新教材數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案2-2第2課時基本不等式的應(yīng)用

第2課時基本不等式的應(yīng)用關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一均值不等式的靈活運用例1(1)已知x＞2，求x＋eq\f(4,x－2)的最小值；(2)已知eq\f(2,x)＋eq\f(2,y)＝1(x＞0，y＞0)，求x＋y的最小值．[解析](1)∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋eq\f(4,x－2)＝x－2＋eq\f(4,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6，當且僅當x－2＝eq\f(4,x－2)，即x＝4時，等號成立．∴x＋eq\f(4,x－2)的最小值為6．(2)∵x＞0，y＞0，∴x＋y＝(x＋y)·(eq\f(2,x)＋eq\f(2,y))＝4＋2(eq\f(x,y)＋eq\f(y,x))≥4＋4eq\r(\f(x,y)·\f(y,x))＝8．當且僅當eq\f(x,y)＝eq\f(y,x)，即x＝y(tǒng)＝4時取等號，x＋y的最小值為8．[歸納提升]利用基本不等式求最值的策略eq\x(策略)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(探求條件\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(一正——各數(shù)均為正,二定——和或積為定值,三相等——等號能否成立)),利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化))【對點練習(xí)】?(1)若x＜0，求eq\f(12,x)＋3x的最大值；(2)設(shè)x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．[解析](1)因為x＜0，所以eq\f(12,x)＋3x＝－[(－eq\f(12,x))＋(－3x)]≤－2eq\r(－\f(12,x)·－3x)＝－12，當且僅當－eq\f(12,x)＝－3x，即x＝－2時等號成立，所以eq\f(12,x)＋3x的最大值為－12．(2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x．∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0，y＝eq\f(2x,x－8)，∴x＋y＝x＋eq\f(2x,x－8)＝x＋eq\f(2x－16＋16,x－8)＝(x－8)＋eq\f(16,x－8)＋10≥2eq\r(x－8×\f(16,x－8))＋10＝18．當且僅當x－8＝eq\f(16,x－8)，即x＝12時，等號成立．∴x＋y的最小值是18．解法二：由2x＋8y＝xy及x＞0，y＞0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1．∴x＋y＝(x＋y)(eq\f(8,x)＋eq\f(2,y))＝eq\f(8y,x)＋eq\f(2x,y)＋10≥2eq\r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＋10＝18．當且僅當eq\f(8y,x)＝eq\f(2x,y)，即x＝2y＝12時等號成立．∴x＋y的最小值是18．題型二利用基本不等式求參數(shù)范圍例2已知a＞0，b＞0，若不等式eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,2a＋b)恒成立，則m的最大值等于(B)A．10 B．9C．8 D．7[解析]因為a＞0，b＞0，所以2a＋b＞0，所以要使eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,2a＋b)恒成立，只需m≤(2a＋b)(eq\f(2,a)＋eq\f(1,b))恒成立，而(2a＋b)(eq\f(2,a)＋eq\f(1,b))＝4＋eq\f(2a,b)＋eq\f(2b,a)＋1≥5＋4＝9，當且僅當a＝b時，等號成立，所以m≤9．[歸納提升]1．恒成立問題常采用分離參數(shù)的方法求解，若a≤y恒成立，則a≤ymin；若a≥y恒成立，則a≥ymax．將問題轉(zhuǎn)化為求y的最值問題，可能會用到基本不等式．2．運用基本不等式求參數(shù)的取值范圍問題在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，在解決此類問題時，要注意發(fā)掘各個變量之間的關(guān)系，探尋思路，解決問題．【對點練習(xí)】?若對任意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a的取值范圍是__eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(1,5)))))__．[解析]因為x＞0，所以x＋eq\f(1,x)≥2，當且僅當x＝1時取等號，所以有eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2＋3)＝eq\f(1,5)，即eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值為eq\f(1,5)，故a≥eq\f(1,5)．題型三基本不等式的實際應(yīng)用例3如圖所示動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．(1)現(xiàn)有可圍36m長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，(2)要使每間虎籠面積為24m2，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時[分析](1)已知a＋b為定值，可用基本不等式求ab的最大值．(2)已知ab為定值，可用基本不等式求a＋b的最小值．[解析](1)設(shè)每間虎籠長xm，寬ym，則由條件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18．設(shè)每間虎籠面積為S，則S＝xy．方法一：由于2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)，所以2eq\r(6xy)≤18，得xy≤eq\f(27,2)，即S≤eq\f(27,2)，當且僅當2x＝3y時，等號成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4．5，,y＝3．))故每間虎籠長4.5m，寬3方法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－eq\f(3,2)y．因為x＞0，所以9－eq\f(3,2)y＞0，所以0＜y＜6，S＝xy＝(9－eq\f(3,2)y)y＝eq\f(3,2)(6－y)·y．因為0＜y＜6，所以6－y＞0，所以S≤eq\f(3,2)·[eq\f(6－y＋y,2)]2＝eq\f(27,2)．當且僅當6－y＝y(tǒng)即y＝3時等號成立，此時x＝4.5．故每間虎籠長4.5m，寬3(2)由條件知S＝xy＝24．設(shè)鋼筋網(wǎng)總長為l，則l＝4x＋6y．方法一：因為2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)＝24，所以l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48．當且僅當2x＝3y時，等號成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝3y，,xy＝24))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝4．))故每間虎籠長6m，寬4方法二：由xy＝24，得x＝eq\f(24,y)．所以l＝4x＋6y＝eq\f(96,y)＋6y＝6(eq\f(16,y)＋y)≥6×2eq\r(\f(16,y)·y)＝48．當且僅當eq\f(16,y)＝y(tǒng)即y＝4時，等號成立，此時x＝6．故每間虎籠長6m，寬4[歸納提升]在應(yīng)用基本不等式解決實際問題時應(yīng)注意的問題(1)設(shè)變量時一般把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，確定函數(shù)的定義域．(3)在定義域內(nèi)只需再利用基本不等式，求出函數(shù)的最值．(4)回到實際問題中去，寫出實際問題的答案．【對點練習(xí)】?如圖，要設(shè)計一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個矩形欄目(如圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm．怎樣確定廣告牌的高與寬的尺寸([解析]設(shè)矩形廣告牌的高為xcm，寬為ycm，則每欄的高和寬分別為(x－20)cm，(eq\f(y－25,2))cm(x＞20，y＞25)，兩欄面積之和為2(x－20)·eq\f(y－25,2)＝18000，由此得y＝eq\f(18000,x－20)＋25，∴廣告牌的面積S＝xy＝x(eq\f(18000,x－20)＋25)＝eq\f(18000x,x－20)＋25x，整理得S＝eq\f(360000,x－20)＋25(x－20)＋18500．∵x－20＞0，∴S≥2eq\r(\f(360000,x－20)×25x－20)＋18500＝24500．當且僅當eq\f(360000,x－20)＝25(x－20)時等號成立，此時有(x－20)2＝14400，解得x＝140，代入y＝eq\f(18000,x－20)＋25，得y＝175．即當x＝140，y＝175時，S取得最小值為24500．故當廣告牌的高為140cm，寬為175誤區(qū)警示易錯問題——忽略等號成立的條件或等號成立的一致性例4已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值為(B)A．1＋eq\r(2) B．3＋2eq\r(2)C．3eq\r(2) D．4eq\r(2)[錯解]∵x＞0，y＞0，∴1＝x＋2y≥2eq\r(2xy)，∴8xy≤1．∴xy≤eq\f(1,8)，∴eq\f(1,xy)≥8．∵eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥2eq\r(8)＝4eq\r(2)．故eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值為4eq\r(2)．[錯因分析]上述在求解過程中使用了兩次基本不等式：x＋2y≥2eq\r(2xy)，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥2eq\r(\f(1,xy))，但這兩次取等號的條件需滿足x＝2y與x＝y(tǒng)，自相矛盾，所以等號取不到．[正解]∵x＋2y＝1，x＞0，y＞0，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝(x＋2y)(eq\f(1,x)＋eq\f(1,y))＝3＋eq\f(x,y)＋eq\f(2y,x)≥3＋2eq\r(2)(當且僅當eq\f(x,y)＝eq\f(2y,x)，即x＝eq\r(2)y時，等號成立)．∴x＝eq\r(2)－1，y＝1－eq\f(\r(2),2)．故當x＝eq\r(2)－1，y＝1－eq\f(\r(2),2)時，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)有最小值，為3＋2eq\r(2)．[方法點撥]連續(xù)應(yīng)用基本不等式求最值時，要注意各不等式取等號時條件是否一致，若不能同時取等號，則連續(xù)用基本不等式是求不出最值的，此時要對原式進行適當?shù)牟鸱只蚝喜?，直到取等號的條件成立．學(xué)科素養(yǎng)基本不等式求最值基本不等式在解決數(shù)學(xué)問題中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大(小)值問題的有力工具．例5求函數(shù)y＝eq\f(\r(x＋2),2x＋5)的最大值．[分析]把eq\r(x＋2)看成一個整體→函數(shù)轉(zhuǎn)化為用eq\r(x＋2)來表示→找出其內(nèi)在的形式特點→用基本不等式來處理．[解析]設(shè)t＝eq\r(x＋2)≥0，則x＝t2－2．于是y＝eq\f(t,2t2＋1)(t≥0)．當t＝0時，y＝0．當t＞0時，y＝eq\f(1,2t＋\f(1,t))≤eq\f(1,2\r(2t·\f(1,t)))＝eq\f(\r(2),4)．當且僅當2t＝eq\f(1,t)，即t＝eq\f(\r(2),2)時，y有最大值為eq\f(\r(2),4)．由eq\r(x＋2)＝eq\f(\r(2),2)，解得x＝－eq\f(3,2)．即x＝－eq\f(3,2)，y有最大值為eq\f(\r(2),4)．[歸納提升]利用基本不等式求最值時，需滿足“一正，二定，三相等”的條件，如果形式不滿足，要首先化簡整理，使其變?yōu)闈M足條件的形式，進而求得最值．課堂檢測·固雙基1．若x＞5，則x＋eq\f(4,x－5)的最小值為(C)A．6 B．8C．9 D．3[解析]令t＝x－5，則t＞0，x＋eq\f(4,x－5)＝t＋eq\f(4,t)＋5≥2eq\r(t·\f(4,t))＋5＝9，當且僅當t＝eq\f(4,t)，即t＝2，x＝7時，函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(4,x－5)(x＞5)的最小值為9．2．設(shè)x＞0，y＞0，x＋y＝4，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值為__eq\f(9,4)__．[解析]∵x＋y＝4，∴eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝eq\f(1,4)(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))(x＋y)＝eq\f(1,4)(5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y))，又x＞0，y＞0，則eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥2eq\r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝4(當且僅當eq\f(y,x)＝eq\f(4x,y)時取等號)，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥eq\f(1,4)×(5＋4)＝eq\f(9,4)．3．已知x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，則xy的最大值為__eq\f(1,16)__．[解析]xy＝eq\f(1,4)x·4y≤eq