第三章 計算機的算術(shù)運算

第三章計算機的算術(shù)運算提綱3.1引言3.2加法和減法3.3乘法3.4除法3.5浮點運算3.6并行性和計算機算術(shù)：結(jié)合律3.7實例：X86的浮點3.8謬誤與陷阱3.9本章小結(jié)3.10拓展閱讀3.1引言如何表示小數(shù)？遇到無法表示的大數(shù)怎么辦？如何運算？3.2加法和減法運算方法？減法轉(zhuǎn)換為補碼的加法；溢出的概念：運算結(jié)果超出了數(shù)的表示范圍MIPS檢測到溢出時會產(chǎn)生異常，也叫中斷異常程序計數(shù)器EPC：保存導(dǎo)致異常的指令一位全加器加法運算：Ai+Bi+Ci

=Si

(Ci+1)

加數(shù) 進位輸入和進位輸出一位全加器真值表輸入輸出AiBiCiSiCi+10000000110010100110110010101011100111111邏輯方程Si=Ai⊕Bi⊕CiCi+1=AiBi+BiCi+CiAi

全加器邏輯電路Si=Ai⊕Bi⊕CiCi+1=AiBi+BiCi+CiAi

Ci+1=AiBi

·(Ci

·(Ai⊕Bi))

邏輯電路(一位全加器)FAAiBiCiSiCi+1n位的行波進位加減器[x]補

0.1001+[y]補

0.0011

0.1100FAAiBiCiSiCi+13.2.1多媒體算術(shù)運算向量計算，或單指令多數(shù)據(jù)計算飽和操作：當計算結(jié)果溢出時，結(jié)果被設(shè)置成最大的正數(shù)或最小的負數(shù)例：旋轉(zhuǎn)收音機的音量3.3乘法MIPS乘法提供一對單獨的32位寄存器來容納64位的積；乘法只是簡單的移位和加法；可以采用并行的方法提高乘法的速度同號相乘為正，異號相乘為負。設(shè)ｘ=0.1101,ｙ=0.1011

0.1101(x)x 0.1011(y)--------------------------------- 1101 1101 0000+1101-----------------------------------0.10001111(z)乘數(shù)為1，抄被乘數(shù)到對應(yīng)位置乘數(shù)為0，填全0到對應(yīng)位置或跳過習慣方法運算過程k=4權(quán)為2^4i,j=4,03,12,21,30,4am-1am-2.........a0=Ax)bn-1......b1b0=Bam-1b0am-2b0......a1b0a0b0am-1b1am-2b1......a1b1a0b1..................+)am-1bn-1am-2bn-1...a1bn-1a0bn-1pm+n-1pm+n-2pm+n-3......pn-1......p1p0=p并行乘法器實現(xiàn)n位×n位,需要n(n-1)個全加器和n2個“與”門3.4除法例:設(shè)被除數(shù)x=0.1001,除數(shù)y=0.1011

0.1101

商q

0.1011

0.10010

ｘ(r0)被除數(shù)小于除數(shù)，商0

-0.01011

2-1ｙ除數(shù)右移1位,減除數(shù),商1

0.001110

r1得余數(shù)r1

-0.0

01011

2-2ｙ除數(shù)右移1位,減除數(shù),商1

0.0000110

r2

得余數(shù)r2

-0.0

001011

2-3ｙ除數(shù)右移1位,不減除數(shù),商0

0.00001100

r3

得余數(shù)r3

-0.0

0001011

2-4ｙ除數(shù)右移1位,減除數(shù),商1

-0.00000001

r4得余數(shù)r4得ｘ÷ｙ的商q=0.1101,余數(shù)為r=0.00000001。除數(shù)右移等價于被除數(shù)左移機器運算與手算的不同在計算機中,小數(shù)點是固定的；機器不會心算,必須先作減法,若余數(shù)為正,才知道夠減；若余數(shù)為負,才知道不夠減。不夠減時必須恢復(fù)原來的余數(shù),再繼續(xù)往下運算——恢復(fù)余數(shù)法?；謴?fù)原來的余數(shù),只要當前的余數(shù)加上除數(shù)即可?；謴?fù)余數(shù),使除法進行過程的步數(shù)不固定,控制復(fù)雜。實際中常用不恢復(fù)余數(shù)法,又稱加減交替法。步數(shù)固定,控制簡單。不恢復(fù)余數(shù)(加減交替法)試商 x-y

減恢復(fù)余數(shù)

x-y+y試下一位商 2x-y=2(x-y)+y 加3.5浮點運算小數(shù)點在計算機中如何表示？3.5.1浮點數(shù)的表示方法把一個數(shù)的有效數(shù)字和數(shù)的范圍在計算機的一個存儲單元中分別予以表示；任意一個十進制數(shù)Ｎ可以寫成：N=10E.M計算機中一個任意進制數(shù)Ｎ可以寫成：Ｎ=Re.mm：尾數(shù)，是一個純小數(shù)；e：比例因子的指數(shù),稱為浮點的指數(shù),是一個整數(shù)；R：比例因子的基數(shù)。(1)機器浮點數(shù)機器浮點數(shù)由階碼、尾數(shù)及其符號位組成：尾數(shù)：用定點小數(shù)表示，給出有效數(shù)字的位數(shù)，決定浮點數(shù)的表示精度；階碼：用整數(shù)形式表示，指明小數(shù)點在數(shù)據(jù)中的位置，決定浮點數(shù)的表示范圍。EsE1E2....EmMsM1M2....Mn階符階碼數(shù)符尾數(shù)(2)浮點數(shù)的標準格式IEEE(國際電氣和電子工程師協(xié)會)IEEE754標準：尾數(shù)用原碼；階碼用移碼，基為2；S---尾數(shù)符號，0正1負；M---尾數(shù),純小數(shù)表示,小數(shù)點在尾數(shù)域最前；E---階碼，采用移碼方法來表示正負指數(shù)。313023220SEM(3)浮點數(shù)的規(guī)格化表示浮點數(shù)表示：0.5；0.05101

；0.005102；為提高數(shù)據(jù)的表示精度，需做規(guī)格化處理；規(guī)格化處理：對非0值的浮點數(shù)，要求尾數(shù)的絕對值必須>=1/2，即尾數(shù)域的最高有效位應(yīng)為1：0.10001；規(guī)格化處理，通過尾數(shù)移位和修改階碼實現(xiàn)。隱藏位技術(shù)非0值浮點數(shù)的尾數(shù)數(shù)值最高位必定為1；保存時把該位去掉,用同樣多的尾數(shù)位就能多存一位二進制數(shù)；0.11000101.100010取回運算時，必須先恢復(fù)隱藏位。(4)規(guī)格化浮點數(shù)的真值移碼定義：[x]移

=x0x1x2···xn

=2n+x -2n

x

2nIEEE754標準,一個規(guī)格化的32位浮點數(shù)ｘ的真值為：x=

(-1)s

(1.Ｍ)

2Ｅ-127 e=Ｅ–127IEEE754標準,一個規(guī)格化的64位浮點數(shù)ｘ的真值為：x=(–1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ-1023 e=Ｅ–1023E=0且M=0,浮點數(shù)ｘ的真值為零，稱為機器零S=0,+0 S=1,-0E=11...1,M=0,浮點數(shù)ｘ的真值為

S=0,+

S=1,-

例1若浮點數(shù)x的二進制存儲格式為(41360000)16，求32位浮點數(shù)的十進制值。0100,0001,0011,0110,0000,0000,0000,0000數(shù)符：0階碼：1000,0010尾數(shù)：011,0110,0000,0000,0000,0000指數(shù)e=階碼-127=10000010-01111111=00000011=(3)10包括隱藏位1的尾數(shù)：1.M=1.011011000000000

0000

0000=1.011011于是有x=(-1)s×1.M×2e=+(1.011011)×23=+1011.011=(11.375)10例2將十進制數(shù)20.59375轉(zhuǎn)換成32位浮點數(shù)的二進制格式來存儲首先分別將整數(shù)和分數(shù)部分轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)：20.59375=10100.10011然后移動小數(shù)點，使其在第1，2位之間10100.10011=1.010010011×24 e=4于是得到：S=0，E=4+127=131=1000,0011，M=010010011最后得到32位浮點數(shù)的二進制存儲格式為01000001

10100100110000000000

0000=(41A4C000)16移碼表示法n位整數(shù)，假定移碼形式為x0x1x2···

xn2n+x-2n

x

2n[x]移

=移碼通常用于表示浮點數(shù)的階碼；8位移碼表示的機器數(shù)為數(shù)的真值在數(shù)軸上向右平移了128個位置。0-128+127負數(shù)正數(shù)機器數(shù)移碼的特點與原碼、補碼、反碼的符號位值正好相反；移碼的大小直觀地反映了真值的大小，有助于兩個浮點數(shù)進行階碼大小比較；真值0在移碼中的表示形式是唯一的，即：[+0]移=[-0]移=100…00同一數(shù)值的移碼和補碼除最高位相反外，其他各位相同。3.5.2浮點加法設(shè)有兩個浮點數(shù)x和y,它們分別為:x=2Ex·

Mxy=2Ey·MyEx和Ey

分別為階碼，Mx

和My為尾數(shù)。兩浮點數(shù)進行加法和減法的運算規(guī)則是:x±y=(Mx2Ex-Ey±My)2Ey Ex<=Ey完成浮點加減運算的操作過程大體分為：(1)比較階碼大小并完成對階；(2)尾數(shù)進行加或減運算；(3)結(jié)果規(guī)格化(4）溢出處理(5)舍入處理。對階使二數(shù)階碼相同(小數(shù)點位置對齊)，叫對階。先求兩數(shù)階碼Ex和Ey之差，即△E=Ex-Ey若△E=0，表示

Ex=Ey若△E>0,Ex>Ey若△E<0,Ex<Ey通過尾數(shù)的移動來改變Ex或Ey，使其相等.對階原則階碼小的數(shù)向階碼大的數(shù)對齊；小階的尾數(shù)右移，每右移一位,其階碼加1。結(jié)果規(guī)格化尾數(shù)求和方法與定點加減法運算完全一樣;將求和的結(jié)果規(guī)格化.

規(guī)格化的定義:

采用原碼：正數(shù):S=0.1×××…×負數(shù)：S=1.1×××…×采用雙符號位的補碼：對正數(shù):S=00.1×××…×對負數(shù):S=11.0×××…×舍入處理在對階或向右規(guī)格化時,尾數(shù)要向右移位,被右移的尾數(shù)的低位部分會被丟掉,造成一定誤差,要進行舍入處理。簡單的舍入方法有兩種：“0舍1入”法:右移時被丟掉數(shù)位的最高位為0則舍去，反之則將尾數(shù)的末位加“1”?！昂阒?”法:只要數(shù)位被移掉，就在尾數(shù)的末位恒置“1”。從概率上來說,丟掉的0和1各為1/2。溢出處理浮點數(shù)的溢出表現(xiàn)為階碼溢出;階碼上溢超過了階碼可能表示的最大值的正指數(shù)值,一般將其認為是+∞和-∞。階碼下溢超過了階碼可能表示的最小值的負指數(shù)值,一般將其認為是0。對尾數(shù)的溢出也需要處理尾數(shù)上溢

兩個同符號尾數(shù)相加產(chǎn)生了最高位向上的進位,將尾數(shù)右移,階碼增1來重新對齊。尾數(shù)下溢在將尾數(shù)右移時,尾數(shù)的最低有效位從尾數(shù)域右端流出,要進行舍入處理3.5.3浮點乘/除法設(shè)有兩個浮點數(shù)x和y:x=2Ex·Mx,y=2Ey·My浮點乘法運算的規(guī)則是：x

y=2(Ex+Ey)·(Mx

My)浮點除法運算的規(guī)則是:

x÷y=2(Ex-Ey)·(Mx÷My)浮點乘、除法運算步驟:(1)0操作數(shù)檢查；(2)階碼加/減操作；(3)尾數(shù)乘/除操作；(4)結(jié)果規(guī)格化及舍入處理浮點運算流水線流水線原理把輸入的任務(wù)分割為一系列子任務(wù)，使各子任務(wù)能在流水線的各個階段并發(fā)地執(zhí)行；將任務(wù)連續(xù)不斷地輸入流水線,從而實現(xiàn)了子任務(wù)的并行。在流水線中,原則上要求各個階段的處理時間都相同。對子任務(wù)的劃分,是決定流水線性能的一個關(guān)鍵因素。假定作業(yè)T被分成k個子任務(wù),可表達