工程測試技術(shù)基礎(chǔ)：第三章 測量誤差與靜態(tài)測量數(shù)據(jù)處理

*1測試技術(shù)基礎(chǔ)*2檢測技術(shù)第三章測量誤差與靜態(tài)測量數(shù)據(jù)處理3.1測量誤差概述3.2不等精度測量3.3函數(shù)誤差與誤差的傳遞3.4測量的不確定度.3.5靜態(tài)誤差數(shù)據(jù)處理*3誤差與測量3.1測量誤差概述3.1.1測量誤差的概念及其表示方法1.測量誤差：對某一參數(shù)進(jìn)行測量時，由于各種因素的影響，使測量值與被測參數(shù)的真值之間存在一定的差值，此差值就是測量誤差。測量誤差的產(chǎn)生原因主要有四個方面：①測量方法；②測量設(shè)備；③測量環(huán)境；④測量人員素質(zhì)。2.研究測量誤差的意義正確認(rèn)識測量誤差的性質(zhì)與分析測量誤差產(chǎn)生的原因，尋求最大限度地減小與消除測量誤差的途徑。尋求正確處理測量數(shù)據(jù)的理論和方法，以便在同樣條件下，能獲得最精確最可靠地反映真值的測量結(jié)果。俗話說，差之毫厘，失之千里，一個小數(shù)點的錯位，一個量綱的不正確，有可能導(dǎo)致巨大的浪費、失敗、甚至造成人員傷亡等。

*4誤差與測量3.

測量誤差的表示方法①絕對誤差：Δ＝Ｘ－Ｘ0

或Δ＝Ｘ－Ａ其中X為測量值，Ｘ0為真值，Ａ為約定真值。一般來說，真值無法求得，約定真值為高一級測量儀表的讀數(shù)。②相對誤差：ε＝（Δ/Ｘ0）×100％或ε＝（Δ/?。?00％（實際相對誤差）或ε＝（Δ/Ｘ）×100%

（示值相對誤差，當(dāng)Δ較小時使用）③引用誤差：Δ引＝（Δ/Ｘｍ）×100%

稱測量值為Ｘ時的引用誤差。式中Ｘｍ為引用值，通常指測量裝置的量程或示值范圍的最高值。

引用誤差有最大值：Δ引ｍａｘ＝（Δｍａｘ/Ｘｍ）·100％＝μ％

μ稱為電工儀表的等級，共7級：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。使用μ級精度儀表時可保證：Δ＜Δｍａｘ＝Ｘｍ·μ％在相同誤差Δ下，顯然，越接近Ｘｍ，相對誤差越小。因為相對誤差（Δ/Ｘ）≥引用誤差（Δ/Ｘｍ）。*5誤差與測量3.1.2測量誤差的分類系統(tǒng)誤差：對某一參數(shù)在相同條件下進(jìn)行多次測量時，以確定的規(guī)律影響各次測量值的誤差。隨機(jī)誤差：對某一參數(shù)在相同條件下進(jìn)行多次重復(fù)測量，誤差的符號及大小變化無規(guī)律，呈現(xiàn)隨機(jī)性的誤差。粗大誤差：由于某些原因造成的使測量值受到顯著歪曲的誤差，可在重復(fù)測量比較分析后消除。產(chǎn)生原因：測量者的粗心大意，環(huán)境的改變，如受到振動、沖擊等。

*6誤差與測量1.隨機(jī)誤差的特點隨機(jī)誤差的存在導(dǎo)致每次測量結(jié)果有些不同，將測量值進(jìn)行分組統(tǒng)計(直方圖法)，將最大值與最小值之間進(jìn)行N等分，在直角坐標(biāo)系中橫軸表示測量值，縱軸表示測量值落在每一等分內(nèi)的個數(shù)即頻數(shù)，便可作出直方圖，此圖顯現(xiàn)中間多、兩邊低，兩邊對稱的特點。具有這種分布特點的隨機(jī)變量稱之為服從正態(tài)分布。

測量值與測量誤差都服從正態(tài)分布，只是分布中心不同。隨機(jī)誤差具有如下特點：

①單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的可能性大；

②對稱性；絕對值相同、符號相反的誤差出現(xiàn)的可能性相等；

③相消性：

④有界性：絕對值大于某數(shù)值的隨機(jī)誤差不會出現(xiàn)。3.1.3隨機(jī)誤差的特點及估計

*7誤差與測量

具有這樣特性的事件稱之為服從正態(tài)分布（高斯分布），正態(tài)分布的概率密度：測量值分布中心可用求算術(shù)平均值的方法求得：——樣本均值。=*8誤差與測量

測量值的可靠性（偏離真值的程度）可用標(biāo)準(zhǔn)差來評價：或用σ的估計值

隨機(jī)誤差的分布與測量值相同，只是μ＝０?！獦颖緲?biāo)準(zhǔn)差*9誤差與測量2.極限隨機(jī)誤差的估計①σ已知:單次測量(一個測量樣本）的極限隨機(jī)誤差的估計

設(shè)測量值x落在區(qū)間的概率

—α稱為顯著水平（不可靠性）當(dāng)t值不同時，概率不同若取t=1則p=68.26%t=2p=95.45%t=3p=99.73%接近于100%而測量值超過|u±

3σ|的概率很小,認(rèn)為不可能出現(xiàn).——t稱為置信系數(shù)，其數(shù)值與誤差出現(xiàn)的概率有關(guān)*10誤差與測量所以,單次測量值的極限隨機(jī)誤差可定義為:算術(shù)平均值的極限隨機(jī)誤差:

--為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)值

樣本平均值與樣本均方差的性質(zhì)：樣本平均值x的數(shù)學(xué)期望Mx等于總體指標(biāo)

的數(shù)學(xué)期望M

，樣本平均值x的均方差

x等于總體指標(biāo)

的均方差

乘以因子1/（N)1/2*11誤差與測量②σ未知時，用σ的估計值S來替代，用算術(shù)平均值作為測量結(jié)果

則:

k—自由度=N-1N為測量次數(shù)

α--顯著水平=1-p③粗大誤差的消除:當(dāng)測量值產(chǎn)生的誤差時,便可認(rèn)為粗大誤差可以刪除.精密度：用標(biāo)準(zhǔn)差評定，說明測定值的分散程度（指隨機(jī)誤差）。準(zhǔn)確度：算術(shù)平均值偏離真值的程度（指系統(tǒng)誤差）。精確度：前二者的綜合評定，有時也指精密度。

3.1.4精密度、準(zhǔn)確度、精確度*12誤差與測量3.2不等精度測量

3.2.1等精度測量與不等精度測量

如果在測量過程中，保證測量環(huán)境、儀器、方法、人員水平及測量次數(shù)都相同，這時的單次測量結(jié)果或重復(fù)測量的算術(shù)平均值具有相同的可靠程度，稱之為等精度測量。若使環(huán)境、儀器、方法、人員水平及測量次數(shù)中的任一項改變，則每改變一次后的測量結(jié)果與前一次測量結(jié)果的可靠性不同，稱之為不等精度測量。

不等精度測量的目的是對不同條件下的測量結(jié)果加以比較分析，以便獲得更精確的測量結(jié)果。

*13誤差與測量3.2.2不等精度測量結(jié)果的表示—加權(quán)算術(shù)平均值

不等精度測量因各組測量值的可靠程度不同，故不能用算術(shù)平均值來表示，而應(yīng)遵從一個原則：即可靠性高或精確度高的測量值在最終測量結(jié)果中所占的比重要大一些，而可靠程度小或精確度低的結(jié)果在最終測量結(jié)果中所占的比重要小一些。而普通算術(shù)平均值反映不出這種關(guān)系。因此引入了加權(quán)算術(shù)平均值的概念。

*14誤差與測量1.權(quán)的概念與確定權(quán)值反映了某一測量值在最終測量結(jié)果中的比重，用p來表示。權(quán)值的大小與測量值的標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān)。設(shè)在不等精度測量中，各組的算術(shù)平均值為x1,x2,x3,……xm，對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為σ1,σ2……σm

。則各組的權(quán)值為：即每組的權(quán)值與其標(biāo)準(zhǔn)差的平方〈方差〉成反比。*15誤差與測量②若不等精度測量僅為重復(fù)次數(shù)不同，而其它測量條件都不變，則可用各組的重復(fù)次數(shù)ni做該組的權(quán)值pi。例如，已知三組不等精度測量結(jié)果對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為：則：

∴可?。簆1=1,p2=16,p3=4

*16誤差與測量2.加權(quán)算術(shù)平均值的計算接上例，設(shè)則

*17誤差與測量3.加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差已知各組σi②

若已知各組的權(quán)且組數(shù)足夠多時其中，ｍ為測量組數(shù)，為第i組平均值，為加權(quán)算術(shù)平均值。或或接上例：*18誤差與測量3.3函數(shù)誤差與誤差的傳遞一.直接測量與間接測量直接測量—測量的物理量就是所研究的參數(shù).間接測量—測量某些基本物理量,再根據(jù)函數(shù)關(guān)系求解所要研究的參數(shù).研究函數(shù)誤差就是解決間接測量中的誤差傳遞問題(也稱為第一類問題),另外還要解決誤差的分配(也稱為第二類問題)舉例說明:電路中

對電流測量可用間接法.先測量R和V再算出電流I及誤差.(第一類問題)

若對電路電流誤差有要求,則要求VR和R的測量應(yīng)保證在一定的范圍之內(nèi)(第二類問題)*19誤差與測量二.函數(shù)的誤差傳遞

—已知直接測量參數(shù)的誤差,求間接測量的誤差1.誤差傳遞函數(shù):設(shè)直接測量參數(shù)與間接測量參數(shù)的關(guān)系式為:當(dāng)測量基本參數(shù)X1…….Xm時存在誤差,則計算出的y值的準(zhǔn)確性必然受到影響.y值的誤差可以用求微分的方法求出:式中:

,稱之為誤差傳遞函數(shù),它反映了第i個測量參數(shù)的誤差對最終測量值y的影響程度.或者說xi的誤差是通過Ci傳遞給Y的.*20誤差與測量①函數(shù)的系統(tǒng)誤差

②函數(shù)的隨機(jī)誤差2.函數(shù)誤差的計算:式中

為相關(guān)系數(shù)，

一般

它反映了兩個參數(shù)(或者隨機(jī)變量)之間是否成線性關(guān)系.若二者成線性關(guān)系或

否則

小于1。通常有些參數(shù)之間是沒有任何關(guān)系,相對獨立,不相關(guān),則

，此時

大于0，*21例:求兩中心距離L,選擇一種較好的測量方法.已知:誤差與測量解:......①①式+②式有:......②......③1l1l2d1d2L*22誤差與測量方法1:

方法2:

＝*23誤差與測量方法3:

由此可見第三種方法最好!＝*24誤差與測量三.函數(shù)誤差的分配

—給定函數(shù)誤差,要求確定各基本參數(shù)所允許的測量誤差.考慮各基本參數(shù)相互獨立,給定

則有:在這個方程中有m個未知數(shù)

根據(jù)已知條件只能列出一個方程,因此,解該方程必須再給定附加條件.*25誤差與測量

等作用原則:

設(shè)各基本參數(shù)的誤差對函數(shù)誤差的影響相等.即

i=1,2,…..m.2.按實際過程調(diào)整誤差:由上式可知,當(dāng)|Ci|很大時,σi很小，意味著對Xi的測量要求很高的精度,而|Ci|很小時,則可放寬測量要求.在實際中,如果|Ci|太大,對Xi的測量要求過高,現(xiàn)有設(shè)備儀器可能滿足不了,這時可以適當(dāng)提高其他參量的測量精度,而保證總的m仍然滿足。1*26誤差與測量3.5靜態(tài)誤差數(shù)據(jù)處理一.測量數(shù)據(jù)表示法.

在測量過程中,被測量與測試儀器的輸出之間存在一定的關(guān)系.為把這種關(guān)系建立,常常在特定的條件下改變被測量的量值,測出對應(yīng)的輸出,特別是對傳感器而言,這種過程稱之為標(biāo)定.即給出傳感器輸入/輸出之間的關(guān)系.比如:測力傳感器,輸入為力,輸出為電流,這樣力與電流的關(guān)系可用不同的表示方法表示出來.

列表法:輸入力(N)輸出電流(mA)6012.27014.28016.29018.310020.415030.4*27誤差與測量2.圖示法,即描點作圖坐標(biāo)可采用直角坐標(biāo),極坐標(biāo)等.

上述兩種方法直觀但不便于從理論上分析研究,所以通常還要采用第三種方法.3.回歸方程—經(jīng)驗公式法.

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計的方法,求出兩個甚至多個量之間的關(guān)系,用一個數(shù)學(xué)方程來表示，該方程稱之為回歸方程,而建立該方程的過程稱之為回歸分析,回歸分析包括一元線性回歸,一元非線性回歸,多元線性回歸及多項式回歸等.常用的是一元線性回歸分析.*28誤差與測量二.一元線性回歸方程的建立對一組數(shù)據(jù)Xi，Yi,若它們之間是線性相關(guān)的.則可用一條直線來表示，即：(對線性關(guān)系的評價由相關(guān)函數(shù)來評價)

通常這條直線可用最小二乘法獲得,即設(shè)實測值yi與理論計算值之差的

平方和為最小,可列成下式:

Q為剩余平方誤差*29誤差與測量即:若要使Q最小,可通過求極值的辦法來確定m和b兩個未知量,即令:m，b為未知量

解方程便可求得m和b。

*30誤差與測量其中:

*31誤差與測量采用線性回歸的條件:當(dāng)y,x兩變量之間的相關(guān)系數(shù)的絕對值大于最小相關(guān)系數(shù)時才能采用線性回歸方程,最小相關(guān)系數(shù)

的確定與N及概率有關(guān).