變量的相關(guān)關(guān)系（教學(xué)設(shè)計(jì)）（人教A版2019選擇性必修第三冊）

.1.1變量的相關(guān)關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容主要是通過成對(duì)樣本數(shù)據(jù)研究兩個(gè)數(shù)值變量之間的相關(guān)關(guān)系.按照先直觀描述后定量刻畫的原則，先學(xué)習(xí)通過散點(diǎn)圖直觀推斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系，再通過樣本相關(guān)系數(shù)定量推斷兩個(gè)變量相關(guān)的正負(fù)性和線性相關(guān)的程度.研究兩個(gè)變量的線性相關(guān)性是研究一元線性回歸模型和利用回歸分析解決實(shí)際問題的必要的前提.本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是相關(guān)關(guān)系、散點(diǎn)圖、樣本相關(guān)系數(shù)，難點(diǎn)是了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù)也是高考考查回歸分析的重點(diǎn)考查對(duì)象.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.結(jié)合實(shí)例，會(huì)通過樣本相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：利用散點(diǎn)圖進(jìn)行相關(guān)關(guān)系的判斷，相關(guān)系數(shù)r的應(yīng)用。2.教學(xué)難點(diǎn)：了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù)教學(xué)過程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題在必修課程中，我們學(xué)習(xí)了單個(gè)變量的觀察數(shù)據(jù)的直觀表示和統(tǒng)計(jì)特征的刻畫等知識(shí)與方法．例如，用直方圖描述樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，用均值刻畫樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢，用方差刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度等．這些方法主要適用于通過樣本認(rèn)識(shí)單個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律．在現(xiàn)實(shí)中，我們還經(jīng)常需要了解兩個(gè)或兩個(gè)以上變量之間的關(guān)系．例如，教育部門為掌握學(xué)生身體健康狀況，需要了解身高變量和體重變量之間的關(guān)系；醫(yī)療衛(wèi)生部門要制定預(yù)防青少年近視的措施，需要了解有哪些因素會(huì)影響視力，以及這些因素是如何影響視力的；商家要根據(jù)顧客的意見改進(jìn)服務(wù)水平，希望了解哪些因素影響服務(wù)水平，以及這些因素是如何起作用的；等等．為此，我們需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)通過樣本推斷變量之間關(guān)系的知識(shí)和方法．本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容有成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性、一元線性回歸模型和列聯(lián)表等，這些知識(shí)與方法在解決實(shí)際問題中非常有用．可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性可以通過成對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析；利用一元線性回歸模型可以研究變量之間的隨機(jī)關(guān)系，進(jìn)行預(yù)測；利用列聯(lián)表可以檢驗(yàn)兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性．本章的學(xué)習(xí)對(duì)于提高我們解決實(shí)際問題的能力，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)都是非常有幫助的．我們知道，如果變量是變量的函數(shù)，那么由就可以唯一確定．然而，現(xiàn)實(shí)世界中還存在這樣的情況：兩個(gè)變量之間有關(guān)系，但密切程度又達(dá)不到函數(shù)關(guān)系的程度．例如，人的體重與身高存在關(guān)系，但由一個(gè)人的身高值并不能確定他的體重值．那么，該如何刻畫這兩個(gè)變量之間的關(guān)系呢？下面我們就來研究這個(gè)問題．環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念我們知道，一個(gè)人的體重與他的身高有關(guān)系．一般而言，個(gè)子高的人往往體重值較大，個(gè)子矮的人往往體重值較?。砀卟⒉皇菦Q定體重的唯一因素，例如生活中的飲食習(xí)慣、體育鍛煉、睡眠時(shí)間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素．像這樣，兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系(correlation)．兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的事例在現(xiàn)實(shí)中大量存在．例如：1．子女身高y與父親身高x之間的關(guān)系．一般來說，父親的個(gè)子高，其子女的個(gè)子也會(huì)比較高；父親個(gè)子矮，其子女的個(gè)子也會(huì)比較矮．但影響子女身高的因素，除父親身高外還有其他因素，例如母親身高、飲食結(jié)構(gòu)、體育鍛煉等，因此父親身高又不能完全決定子女身高．2．商品銷售收入y與廣告支出x之間的關(guān)系．一般來說，廣告支出越多，商品銷售收入越高．但廣告支出并不是決定商品銷售收入的唯一因素，商品銷售收入還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關(guān)．3．空氣污染指數(shù)y與汽車保有量x之間的關(guān)系．一般來說，汽車保有量增加，空氣污染指數(shù)會(huì)上升．但汽車保有量并不是造成空氣污染的唯一因素，氣象條件、工業(yè)生產(chǎn)排放、居民生活和取暖、垃圾焚燒等都是影響空氣污染指數(shù)的因素．4．糧食畝產(chǎn)量y與施肥量x之間的關(guān)系．在一定范圍內(nèi)，施肥量越大，糧食畝產(chǎn)就越高．但施肥量并不是決定糧食畝產(chǎn)量的唯一因素，糧食畝產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降水量、田間管理水平等因素的影響．因?yàn)樵谙嚓P(guān)關(guān)系中，變量y的值不能隨變量x的值的確定而唯一確定，所以我們無法直接用函數(shù)去描述量之間的這種關(guān)系．對(duì)上述各例中兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，我們往往會(huì)根據(jù)自己以往積累的經(jīng)驗(yàn)作出推斷．“經(jīng)驗(yàn)之中有規(guī)律”，經(jīng)驗(yàn)的確可以為我們的決策提供一定的依據(jù)，但僅憑經(jīng)驗(yàn)推斷又有不足．例如，不同經(jīng)驗(yàn)的人對(duì)同一情形可能會(huì)得出不同結(jié)論，不是所有的情形都有經(jīng)驗(yàn)可循等．因此，在研究兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系時(shí)，我們需要借助數(shù)據(jù)說話，即通過樣本數(shù)據(jù)分析，從數(shù)據(jù)中提取信息，并構(gòu)建適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，再利用模型進(jìn)行估計(jì)或推斷．【設(shè)計(jì)意圖】該情境從解決現(xiàn)實(shí)問題需求出發(fā)，引入“相關(guān)關(guān)系”的概念，讓學(xué)生了解概念內(nèi)涵與外延的同時(shí)體會(huì)到引入“相關(guān)關(guān)系”的必要性。環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念探究：在對(duì)人體的脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，如表8.1-1所示．表中每個(gè)編號(hào)下的年齡和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對(duì)同一個(gè)體的觀測結(jié)果，它們構(gòu)成了成對(duì)數(shù)據(jù)表8.1—1編號(hào)1234567年齡/歲23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2編號(hào)891011121314年齡/歲53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能推斷人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關(guān)系嗎？為了更加直觀地描述上述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中脂肪含量與年齡之間的關(guān)系，類似于用直方圖描述單個(gè)變量樣本數(shù)據(jù)的分布特征，我們用圖形展示成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征．用橫軸表示年齡，縱軸表示脂肪含量，則表8.1-1中每個(gè)編號(hào)下的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成了如圖8.1-1所示的統(tǒng)計(jì)圖．我們把這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖(scatterplot)．觀察圖8.1—1可以發(fā)現(xiàn)，這些散點(diǎn)大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，表明隨年齡值的增加，相應(yīng)的脂肪含量值呈現(xiàn)增高的趨勢．這樣，由成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關(guān)關(guān)系．【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生從圖形角度進(jìn)一步深化相關(guān)關(guān)系的內(nèi)涵并總結(jié)出大致判斷“相關(guān)關(guān)系”的方法。環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)(positivecorrelation)；如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)(negativecorrelation)．由圖8.1—1，能夠推斷脂肪含量與年齡這兩個(gè)變量正相關(guān)．思考：兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖有什么特點(diǎn)？你能舉出生活中兩個(gè)變量正相關(guān)或負(fù)相關(guān)的一些例子嗎？散點(diǎn)圖是描述成對(duì)數(shù)據(jù)之間關(guān)系的一種直觀方法．觀察散點(diǎn)圖8.1-1，從中我們不僅可以大致看出脂肪含量和年齡呈現(xiàn)正相關(guān)性，而且從整體上可以看出散點(diǎn)落在某條直線附近．一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)(linearcorrelation)．環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化觀察散點(diǎn)圖8.1-2，我們發(fā)現(xiàn)：圖(1)中的散點(diǎn)落在某條曲線附近，而不是落在一條直線附近，說明這兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)；類似地，圖(2)中的散點(diǎn)落在一條折線附近，這兩個(gè)變量也具有相關(guān)性，但它們既不是正相關(guān)，也不是負(fù)相關(guān)；圖(3)中的散點(diǎn)雜亂無章，無規(guī)律可言，看不出兩個(gè)變量有什么相關(guān)性．一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？(1)相關(guān)關(guān)系．(2)散點(diǎn)圖．(3)正相關(guān)、負(fù)相關(guān)、線性相關(guān)、非線性相關(guān)．(4)樣本相關(guān)系數(shù)．2.在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？數(shù)形結(jié)合．3.常見誤區(qū)：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不分，樣本相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值的大小與相關(guān)程度的關(guān)系．環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置完成教材：第103頁練習(xí)第3,4題.練習(xí)（第95頁）1．舉例說明什么叫相關(guān)關(guān)系．相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有什么區(qū)別？【解析】例如，身高與腳長的關(guān)系，一般來說，身高較高的人腳長也會(huì)較長，但身高相同的人腳長末必相同；受教育程度和收人水平的關(guān)系，一般來說，受教育程度高的人收入也較高，但受教育程度相同的人收入未必相同．相關(guān)關(guān)系是指從總的變化趨勢來看，變量之間存在著某種關(guān)系，但這種關(guān)系又不能用函數(shù)關(guān)系完全表達(dá)出來．相關(guān)關(guān)系是不確定性的數(shù)量關(guān)系，對(duì)其中一個(gè)變量的每個(gè)取值，另一個(gè)變量可能有多個(gè)不同的取值；而函數(shù)關(guān)系是確定性的數(shù)量關(guān)系，對(duì)自變量的每個(gè)取值，因變量有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)．相關(guān)關(guān)系：當(dāng)自變量取值一定，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性(非確定性關(guān)系)，函數(shù)關(guān)系：函數(shù)關(guān)系指的是自變量和因變量之間的關(guān)系是相互唯一確定的．相同點(diǎn)：均是指兩個(gè)變量的關(guān)系．不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，因果關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．2．根據(jù)下面的散點(diǎn)圖，判斷圖中的兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系．【答案】(1)負(fù)相關(guān)；(2)非線性相關(guān)；(3)不相關(guān)；(4)正相關(guān)．【解析】（1）由（1）的散點(diǎn)圖可以看到，兩個(gè)變量確定的散點(diǎn)幾乎落在了一條直線附近，所以可以判定兩個(gè)變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系，圖像呈現(xiàn)左上右下趨勢，說明兩個(gè)變量呈負(fù)線性相關(guān)關(guān)系；（2）由（2）的散點(diǎn)圖可以看到，兩個(gè)變量確定的散點(diǎn)幾乎落在了一條曲線附近，所以可以判定兩個(gè)變量之間存在相關(guān)關(guān)系，而且是非線性相關(guān)關(guān)系；（3）由（3）的散點(diǎn)圖可以看到，兩個(gè)變量確定的散點(diǎn)沒有落在了一條直線或者曲線附近，是雜亂無章的，所以可以判定兩個(gè)變量之間不存在相關(guān)關(guān)系；（4）由（4）的散點(diǎn)圖可以看到，兩個(gè)變量確定的散點(diǎn)幾乎落在了一條直線附近，所以可以判定兩個(gè)變量之間存在相關(guān)關(guān)系，圖像呈現(xiàn)左下右上趨勢，說明兩個(gè)變量呈正線性相關(guān)關(guān)系．3．下表給出了一些地區(qū)的鳥的種類數(shù)與該地區(qū)的海拔高度的數(shù)據(jù)，鳥的種類數(shù)與海拔高度是否存在相關(guān)關(guān)系？如果是，那么這種相關(guān)關(guān)系有什么特點(diǎn)？地區(qū)ABCDEFGHIJK海拔/m1250115810674577017316106701493762549鳥的種類/種3630371111131713294153．【解析】先畫鳥的種類數(shù)與海拔高度的散點(diǎn)圖，如圖所示，從散點(diǎn)圖中散點(diǎn)的分布看，鳥的種類數(shù)與海拔高度正相關(guān)，鳥的種類數(shù)在海拔高度1000m以上的明顯多于在海拔高度1000m以下的．但從局部看，不管是在海拔高度1000m以上，還是在海拔高度1000m以下，鳥的種類數(shù)和海拔高度正相關(guān)都不明顯．環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升1．知識(shí)清單：(1