函數(shù)中構(gòu)造法的應(yīng)用專題 高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

專題六函數(shù)與導(dǎo)數(shù)玩轉(zhuǎn)小題第25講函數(shù)中構(gòu)造法的應(yīng)用

考點(diǎn)梳理考情回顧高考預(yù)測(cè)構(gòu)造函數(shù)比

較大小2021新高考Ⅱ卷

第7題1.構(gòu)造函數(shù)比較大?。褐攸c(diǎn)考查構(gòu)造函

數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.2.同構(gòu)函數(shù)比較大?。褐攸c(diǎn)根據(jù)數(shù)與式

的結(jié)構(gòu)同構(gòu)構(gòu)造，利用函數(shù)的性質(zhì)或放

縮等方法比較大小.根據(jù)數(shù)與式

的結(jié)構(gòu)，同

構(gòu)函數(shù)比較

大小2022新高考Ⅰ卷

第7題

A.a＜b＜cB.b＜c＜aC.b＜a＜cD.c＜a＜bB2.（2020·全國(guó)甲卷）若2

x

－2

y

＜3－

x

－3－

y

，則（

A

）A.ln（y－x＋1）＞0B.ln（y－x＋1）＜0C.ln｜x－y｜＞0D.ln｜x－y｜＜03.（2020·全國(guó)乙卷）若2

a

＋log2

a

＝4

b

＋2log4

b

，則（

B

）A.a＞2bB.a＜2bC.a＞b2D.a＜b2AB

A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.c＜a＜bD.a＜c＜bC

A.a＞b＞cB.c＞b＞aC.a＞c＞bD.c＞a＞bB

（2）

（2022·佛山一模）設(shè)函數(shù)

f

（

x

）的導(dǎo)數(shù)是f'（

x

），且

f

（

x

）·f'

（

x

）＞

x

恒成立，則下列結(jié)論正確的是（

D

）A.f（1）＜f（－1）B.f（1）＞f（－1）C.｜f（1）｜＜｜f（－1）｜D.｜f（1）｜＞｜f（－1）｜D[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1.（2023·蘇州模擬）已知函數(shù)

f

（

x

）及其導(dǎo)數(shù)f'（

x

）的定義域均為

R，f'（

x

）在R上單調(diào)遞增，f'（1＋

x

）為奇函數(shù).若2

a

＝3，4

b

＝5，3

c

＝4，則下列結(jié)論正確的是（

C

）A.f（a）＜f（b）＜f（c）B.f（b）＜f（a）＜f（c）C.f（b）＜f（c）＜f（a）D.f（c）＜f（b）＜f（a）C123456789101112131415161718192021222324

A.a＜c＜bB.a＜b＜cC.b＜a＜cD.c＜b＜aA

A.c＞b＞aB.c＞a＞bC.a＞b＞cD.a＞c＞bB

（2）

（2022·常州模擬）已知函數(shù)

f

（

x

）為奇函數(shù)，且當(dāng)

x

＞0時(shí)，f'

（

x

）sin

x

＋

f

（

x

）cos

x

＞0，則下列結(jié)論正確的是（

D

）A.f＜－f＜－fB.－f＜f＜－fC.－f＜－f＜fD.－f＜f＜－fD

A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.c＜a＜bD.a＜c＜bA

A.f＞fB.f＜fC.f＜fD.f＜fB

A.a＜c＜bB.b＜a＜cC.c＜b＜aD.c＜a＜bD

A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞a＞cD.b＞c＞aC

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]5.設(shè)

a

＝sin（cos2），

b

＝cos（cos2），

c

＝ln（cos1），則

a

，

b

，

c

的大小關(guān)系為（

D

）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜b＜aD.c＜a＜bD

熱點(diǎn)2

同構(gòu)函數(shù)問題[典例設(shè)計(jì)]例4（1）

若0＜

x

1＜

x

2＜1，則下列不等式正確的是（

C

）A.－＞lnx2－lnx1B.－＞lnx2－lnx1C.x2＞x1D.x2＜x1C（2）

（2023·南通一模）若過點(diǎn)

P

（

t

，0）可以作曲線

y

＝（1－

x

）e

x

的兩條切線，切點(diǎn)分別為

A

（

x

1，

y

1），

B

（

x

2，

y

2），則

y

1

y

2的取值

范圍是（

D

）A.（0，4e－3）B.（－∞，0）∪（0，4e－3）C.（－∞，4e－2）D.（－∞，0）∪（0，4e－2）D

3）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，＋∞）上單調(diào)遞減.又

g

（－3）＝4e－2，

g

（1）＝0，且當(dāng)

t

→－∞時(shí)，

g

（

t

）→0，當(dāng)

t

→＋∞時(shí)，

g

（

t

）→－∞，

所以

g

（

t

）∈（－∞，0）∪（0，4e－2），即

y

1

y

2的取值范圍是（－

∞，0）∪（0，4e－2）.故選D.

A.a＞b＋1B.a＜b＋1C.a＜b－1D.a＞b－1B

7.（多選）（2023·重慶一模）已知

m

，

n

是關(guān)于

x

的方程｜log

ax

｜＝

k

（

a

＞0，且

a

≠1）的兩個(gè)根，且

m

＜

n

＜2

m

，則下列結(jié)論正確的是

（

ACD

）A.2＜m＋n＜B.logn（m＋1）－1＜mm＋1－mnC.nm＋1＜（m＋1）nD.（m＋4）n＋1＜（n＋1）m＋4ACD[典例設(shè)計(jì)]例5（1）

已知

a

＜0，不等式

xa

＋1·e

x

＋

a

ln

x

≥0對(duì)任意的實(shí)數(shù)

x

＞1恒

成立，則實(shí)數(shù)

a

的最小值為（

D

）A.－B.－2eC.－D.－eD

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]8.（多選）（2022·渭南模擬）設(shè)實(shí)數(shù)λ＞0，對(duì)任意的

x

＞1，不等式λeλ

x

≥ln

x

恒成立，則λ的取值可能是（

ACD

）A.eB.C.D.ACD

1

[典例設(shè)計(jì)]例6已知實(shí)數(shù)

a

，

b

滿足

a

＝log23＋log86，6

a

＋8

a

＝10

b

，則下列判斷

正確的是（

C

）A.a＞2＞bB.b＞2＞aC.a＞b＞2D.b＞a＞2C

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]10.已知

a

ln2＝2ln

a

，

b

ln3＝3ln

b

，

c

ln5＝5ln

c

，且

a

，

b

，

c

∈（0，

e），則

a

，

b

，

c

的大小關(guān)系為（

A

）A.c＜a＜bB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜aA總結(jié)提煉

（1）

同構(gòu)式指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式.同構(gòu)式的應(yīng)用（1）

在方程中的應(yīng)用：如果方程f（a）＝0和f（b）＝

0呈現(xiàn)同構(gòu)特征，那么a，b可視為方程f（x）＝0的兩個(gè)

根.（2）

在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)

特征，那么可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而可利

用函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系.可比較大小或解不等式.總結(jié)提煉

（1）

同構(gòu)式指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式.同構(gòu)法構(gòu)造

函數(shù)的策略（1）

指對(duì)各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵.（2）

常用“母函數(shù)”：f（x）＝xex，f（x）＝ex±x；

尋找“親戚函數(shù)”是關(guān)鍵.（3）

隨機(jī)應(yīng)變湊同構(gòu)，湊常數(shù)、x、參數(shù).（4）

復(fù)合函數(shù)（“親戚函數(shù)”）比大小，利用單調(diào)性

求參數(shù)范圍.（2）

同構(gòu)思路可表示為：若

F

（

x

）≥0能等價(jià)變形為

f