+2)，利用完全平方公式變形，利用平方根定義開方即可得到結(jié)果；（2）被開方數(shù)變形為：，中的4分為(3+1)，利用完全平方公式變形，利用平方根定義開方即可得到結(jié)果；（3）由被開方數(shù)中7分為(4+3)，利用完全平方公式變形，利用平方根定義開方即可得到結(jié)果；（4）由被開方數(shù)中13分為(7+6)，利用完全平方公式變形，利用平方根定義開方即可得到結(jié)果．【詳解】（1）∵，∴，故答案為：；（2）∵，而，∴∴，故答案為：；（3）∵，∴，故答案為：；（4）∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的性質(zhì)及化簡，關(guān)鍵是把復(fù)合二次根式的被開方數(shù)配成完全平方式．【變式2】小明在解決問題：已知a＝，求2a2－8a＋1的值，他是這樣分析與解答的：因?yàn)閍＝＝＝2－，所以a－2＝－.所以(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3.所以a2－4a＝－1.所以2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：(1)計算：=

－.(2)計算：＋…＋；(3)若a＝，求4a2－8a＋1的值．【答案】(1)，1；(2)9；(3)5【分析】（1）；（2）根據(jù)例題可得：對每個式子的分子和分母中同時乘以與分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同類項(xiàng)二次根式即可求解；（3）首先化簡，然后把所求的式子化成代入求解即可.解：(1)計算：

；(2)原式；(3)，則原式，當(dāng)時，原式.【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的化簡求值，正確讀懂例題，對根式進(jìn)行化簡是關(guān)鍵.中考真題專練 5．（2022·安徽·中考真題）計算：．【答案】1【分析】原式運(yùn)用零指數(shù)冪，二次根式的化簡，乘方的意義分別計算即可得到結(jié)果．解：【點(diǎn)撥】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握零指數(shù)冪，二次根式的化簡和乘方的意義是解本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（2020·新疆·中考真題）計算：．【答案】【分析】按照絕對值的性質(zhì)、乘方、零指數(shù)冪、二次根式的運(yùn)算法則計算.解：原式.【點(diǎn)撥】本題考查絕對值的性質(zhì)、乘方、零指數(shù)冪、二次根式的運(yùn)算法則，比較基礎(chǔ).【變式2】（2020·湖南邵陽·中考真題）已知：，（1）求m，n的值；（2）先化簡，再求值：．【答案】（1）；（2），