第06講 拓展一：數(shù)列求通項（原卷版）

第06講拓展一：數(shù)列求通項一、知識點歸納知識點一：數(shù)列求通項（法、法）1對于數(shù)列，前項和記為；①；②②：法歸類角度1：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系用，得到例子：已知，求角度2：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系替換題目中的例子：已知；已知角度3：已知等式中左側(cè)含有：作差法（類似）例子：已知求2對于數(shù)列，前項積記為；①；②①②：法歸類角度1：已知和的關(guān)系角度1：用，得到例子：的前項之積.角度2：已知和的關(guān)系角度1：用替換題目中例子：已知數(shù)列的前n項積為，且.知識點二：累加法（疊加法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變差數(shù)列”，求變差數(shù)列的通項時，利用恒等式求通項公式的方法稱為累加法。具體步驟：將上述個式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：=整理得：=知識點三：累乘法（疊乘法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列的通項時，利用求通項公式的方法稱為累乘法。具體步驟：將上述個式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：整理得：知識點四：構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項，從而求出數(shù)列的通項公式.標(biāo)準(zhǔn)模型：（為常數(shù)，）或（為常數(shù)，）類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列（1）形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，從而構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，先求出的通項，便可求得的通項公式.（2）形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，換元令：，則原式化為：，先利用構(gòu)造法類型1求出，再求出的通項公式.（3）形如的數(shù)列，可通過兩邊同除以，變形為的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項，便可求得的通項公式.知識點五：倒數(shù)法用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類型1：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項，即可求得.類型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，可通過換元：，化簡為：（此類型符構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項，從而求出數(shù)列的通項公式.）知識點六：隔項等差數(shù)列已知數(shù)列，滿足，則；（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項等差數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項的等差數(shù)列，公差為；②構(gòu)成以為首項的等差數(shù)列，公差為；知識點七：隔項等比數(shù)列已知數(shù)列，滿足，則；（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項等比數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項的等比數(shù)列，公比為；②構(gòu)成以為首項的等比數(shù)列，公比為；二、題型精講題型01法（用，得到）1．（多選）（2023秋·吉林長春·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，，，，則（

）A．是等比數(shù)列 B．C． D．2．（2023秋·上海普陀·高二上海市晉元高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，的通項公式為.3．（2023秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，．若是等差數(shù)列，則的通項公式為．4．（2023秋·甘肅慶陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項和.5．（2023秋·福建廈門·高三廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知各項為正的數(shù)列的前n項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，，，，，…，依此類推，求的通項公式.6．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃┮阎棓?shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)將數(shù)列和數(shù)列中所有的項，按照從小到大的順序排列得到一個新數(shù)列，求的前100項和.題型02法（將題意中的用替換）1．（多選）（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的前n項和為B．?dāng)?shù)列的通項公式為C．?dāng)?shù)列不是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，，則．3．（2023秋·貴州黔東南·高三天柱民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正項數(shù)列的前項和為，且.(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.4．（2023春·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列，，其前n項的和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：．5．（2023春·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？计谥校┰O(shè)正項數(shù)列的前n項和為，且，當(dāng)時，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項公式．6．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列的前n項和為，.(1)若，證明：數(shù)列為等差數(shù)列.(2)若，，求的最小值.題型03法（已知等式中左側(cè)含有：）1．（多選）（2023秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則（

）A．B．的前項和為C．的前100項和為D．的前20項和為2842．（2023秋·天津津南·高二?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，記數(shù)列的前項和為，則（

）A． B．C． D．3．（2023秋·湖北·高三黃石二中校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列滿足，，且.(1)求數(shù)列的通項公式；4．（2023春·湖北恩施·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項之積為，且．(1)求數(shù)列和的通項公式；5．（2023秋·四川眉山·高三?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列的前項和為，，．(1)求數(shù)列的通項公式；6．（2023春·河南南陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)求的值；題型04累加法1．（2023秋·江蘇無錫·高二江蘇省南菁高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的通項公式為（

）A． B． C． D．2．（2023春·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，則取最小值時，（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（2023秋·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項公式為．5．（2023秋·重慶九龍坡·高三重慶實驗外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列{}中，，且.其中，(1)求數(shù)列{}的通項公式；6．（2023秋·高二課時練習(xí)）在數(shù)列中，，且，求數(shù)列的通項公式．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若在數(shù)列中，，，求通項．題型05累乘法1．（2023秋·福建漳州·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，若，，則的通項公式為．3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中，（n∈N*），且，則數(shù)列的通項公式.4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若數(shù)列的首項，且，則數(shù)列的通項公式為.5．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）已知：，（）求數(shù)列的通項.6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，求數(shù)列的通項公式.題型06構(gòu)造法1．（2023春·河南許昌·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的通項公式（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，則等于（

）A． B．C． D．3．（2023秋·陜西商洛·高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則滿足的最小正整數(shù)．4．（2023春·江西南昌·高二南昌二中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列中，，，則此數(shù)列的通項公式.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式．6．（2023秋·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，則．題型07倒數(shù)法1．（多選）（2023春·湖南岳陽·高二?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的有（）A．為等比數(shù)列B．的通項公式為C．為遞增數(shù)列D．的前n項和2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式為