《19.1.1 變量與函數(shù)》課件（三套）

19.1.1變量與函數(shù)第19章一次函數(shù)(1)你坐過摩天輪嗎？你坐在摩天輪上時,隨著時間t的變化,你離開地面的高度h是如何變化的？變量

情境引入O1234567891011123h（米）t（分）O123456789101112311h（米）t（分）O12345678910111231137h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）下圖反映了旋轉(zhuǎn)時間t（分）與摩天輪上一點(diǎn)的高度h（米）之間的關(guān)系。t/分012345······h/米······31137453711根據(jù)上圖填表刻畫摩天輪轉(zhuǎn)動過程的量是時間t和高度h,高度h隨著時間t的變化而變化,它們都會取不同的數(shù)值．像這樣在某一變化過程中,可以取不同數(shù)值的量,叫做變量.

變量

如圖是某地一天內(nèi)的氣溫變化圖．

看圖回答：(1)這天的6時、10時和14時的氣溫分別為多少？任意給出這天中的某一時刻，說出這一時刻的氣溫．(2)這一天中，最高氣溫是多少？最低氣溫是多少？

問題一問題探究一

(3)這一天中，什么時段的氣溫在逐漸升高？什么時段的氣溫在逐漸降低？從圖中我們可以看到，隨著時間t（時）的變化，相應(yīng)地氣溫T(℃)也隨之變化．

在這個變化過程中存在著兩個變量時間t和溫度T,對于時間t每取一個值,溫度T都有唯一的值與之對應(yīng).我們就說時間t是自變量,溫度T是因變量.也稱T是t的函數(shù).

下表是2016年8月中國人民銀行公布的

“整存整取”年利率.存期x三月六月一年二年三年五年年利率y（﹪）1.802.252.523.063.694.14

觀察上表，說說隨著存期x的增長，相應(yīng)的年利率y是如何變化的？問題二隨著存期x的增長，相應(yīng)的年利率y也隨著長．我們就說存期x是自變量,年利率y是因變量.也稱年利率y是存期x的函數(shù).在以上變化過程中存在著兩個變量存期x和年利率y,對于存期x每取一個值,年利率y都有唯一的值與之對應(yīng).

收音機(jī)刻度盤的波長和頻率分別是用米(m)和千赫茲(kHz)為單位標(biāo)刻的．下面是一些對應(yīng)的數(shù)值：波長

(m)30050060010001500頻率f(kHz)1000600500300200

觀察上表回答：(1)波長和頻率f數(shù)值之間有什么關(guān)系?(2)波長越大，頻率f

就________．問題三越小

在這個變化過程中存在著兩個變量波長

和頻率f,對于波長

每取一個值,頻率f都有唯一的值與之對應(yīng).我們就說波長

是自變量,頻率f是因變量.也稱頻率f是波長

的函數(shù).圓的面積隨著半徑的增大而增大．如果用r表示圓的半徑，S表示圓的面積則S與r之間滿足下列關(guān)系：S＝________．利用這個關(guān)系式,試求出半徑為1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm時圓的面積,并將結(jié)果填入下表:(

≈3.14)

r2半徑r(cm)11.522.63.2…圓面積S(cm2)3.147.0712.5721.2432.17…問題四在這個變化過程中存在著兩個變量半徑r和面積S,對于半徑r每取一個值,面積S都有唯一的值與之對應(yīng).我們就說半徑r是自變量,面積S是因變量.也稱面積S是半徑r的函數(shù).

概括

變量：在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量，叫做變量(variable)．

常量：在問題的研究過程中，還有一種量，它的取值始終保持不變，我們稱之為常量。如問題三中的300000，問題四中的。

上面各個問題中，都出現(xiàn)了兩個變量，它們互相依賴，密切相關(guān)．一般地，如果在一個變化過程中，有兩個變量，例如x和y，對于x的每一個值，y都有惟一的值與之對應(yīng)，我們就說x是自變量，y是因變量，此時也稱y是x的函數(shù)．函數(shù)的概念（2）列表法

波長l(m)30050060010001500頻率f(khz)1000600500300200（1）解析法如問題3中的f=，問題4中的S＝πr2，這些表達(dá)式稱為函數(shù)的關(guān)系式．函數(shù)表示方法存期x三月六月一年二年三年五年年利率y(%)1.712.072.252.703.243.60（3）圖象法

(1)從表中你能看出該市14歲的男學(xué)生的平均身高是多少嗎?(2)該市男學(xué)生的平均身高從哪一歲開始迅速增加?(3)上表反映了哪些變量之間的關(guān)系?其中哪個是自變量?哪個是因變量?1.下表是某市2019年統(tǒng)計的該市男學(xué)生各年齡組的平均身高.年齡組(歲)7891011121314151617男生平均身高(cm)115.4118.3122.2126.5129.6135.5140.4146.1154.8162.9168.2

鞏固訓(xùn)練解:(1)14歲的男學(xué)生的平均身高是146.1cm．(2)約從11歲開始身高迅速增加.(3)反映了該市男學(xué)生的平均身高和年齡這兩個變量之間的關(guān)系,其中年齡是自變量,平均身高是因變量.2.寫出下列各問題中的關(guān)系式,并指出其中的常量與變量:(1)圓的周長C與半徑r的關(guān)系式;(2)火車以90千米/時的速度行駛,它駛過的路程s(千米)和所用時間t(時)的關(guān)系式;(3)n邊形的內(nèi)角和S與邊數(shù)n的關(guān)系式.解:(2)s=90t,S=(n－2)×180°,(1)C=2

r,2、

是常量，r和C是變量.90是常量，t和s是變量.2和180°是常量，n和S是變量.（1）填寫如圖所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能發(fā)現(xiàn)什么?

如果把這些涂黑的格子橫向的加數(shù)用x表示，縱向的加數(shù)用y表示，試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式．試一試xy（2）試寫出等腰三角形中頂角的度數(shù)y與底角的度數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式．yx等腰三角形兩底角相等（3）如圖，等腰直角△ABC的直角邊長與正方形MNPQ的邊長均為10cm，AC與MN在同一直線上，開始時A點(diǎn)與M點(diǎn)重合，讓△ABC向右運(yùn)動，最后A點(diǎn)與N點(diǎn)重合．試寫出重疊部分面積ycm2與MA長度xcm之間的函數(shù)關(guān)系式．思考

1.在上面“試一試”中所出現(xiàn)的各個函數(shù)中，自變量的取值有限制嗎？如果有，寫出它的取值范圍。(x取1到9的自然數(shù))2.在上面問題1中，當(dāng)涂黑的格子橫向的加數(shù)為3時，縱向的加數(shù)是多少？當(dāng)縱向的加數(shù)為6時，橫向的加數(shù)是多少？y＝10－x

對于問題1中的函數(shù)，當(dāng)自變量x=3時，對應(yīng)的函數(shù)y的值y=10-3=7

，則把7做這個函數(shù)當(dāng)x=3時的函數(shù)值

例1

求下列函數(shù)中自變量x的取值范圍：

（1）

y＝3x－1；

（2）

y＝2x2＋7；

（3）

y=；

（4）

y＝．

（3）中，x≠－2時，原式有意義．

（4）中x≥2時，原式有意義．解：（1）（2）中x取任意實(shí)數(shù)，3x－1,都有意義1.求下列函數(shù)中自變量x的取值范圍

（1）y=；（2）y=x2-x-2；（3）y=；（4）y=

鞏固訓(xùn)練答案：（1）（2）x為任意實(shí)數(shù)；（3）x≠-2;(4)x≥-3例2在上面試一試的問題（3）中，當(dāng)MA＝1cm時，重疊部分的面積是多少?

解：設(shè)重疊部分面積為ycm2，MA長為xcmy與x之間的函數(shù)關(guān)系式為

y=

當(dāng)x＝1時，y=答:MA＝1cm時，重疊部分的面積是cm2

1.分別寫出下列各問題中的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍：(1).某市民用電費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每度0.50元，求電費(fèi)y（元）關(guān)于用電度數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式；

(2).已知等腰三角形的面積為20cm2，設(shè)它的底邊長為x（cm），求底邊上的高y（cm）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(3).在一個半徑為10cm的圓形紙片中剪去一個半徑為r（cm）的同心圓，得到一個圓環(huán).設(shè)圓環(huán)的面積為S（cm2），求S關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式.快樂套餐2.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在時間t（秒）滑下的距離s（米）由下式給出：s=10t+2t2.假如滑到坡底的時間為8秒，試問坡長為多少？3、如圖，直線

是過正方形ABCD兩對角線AC與BD交點(diǎn)O的一條動直線從直線AC延順時針方向繞點(diǎn)O向直線BD位置旋轉(zhuǎn)（不與直線AC、BD重合）交邊AB、CD于點(diǎn)

E、F，設(shè)AE＝xcm，直線

在正方形ABCD中掃過的面積為ycm2，正方形邊長為AB＝2cm。(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式與自變量x的取值范圍.(2)若BE＝1.75cm，求y的值。

ABCDOEFH說一說1、用一個變量表示另一個變量。2、變量、常量和函數(shù)的概念。這節(jié)課我的收獲是……3、自變量的取值范圍和函數(shù)值。變量與函數(shù)如圖是某地一天內(nèi)的氣溫變化圖看圖回答：

(1)這天的6時、10時和14時的氣溫分別為多少？任意給出這天中的某一時刻，說出這一時刻的氣溫．(2)這一天中，最高氣溫是多少？最低氣溫是多少？(3)這一天中，什么時段的氣溫在逐漸升高？什么時段的氣溫在逐漸降低？

··溫度T隨著時間t的變化而變化。問題1：

銀行對各種不同的存款方式都規(guī)定了相應(yīng)的利率，下表是2016年8月中國人民銀行為“整存整取”的存款方式規(guī)定的年利率：

觀察上表，說說隨著存期x的增長，相應(yīng)的年利率y是如何變化的．

隨著存期x的增長，相應(yīng)的年利率y也隨著存期x三月六月一年二年三年五年利率y(%)1.802.252.523.063.694.14增長．年利率y隨著存期x的變化而變化。問題2：

收音機(jī)刻度盤的波長和頻率分別是用米(m)和千赫茲(kHz)為單位標(biāo)刻的．下面是一些對應(yīng)的數(shù)值：觀察上表回答：與

f

的乘積是一個定值，即或者說

波長（m）30050060010001500頻率f(khz)1000600500300200(1)波長和頻率f數(shù)值之間有什么關(guān)系?(2)波長越大，頻率f

就________越小頻率f隨著波長的變化而變化。問題3：問題4：如果用r表示圓的半徑，S表示圓的面積，則S與r之間滿足下列關(guān)系：S=利用這個關(guān)系式，試求出半徑為1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm時圓的面積，并將結(jié)果填入下表：半徑r（cm)11.522.63.2…圓面積S（）…圓的半徑越大，它的面積就越大圓的面積S隨著半徑r的變化而變化。

在上面的問題中，我們研究了一些數(shù)量關(guān)系，它們都刻畫了某些變化規(guī)律．這里出現(xiàn)了各種各樣的量，特別值得注意的是出現(xiàn)了一些數(shù)值會發(fā)生變化的量．

例如問題1中，刻畫氣溫變化規(guī)律的量是時間t和氣溫T，氣溫T隨著時間t的變化而變化，它們都會取不同的數(shù)值．

像這樣在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量，叫做變量．例：指出下列關(guān)系式中的變量。（1）收音機(jī)刻度盤上的波長(m)與頻率f(kHz)之間的關(guān)系：（2）三角形的一邊長5cm，它的面積S（）與這邊上的高h(yuǎn)（cm）的關(guān)系式：是變量。是變量。（3）圓的周長C與半徑r之間的關(guān)系：是變量。問題1中的T、t，問題2中的y、x都是變量。觀察：下面的例子中有一些始終不變的量，你能找出來嗎？（1）收音機(jī)刻度盤上的波長(m)與頻率f(kHz)之間的關(guān)系：（2）三角形的一邊長5cm，它的面積S（）與這邊上的高h(yuǎn)（cm）的關(guān)系式：（3）圓的周長C與半徑r之間的關(guān)系：3000002、

這種在問題的研究過程中，取值始終保持不變的量，稱為常量。如圖是某地一天內(nèi)的氣溫變化圖··問題1：觀察：（2）當(dāng)橫軸上的時間t取定一個值時，縱軸上氣溫T有幾個值與之對應(yīng)？（1）題中有哪幾個變量？T、t兩個變量一個

銀行對各種不同的存款方式都規(guī)定了相應(yīng)的利率，下表是2016年8月中國人民銀行為“整存整取”的存款方式規(guī)定的年利率：存期x三月六月一年二年三年五年利率y(%)1.802.252.523.063.694.14問題2：觀察：（2）當(dāng)存期x取定一個值時，利率y有幾個值與之對應(yīng)？（1）題中有哪幾個變量？y、x兩個變量一個

收音機(jī)刻度盤的波長和頻率分別是用米(m)和千赫茲(kHz)為單位標(biāo)刻的．下面是一些對應(yīng)的數(shù)值：

波長（m）30050060010001500頻率f(khz)1000600500300200問題3：觀察：（2）當(dāng)波長取定一個值時，頻率f有幾個值與之對應(yīng)？（1）題中有哪幾個變量？一個、f兩個變量問題4：如果用r表示圓的半徑，S表示圓的面積，則S與r之間滿足下列關(guān)系：S=半徑r（cm)11.522.63.2…圓面積S（）…觀察：（2）當(dāng)半徑r取定一個值時，面積S

有幾個值與之對應(yīng)？（1）題中有哪幾個變量？一個S、r兩個變量歸納：以上四個問題有什么共同之處？（1）每個問題中出現(xiàn)了幾個變量？2個（2）以問題2為例，在下表中存期x三月六月一年二年三年五年利率y(%)1.802.252.523.063.694.14年利率y隨著存期x的變化而變化。兩個變量分別為x和y,對于x的每一個值，y都有唯一的值與之對應(yīng)。我們就說x是y是此時稱y是x的函數(shù)。自變量，因變量。變量與函數(shù)一般地，如果在一個變化過程中，有兩個變量，例如x和y,對于x的每一個值，y都有唯一的值與之對應(yīng)。我們就說x是y是此時稱y是x的函數(shù)。自變量，因變量。如圖是某地一天內(nèi)的氣溫變化圖··問題1：函數(shù)：自變量：因變量：是的函數(shù).

銀行對各種不同的存款方式都規(guī)定了相應(yīng)的利率，下表是2016年8月中國人民銀行為“整存整取”的存款方式規(guī)定的年利率：

存期x三月六月一年二年三年五年利率y(%)1.802.252.523.063.694.14問題2：函數(shù)：自變量：因變量：是的函數(shù).

收音機(jī)刻度盤的波長和頻率分別是用米(m)和千赫茲(kHz)為單位標(biāo)刻的．下面是一些對應(yīng)的數(shù)值：波長（m）30050060010001500頻率f(khz)1000600500300200問題3：函數(shù)：自變量：因變量：是的函數(shù).問題4：如果用r表示圓的半徑，S表示圓的面積，則S與r之間滿足下列關(guān)系：函數(shù)：自變量：因變量：是的函數(shù).函數(shù)的三種表示方法：1.圖象法2.列表法3.解析法如問題3中的問題4中的這些表達(dá)式稱為函數(shù)的關(guān)系式。例:

寫出下列各問題中的關(guān)系式，并指出其中的常量與變量：(1)圓的周長C與半徑r

的關(guān)系式；C＝2πr

S＝60t2、180是常量，(2)火車以60千米/時的速度行駛，它駛過的路程S（千米）和所用時間t（時）的關(guān)系式；(3)n邊形的內(nèi)角和

S與邊數(shù)n

的關(guān)系式．解：2、π是常量，（）r、C是變量解：解：60是常量，（）t、S是變量S＝(n－2)×180（）n、S是變量．

實(shí)際問題中，寫函數(shù)關(guān)系式時，一定要寫出自變量的取值范圍。例1、汽車離開A站5千米后，以40千米／時的平均速度行駛了t小時，汽車離開A站所走的路程s（千米）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式是，.t自變量是例2、下面的表格分別給出了變量x與

y

之間的對應(yīng)關(guān)系，y是x的函數(shù)嗎？x

是y的函數(shù)嗎？請說明理由.x12321y149-4-1分析：y不是x的函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)x=1時，y有兩個值1和－1與之對應(yīng)；當(dāng)x=2時，y有兩個值4和－4與之對應(yīng).x是y的函數(shù)，因?yàn)閷τ趛的每一個值，x都有唯一的值與之對應(yīng).ex:1.下列關(guān)系中不是函數(shù)關(guān)系的是（）A2.已知把它寫成y是x的函數(shù)的形式是3.矩形的周長為14cm，求它的面積S與它的一邊長x（cm）間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)一邊長為3cm時矩形的面積.檢測反饋

1.舉3個日常生活中遇到的函數(shù)關(guān)系的例子．2.分別指出下列各關(guān)系式中的變量與常量：(1)三角形的一邊長5cm，它的面積S(cm2)與這邊上的高h(yuǎn)(cm)的關(guān)系式是：；(2)若直角三角形中的一個銳角的度數(shù)為α，則另一個銳角β(度)與α間的關(guān)系式是

(3)若某種報紙的單價為a元，x表示購買這種報紙的份數(shù)，則購買報紙的總價y（元）與x間的關(guān)系是：交流反思:

1.函數(shù)概念包含：(1)兩個變量；(2)兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．2.在某個變化過程中，可以取不同數(shù)值的量，叫做變量；數(shù)值始終保持不變的量，叫做常量．例如x和y，對于x的每一個值，y都有惟一的值與之對應(yīng)，我們就說x是自變量，y是因變量．3.函數(shù)關(guān)系三種表示方法：(1)解析法；(2)列表法；(3)圖象法

變量與函數(shù)每張電影票的售價為10元，如果早場售出票150張，日場售出205張，晚場售出310張，三場電影票的票房收入各多少元？若設(shè)一場電影售出票x張，票房收入為y元，怎樣用含x的式子表示y？汽車以60千米/時的速度勻速行駛，行駛里程為s千米，行駛時間為t小時，先填下面的表，再試用含t的式子表示s.S=60t60120180240300問題一:問題二:票房收入=售價×售票張數(shù)早場票房收入=10×150=1500（元）日場票房收入=10×205=2050（元）晚場票房收入=10×310=3100（元）y=10x在一根彈簧的下端掛重物，改變并記錄重物的質(zhì)量，觀察并記錄彈簧長度的變化，探索它們的變化規(guī)律。如果彈簧長原長為10cm，每1千克重物使彈簧伸長0.5cm,怎樣用含重物質(zhì)量m（單位：kg）的式子表示受力后的彈簧長度l(單位：cm)?l=10+0.5x問題三:問題四:要畫一個面積為10cm2的圓,圓的半徑應(yīng)取多少??10cm2圓的面積為20cm2呢？怎樣用含圓面積s的式子表示圓半徑r?20cm2?問題五:如圖，用10m長的繩子圍成長方形，試改變長方形的長度，觀察長方形的面積怎樣變化？記錄不同的長方形的長度值，計算相應(yīng)的長方形面積的值，探索它們的變化規(guī)律。設(shè)長方形的長為xm，面積為Sm2，怎樣用含x的式子表示s？觀察并思考上面的各個式子中的量有什么特點(diǎn)？在一個變化過程中，有些量的數(shù)值在發(fā)生變化在一個變化過程中，有些量的數(shù)值沒發(fā)生變化（始終不變）變量常量時間t路程s售出的票價x票房收入y速度60千米/小時票價10元繩長10米S=60ty=10xr=S=x（5－x）探究：1、指出下列關(guān)系式中的變量與常量：(1)y=5x