物理學(xué)的數(shù)學(xué)美原理-讀《狄拉克的一生》

物理學(xué)的數(shù)學(xué)美原理——讀《狄拉克的一生》

物理學(xué)的數(shù)學(xué)美原理——讀《狄拉克的一生》

莫斯科大學(xué)有一個傳統(tǒng)，即要求來訪的著名物理學(xué)家在黑板上題詞，并永久地將它保存下來。狄拉克（P.A.M.Dirac）1956年訪問那里時在黑板上寫道：“物理學(xué)定律必須具有數(shù)學(xué)美（Aphysicallawmustpossessmathematicalbeauty）?！边@個題詞概括了20世紀30年代中期以來占據(jù)了狄拉克思想的科學(xué)哲學(xué)。在現(xiàn)代物理學(xué)家中沒有人像狄拉克那樣全神貫注于美的概念。在他的著作中，我們一次又一次發(fā)現(xiàn)諸如美、美麗的、漂亮的，或者丑陋的、丑陋等字眼。他首次使用這類字眼是在1936年，且是以異乎尋常的方式。他那時正把丑陋而又復(fù)雜的相對論量子理論與普通的、美麗的非相對論量子理論進行對照。他的數(shù)學(xué)美的哲學(xué)毫無疑問是從量子電動力學(xué)的困難中得到了啟發(fā)，而量子電動力學(xué)始終是他經(jīng)常提到的、一個丑陋的物理理論的例子。自1936年首次提到美以后，狄拉克又不斷發(fā)展這一思想。他在1939年作了斯科特演講，題為“數(shù)學(xué)和物理學(xué)的關(guān)系”。在演講中他詳細闡述了在物理學(xué)中數(shù)學(xué)美的概念。他那時37歲，那個演講標(biāo)志著這位偉大物理學(xué)家對物理學(xué)的沉思，以及對數(shù)學(xué)美的密切關(guān)注。他從一般意義上比較了科學(xué)中的經(jīng)驗歸納方法和數(shù)學(xué)推理方法，認為在物理學(xué)中后者更為重要，因為它“能夠使人們推導(dǎo)出尚未做過的實驗的結(jié)果?！盵Dirac1939,p.122]然而，為什么數(shù)學(xué)推理方法能夠取得如此顯著的成功呢？他回答道：“這必須歸因于自然界中的某種數(shù)學(xué)性質(zhì)，這是觀察自然界因果關(guān)系的人不會懷疑的一種性質(zhì)，然而它在自然界的圖式中起著重要的作用?！蔽锢韺W(xué)中的“數(shù)學(xué)性質(zhì)”常被看作是同簡單性原理一致的。根據(jù)簡單性原理，自然界的基本規(guī)律是簡單的。最小作用原理或許可看作簡單性原理的一個成熟的和定量的形式，和簡單性原理一起享有美學(xué)地位。簡單性與最小作用原理充當(dāng)?shù)牟粌H是有用的探索向?qū)?，而且是整個理論物理學(xué)大廈都服從的目標(biāo)。最小作用原理普遍性的信仰者普朗克1915年寫道：最小作用原理“在物理學(xué)定律中享有最崇高的地位……[而且]似乎統(tǒng)治著自然界中所有可逆的過程?！逼绽士苏J為簡單性原理屬于人類心理學(xué)的范疇，而不是自然界的一個客觀特征。這在過去和現(xiàn)在都是一個相當(dāng)廣泛的信念。就在狄拉克發(fā)表斯科特演講的同一年，玻恩就未來統(tǒng)一理論的前景發(fā)表了如下評論：我們可以相信，它[普遍的公式]將具有一個極值原理的形式，這不是因為自然界有這么一個愿望或者目的或者為了節(jié)約，而是因為我們思想的機制除了把規(guī)律的一個復(fù)雜的結(jié)構(gòu)濃縮成一個簡短的表示以外，再沒有其他辦法。然而，其他科學(xué)家以更客觀的方式相信像簡單性這樣的美學(xué)原理。根據(jù)他們的看法，自然界有趨向簡單性的固有傾向，且該原理實際上的成功可簡單地歸因于這樣一個事實：自然的規(guī)律是簡單的。當(dāng)然，這兩層含義常常被混淆在一起，因為對自然界的數(shù)學(xué)描述常常被認為是自然界實際構(gòu)造的反映。這種方法論與本體論之間的協(xié)調(diào)，曾被牛頓在他著名的哲學(xué)第一推理法則中表述過：“除去那些既真實又足以說明自然事物的原因之外，我們不再引進更多的原因?！迸ｎD解釋道：“自然不做徒勞之事，解釋多了白費口舌，言簡意賅才見真諦；因為自然喜歡簡單性，不會響應(yīng)多余原因的奢談?！钡依藬?shù)學(xué)美的觀點與牛頓的觀點是一致的，與玻恩的則不一樣。他堅信自然界存在著客觀規(guī)律，且因為這些規(guī)律表示了自然的數(shù)學(xué)性質(zhì)，因而可以通過純粹數(shù)學(xué)方法來認知它們。這種狀況可以描述為:在數(shù)學(xué)家的游戲中，數(shù)學(xué)家自己發(fā)明規(guī)則，而在物理學(xué)家的游戲中,規(guī)則卻是自然界提供的。但隨著時間的流逝，這種情況就變得更明顯了：數(shù)學(xué)家感到有趣的規(guī)則正好就是自然界所選擇的規(guī)則。然而，根據(jù)狄拉克的看法，數(shù)學(xué)和物理學(xué)的關(guān)系遠遠比簡單性原理所提供的認識要深刻得多。他主張，盡管這個原理對于研究來說是一個有價值的工具，但現(xiàn)代科學(xué)已經(jīng)證明它不能用于普遍的自然現(xiàn)象。他以引力定律作為一個例證。牛頓的理論比愛因斯坦的引力理論簡單多了。然而，愛因斯坦的理論更好，更深刻，而且是一個更普遍的理論。數(shù)學(xué)美，而非簡單性，是相對論的特征，是數(shù)學(xué)和物理學(xué)的關(guān)系中的核心概念。他牢記這個教訓(xùn)在心，并給理論物理學(xué)家以如下建議：研究工作者在他致力于用數(shù)學(xué)形式表示自然界時，應(yīng)該主要追求數(shù)學(xué)美。他還應(yīng)該把簡單性附屬于美而加以考慮……通常的情況是，簡單性的要求和美的要求是相同的，但在它們發(fā)生沖突的地方，后者更為重要。對于狄拉克來說，數(shù)學(xué)美這個原理部分是方法論的原則，部分是對自然性質(zhì)的一個假設(shè)。它受到了相對論，特別是廣義相對論的鼓舞，還受到了量子力學(xué)發(fā)展的鼓舞。他認為，經(jīng)典力學(xué)具有許多“優(yōu)美的特征”，過渡到量子力學(xué)時，它們則“以更美的形式在那里重新出現(xiàn)。在1939年的斯科特演講詞中以及后來許多的出版物中，狄拉克聲稱，現(xiàn)代物理學(xué)的發(fā)展，只要給予正確的解釋，就能表明，數(shù)學(xué)家感到真正有意思的規(guī)則和自然界所選擇的規(guī)則之間存在著完美的結(jié)合。這為物理學(xué)家提供了一種“有力的新研究方法”，即：……先選擇那種人們認為將會構(gòu)成新理論基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)分支。在作這一選擇時，對數(shù)學(xué)美的考慮必定將給人們以很大的影響?！x定了數(shù)學(xué)分支之后，就應(yīng)該沿著適當(dāng)?shù)穆肪€發(fā)展它，同時去尋找一種方式，使它能夠自然地顯示出物理意義。無論是在斯科特演講詞中，還是在隨后的著作中，狄拉克從不試圖給數(shù)學(xué)美的概念下一個滿意的定義，他寫道：“正如藝術(shù)中的美不能定義一樣，數(shù)學(xué)美也是一種不能定義的性質(zhì)，但研究數(shù)學(xué)的人欣賞到它通常不會有絲毫困難?！边@種高明的觀點有點類似于彭加勒先前提出的觀點。彭加勒也是數(shù)學(xué)美的一位堅定的擁護者，他認為科學(xué)家研究自然界的原始動力來自于自然本身就是美的。他聲稱，對自然界的科學(xué)研究是一件愉悅智力的工作，自然界有“內(nèi)在的美，這種美來自于自然界各部分的和諧秩序，只有純粹的理性才能夠領(lǐng)會它?！彼f，這種美的思想火花“能夠吸引所有特別敏感的數(shù)學(xué)家，但是外行們對它是無法理解的，他們常常只是對它一笑了之?！痹谂砑永盏挠^點里，科學(xué)美與藝術(shù)上感覺到的美是大不相同的，它具有智力上的特質(zhì)，而非情感上的特質(zhì)。狄拉克的美的概念也許更寬泛些，它包含通常與生活中非智力方面相聯(lián)系的情感因素，對于他來說，美的情感體驗是生活中非智力方面的重要內(nèi)容。在1979年的一次訪談中他說：“自然界提供的方程之美……給人以一種強烈的情感沖動?！彼?972年的一次講話中坦言道，他對數(shù)學(xué)美的信仰很像是一種宗教信仰。狄拉克的科學(xué)美學(xué)觀包含一般性、普遍性、完備性這些概念。例如，比起伽利略群來，洛倫茲群被認為更有意思，也更美，因為它更一般，伽利略群只不過是它的一個特例。盡管非相對論量子力學(xué)缺乏一般性和普遍性，但因為它是完備的，所以狄拉克也把它看作是一個美的理論。1949年他說，量子力學(xué)的統(tǒng)計基礎(chǔ)是“一個丑陋的特征”；從美學(xué)角度來考慮，經(jīng)典理論的精確的決定論更合意。但是，他又說，“在量子力學(xué)中有一些非常美麗的特征，它們體現(xiàn)在形式化的數(shù)學(xué)框架中，我認為它們足以彌補這種丑陋，因而凈效果是，這個框架作為一個整體并不比經(jīng)典理論更丑?！睌?shù)學(xué)上的嚴密和公理化的結(jié)構(gòu)，常常被純粹數(shù)學(xué)家作為一個理論應(yīng)有的美的特征而被強調(diào)，但它們也不包括在狄拉克的美學(xué)概念中。盡管他強調(diào)純數(shù)學(xué)的威力，但并不認為精確方程和嚴格證明應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)物理學(xué)家首要關(guān)注的問題。他憑借經(jīng)驗知道，事先強調(diào)數(shù)學(xué)的嚴密性也許會妨礙物理思想的發(fā)展。他有過憑借直覺的、明顯缺乏合理基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)工具而取得成功的經(jīng)歷，因而領(lǐng)會到?jīng)]有什么必要去玩純數(shù)學(xué)的形式游戲。他在1964年表明了這種態(tài)度：“我認為，未來的正確路線在于不要力求數(shù)學(xué)的嚴密，而是要在實際例子中去獲取方法?！背恕懊赖摹弊盅壑猓硗鈨蓚€美學(xué)代碼也常出現(xiàn)在狄拉克的著述中，它們是“方便的”和“復(fù)雜的”。他常把美的數(shù)學(xué)與復(fù)雜的數(shù)學(xué)進行對比；如果一個物理理論，例如海森伯–泡利的量子電動力學(xué)，只能用一種非常復(fù)雜的數(shù)學(xué)方案來表示，那么就有足夠的理由不信任它。根據(jù)他的觀點，一個基礎(chǔ)理論應(yīng)當(dāng)用簡單而又直接的方式加以表述，為了達到這個目的，方便的變換和方便的符號是關(guān)鍵。如果這種方便的數(shù)學(xué)工具的引入與數(shù)學(xué)嚴密性的要求發(fā)生了沖突，他會毫不猶豫地放棄數(shù)學(xué)的嚴密性?，敻г?933年的一個評論中，把狄拉克對數(shù)學(xué)的使用方法與馮·諾伊曼的方法進行了對照：狄拉克總是以令人欽佩的簡單性作推理，讓他每一步的推理都受物理直覺的引導(dǎo)，而且有時拒絕數(shù)學(xué)嚴密性。馮·諾伊曼在處理問題時，總是以最佳的現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具裝備起來，分析問題要達到最嚴格的邏輯完備性才滿意。就在同一年里，美國數(shù)學(xué)家伯克霍夫?qū)懶艑喜紶栒f，他不贊成狄拉克對數(shù)學(xué)的使用方法。伯克霍夫曾在劍橋大學(xué)聆聽過狄拉克講授量子力學(xué)課程。他對狄拉克的數(shù)學(xué)方法的評論，為數(shù)學(xué)物理學(xué)家和對物理學(xué)感興趣的數(shù)學(xué)家之間的觀點分歧，提供了一個有趣的看法：出乎我意料的是我發(fā)現(xiàn)，狄拉克表述物理系統(tǒng)的方法只是為了形式上的方便，它不具體表達那些人們尚不完全熟悉的數(shù)學(xué)原理?！依嗽试S自己享有很多數(shù)學(xué)上的自由?！艺J為狄拉克建設(shè)性的成就可追溯到他對對稱性原理的天才的觀察。他已經(jīng)明白，在一方面，對稱性導(dǎo)致相等并且相反部分的抵消，從而允許我們大大簡化關(guān)系，在另外一方面，對稱性導(dǎo)致從一類事物推論到另一類事物的可能性?！欢?，盡管這種方法已經(jīng)導(dǎo)致并且還會導(dǎo)致大量非常有啟發(fā)性的結(jié)果，我并不認為它能為建立一個新力學(xué)提供一個牢固的理論基礎(chǔ)。我認為狄拉克的重大貢獻可歸因于對定性的原理有很優(yōu)秀的鑒賞力，例如對稱性、能量和動量的守恒、相對論不變性（例如，在洛倫茲變換下的對稱性）、物理量的量級等等。他給我留下深刻印象的是，他對定量原理、邏輯上的一致性和完備性，以及對一個核心理論作系統(tǒng)的闡釋和擴充的可能性等，至少相對而言缺乏鑒賞力?？喜紶柾獠嘶舴虼蟛糠值呐u，在回信中他寫道：就不合理的推理而言，我已聽說有一個人列出了40個或50個這種錯誤；然而，他的[狄拉克的]最終結(jié)果似乎經(jīng)常與實驗一致。對我來說，他總是十分神秘，我的意思是說，他認為每個數(shù)學(xué)公式如果恰當(dāng)?shù)乩斫獾脑挾加幸饬x。這個觀點我完全不能接受，這也是我從不采納他的方法的原因之一，其他許多物理學(xué)家也和我一樣。狄拉克對數(shù)學(xué)嚴密性的寬松態(tài)度也許滋生于他早期受到的工程教育。至少他在回憶中是這么說的：在我看來[大約在1918年]，如果誰要是用近似法來工作，那么在他的工作中就有著不可容忍的丑陋，我非常想保持數(shù)學(xué)美。然而，我接受的工程教育教我容忍近似值，我還能看到，甚至以近似法為基礎(chǔ)的理論中，有時也會有相當(dāng)多的美?！蚁?，如果我沒有接受過這種工程教育，在我后來從事的工作上就必定不會取得任何成果；因為實際上必須擺脫這種觀點，即認為只應(yīng)當(dāng)處理那些從人們已經(jīng)接受的、并且被當(dāng)作絕對可信的、已知的嚴格定律中邏輯地推導(dǎo)出來的結(jié)果。狄拉克多次以反純粹主義的方法使用著數(shù)學(xué)，他信任自己的直覺，留給其他人來證明他的定理并以嚴格的形式表達他的思想。一個例子是1928年狄拉克矩陣的發(fā)明，該矩陣在幾年之后被發(fā)展成旋量理論。另一個例子是他于1927年引入的δ函數(shù)。他認識到，這個量不是一個普通函數(shù)，因此是以一個數(shù)學(xué)家看來非常不合規(guī)則的方式引入的。δ函數(shù)實際的、不平常的表現(xiàn)并沒有煩擾他：“人們?nèi)匀豢梢詫嶋H地應(yīng)用δ(x)，就像它是一個普通函數(shù)一樣，以達到量子力學(xué)的所有目的而不會得出錯誤的結(jié)果?！痹?965年他再次勸告說，物理學(xué)家不要太關(guān)注嚴密性，而要沿著一個更謙虛的途徑，“用一個合理的實用邏輯標(biāo)準(zhǔn)來建立理論，就像工程師工作的方式那樣”。同樣因為采取這種態(tài)度，狄拉克對致力于統(tǒng)一所有物理學(xué)理論的數(shù)學(xué)綜合表示懷疑。在他那個時代，這種后來所稱的萬有理論，被外爾、愛因斯坦、克萊因、愛丁頓和海森伯等人提出。他完全不相信任何世界公式。據(jù)他個人的經(jīng)驗，他贊成以一個逐步完成的策略去解決物理學(xué)中的問題。逐漸改進或批判現(xiàn)有的理論，永遠要以數(shù)學(xué)美作為向?qū)?，這就是他所贊賞的方法。他這樣寫道：“人們不應(yīng)該試圖一口吃個大胖子，應(yīng)該把物理學(xué)中的困難盡可能一個一個地分開，然后再一個一個地解決?！彼X得，他在物理學(xué)中取得的成功就是堅持這個方法的結(jié)果。在量子力學(xué)的初期，在他重建的過程中，他總是一步一步循序漸進，他把這個程序看作是整個物理理論發(fā)展的一個悅?cè)诵囊獾哪Ｊ?。海森伯回憶?929年和狄拉克在橫跨太平洋的旅行中以及在其他場合，他們倆人有關(guān)方法論的討論：從方法論上來講，他的出發(fā)點都是特殊問題，而不是廣泛的關(guān)系。當(dāng)他描述他的探索時，我常常感覺他把科學(xué)研究看作登山運動員登山。重要的是爬過下一個三碼距離。如果你堅持不懈，你就一定會到達頂峰。海森伯更喜歡的是雄心勃勃的和革命性的方法。在20世紀60年代，他投身于一個雄心勃勃的計劃，和他的合作者致力于統(tǒng)一的量子場論。但狄拉克對該理論是持懷疑態(tài)度的，正如他對所有類似統(tǒng)一方案的態(tài)度那樣。他的反對意見很典型的是基于方法論和美學(xué)方面的考慮，這可以從他給海森伯的一封信中看出來：我對你的工作反對的主要理由是，我并不認為你的基本（非線性場）方程具有足夠的數(shù)學(xué)美，以致可作為物理學(xué)的一個基本方程。正確的方程，當(dāng)它一旦被發(fā)現(xiàn)的時候，很可能包含一些新的數(shù)學(xué)門類，并將在純粹數(shù)學(xué)家之間激發(fā)出巨大的興趣，就像過去愛因斯坦的引力場理論那樣（現(xiàn)在仍然是如此的）。現(xiàn)在的數(shù)學(xué)形式在我看來還是不適當(dāng)?shù)?。狄拉克的物理學(xué)方法并不總是與他經(jīng)常稱贊的工程學(xué)方法一致，他對數(shù)學(xué)的態(tài)度也不總是保持在注重實效方面。他注重實效的特征風(fēng)格曾經(jīng)在《量子力學(xué)原理》的前言中被強調(diào)過，即認為數(shù)學(xué)在物理學(xué)中是一個最有力的工具，但“不管怎么說，數(shù)學(xué)僅僅只是一個工具而已。”然而，在40年代及以后，當(dāng)數(shù)學(xué)美原理如日俱增地占據(jù)了他的思想的時候，他開始認為數(shù)學(xué)的角色起著一種絕對的、形而上學(xué)的作用。把數(shù)學(xué)美與注重實效的工程學(xué)方法協(xié)調(diào)起來畢竟是很困難的，在工程學(xué)方法中數(shù)學(xué)“僅僅只是一個工具而已。”盡管數(shù)學(xué)美的概念只是在30年代后期才正式進入狄拉克的物理學(xué)當(dāng)中，但它早就孕育在他的心里。1930年他就得出結(jié)論說，理論物理學(xué)必須沿著由美的數(shù)學(xué)所確定的路線前進。促使他信奉數(shù)學(xué)美的關(guān)鍵因素，是他在1928年建立電子波動方程的過程中，用本質(zhì)上是數(shù)學(xué)的方法導(dǎo)出了驚人的物理結(jié)論。在1931年引入磁單極子的論文中，他明確地表達了數(shù)學(xué)美原理的一個胚胎形式。在該文中他所聲稱的“取得進展的最強有力的方法”，其實就是他后來的數(shù)學(xué)美原理。我認為，在此一年之前他首次明確地提及物理學(xué)中的美。在《量子力學(xué)原理》的首頁，他寫道，經(jīng)典電動力學(xué)“形成了一個自洽而又優(yōu)美的理論，使人們不禁會認為，該理論不可能作重大的修改，否則會引起本質(zhì)上的改變和美的破壞?！边@還沒有完，他還繼續(xù)寫道，由于量子力學(xué)“現(xiàn)在已經(jīng)達到了這樣一種程度，即它的形式體系可以建立在一般規(guī)律之上，盡管它還不十分完備，但就它所處理的那些問題而言，它比經(jīng)典理論更為優(yōu)美，也更令人滿意?！弊鳛闈M足他的美的標(biāo)準(zhǔn)的有趣的數(shù)學(xué)理論，狄拉克在1939年強調(diào)了單復(fù)變函數(shù)論。他發(fā)現(xiàn)這個領(lǐng)域“格外美”，因此很可能會導(dǎo)致深刻的物理洞見。在量子力學(xué)中，一個量子系統(tǒng)的狀態(tài)通常用實變量的函數(shù)來表示，實變量的范圍是可觀測量的本征值。他在1937年建議，實值條件應(yīng)該放寬，變量應(yīng)該被看作是復(fù)數(shù)，這樣動力學(xué)變量的表達式就能夠利用依據(jù)復(fù)變函數(shù)理論的強大數(shù)學(xué)機器來計算。如果把動力學(xué)變量作為復(fù)數(shù)來處理，它們將不再能夠與一般意義上的物理可觀測量相聯(lián)系。他承認這將喪失對物理學(xué)的理解，但他并不把抽象程度的提高看作是一個缺點：“相反，我們會得到一些美的數(shù)學(xué)特征，在處理特定問題時，我們的數(shù)學(xué)能力也會得到很大的提高?！彼故玖巳绾斡盟男路椒▉韺湓幼鲀?yōu)美的處理，不過，沒有導(dǎo)出新的物理結(jié)果。狄拉克偏愛復(fù)變量似乎也與他對宇宙學(xué)的興趣有關(guān)，盡管是以間接的方式。他在1937－1938年發(fā)表的宇宙學(xué)理論很少使用數(shù)學(xué)，根本不包括復(fù)變數(shù)。該理論所訴諸的數(shù)學(xué)美，充其量也就是畢達哥拉斯原理，根據(jù)畢氏原理，自然界中的數(shù)字巧合和規(guī)則性并不是偶然的，而是自然規(guī)律秩序的表現(xiàn)。古老的畢氏原理求助于整數(shù)。所以，狄拉克也猜想，根據(jù)整數(shù)也許能夠最終解釋宇宙的秘密。會不會所有現(xiàn)在的事件都與這個大數(shù)[1039]的性質(zhì)相對應(yīng)，或更一般地說，宇宙的全部歷史與整個自然數(shù)序列的性質(zhì)相對應(yīng)……？這樣，古代哲學(xué)家把整個自然界和整數(shù)的性質(zhì)聯(lián)系起來的夢想，就有可能在某一天得到實現(xiàn)。狄拉克很可能把整數(shù)與宇宙學(xué)作如下的聯(lián)系：既然宇宙的規(guī)律按假設(shè)可以用整數(shù)來表示，而對整數(shù)的研究又是優(yōu)美的單復(fù)變函數(shù)論的一部分，那么，基于這些大自然數(shù)的宇宙學(xué)理論在美學(xué)上就是令人滿意的，并且很可能是正確的，倘若美蘊涵著真。這個解釋與他在1939年的表述是一致的：這個發(fā)展的一個線索看起來似乎相當(dāng)明顯，那就是，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中關(guān)于整數(shù)的研究不可避免地與單復(fù)變函數(shù)論有密切關(guān)系。我們已經(jīng)看到，后者很有希望成為未來物理學(xué)的基礎(chǔ)。這一想法的實現(xiàn)會使原子論同宇宙論聯(lián)系起來。狄拉克從來沒有放棄他的數(shù)學(xué)美的觀點，在他的大量的出版物當(dāng)中，無論是專業(yè)的也好，還是非專業(yè)的也好，都提到了它。在1982年慶祝他80壽辰之際，他發(fā)表了一篇題為“美妙的數(shù)學(xué)”的文章，這在理論物理學(xué)雜志中是個非常罕見的題目，但它典型地反映了他的個人傾向。顯然他不僅僅為數(shù)學(xué)美而數(shù)學(xué)美。他畢竟是一位物理學(xué)家，而且堅信，數(shù)學(xué)美的方法將導(dǎo)致真正的物理學(xué)，導(dǎo)致最終能被證實的結(jié)果。他認為，實際情況一定會是這樣的，因為自然恰好是按照數(shù)學(xué)美原理來構(gòu)造的。他在1939年的闡述和他在26年后的闡述完全一致：“人們也許可以說，上帝是一個非常高明的數(shù)學(xué)家，在建造宇宙時用了非常高級的數(shù)學(xué)?！睂⒚赖韧谡胬?，使得狄拉克以犧牲實驗–歸納方法為代價，片面地強調(diào)數(shù)學(xué)–美學(xué)方法。在他心目中，后一種方法完全是“對實驗結(jié)果亦步亦趨，先是去了解由實驗者所獲得的全部最新信息，然后才著手建立一個理論以解釋它們。”他說這是一個不足取的方法，會導(dǎo)致“無謂的競爭”（盡管參與競爭的老鼠相當(dāng)聰明，他還補充說）。不應(yīng)該是這樣的，人們應(yīng)當(dāng)信任自己的基本信念，不要太在意實驗的結(jié)果。就基礎(chǔ)物理學(xué)而言，他想要讓實驗檢驗從屬于數(shù)學(xué)美這一誠然相當(dāng)模糊的思想。他主張，“比起一個符合一些實驗數(shù)據(jù)的丑陋的理論來說，一個具有數(shù)學(xué)美的理論更有可能是正確的。”這是對數(shù)學(xué)美原理的一個更有爭議的解釋，因為這種說法不僅對發(fā)現(xiàn)的過程起著忠告的作用，而且介入了科學(xué)探索的核心——證明的過程。我下面會對此作些分析。數(shù)學(xué)美原理的問題，除了它的模糊性之外，就是它有時會導(dǎo)致與實驗證據(jù)完全相左。狄拉克當(dāng)然也清楚這一點，但他堅持認為，這種矛盾是實驗物理學(xué)家的問題，而不是數(shù)學(xué)美的信仰者的問題。換句話說，他主張數(shù)學(xué)美的考慮應(yīng)當(dāng)（有時）優(yōu)先于對實驗事實的考慮，而且在這種意義上可以作為真理的標(biāo)準(zhǔn)?！叭绻锢韺W(xué)的方程沒有數(shù)學(xué)上的美，那么這就意味著該理論不完美、有缺陷，因此需要改進。”我將要對這個狄拉克–外爾的觀點談?wù)勎业目捶?，盡管狄拉克很可能想把他的名字和愛因斯坦的名字放在一起，因為他對愛因斯坦的相對論及其一般科學(xué)哲學(xué)深懷感激之情并且深信不疑。當(dāng)然，在狄拉克之前，有許多科學(xué)家和哲學(xué)家都持有類似于狄拉克–外爾的觀點。把上帝或者大自然看作一個數(shù)學(xué)大師，是思想史上的一個古老的主題。它可以追溯到柏拉圖；在伽利略、開普勒、萊布尼茲，以及我們這個世紀的愛因斯坦、金斯、米爾恩、閔可夫斯基和外爾等人的思想中，都起著重要作用。盡管愛因斯坦和外爾充當(dāng)了狄拉克的激勵者，但我們發(fā)現(xiàn)，在狄拉克之前很可能是閔可夫斯基最詳細闡述過數(shù)學(xué)美原理。閔可夫斯基堅信數(shù)學(xué)美的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該作為真理的標(biāo)志。他相信“在純數(shù)學(xué)和物理學(xué)之間存在先定的和諧。”他完全被數(shù)學(xué)的力量所征服，因此把本體論的身份賦予給了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。他闡述道：“數(shù)學(xué)家或許會自豪地看到，而人類其他成員或許會無限驚奇地發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)家純粹是在他們的想象中創(chuàng)造出一個很大的天地，有朝一日最豐富的現(xiàn)實存在都應(yīng)當(dāng)用它來描寫（盡管這些唯心主義者從未作此設(shè)想）?！币虼耍h可夫斯基的數(shù)學(xué)美學(xué)概念與彭加勒以及其他約定論者的概念不同，但同外爾和狄拉克的思想一致。需要補充的是，關(guān)于精英論，他們的觀點沒有多大分歧：彭加勒（和狄拉克）大概也會同意閔可夫斯基關(guān)于數(shù)學(xué)家和“人類其他成員”之間所作的區(qū)分。閔可夫斯基最著名的學(xué)生愛因斯坦是激勵狄拉克的一個重要源泉。狄拉克特別把相對論的發(fā)現(xiàn)看作是一個最好的例證，即偉大物理學(xué)家是怎樣追隨數(shù)學(xué)美的方法從而提出了革命性的觀念。在他后期的著作中，作為一個優(yōu)美理論的相對論是他經(jīng)常寫的主題。例如他在1980年這樣寫道：洛倫茲變換從數(shù)學(xué)觀點來看是美的；并且愛因斯坦引入了這個思想：凡是在數(shù)學(xué)上是美的，在描述基本物理學(xué)方面就很可能是有價值的。這實在是比以前任何思想都要更基本的思想。描述基本物理學(xué)理論的數(shù)學(xué)方程必須美，我認為這個思想首先應(yīng)當(dāng)歸功于愛因斯坦而不是別人。廣義相對論的創(chuàng)立遠比狹義相對論的創(chuàng)立更吸引狄拉克。愛因斯坦受簡單性原理引導(dǎo)，并把它作為建立引力理論方程的先驗條件，以致他不太關(guān)心那些嘗試證明該理論的觀測。在狄拉克看來，這就是一個理論物理學(xué)家應(yīng)有的正確態(tài)度，這個態(tài)度是后代物理學(xué)家應(yīng)當(dāng)效尤的：讓我們來面對這樣一個問題：當(dāng)理論與觀察之間出現(xiàn)了差異，而且這個差異是被公認的和被證實的。人們對它會怎樣反應(yīng)？愛因斯坦的反應(yīng)又是怎樣？那時人們應(yīng)當(dāng)認為這個理論基本上錯了嗎？我要說對最后一問的答案顯然是不。凡是欣賞自然運行方式和普遍數(shù)學(xué)美之間本質(zhì)上和諧的人們必然會感到，一個理論如果像愛因斯坦的理論那樣優(yōu)美，它必定是本質(zhì)上正確的。……當(dāng)愛因斯坦正在建立他的引力理論時，他并不試圖去解釋一些觀察結(jié)果。他的整個程序就是尋找一個優(yōu)美的理論，大自然會選擇的那一類理論。他只受這樣的要求所指引，即這個理論應(yīng)該是美的和優(yōu)雅的，人們可望它提供對大自然的基本描述。在贊揚超經(jīng)驗主義和數(shù)學(xué)直覺的隊伍中，狄拉克一點也不孤獨。許多杰出的物理學(xué)家都和他一樣，堅信愛因斯坦引力理論是在沒有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上創(chuàng)造出來的，并且該理論憑其美學(xué)價值必定是正確的。在所有量子理論的先驅(qū)者當(dāng)中，大概唯有玻爾（NielsBohr）和玻恩挑戰(zhàn)這種觀點。然而，在對數(shù)學(xué)美的鼓吹中，狄拉克把愛因斯坦看作是他的同道，事情真是這樣的嗎？我認為他實際上是不對的。他重建了現(xiàn)代物理學(xué)的部分歷史，使它們符合他所偏愛的內(nèi)容，他還省略了那些與他的偏愛有矛盾的歷史。就愛因斯坦而言，他本人的態(tài)度是不明確的。的確，愛因斯坦對數(shù)學(xué)簡單性和對稱性所扮演的角色很著迷?；趯ΨQ性或者美學(xué)的推理的考慮，在他的科學(xué)研究中起到了重要的啟發(fā)性作用，而且他也經(jīng)常反對以犧牲數(shù)學(xué)論證為代價來使用經(jīng)驗歸納論證。在1933年斯賓塞演講中，他表達了與狄拉克的觀點很一致的看法：我們的經(jīng)驗已經(jīng)使我們有理由相信，自然界是可以想象到的最簡單的數(shù)學(xué)觀念的實際體現(xiàn)，我們能夠用純粹數(shù)學(xué)的構(gòu)造來發(fā)現(xiàn)概念以及把這些概念聯(lián)系起來的定律，這些概念和定律是理解自然現(xiàn)象的鑰匙。經(jīng)驗可以提示合適的數(shù)學(xué)概念，但是數(shù)學(xué)概念無論如何卻不能從經(jīng)驗中推導(dǎo)出來。當(dāng)然，經(jīng)驗始終是一個數(shù)學(xué)構(gòu)造的物理效用的唯一判據(jù)。但是這種創(chuàng)造性的原理卻存在于數(shù)學(xué)之中。因此，在某種意義上，我認為，像古人所夢想的，純粹思維能夠把握實在這種看法是正確的。然而，僅在愛因斯坦成熟以后，強調(diào)數(shù)學(xué)美的作用才是他的一個主要特征。在青年時期以及最富有創(chuàng)造力的時期，他對這種觀點并不怎么看好，并且事實上否認美學(xué)上的考慮能帶來啟發(fā)式的幫助。他認為，形式上的美并不能保證其有物理意義。例如，1921年他把愛丁頓的場論稱為“優(yōu)美的但又是沒有物理意義的”，4年之后他又把自己的關(guān)于引力和電的統(tǒng)一理論稱為“非常美的但又是可疑的”。他遲至1950年還承認，最終“只有經(jīng)驗?zāi)軌驒z驗真理”。這樣的論述很難與狄拉克–外爾的觀點一致。外爾或許比愛因斯坦更適于作為狄拉克哲學(xué)的典范?！拔业墓ぷ骺偸潜M力把美和真理統(tǒng)一起來，”外爾曾經(jīng)說，“但是，當(dāng)我不得不在這兩者中作選擇時，我通常選擇的是美。”在他1918年的統(tǒng)一場論中他采取了這個策略，利用美學(xué)的理由反對愛因斯坦的異議，愛因斯坦認為外爾的理論沒有實際的物理意義。外爾畢生都沉迷于柏拉圖的思想——數(shù)學(xué)性質(zhì)寓于大自然的方案之中。他還利用這個思想來調(diào)和基督教的形而上學(xué)和現(xiàn)代科學(xué)。“大自然的數(shù)學(xué)法則是神的理智的顯示，”他在1932年聲明，“世界不是混沌一片，而是一個有序和諧的整體，服從神圣的數(shù)學(xué)規(guī)律?！闭缭谇懊嬲鹿?jié)中提到的那樣，狄拉克對外爾完全用數(shù)學(xué)方法來探討物理學(xué)印象很深。他認為正是因為這樣，外爾才認識到反電子和電子有同樣的質(zhì)量，他還稱贊外爾的統(tǒng)一場論“其簡單性和美無與倫比”。然而應(yīng)該記住的是，這種贊美出自他晚年的理性認識。在20年代和30年代的初期，他對外爾的理論并未給予多少關(guān)注。數(shù)學(xué)美原理，就像其他美學(xué)原理一樣，是相當(dāng)含糊的。其主要問題是美在本質(zhì)上是主觀的，因此不能作為指導(dǎo)或者評價科學(xué)的一個通用工具。至少可以這樣說，很難利用理性的論據(jù)來證明美學(xué)判斷的正當(dāng)性。對美這一觀念的分析，在文學(xué)和藝術(shù)批評中確實有著悠久的傳統(tǒng)，包括力圖賦予這個概念以客觀意義的諸多嘗試。美學(xué)判斷的客觀主義論和主觀主義論已經(jīng)爭論了好幾個世紀，也沒有取得什么進展，今天的情形還是和過去一樣莫衷一是。除此之外，這場爭論與科學(xué)美問題有多大關(guān)系也不好說。無論如何，我只能得到如下結(jié)論：科學(xué)中的美學(xué)判斷植根于主觀的和社會的因素。美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的把握部分是科學(xué)家在社會化的過程中所獲得的；但科學(xué)家以及科學(xué)共同體對于如何判斷某個理論的美學(xué)價值，意見分歧往往相當(dāng)大。著名物理學(xué)家對于哪些理論是美的哪些是丑的看法并不一致是不足為怪的。請看看下面的闡述，它包含了狄拉克物理學(xué)哲學(xué)的核心：在當(dāng)今物理理論所經(jīng)受的所有巨大變革當(dāng)中，只有一座基石經(jīng)受住了每場風(fēng)暴的考驗，并且人們能夠永遠抱住不放——這座基石就是這樣一個假設(shè)：大自然的基本規(guī)律對應(yīng)著一種美的數(shù)學(xué)理論。這就意味著一個理論建立在簡單的數(shù)學(xué)概念之上，這些數(shù)學(xué)概念以優(yōu)美的方式組合在一起，以致人們在與該理論打交道時覺得是一種享受。所以，當(dāng)一個理論物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)了這樣一個理論時，人們就會對它給予極大的信賴。一旦這個理論的預(yù)言和實驗的結(jié)果出現(xiàn)了矛盾，人們的第一反應(yīng)是懷疑實驗發(fā)生了錯誤。只有在大量的實驗證明確實如此之后，人們才會接受這個理論需要修改的觀點，這意味著人們必須去尋找具有更美的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的理論。數(shù)學(xué)美原理的操作困難是明擺著的，盡管不易覺察。當(dāng)“一個理論物理學(xué)家”發(fā)現(xiàn)了一個他認為是美的理論時，“人們就會對它給予極大的信賴”，我們確信如此。然而，這個論證預(yù)先假定了個體物理學(xué)家的數(shù)學(xué)美感以及其獨特的心理素質(zhì)是“人們”，即理論物理學(xué)家共同體，所共享的。狄拉克似乎已經(jīng)意識到美的觀念具有模糊性，但認為在理論物理學(xué)中這不是一個嚴重的問題。1972年，他在邁阿密大學(xué)作的題為“基本信念和基礎(chǔ)探索”的演講中說：十分清楚的是，美的確依賴于一個人的文化以及繪畫、文學(xué)、詩歌等各種美術(shù)對他的熏陶?！欢瑪?shù)學(xué)美則大不相同。我也許可以說它是完全不同的一種美，它超越了這些個人因素。在有史以來的各個國家和各個時期它都是相同的。然而，狄拉克的主張缺乏足夠的理由。無論是心理學(xué)、社會學(xué)，還是科學(xué)史的研究，都未能提供證據(jù)表明，物理學(xué)家對科學(xué)中美的本性持有一個共同的看法。與之相反，現(xiàn)代物理學(xué)史卻支持這樣一種觀點：對于哪些方程和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是美的和有趣的，物理學(xué)家并未形成共識。例如，多數(shù)物理學(xué)家很可能把群論和拓撲學(xué)看作是最有趣的分支，但它們卻不在狄拉克的數(shù)學(xué)美的清單之內(nèi)。狄拉克和絕大多數(shù)物理學(xué)家都認為閔可夫斯基的空間觀點是非常優(yōu)美的；閔可夫斯基本人也把它抬高到神性的級別。然而，在它出現(xiàn)之初愛因斯坦并不喜歡它。作為另外一個例子的是，人們可以比較一下海森伯和愛因斯坦關(guān)于量子理論的看法。至少是在他們的晚年時期，他們都持有這樣一種觀點：凡是正確的理論都是簡單的和美的。然而，在對于特定理論和方法的具體判斷上，他們之間卻存在著嚴重分歧?？茖W(xué)中美學(xué)判據(jù)的主觀性的另外一個例子，是由狄拉克和伽莫夫關(guān)于宇宙學(xué)的討論所提供的。伽莫夫與狄拉克一樣，信仰科學(xué)美的價值。在1967年他寫道：“（我）贊同狄拉克的這樣一個信念：如果一個理論是優(yōu)美的，那么它一定是正確的。”然而，由于伽莫夫的美的觀念和狄拉克不同，所以，這兩位物理學(xué)家在某些具體事例中，就如何進行美學(xué)判斷意見不一。伽莫夫1967年在給狄拉克的信中說：“盡管我自認為是一位理論家，但我在心中是非常尊重觀察和實驗的?！卑吹依耍鉅柕挠^點，這種尊重是不應(yīng)當(dāng)?shù)?。狄拉克希望依?jù)一個理論的美學(xué)性質(zhì)——當(dāng)然是他所設(shè)想的那些美——來判定實驗的正確與否。按照狄拉克的數(shù)學(xué)美觀念，任何動力學(xué)系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)都能夠用滿足相對論的哈密頓形式明確地表達出來。大多數(shù)物理學(xué)家都賞識哈密頓理論的美，而狄拉克發(fā)現(xiàn)它是如此地迷人，以致他傾向把它作為任何物理學(xué)基礎(chǔ)理論都應(yīng)該滿足的一個要求。他對哈密頓發(fā)展出一個物理學(xué)形式體系的天才留有深刻的印象，這個物理學(xué)形式體系當(dāng)初并沒有實際意義，唯其內(nèi)在之美為人們所欣賞。在1963年于都柏林發(fā)表的拉莫爾演講中，他對這位愛爾蘭的理論家大加贊頌：“我們應(yīng)當(dāng)沿著哈密頓的足跡前進，把數(shù)學(xué)美作為我們的指引燈塔，去建立一些有意義的理論——首先它們得具備數(shù)學(xué)美?！辈贿^，他對哈密頓形式體系的信奉并不是沒有遇到問題。據(jù)維格納回憶，狄拉克1927年未能建立費米子的對易關(guān)系就是這種信奉的直接后果。維格納在1963年回憶說：“狄拉克過去和現(xiàn)在都是哈密頓形式的俘虜，他總是根據(jù)哈密頓形式體系來考慮問題。”對物理學(xué)中哈密頓形式體系的崇拜，還表明了美學(xué)判斷是如何隨時間發(fā)生變化的，以及兩個都被視為是美的原理是如何發(fā)生沖突的。和大多數(shù)物理學(xué)家一樣，狄拉克把洛倫茲不變性視為美的享受。例如，這是他拒絕薛定諤1931年提出的理論的主要原因之一，因為在該理論中只有正能量出現(xiàn)。他后來回憶說，薛定諤對波動方程所做的微小改變“破壞了該理論的所有相對論性特征，該理論所有的美也隨之蕩然無存。”1958年，他試圖以精確的哈密頓形式來表述愛因斯坦的引力方程，以便給引力現(xiàn)象以一個簡潔的描述。他的這個理論雖符合簡單性原理，但卻以犧牲4維空間對稱性作為代價。因此，兩條美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)——4維空間對稱性和哈密頓形式美——發(fā)生了沖突。在對待這件事情上，他給簡單性以優(yōu)先權(quán)：這個結(jié)果導(dǎo)致我懷疑在物理學(xué)中4維空間對稱性的要求是基本的。幾十年前，似乎肯定的是，人們必須用4維空間形式來表達整個物理學(xué)。但如今看來，4維空間的對稱性似乎不是最重要的了，因為當(dāng)人們拋棄它時，對自然的描述就變得更簡單了。在狄拉克看來，缺乏洛倫茲不變性就意味著缺乏一種美。然而，令人驚訝的是，他在必要時甚至愿意犧牲美，以此作為保留邏輯和清晰性的代價。1931年，他在考慮選擇量子電動力學(xué)的截斷時說：“我認為，一個非相對論的、丑陋的理論，也比一個違背邏輯、直接舍棄無窮大項的理論更可取。”類似的美學(xué)原理之間的沖突發(fā)生于1930年，那時他試圖為他的反電子尋找一個候選者。在這個案例中，他在兩個美學(xué)原理之間感到十分為難，這兩個原理分別是自然的統(tǒng)一性和數(shù)學(xué)推理的原則，不幸的是它們導(dǎo)致不同的答案。當(dāng)他在1936年接受香克蘭的實驗結(jié)果，把它看作是對物理學(xué)中美的支持時，他的美感徹底欺騙了他。他的美的觀念，當(dāng)面臨物理學(xué)實際案例時，是模糊的，這不過是反映了美這個概念以及相關(guān)概念所固有的模糊性。狄拉克－外爾觀點的另外一個問題涉及怎么樣嚴格地去遵守數(shù)學(xué)美的指導(dǎo)。不顧某些經(jīng)驗事實的反駁而大膽地信奉一個理論是一回事，而頑固地堅持這個理論并拒絕接受一切與之沖突的實驗結(jié)果又是另外一回事。無論是狄拉克還是數(shù)學(xué)美的其他信奉者，都不接受一個脫離一切經(jīng)驗的、極端的笛卡兒哲學(xué)。狄拉克勸告人們不要管那些“丑陋的”實驗結(jié)果，不過他明智地、并且多少有違初衷地給這個忠告加上了一個限制性條款——“當(dāng)然，對這些事情人們不必太固執(zhí)?！比欢灰麤]有提供何謂“太固執(zhí)”的標(biāo)準(zhǔn)（當(dāng)然也不可能提供這樣的標(biāo)準(zhǔn)），作為研究方法之指導(dǎo)的狄拉克–外爾觀點就相當(dāng)空洞，等于什么也沒說。作為最后一個例子，讓我們來討論守恒原理，例如宇稱和時間反演不變性，在物理學(xué)中扮演的角色。這些概念在經(jīng)典物理學(xué)中是眾所周知的，而且人們普遍認為任何基本定律必須滿足宇稱和時間反演不變性。這些原理有著巨大的美學(xué)價值，當(dāng)維格納在1927年和1932年把它們引進量子力學(xué)時，其美學(xué)價值更為突出。鑒于這些對稱性的權(quán)威性，人們常常用它們來檢驗物理學(xué)理論。例如，當(dāng)外爾在1929年為零質(zhì)量、自旋1/2的粒子提出一個波動方程時，泡利