遼寧沈陽(yáng)皇姑區(qū)2023年數(shù)學(xué)九年級(jí)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

遼寧沈陽(yáng)皇姑區(qū)2023年數(shù)學(xué)九年級(jí)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．一次擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)兩枚硬幣都正面朝上的概率是（）A． B． C． D．2．不透明袋子中裝有紅、綠小球各一個(gè)，除顏色外無(wú)其他差別，隨機(jī)摸出一個(gè)小球后，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)，兩次都摸到顏色相同的球的概率為()A． B． C． D．3．如圖，已知的周長(zhǎng)等于，則它的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的面積是（）A． B． C． D．4．如圖，D是等邊△ABC外接圓上的點(diǎn)，且∠CAD=20°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．45°5．（11·大連）某農(nóng)科院對(duì)甲、乙兩種甜玉米各用10塊相同條件的試驗(yàn)田進(jìn)行試驗(yàn)，得到兩個(gè)品種每公頃產(chǎn)量的兩組數(shù)據(jù)，其方差分別為s甲2＝0.002、s乙2＝0.03，則()A．甲比乙的產(chǎn)量穩(wěn)定 B．乙比甲的產(chǎn)量穩(wěn)定C．甲、乙的產(chǎn)量一樣穩(wěn)定 D．無(wú)法確定哪一品種的產(chǎn)量更穩(wěn)定6．如圖，在正方形ABCD中，AB＝5，點(diǎn)M在CD的邊上，且DM＝2，△AEM與△ADM關(guān)于AM所在的直線對(duì)稱(chēng)，將△ADM按順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，連接EF，則線段EF的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．7．下列成語(yǔ)描述的事件為隨機(jī)事件的是（）A．水漲船高B．守株待兔C．水中撈月D．緣木求魚(yú)8．如圖，已知是的外接圓，是的直徑，是的弦，，則等于()A． B． C． D．9．如圖，⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝3：5，則AB的長(zhǎng)為（）A．cm B．8cm C．6cm D．4cm10．如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，則∠OAC的大小是（）A．25° B．50° C．65° D．75°11．如圖，在中，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)為（）A．1 B． C．2 D．12．如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠A＝50°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．80° D．100°二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，中，，，將斜邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，則的面積為_(kāi)______．14．把所有正整數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：(1)、(2，3)、(4，5，6)、(7，8，9，10)、……，若An=(a，b)表示正整數(shù)n為第a組第b個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))，如A7=(4，1)，則A20=______________．15．如圖，的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)，則______．16．如圖，在的矩形方框內(nèi)有一個(gè)不規(guī)則的區(qū)城（圖中陰影部分所示），小明同學(xué)用隨機(jī)的辦法求區(qū)域的面積．若每次在矩形內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生10000個(gè)點(diǎn)，并記錄落在區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)，計(jì)算出落在區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的平均值為6700個(gè)，則區(qū)域的面積約為_(kāi)__________．17．如圖，在菱形中，邊長(zhǎng)為10，．順次連結(jié)菱形各邊中點(diǎn)，可得四邊形；順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)，可得四邊形；順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)，可得四邊形；按此規(guī)律繼續(xù)下去…．則四邊形的周長(zhǎng)是_________．18．有一個(gè)正十二面體，12個(gè)面上分別寫(xiě)有1~12這12個(gè)整數(shù)，投擲這個(gè)正十二面體一次，向上一面的數(shù)字是3的倍數(shù)或4的倍數(shù)的概率是．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，△ABC中，AB=8，AC=6.（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法在AB上找點(diǎn)D，使得△ACD∽△ABC（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）在（1）的條件下，求AD的長(zhǎng)20．（8分）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，直線與雙曲線相交于A（－1，a）、B兩點(diǎn)，BC⊥x軸，垂足為C，△AOC的面積是1．（1）求m、n的值；（2）求直線AC的解析式．21．（8分）如圖，在△ABC中，∠CAB＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)，,E為線段AD的中點(diǎn)，連結(jié)CE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F.(1)求證：AD⊥BC.(2)若AF:BF＝1:3，求證:CD:DB＝1:2.22．（10分）定義：如圖1，在中，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）并延長(zhǎng)一倍得到，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并延長(zhǎng)一倍得到，連接．當(dāng)時(shí)，稱(chēng)是的“倍旋三角形”，邊上的中線叫做的“倍旋中線”．特例感知：（1）如圖1，當(dāng)，時(shí)，則“倍旋中線”長(zhǎng)為_(kāi)_____；如圖2，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，“倍旋中線”與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；猜想論證：（2）在圖3中，當(dāng)為任意三角形時(shí)，猜想“倍旋中線”與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．23．（10分）如圖1，將邊長(zhǎng)為的正方形如圖放置在直角坐標(biāo)系中．（1）如圖2，若將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖3，若將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．24．（10分）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，AB＝10，∠ABC＝60°，求AC和BD的長(zhǎng)．25．（12分）如圖，在中，，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合），滿足，且點(diǎn)D、F分別在邊AB、AC上．（1）求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：FE平分．26．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB邊上一點(diǎn)，D是AC邊上一點(diǎn)，且點(diǎn)D不與A、C重合，ED⊥AC．（1）當(dāng)sinB=時(shí)，①求證：BE＝2CD．②當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)（45°＜∠CAD＜90°）．BE＝2CD是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立．請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）當(dāng)sinB=時(shí)，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，求線段CD的長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【解析】試題分析：先利用列表法與樹(shù)狀圖法表示所有等可能的結(jié)果n，然后找出某事件出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)m，最后計(jì)算概率．同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，共有正正、反反、正反、反正四種等可能的結(jié)果，兩枚硬幣都是正面朝上的占一種，所以兩枚硬幣都是正面朝上的概率=1÷4=．考點(diǎn)：概率的計(jì)算．2、C【分析】用列表法或樹(shù)狀圖法可以列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，然后看符合條件的占總數(shù)的幾分之幾即可【詳解】解：兩次摸球的所有的可能性樹(shù)狀圖如下：

共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次都摸到顏色相同的球結(jié)果共有2種，

∴兩次都摸到顏色相同的球的概率為.

故選C．【點(diǎn)睛】本題考查用樹(shù)狀圖或列表法求等可能事件發(fā)生的概率，關(guān)鍵是列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，然后用分?jǐn)?shù)表示，同時(shí)注意“放回”與“不放回”的區(qū)別．3、C【分析】過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OA，OB，由⊙O的周長(zhǎng)等于6πcm，可得⊙O的半徑，又由圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì)可得∠AOB=60°，即可證明△AOB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求出OH的長(zhǎng)，根據(jù)S正六邊形ABCDEF=6S△OAB即可得出答案．【詳解】過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OA，OB，設(shè)⊙O的半徑為r，∵⊙O的周長(zhǎng)等于6πcm，∴2πr=6π，解得：r=3，∴⊙O的半徑為3cm，即OA=3cm，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB=×360°=60°，OA=OB，∴△OAB是等邊三角形，∴AB=OA=3cm，∵OH⊥AB，∴AH=AB，∴AB=OA=3cm，∴AH=cm，OH==cm，∴S正六邊形ABCDEF=6S△OAB=6××3×=（cm2）．故選C.【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形與圓的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4、C【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠D=180°-∠B=120°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】∴∠B=60°，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠D=180°?∠B=120°，∴∠ACD=180°?∠DAC?∠D=40°，故選C.5、A【解析】方差是刻畫(huà)波動(dòng)大小的一個(gè)重要的數(shù)字.與平均數(shù)一樣，仍采用樣本的波動(dòng)大小去估計(jì)總體的波動(dòng)大小的方法，方差越小則波動(dòng)越小，穩(wěn)定性也越好.【詳解】因?yàn)閟＝0.002<s＝0.03，所以，甲比乙的產(chǎn)量穩(wěn)定.故選A【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：方差.解題關(guān)鍵點(diǎn)：理解方差意義.6、A【分析】連接BM．先判定△FAE≌△MAB（SAS），即可得到EF＝BM．再根據(jù)BC＝CD＝AB＝1，CM＝2，利用勾股定理即可得到，Rt△BCM中，BM＝，進(jìn)而得出EF的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接BM．∵△AEM與△ADM關(guān)于AM所在的直線對(duì)稱(chēng)，∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．∵△ADM按照順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD．∴∠FAB＝∠MAE∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．∴∠FAE＝∠MAB．∴△FAE≌△MAB（SAS）．∴EF＝BM．∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝1．∵DM＝2，∴CM＝2．∴在Rt△BCM中，BM＝，∴EF＝，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、三角形的判定和性質(zhì),關(guān)鍵在于做好輔助線,熟記性質(zhì).7、B【解析】試題解析：水漲船高是必然事件，A不正確；守株待兔是隨機(jī)事件，B正確；水中撈月是不可能事件，C不正確緣木求魚(yú)是不可能事件，D不正確；故選B．考點(diǎn)：隨機(jī)事件.8、C【分析】由直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得∠ADB=90°，可計(jì)算出∠BAD，再由同弧所對(duì)的圓周角相等得∠BCD=∠BAD.【詳解】∵是的直徑∴∠ADB=90°∴∠BAD=90°-∠ABD=32°∴∠BCD=∠BAD=32°.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，熟練運(yùn)用該定理將角度進(jìn)行轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵.9、B【分析】由于⊙O的直徑CD＝10cm，則⊙O的半徑為5cm，又已知OM：OC＝3：5，則可以求出OM＝3，OC＝5，連接OA，根據(jù)勾股定理和垂徑定理可求得AB．【詳解】解：如圖所示，連接OA．⊙O的直徑CD＝10cm，則⊙O的半徑為5cm，即OA＝OC＝5，又∵OM：OC＝3：5，所以O(shè)M＝3，∵AB⊥CD，垂足為M，OC過(guò)圓心∴AM＝BM，在Rt△AOM中，，∴AB＝2AM＝2×4＝1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長(zhǎng)的一半為三邊的直角三角形，是解題的關(guān)鍵.10、C【分析】根據(jù)圓周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】解：∵根據(jù)圓周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC+∠AOC＝75°，∴∠AOC＝×75°＝50°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出∠AOC是解此題的關(guān)鍵．11、C【解析】根據(jù)∠DBC=∠A，∠C=∠C，判定△BCD∽△ACB，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等得到代入求值即可.【詳解】∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB，∴∴∴CD=2.故選:C.【點(diǎn)睛】主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.12、D【分析】由題意直接根據(jù)圓周角定理求解即可．【詳解】解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理的運(yùn)用，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、8【分析】過(guò)點(diǎn)B'作B'E⊥AC于點(diǎn)E，由題意可證△ABC≌△B'AE，可得AC=B'E=4，即可求△AB'C的面積．【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)B'作B'E⊥AC于點(diǎn)E∵旋轉(zhuǎn)∴AB=AB'，∠BAB'=90°∴∠BAC+∠B'AC=90°，且∠B'AC+∠AB'E=90°∴∠BAC=∠AB'E，且∠AEB'=∠ACB=90°，AB=AB'∴△ABC≌△B'AE（AAS）∴AC=B'E=4∴S△AB'C=故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．14、(6，5)【分析】通過(guò)新數(shù)組確定正整數(shù)n的位置，An=(a，b)表示正整數(shù)n為第a組第b個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))，所有正整數(shù)從小到大排列第n個(gè)正整數(shù)，第一組（1），1個(gè)正整數(shù)，第二組（2,3）2個(gè)正整數(shù)，第三組（4,5,6）三個(gè)正整數(shù)，…，這樣1+2+3+4+…+a>n，而1+2+3+4+…+(a-1)<n，能確第a組a個(gè)數(shù)從哪一個(gè)是開(kāi)起，直到第b個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))表示正整數(shù)nA7表示正整數(shù)7按規(guī)律排1+2+3+4=10>7，1+2+3=6<7，說(shuō)明7在第4組，第四組應(yīng)有4個(gè)數(shù)為（7,8,9,10）而7是這組的第一個(gè)數(shù)，為此P7=（4,1），理解規(guī)律A20，先求第幾組排進(jìn)20，1+2+3+4+5+6=21>20，由1+2+3+4+5=15，第六組從16開(kāi)始，按順序找即可．【詳解】A20是指正整數(shù)20的排序，按規(guī)律1+2+3+4+5+6=21>20，說(shuō)明20在第六組，而1+2+3+4+5=15<20，第六組從16開(kāi)始，取6個(gè)數(shù)即第六組數(shù)（16，17，18，19，20，21），從左數(shù)第5個(gè)數(shù)是20，故A20=（6，5）．故答案為：（6，5）．【點(diǎn)睛】本題考查按規(guī)律取數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵是讀懂An=（a，b）的含義，會(huì)用新數(shù)組來(lái)確定正整數(shù)n的位置．15、【解析】分析：由已知條件易得△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，結(jié)合∠ADC=∠ABC，即可由tan∠ADC=tan∠ABC=求得所求的值了.詳解：∵AB是的直徑，∴∠ACB=90°，又∵AC=3，AB=5，∴BC=，∴tan∠ABC=，又∵∠ADC=∠ABC，∴tan∠ADC=.故答案為：.點(diǎn)睛：熟記“圓的相關(guān)性質(zhì)和正切函數(shù)的定義”解得本題的關(guān)鍵.16、8.04【分析】先利用古典概型的概率公式求概率，再求區(qū)域A的面積的估計(jì)值．【詳解】解：由題意，∵在矩形內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生10000個(gè)點(diǎn)，落在區(qū)域A內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)平均值為6700個(gè)，∴概率P=，∵4×3的矩形面積為12，∴區(qū)域A的面積的估計(jì)值為：0.67×12=8.04；故答案為：8.04；【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．17、【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理求出四邊形各邊長(zhǎng)，得出規(guī)律求出即可．【詳解】∵菱形ABCD中，邊長(zhǎng)為10，∠A=60°，設(shè)菱形對(duì)角線交于點(diǎn)O，∴，∴，，∴，，順次連結(jié)菱形ABCD各邊中點(diǎn)，

∴△AA1D1是等邊三角形，四邊形A2B2C2D2是菱形，

∴A1D1=AA1=AB=5，C1D1=AC=5，A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=AB=5，∴四邊形A2B2C2D2的周長(zhǎng)是：5×4=20，

同理可得出：A3D3=5×，C3D3=C1D1=5，A5D5=5，C5D5=C3D3=5，∴四邊形A2019B2019C2019D2019的周長(zhǎng)是：故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出邊長(zhǎng)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．18、【詳解】解：這個(gè)正十二面體，12個(gè)面上分別寫(xiě)有1～12這12個(gè)整數(shù)，其中是3的倍數(shù)或4的倍數(shù)的3，6，9，12，4，8，共6種情況，故向上一面的數(shù)字是3的倍數(shù)或4的倍數(shù)的概率是6/12=故答案為：．三、解答題（共78分）19、（1）見(jiàn)圖（2）AD=.【解析】（1）圖形見(jiàn)詳解,（2）根據(jù)相似列比例式即可求解.【詳解】解：（1）見(jiàn)下圖（2）∵△ACD∽△ABC,∴AC:AB=AD:AC,∵AB=8，AC=6,∴AD=.【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖和相似三角形的性質(zhì)，中等難度,熟悉尺規(guī)作圖步驟和相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.20、（1）m＝－1，n＝－1；（2）y＝－x＋【分析】（1）由直線與雙曲線相交于A(－1，a)、B兩點(diǎn)可得B點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，0)，再根據(jù)△AOC的面積為1可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而求得結(jié)果；（2）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b，由圖象過(guò)點(diǎn)A（－1，1）、C（1，0）根據(jù)待定系數(shù)法即可求的結(jié)果.【詳解】（1）∵直線與雙曲線相交于A(－1，a)、B兩點(diǎn)，∴B點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，即C(1，0)∵△AOC的面積為1，∴A(－1，1)將A(－1，1)代入，可得m＝－1，n＝－1；（2）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b∵y＝kx＋b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（－1，1）、C（1，0）∴解得k＝－，b＝．∴直線AC的解析式為y＝－x＋．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，在中考中極為常見(jiàn)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵.21、(1)見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【分析】（1）由等積式轉(zhuǎn)化為比例式，再由相似三角形的判定定理，證明△ABD∽CBA,從而得出∠ADB=∠CAB=90°；（2）過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交CF于點(diǎn)G,由E為AD的中點(diǎn)，可得△DGE≌△AFE，得出AF=DG，再由平行線分線段成比例可得出結(jié)果.【詳解】證明：（1）∵AB2=BD·BC，∴又∠B=∠B,∴△ABD∽CBA，∴∠ADB=∠CAB=90°，∴AD⊥BC.（2）過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交CF于點(diǎn)G,∵E為AD的中點(diǎn)，∴易得△DGE≌△AFE，∴AF=DG，又AF:BF＝1:3,∴DG:BF＝1:3.∵DG∥BF，∴DG：BF=CD:BC=1：3，∴CD:DB＝1:2.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，遇到比例式或等積式就要考慮轉(zhuǎn)化為三角形相似來(lái)解決問(wèn)題.22、（1）①4，②；（2），證明見(jiàn)解析．【分析】（1）如圖1，首先證明，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解決問(wèn)題；如圖2，過(guò)點(diǎn)A作，易證，根據(jù)易得結(jié)論．（2）延長(zhǎng)到，使得，連接，易證四邊形是平行四邊形，再證明得，故可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，∵，∴∵，∴∴∵BC=4，∴，∵D是的中點(diǎn)，∴AD=;如圖2，∵，，∴根據(jù)“倍旋中線”知等腰三角形，過(guò)A作，垂足為∴，，∵D是等邊三角形的邊的中點(diǎn)，且∴∴∴（2）結(jié)論：理由：如圖，延長(zhǎng)到，使得，連接，∵，∴四邊形是平行四邊形∴，∵∴∵∴∴∴【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題．23、（1）A；（2）B【分析】（1）作軸于點(diǎn)，則，,求得AD=1，根據(jù)勾股定理求得OD=，即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）連接BO，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為75°，可得∠BOE＝30°，根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)Rt△BOD中，，，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）如圖1,作軸于點(diǎn)，則，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．圖1（2）如圖2，連接，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，在中，在中，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．圖2【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換以及正方形的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，解題時(shí)注意：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角．24、AC=10,BD=10【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得Rt△ABO中，∠ABO=∠ABD＝∠ABC＝30°，則可得AO和BO的長(zhǎng)，根據(jù)AC=2AO，BD=2BO可得AC和BD的長(zhǎng)；【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，在Rt△ABO中，AB＝10，∠ABO=∠ABD＝30°，∴AO＝AB=5，BO＝AB=5，∴AC＝2AO＝10，BD＝2BO＝10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，掌握菱形的性質(zhì)，解直角三角形是解題的關(guān)鍵.25、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C，再由∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，，即可判定，根據(jù)相似三角形的判定方法即可得△BDE∽△CEF；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，再由點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可得BE=CE，即可得，又因，即可判定△CEF∽△EDF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即可證得即FE平分∠DFC．【詳解】解：（1）因?yàn)锳B=AC,所以∠B=∠C，因?yàn)椤螪EF+∠CEF=∠B+∠BDE，所以,所以△BDE∽△CEF；（2）因?yàn)椤鰾DE∽△CEF，所以,因?yàn)辄c(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，所以BE=CE,即,所以，又,故△CEF∽△EDF,所以,即FE平分∠DFC．26、（1）①證明見(jiàn)解析；②BE＝2CD成立.理由見(jiàn)解析；（2）2或4．【分析】（1）①作EH⊥BC于點(diǎn)H，由sinB=可得∠B=30°，∠A=60°，根據(jù)ED⊥AC可證明四邊形CDEH是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得EH=CD，根據(jù)正弦的定義即可得BE＝2CD；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性