高考數(shù)第一輪復(fù)習(xí)函數(shù)的奇偶性與周期性

11三月2024高考數(shù)第一輪復(fù)習(xí)函數(shù)的奇偶性與周期性1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義與性質(zhì)偶

函

數(shù)

奇

函

數(shù)

定義

對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x

_______________________性質(zhì)

圖象

關(guān)于____對(duì)稱關(guān)于_____對(duì)稱定義域

關(guān)于_____對(duì)稱

單調(diào)性

在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上

有_____的單調(diào)性

有_____的單調(diào)性

圖象與原點(diǎn)的關(guān)系

若奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)有意義，則f(0)=__

f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)y軸原點(diǎn)相反相同0原點(diǎn)2.周期性(1)周期函數(shù)：T為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則需滿足的條件：①T≠0;②____________對(duì)定義域內(nèi)的任意x都成立.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)___________，那么這個(gè)___________就叫做它的最小正周期．(3)周期不唯一：若T是函數(shù)y=f(x)(x∈R)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期.f(x+T)=f(x)最小的正數(shù)最小的正數(shù)判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)偶函數(shù)圖象不一定過(guò)原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn).()(2)函數(shù)f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).()(3)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱.()(4)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱.()【解析】(1)錯(cuò)誤.當(dāng)奇函數(shù)的定義域不含0時(shí)，則圖象不過(guò)原點(diǎn).(2)錯(cuò)誤.函數(shù)f(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(3)正確.函數(shù)y=f(x+a)關(guān)于直線x=0對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱.(4)正確.函數(shù)y=f(x+b)關(guān)于點(diǎn)(0，0)中心對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√1.已知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(x+1)的圖象的對(duì)稱中心是()(A)(1,0)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(0,-1)【解析】選B.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，函數(shù)y=f(x+1)的圖象可由y=f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位得到，故函數(shù)y=f(x+1)的圖象的對(duì)稱中心為(-1，0).2.函數(shù)的圖象關(guān)于()(A)y軸對(duì)稱(B)直線y=-x對(duì)稱(C)坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(D)直線y=x對(duì)稱【解析】選C.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞)，且∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù).故選C.3.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(x+4)=f(x),則f(8)的值為()(A)-1(B)0(C)1(D)2【解析】選B.∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，∴f(8)=f(0).又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(8)=f(0)=0,故選B.4.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(-∞,0)上是減函數(shù)，若f(a)≥f(2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()(A)a≤2(B)a≤-2或a≥2(C)a≥-2(D)-2≤a≤2【解析】選B.由題意知函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，且f(-2)=f(2),故由f(a)≥f(2),得f(|a|)≥f(2),∴|a|≥2，解得a≥2或a≤-2.

考向1函數(shù)奇偶性的判斷

【典例1】判斷下列各函數(shù)的奇偶性.(1)(2)(3)【思路點(diǎn)撥】先求定義域，看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在定義域下，解析式帶絕對(duì)值號(hào)的先盡量去掉，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系，分段函數(shù)應(yīng)分情況判斷.【規(guī)范解答】(1)由得-1＜x≤1,因此函數(shù)的定義域?yàn)?-1，1］，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù).(2)由得-1＜x＜0或0＜x＜1.∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,0)∪(0,1).此時(shí)x-2＜0,|x-2|-2=-x,∴又∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù).(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?-∞，0)∪(0,+∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∵當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，則f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；當(dāng)x>0時(shí),-x<0，則f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).綜上可知：對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，總有f(-x)=-f(x)成立，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù).【規(guī)律方法】判斷函數(shù)奇偶性的兩個(gè)方法(1)定義法：(2)圖象法：【變式訓(xùn)練】(1)若函數(shù)f(x)=3x+3-x與g(x)=3x-3-x的定義域均為R，則()(A)f(x)與g(x)均為偶函數(shù)(B)f(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù)(C)f(x)與g(x)均為奇函數(shù)(D)f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù)【解析】選B.∵f(-x)=3-x+3x=f(x)，g(-x)=3-x-3x=-g(x)，∴f(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù)，故選B.(2)判斷下列函數(shù)的奇偶性：①②【解析】①由得-2≤x≤2且x≠0,∴函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且x+3＞0,∴又∵∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù).②f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x);當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=0,也滿足f(-x)=-f(x).故該函數(shù)為奇函數(shù).考向2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【典例2】(1)(2013·杭州模擬)已知奇函數(shù)f(x)是定義在(-3,3)上的減函數(shù),且滿足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,則不等式的解集為

.(2)(2013·蘇州模擬)“a=1”是“函數(shù)在其定義域上為奇函數(shù)”的______條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).【思路點(diǎn)撥】(1)先利用奇偶性將原不等式轉(zhuǎn)化為f(a)<f(b)的形式,再利用單調(diào)性求解.(2)分清條件p與結(jié)論q,分別驗(yàn)證p?q與q?p是否成立.【規(guī)范解答】(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以不等式f(x-3)+f(x2-3)<0等價(jià)于f(x2-3)<-f(x-3)=f(3-x),又f(x)是定義在(-3,3)上的減函數(shù),所以解得2<x<,即不等式的解集為(2,).答案:(2,)(2)當(dāng)a=1時(shí)，此時(shí)=-f(x),∴f(x)是其定義域上的奇函數(shù).當(dāng)是其定義域上的奇函數(shù)時(shí)，f(-x)=-f(x),即從而“a=1”是“函數(shù)在其定義域上為奇函數(shù)”的充分不必要條件.答案：充分不必要【規(guī)律方法】應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的四類問(wèn)題及解題方法(1)求函數(shù)值.將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.(2)求解析式.將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式.(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值.利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(-x)=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值.(4)畫(huà)函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性.利用奇偶性可畫(huà)出另一對(duì)稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性.【變式訓(xùn)練】(1)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=2x2-x，則f(1)=()(A)-3(B)-1(C)1(D)3【解析】選A.由奇函數(shù)的定義有f(-x)=-f(x)，所以f(1)=-f(-1)=-［2×(-1)2+1］=-3.(2)已知函數(shù)為奇函數(shù)，則a+b=______.【解析】設(shè)x＞0,則-x＜0,∴f(-x)=(-x)2-x=x2-x.又f(-x)=-f(x),∴x＞0時(shí)，f(x)=-f(-x)=-x2+x=ax2+bx,∴a=-1,b=1,∴a+b=0.答案：0

考向3函數(shù)的周期性及其應(yīng)用

【典例3】(1)(2012·山東高考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x),當(dāng)-3≤x＜-1時(shí)，f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1≤x＜3時(shí)，f(x)=x,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=()(A)335(B)338(C)1678(D)2012(2)(2012·江蘇高考)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間［-1，1］上，其中a,b∈R,若則a+3b的值為_(kāi)_____.【思路點(diǎn)撥】(1)先根據(jù)周期性求f(1)+f(2)+…+f(6),再根據(jù)周期性求f(1)+f(2)+…+f(2012).(2)利用周期性可知f(-1)=f(1),列方程組求解.【規(guī)范解答】(1)選B.∵f(x+6)=f(x),∴T=6.∵當(dāng)-3≤x＜-1時(shí),f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1≤x＜3時(shí)，f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)=…=f(2005)+f(2006)+…+f(2010)=1,∴f(1)+f(2)+…+f(2010)=1×=335.而f(2011)+f(2012)=f(1)+f(2)=3,∴f(1)+f(2)+…+f(2012)=335+3=338.(2)因?yàn)閒(x)的周期為2,所以即又因?yàn)樗浴?a+2b=-2①,又因?yàn)閒(-1)=f(1),所以即b=-2a②,將②代入①，得a=2,b=-4,∴a+3b=2+3×(-4)=-10.答案：-10【規(guī)律方法】判斷函數(shù)周期性的三個(gè)常用結(jié)論若對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都有：(1)f(x+a)=-f(x)(a≠0)，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),2|a|是它的一個(gè)周期.(2)則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期.(3)則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期.【提醒】應(yīng)用函數(shù)的周期性時(shí)，應(yīng)保證自變量在給定的區(qū)間內(nèi).【變式訓(xùn)練】設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x+2)=-f(x).當(dāng)x∈［0,2］時(shí)，f(x)=2x-x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù).(2)當(dāng)x∈［2,4］時(shí)，求f(x)的解析式.(3)計(jì)算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013).【解析】(1)∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù).(2)當(dāng)x∈［-2,0］時(shí)，-x∈［0,2］，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函數(shù)，∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2,∴f(x)=x2+2x.又當(dāng)x∈［2,4］時(shí)，x-4∈［-2,0］,∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.從而求得x∈［2,4］時(shí)，f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù),∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0，∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)=f(0)+f(1)=0+1=1.【創(chuàng)新體驗(yàn)2】創(chuàng)新運(yùn)用函數(shù)奇偶性問(wèn)題

【典例】(2013·遼寧高考)已知函數(shù)f(x)=ln(-3x)+1,則f(lg2)+f(lg)=()(A)-1(B)0(C)1(D)2【審題視點(diǎn)】創(chuàng)新點(diǎn)本題考查函數(shù)奇偶性的角度創(chuàng)新:lg2與lg互為相反數(shù);讓考生極易想到直接利用f(x)奇偶性求值,而f(x)本身又沒(méi)有奇偶性,但其局部ln(-3x)卻為奇函數(shù),需靈活運(yùn)用奇偶性間接求解.切入點(diǎn)

令g(x)=ln(-3x),則得g(x)為奇函數(shù)即g(x)+g(-x)=0,而lg=-lg2,由g(lg2)+g(-lg2)=0得f(lg2)+f(lg)的值【解析】選D.令g(x)=ln(-3x)，則因?yàn)椋?x，所以函數(shù)定義域?yàn)镽,又g(-x)=ln(+3x)==-ln(-3x)=-g(x)，所以g(x)為奇函數(shù),所以g(-x)+g(x)=0，所以g(lg2)+g(lg)=g(lg2)+g(-lg2)=0，所以f(lg2)+f(lg)=［g(lg2)+1］+［g(lg)+1］=g(lg2)+g(-lg2)+2=0+2=2.【創(chuàng)新點(diǎn)撥】1.高考考情:創(chuàng)新運(yùn)用函數(shù)的奇偶性問(wèn)題是高考命題考查函數(shù)奇偶性的一個(gè)新角度,考查頻次較高.2.命題形式:常以給出函數(shù)f(x)=g(x)+c(其中c為非零常數(shù),而g(x)為奇函數(shù)),求f(x)最大值與最小值的和,或求f(-a)+f(a)的值的形式出現(xiàn).【備考指導(dǎo)】1.準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化:解決該類問(wèn)題,一定要找準(zhǔn)奇函數(shù)g(x),將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為奇函數(shù)的性質(zhì)g(-a)+g(a)=0的問(wèn)題求解.2.誤區(qū)警示:切記g(-a)+g(a)等于0,而非f(-a)+f(a)等于0.【新題快遞】1.(2013·南京模擬)已知函數(shù)f(x)=a=f(ln2014),b=f(),則a+b=

.【解析】由已知f(x)=令g(x)=則g(x)為奇函數(shù),且f(x)=g(x)+1，a=f(ln2014)=g(ln2014)+1,b=f(ln)=g(-ln2014)+1,則a+b=g(ln2014)-g(ln2014)+2=2.答案：22.(2013·寧波模擬)已知函數(shù)f(x)=ln(x+)，g(x)=f(x)+2015，下列命題:①f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞);②f(x)是奇函數(shù);③f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增;④若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)+f(b-1)=0，則a+b=1;⑤設(shè)函數(shù)g(x)在［-2015,2015］的最大值為M,最小值為m，則M+m=2015.其中真命題的序號(hào)是

.(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))【解析】因?yàn)椋緓,所以①正確.對(duì)于②,f(-x)=ln(-x+)=ln()=-ln(x+)=-f(x)，所以②正確.對(duì)于③,令h(x)=x+,則h(x)為增函數(shù),又y=lnx為增函數(shù),所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,所以③正確.對(duì)于④，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(x)+f(-x)=0,所以a=1-b,所以a+b=1，所以④正確.對(duì)于⑤,f(x)=g(x)-2015為奇函數(shù),f(x)max=M-2015,f(x)min=m-2015，所以(M-2015)+(m-2015)=0,所以M+m=4030，所以⑤錯(cuò)誤.答案：①②③④

1.(2013·溫州模擬)已知a∈R,則a=0是函數(shù)y=x2